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Revista Brasileira de Ensino de F
sica, vol. 22, no. 4, Dezembro, 2000
Estudo Simplicado do Movimento do Pi~ao
com Rotac~ao Constante ou Variavel
(A simplied approach to the motion of a top with constant or variable spin)
G. F. Leal Ferreira
Instituto de F
sica, Universidade de S~
ao Paulo
Caixa Postal 369, 13560-970, S~
ao Carlos, SP, Brasil
Recebido em 21 de janeiro, 2000. Aceito em 5 de outubro, 2000
O estudo do movimento do pi~ao e muito simplicado se o substituimos por uma massa pontual
dotada de momento angular proprio, de modulo constante e sempre dirigido ao ponto xo, alem
do momento angular orbital da massa pontual. Com isto, a sua din^amica pode ser abordada com
a mec^anica newtoniana do ponto material - o que, certamente, e de enorme ajuda didatica -, com
todos os aspectos essenciais preservados. Impondo-se leis de conservac~ao, o problema e ainda mais
simplicado e as equac~oes de movimento s~ao prontamente obtidas. Com adequado ajuste, o metodo
pode ser usado para abordar-se o caso em que a rotac~ao e variavel no tempo.
The study of the top motion is greatly simplied if we alternatively choose to study that of a
spinning point mass with a constant, in modulus, intrinsic angular momentum always pointing
toward the xed point, besides the orbital one due to the motion of the point mass. This allows
us to use the Newtonian mechanics of the point mass - which certainly greatly helps teaching -,
without spoiling its essential features. Imposing conservation laws the problem is further simplied
and the equations of motion are readily obtained. With adequate changes the method may be used
for the case of a top with variable spin.
I
Introduc~ao
Foi sugerido anteriormente que o estudo do movimento
do pi~ao com um ponto xo tornar-se-ia bem mais accessvel [1] fazendo-se o pi~ao coalescer numa massa
pontual dotada de rotac~ao (`spin'), com modulo constante e direc~ao sempre apontando para o ponto xo.
Ao contrario do que acontece nos tratamentos usuais - como o de Goldstein [2] realizado via Mec^anica
Analtica, ou como o de Synge e GriÆth via Mec^anica
Racional do corpo rgido [3] - a ideia intuitiva da conservac~ao do momento angular intrnseco de rotac~ao e
admitida de incio, desanuviando parcialmente a fsica
do problema. Com a simplicac~ao de coalescer o pi~ao
no seu centro de massa e dotando o mesmo de momento
angular de modulo constante e sempre apontando para
o ponto xo, o problema pode ser tratado newtonianamente, o que, sem duvida, e de grande ajuda didatica.
Como de praxe, a ulterior imposic~ao de leis de conservac~ao encurta a soluc~ao , e diga-se de passagem, que
esta emerge com um mnimo de perda formal em relac~ao
ao tratamento em que o pi~ao e considerado um corpo
rgido. O metodo pode ser estendido sem diculdade
ao caso em que o momento angular intrnseco varia no
tempo, como na pratica ocorre pelo atrito no ponto
xo. Para quem interessar, o estudo lagrangeano e hamiltoniano de um sistema de massas pontuais dotadas
de spin pode ser encontrado em [4].
II O movimento newtoniano do
pi~ao
Na Fig. 1, o ponto M representa o centro de massa
(c.m.) do pi~ao e no texto M sera a sua massa. R e a
~ 0 , o vetor momento
dist^ancia de M ao ponto xo O. L
angular intrnseco, tem modulo constante e esta sempre orientado na direc~ao OM. Na soluc~ao newtoniana
estuda-se o movimento de M impondo-se que o momento do peso iguala a variac~ao do momento angular
~ 0 e do momento angular orbital
total, composto de L
devido ao movimento de M. Entretanto, procedimento
mais direto pode ser adotado, o de impormos duas leis
de conservac~ao, a do momento angular total ao longo do
eixo vertical xo Oz, paralelo a forca peso, e a da ener interessante notar que nesta ultima somente a
gia. E
conservac~ao da energia do movimento orbital, cinetica
e potencial, necessita ser considerada, um a vez que
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energia do movimento de rotac~ao ntrnseco esta prescrito, sendo constante no caso usualmente tratado em
que n~ao ha atrito entre o eixo do pi~ao e o ponto xo.
