PALESTRA NA MESA REDONDA: “MODELAGEM MATEMÁTICA”
MODELAGEM MATEMÁTICA NA LICENCIATURA
Marilaine de Fraga Sant’Ana1
Resumo
Adotando a noção de Modelagem Matemática como ambiente de aprendizagem e reconhecendo
seu potencial, tanto como estratégia de ensino de Matemática quanto como formadora de
cidadãos críticos e atuantes na sociedade, discutimos acerca do papel da Modelagem Matemática
nos cursos de Licenciatura em Matemática. Abordamos brevemente dois diferentes âmbitos:
primeiro nos referimos às disciplinas teóricas de conteúdos matemáticos, depois às disciplinas de
natureza prática, nas quais os estudantes têm a possibilidade de planejar, desenvolver e avaliar
ações em sala de aula. Destacamos o papel das experiências vivenciadas durante a Licenciatura
em Matemática, que tanto podem encorajar os futuros professores a inovarem em suas práticas,
quanto podem incentivá-los a apenas repetirem as aulas de seus professores.
Palavras-chave: Modelagem Matemática, Ambiente de Aprendizagem, Licenciatura em
Matemática.
Introdução
A Modelagem Matemática atualmente é tema de muitas pesquisas, além de amplamente
utilizada como estratégia de ensino-aprendizagem de Matemática. Tal
interesse deve-se à
possibilidade da estratégia contribuir para a autonomia e independência do aluno, modificando
sua postura diante da Matemática, além de outras implicações como as que associam a
modelagem à cidadania e educação crítica (BARBOSA, 2006).
Muitos autores têm relatado experiências acerca da aplicação da Modelagem Matemática
no Ensino Básico. Vargas (2006) relata uma bem sucedida experiência com oitava série, aliando
1
Doutora em Matemática (UNICAMP, 2000). Professora Adjunta da Universidade Federal do Rio Grande do Sul.
20
a modelagem ao trabalho de projetos. As reflexões do autor indicam indícios de
desencadeamento de aprendizagem significante através da Modelagem Matemática. Também
Silveira e Jesus (2005) associam a Modelagem à aprendizagem significativa em uma experiência
com oitava série. Já Soistak e Burak (2005) relatam as dificuldades encontradas por alunos do
Ensino Médio Profissionalizante na realização da Modelagem Matemática, destacando as
mudanças na percepção da Matemática após esta primeira experiência com Modelagem. Estas e
outras experiências enfatizam a importância da Modelagem tanto para a aprendizagem da
Matemática, quanto para o desenvolvimento do aluno enquanto cidadão, favorecendo a crítica e a
análise do papel da Matemática nas práticas sociais.
Diversos trabalhos também abordam a Modelagem Matemática no Ensino Superior como
Piva, Dorneles e Spilimbergo (2005) e Freitas e Sant’Ana (2007). Almeida e Dias (2004),
apresentam reflexões sobre a Modelagem com licenciandos em Matemática, apontando a
integração de conteúdos, a atividade cooperativa, o papel de professor como orientador e a
necessidade percebida entre os alunos de validação do modelo por eles criado como fatores
importantes. Destacam que a Modelagem Matemática possibilita aos estudantes a atribuição de
significados à Matemática e, sua aplicação na formação de professores, influencia diretamente
nas expectativas destes quanto à Modelagem Matemática como prática pedagógica em sua futura
vida profissional.
Também alguns obstáculos frente à utilização da Modelagem em sala de aula são
levantados por Barbosa (1999), apontando para uma dificuldade de aceitação de uma postura
mais atuante por parte dos alunos, bem como receio diante desta inversão de papéis por parte dos
professores. Frente a estes obstáculos, acreditamos que o contato do licenciando em Matemática
com a Modelagem Matemática seja fundamental, no sentido de sua superação. Este contato pode
se realizar em diversas disciplinas, uma vez que poucas licenciaturas dispõem de uma disciplina
específica de Modelagem Matemática (como no caso de Almeida e Dias, 2004). Diversas
pesquisas têm sido apresentadas com experiências de Modelagem Matemática neste sentido,
como Sant’Ana (2007) e Sant’Ana, Ulrich, Bordignon e Vargas (2007).