Um pouco de reex~ao mostra que esse sera tambem o
caso se houver amortecimento da rotac~ao, ou, em geral
se esta variar no tempo, como se vera na sec~ao IV.
1
MR2 (#_ 2 + '_ 2 sen2 #) + MgR cos # = C2
2
A unica diferenca que as Eqs. 3 e 4 mostram em relac~ao
as do pi~ao `encorpado' [2,3] e que nestas aparece o momento de inercia I1 do pi~ao em relac~ao a um eixo perpendicular a OM, passando por O, em vez do termo
MR2 . Esta e a deformac~ao formal causada pelo tratamento simplicado, na verdade algo n~ao importante.
Daqu em diante usaremos I1 no lugar de MR2 , com o
que as Eqs.2 e 4 ser~ao escritas como
IV
Figura 1. A massa pontual M, representando o pi~ao, com
movimento orbital em torno do ponto xo O, e dotada de
~ 0 , apontando sempre na direc~ao OM. #
momento angular L
e ' s~ao coordenadas esfericas, OM=R e Mg e o peso de M.
III
Leis de conservac~ao
III.1 Momento angular em torno do eixo Oz
A velocidade orbital de M, V~ , e
V~ = R#_ #~ + Rsen#'_ '~
(1)
sendo #~ e '~ os versores esfericos usuais (n~ao est~ao mostrados na gura). Para o momento angular orbital em
torno de Oz somente a componente na direc~ao '~ de V~
contribui. Considerando-se tambem a componente de
L0 tem-se
d
(MR2 '_ sen2 # + L0 cos#) = 0
(2)
dt
ou seja, com C1 uma constante,
MR2 '_ sen2 # + L0 cos# = C1
(3)
III.2 A energia
Como dissemos, somente a energia do movimento
orbital necessita ser considerada. Ela e, com C2 uma
outra constante,
(4)
I1 '_ sen2 # + L0 cos# = C1
(5)
I1 _ 2
(# + '_ 2 sen2 #) + MgRcos# = C2
2
(6)
A precess~ao e a sustentac~ao
Dadas as constantes C1 e C2 , as Eqs.5 e 6 podem ser
integradas, em princpio substituindo-se o valor de '_
tirado da Eq.5 na Eq.6. Note-se que todo o efeito da
rotac~ao esta no termo L0 cos # na Eq.5 e para aquilatarmos sua import^ancia no movimento do pi~ao, vamos
supor que inicialmente #_ e '_ sejam nulos. Se L0 e nulo,
C1 na Eq.5 sera nulo, e portanto '_ tambem se anulara.
A Eq. 6 mostrara que #_ crescera no tempo.
Para analisarmos o que ocorre quando L0 e diferente
de zero, e melhor usarmos a Eq.2, que para t = 0 da
I1 '(0)sen#0 = L0
(7)
ou seja, que para tempos pequenos,
'_ (t) =
L0 t
I1 sen#0
(8)
(esquecamos o `bug' em #0 ), isto e o pi~ao comeca a precessionar no sentido de sua rotac~ao. Como na Eq.6, '_
aparece ao quadrado, o movimento inicial de # n~ao e
alterado pela rotac~ao, mas o sera em tempos maiores
ja que com o crescimento de '_ , o termo (I1 =2)'_ 2 sen2 #
contribui negativamente para o crescimento de #_ . Portanto, a rotac~ao faz o pe~ao precessionar ao mesmo
tempo que o sustenta, freiando sua queda.
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V
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Rotac~ao com atrito
O caso do pi~ao com rotac~ao variada tambem pode ser
abordado. Em vez de impormos a conservaca~o do momento angular na Eq.2, estipulamos sua raz~ao de variac~ao. Seja esta em modulo dL(t)=dt. Temos ent~ao em
vez da Eq.2
d
dL(t)
(I '_ sen2 # + L(t)cos#) =
cos#
(9)
dt 1
dt
Como vamos supor que o movimento orbital se faz sem
atrito, sua energia total e conservada e da que a soluc~ao
do problema pode ser encontrada usando-se as Eqs. 9
e Eq.6. Nas ilustrac~oes que faremos vamos supor que
o atrito faz o momemto angular decrescer de forma exponencial, L = L00 exp( t), com constante e L00 o
momento angular inicial.