Neste debate, abordamos a Modelagem Matemática via experiências com licenciandos em
Matemática. Esta abordagem é diferenciada, uma vez que os alunos não estão apenas na condição
de “alunos”, mas também de “professorandos”, construindo sua profissão a partir das vivências
agora realizadas.
21
Abordamos a presença da Modelagem Matemática nas disciplinas teóricas e práticas da
Licenciatura em Matemática e refletimos sobre atividades já desenvolvidas, com vistas à atuação
do futuro profissional.
Pressupostos Teóricos
Neste trabalho, assumimos Modelagem Matemática como conceituada por Barbosa (2001),
isto é, um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a investigar, por
meio da Matemática, situações com referência na realidade.
Podemos analisar tal definição, separando-a de acordo com as expressões que a compõem.
A primeira expressão é ambiente de aprendizagem, que, de acordo com Skovsmose (2000), diz
respeito a todas as condições de aprendizagem disponibilizadas aos alunos, incluindo ambiente
físico, recursos e propostas metodológicas, ou seja, todos são responsáveis pela ocorrência do
ambiente de aprendizagem, cabendo ao professor papéis distintos daqueles geralmente
desempenhados no ensino tradicional.
De acordo com esta definição, o professor tem a incumbência de cativar os alunos para este
ambiente, através de um convite à investigação. É a partir deste convite que o aluno se sentirá ou
não confiante para a realização da proposta e, de sua decisão, dependerá a ocorrência ou não de
tal ambiente de aprendizagem.
O próximo termo que destaco é investigação. Skovsmose (2000) apresenta o paradigma do
cenário para investigação como uma alternativa ao paradigma do exercício, diretamente
associado ao ensino tradicional e que frequentemente leva o aluno a memorizar padrões a partir
da repetição. No cenário para investigação perguntas do tipo “por que?” e “e se...?” aguçam a
curiosidade e levam os alunos a formularem hipóteses e procurarem comprovações ou
reformulações.
Mas o que é investigado em Modelagem Matemática? A resposta é obtida no termo
situações com referência na realidade, ou seja, situações que tem origem em uma realidade não
matemática, que podem tanto surgir do cotidiano quanto de outras disciplinas escolares. O
fundamental é que sejam reais e não fictícias.
22
Finalmente, o meio pelo qual a investigação é realizada é a Matemática, ou seja, através da
Matemática o aluno busca compreender, explicar e responder as questões formuladas sobre a
situação originada em outra área da realidade.
De acordo com Barbosa (2001), a Modelagem Matemática pode ser aliada ao currículo2
com três configurações distintintas, que o autor chama de casos, de acordo com a divisão de
tarefas estabelecida. O Caso 1 é caracterizado pela problematização de situações reais nas quais o
problema e os dados (reais) são propostos pelo professor e investigados pelos alunos. No Caso 2,
o professor apresenta um tema ou problema, mas a coleta de dados e a investigação são realizadas
pelos alunos. Já no Caso 3, a partir de um tema gerador, os alunos coletam informações,
formulam e solucionam problemas.
Acreditando no potencial da Modelagem Matemática que, segundo Bassanezi (2002),
pode ser um caminho para tornar a Matemática, em qualquer nível, mais atraente, agradável e
motivadora, penso ser necessário criar estratégias nos cursos de Licenciatura em Matemática que
possibilitem sua a vivência pelos futuros professores, tanto no papel de estudantes quanto de
proponentes da Modelagem. Barbosa (2001 b) aborda a questão da formação de professores, a
qual considera o maior desafio para viabilizar a Modelagem Matemática no Ensino Básico.