Suponhamos que o atrito seja pequeno, isto e, que
seja pequeno. Suponhamos tambem que o pi~ao seja
inicialmente rapido e que esteja em precess~ao lenta, ou
seja, que
MgR
(10)
L(t)
com L(0) = L00 >> MgR e #_ = 0. Podemos admitir que comecando a agir o atrito a Eq.10 permaneca
valida, com '_ aumentando a medida que L(t) diminui.
Vamos achar como varia velocidade angular #_ . Da Eq.9
obtemos
o que quer dizer que a Eq.14 valera ate o ^angulo igual
a
#m (17)
= 2arctg (etg#0 =2)
com e a base neperiana. Na Fig. 2 mostramos #m como
func~ao de #0 . Por exemplo, o pi~ao rapido comecando
a 80o permanece rapido ate atingir o ^angulo de cerca
de 133o, independentemente do valor de . Isto parece
sugerir que a Eq.17 e valida mesmo que o atrito seja
mais severo.
'_ =
d
_ (t)sen#
('_ sen2 #) (11)
= #L
dt
e como a derivac~ao de sen2 # da termo em #_ '_ , pequeno,
temos
I1 'sen# (12)
= L(t)#_
e usando a Eq.10 temos para #_
I1
I1 MgRsen#
#_ =
L2 (t)
(13)
equac~ao que pode ser integrada em #, fornecendo
2
t
#
tg = e[I1 MgR=2L00 ](e
2
1)
tg
#0
2
(14)
sendo #0 o ^angulo inicial. A aproximac~ao de pi~ao
rapido, Eq.10, deve valer ate que o momento angular
do pi~ao caia ao valor do momento angular orbital, isto
e, que
I1 '_ L(t)
(15)
ou seja, ate tm tal que
e 2tm
I 2MgR
<< 1
L
1
2
00
(16)
Figura 2. O ^angulo maximo #m em que a aproximac~ao de
pi~ao rapido e valida, Eq.17, em func~ao do a^ngulo inicial #0 .
VI
Considerac~oes nais
O metodo newtoniano tanto leva a simplicac~ao do problema como a interpretac~oes mais diretas. Sem duvida,
o fato de se admitir de incio que, no caso sem atrito, o
modulo do momento angular do pi~ao em relac~ao ao seu
eixo se mantem constante, aviva a intuica~o enquanto
que no tratamento lagrangeano [2] com os ^angulos de
Euler, aquele fato n~ao ca as vezes claro. Isto porque
na construc~ao dos ^angulos de Euler [2], a rotac~ao nal em torno do eixo OM, com velocidade angular _ ,
e chamada de spin [4-6], o que n~ao e correto, ja que
a primeira rotac~ao de eixo Oz, com velocidade angular '_ , tem componente '_ cos # ao longo de OM. Alem
disto, a separac~ao feita entre o movimento interno e o
orbital permitiu ver que na conservac~ao da energia somente a do movimento orbital intervem, permitindo a
abordagem do caso com `spin' variavel na seca~o 5.
Agradecimentos
O autor deve a colega, Dra. Mari^angela T. de Figueiredo, a inclus~ao das refer^encias 6 e 7 e ao arbitro do
artigo, a da refer^encia 4, a quem, pois, o autor agradece.
E agradece tambem ao CNPq por bolsa de produtividade.
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G.F. Leal Ferreira
References
[1] G. F. Leal Ferreira, Rev. Ens. de Fsica,
3,
16 (1981).
[2] H. Goldstein, Classical Mechanics, Addison-Wesley,
Publ. Co., Reading, Massachussets (1980), p. 215.
[3] J. L. Synge e B. A. GriÆth, Mec^anica Racional,
traduc~ao de N. F. Furtado, Editora Globo (1960), p.
468.
[4] R. W.Ruijgrok e H. vander Vlist, Physica A 101, 571
(1980).
[5] R. A. Becker, Introduction to theoretical Mechanics,
McGraw-Hill Book Co., N.York (1954) p.303.
[6] F. P. Beer e E. R. Johnston, Jr., Vector Mechanics for
Engineerings, Vol.II, McGraw- Hill Inc., Cap.18.
[7] R. C. Hibbeler, Engineering Mechanics, Vol.2, Macmillan Publ. Co. Inc., N. York (1978), Cap.20.