Modelagem matemática em disciplinas teóricas de matemática
Em geral, os cursos de licenciatura em matemática têm sua estrutura separada em: formação
matemática e formação pedagógica. Também as disciplinas do curso são divididas em teóricas e
práticas.As disciplinas teóricas são, em geral, classificadas de acordo com seu conteúdo, ou seja,
algumas abordam somente Álgebra, outras somente Geometria, Análise, Álgebra Linear, etc.
Via de regra, a Modelagem Matemática não consta como uma das metodologias utilizadas
no ensino destas disciplinas, que em alguns casos apresentam aplicações, mas estas se restringem
aos modelos clássicos.
Com base na premissa da importância do professor passar pela experiência de realização do
ambiente de Modelagem Matemática enquanto aluno e no potencial deste ambiente de
aprendizagem para a motivação e resgate de conteúdos com vistas à aplicação da Matemática,
2
Entendendo como currículo a totalidade das experiências proporcionadas aos alunos em ambiente escolar.
23
percebemos a importância da inserção desta metodologia no desenvolvimento de disciplinas
teóricas de Matemática da Licenciatura.
Modelagem Matemática em disciplinas práticas
Nas disciplinas de caráter prático, os estudantes têm a possibilidade de investigar, planejar e
avaliar ações realizadas em ambiente escolar. Em tais disciplinas, a Modelagem Matemática pode
ser vivenciada com um ponto de vista diferente das disciplinas teóricas. Neste âmbito, a
Modelagem Matemática pode ser “experimentada” sob uma ótica “dupla”, ou seja, a partir das
vivências realizadas nas disciplinas teóricas anteriores, o licenciando tem a possibilidade de
planejar e aplicar uma prática pautada pela Modelagem Matemática sob a orientação de um
professor.
Apresento um exemplo de prática que decorreu de uma parceria entre uma escola e
Universidade, na qual professora e alunos de Licenciatura em Matemática vivenciaram, junto a
alunos de Ensino Médio, um ambiente de aprendizagem caracterizado como cenário para
investigação. A Modelagem Matemática viabilizou o desenvolvimento de um projeto sobre a rede
de relacionamento Orkut. Maiores detalhes sobre a prática podem ser vistos em Sant’Ana et al
(2007).
O Projeto Orkutemática iniciou em uma sala de aula de Laboratório de Prática de Ensino de
Matemática, disciplina que oferece aos alunos a possibilidade de desenvolverem um curso de
extensão voltado para alunos de Ensino Médio.
Após leituras e discussões sobre Ambientes de Aprendizagem (Skowsmose, 2000) com
especial atenção para a Modelagem Matemática (Barbosa, 2001), quatro alunos se sentiram
desafiados e decidiram que não realizariam um curso de extensão nos moldes tradicionais. Um
colega sugeriu uma prática com os alunos de sua escola sobre o Orkut, uma vez que o tema vinha
despertando o interesse dos alunos enquanto usuários, bem como a preocupação da escola sobre a
segurança e a privacidade de seus alunos.
O projeto foi executado em 5 encontros presenciais, além da realização de atividades entre
esses, período em que nos comunicávamos via e-mail e via ferramentas disponíveis em uma
comunidade criada no ambiente do Orkut. Nossos encontros ocorreram aos sábados pela manhã.
24
A escola nos disponibilizou uma excelente sala equipada com cerca de vinte computadores e
canhão para projeção.
No primeiro encontro, apresentamos aos alunos o convite, no sentido da definição de
Modelagem Matemática de Barbosa (2001). Apresentamos o tema Orkut, que os interessou
muito. Percebemos logo que nosso convite foi aceito e partimos para o conhecimento sobre o
tema central. Investigamos juntos as funcionalidades do ambiente e, aqueles alunos que não
participavam da rede, ingressaram, embora tenhamos observado que eles não necessitariam
ingressar no Orkut para participarem do projeto. Criamos uma comunidade no Orkut, chamada
Orkutemática. Observamos que seria preciso criar um símbolo para a comunidade. Lançamos a
idéia de discutirmos este tópico, nas semanas seguintes, no fórum da comunidade, o que de fato
aconteceu, resultando no símbolo representado na figura 10.
Figura 1: Símbolo da comunidade
Decidimos juntos que pesquisaríamos como os alunos do Ensino Médio usavam o Orkut.
Para tal, naturalmente surgiu a necessidade de estudarmos alguns conteúdos de Estatística, bem
como, a utilização de planilha eletrônica, pois eles faziam questão de pesquisar junto a todos os
310 alunos do Ensino Médio. Neste momento, o receio quanto aos conteúdos matemáticos que
seriam abordados desapareceu.
No segundo encontro, abordamos conteúdos estatísticos em paralelo com a utilização de
planilha eletrônica. Os alunos fizeram algumas simulações com dados referentes aos seus perfis
do Orkut, como números de amigos, comunidades, etc. A simulação foi importante tanto como
auxílio para a compreensão da Estatística, quanto para fornecer idéias futuras para a pesquisa.
Ao realizarmos cálculo de percentuais, percebemos que os alunos, em sua maioria, não
tinham construído efetivamente o conteúdo de proporções e razões, apresentando dificuldades
nas relações entre as grandezas. Tivemos que dar especial atenção a este ponto, retomando esses
conceitos. Tal momento foi muito importante para os licenciandos, pois eles tinham um temor
25
inicial, de não “ensinarem” Matemática aos alunos, que foi superado diante da necessidade de
reconstrução de conteúdos prévios.
No terceiro encontro, a partir de discussões no grande grupo, elaboramos uma lista de
questões para compor o instrumento de pesquisa a ser aplicado junto aos alunos do Ensino
Médio. Observamos que os alunos demonstraram preocupação com aspectos que nos
surpreenderam, como a segurança, inserindo questões específicas sobre este tópico. O
instrumento foi revisado por nós e então reproduzido para aplicação.
No período entre o terceiro e o quarto encontro, os alunos aplicaram os instrumentos com
seus colegas. Ao final desta etapa, tínhamos 222 instrumentos (de um total de 310 alunos) para
analisarmos. Os alunos ficaram um pouco decepcionados com este número, pois esperavam
maior colaboração dos colegas.
No quarto encontro, os alunos tabularam os dados obtidos, utilizando fortemente os
conhecimentos sobre planilha eletrônica abordados no segundo encontro.
No quinto encontro, finalizaram a tabulação dos dados, organizando as informações em
tabelas.
Discutimos juntos os resultados, usando conhecimentos de Estatística, e estes foram
registrados simultaneamente por duas alunas escolhidas como redatoras.
É importante destacar que estes alunos não tinham conhecimentos prévios de Estatística e
que, durante os encontros, reservávamos um tempo para a abordagem teórica e outro para as
considerações sobre a pesquisa.
Observações sobre a prática
Esse projeto oportunizou uma experiência ímpar aos alunos da escola, aos
professores/alunos e à professora de Laboratório de Prática de Ensino de Matemática. Foi
possível vivenciar um ambiente de aprendizagem caracterizado como cenário para investigação
com referências à realidade. Percebemos claramente um profundo envolvimento dos alunos,
proporcionando uma aprendizagem mútua, de alunos e professores.
Abandonamos a “zona de conforto” proporcionada pelos cursos de extensão sobre tópicos
específicos de Matemática ou de preparação para o vestibular, usualmente oferecidos por
professores e alunos da disciplina de Laboratório, assumindo o risco de nos movermos para o
26
paradigma dos cenários para investigação. Foi necessário estarmos abertos para o incerto, o que
não suspendeu a necessidade de planejamento, mas sim, ensinou a planejar de forma aberta e
constante. Isto só foi possível a partir do comprometimento dos alunos com a aprendizagem.
No início do projeto, os professores/alunos de Laboratório, embora entusiasmados, estavam
apreensivos, especialmente por saberem que se deparariam com alunos com uma boa base de
Matemática de uma escola muito bem conceituada. Eles tinham receio de, pelo fato dos alunos
terem muitos conhecimentos prévios, não ocorrer construção da aprendizagem. A partir do
segundo encontro, os temores do início foram gradativamente superados, e, no decorrer do
projeto, observamos a crescente familiaridade de alunos e professores/alunos com o tema, com a
Matemática e com as discussões que emergiam dos encontros. Também ficou evidente o
ambiente de equipe formado, estabelecendo uma troca constante entre professores e alunos.
As discussões entre o grupo foram muito ricas, especialmente quanto ao caráter reflexivo,
presente em todas as etapas do projeto. Tais discussões partiram dos alunos, que revelaram
maturidade e responsabilidade, discutindo sobre aspectos subjetivos como: “Será que meus
amigos de Orkut são meus amigos de verdade?”, “É seguro acessar redes de relacionamento?”,
“Conheço os moderadores das comunidades que faço parte?”, etc.
O grupo assumiu uma postura de pesquisadores, dividindo tarefas, deixando claras a
responsabilidade e a preocupação com a fidedignidade dos resultados a serem obtidos pelo
projeto.
Classifiquei essa prática, de acordo com Barbosa (2001), como um caso 2 especial, porque,
embora, ao desenvolvermos o projeto com os alunos tenhamos proposto o tema, ou seja,
desenvolvido uma modelagem do caso 2, esse tema não foi uma imposição minha, mas uma
sugestão colocada por um dos professores/alunos de Laboratório, a partir de uma necessidade da
comunidade escolar. Assim, do ponto de vista da disciplina de Laboratório, desenvolvemos um
caso 3.
Considerações Finais
As considerações tecidas neste trabalho levaram em conta tanto aspectos teóricos da
Modelagem Matemática, quanto as práticas que são realizadas por uma grande quantidade de
professores e que, mediante a reflexão, alimentam e dão origem a novas teorias.
27
A partir da preocupação com a formação de professores aptos a desenvolverem ambientes
de aprendizagem diferenciados e com base nas considerações tecidas ao longo do texto, podemos
afirmar que a inserção da Modelagem Matemática em disciplinas teóricas de Matemática e em
disciplinas práticas favorecem a aplicação de tal metodologia no futuro professor formado por
tais cursos de Licenciatura em Matemática.
Destacamos que, os dois âmbitos abordados diferem especialmente sob o ponto de vista do
estudante que, nas disciplinas teóricas, vive a modelagem como aluno e, nas disciplinas práticas,
já tem a ótica do professor. Concluímos que é importante oportunizar as duas experiências, sendo
uma complementar da outra, favorecendo a reflexão com vistas ao aprimoramento do futuro
“professor modelador”.
Referências Bibliográficas
ALMEIDA, Lourdes Maria Werle de. DIAS, Michele Regiane. Um Estudo sobre o Uso da
modelagem matemática como Estratégia de Ensino e Aprendizagem. Bolema, n. 22, pp 19-35.
Rio Claro: 2004.
BARBOSA, Jonei Cerqueira. Mathematical Modelling in Classroom: a Critical and Discursive
Perspective. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik. V. 38, n. 3, p. 293-301. EggensteinLeopoldshafen , Germany: 2006.
BARBOSA, Jonei Cerqueira. Modelagem na Educação Matemática: Contribuições para o Debate
Teórico. In: REUNIÃO ANUAL DA ANPED, 24. Anais... Rio de Janeiro: ANPED, 2001, 1
CD-ROM.
BARBOSA, Jonei Cerqueira. Modelagem Matemática e os Professores: a Questão da Formação.
Bolema, 15, p. 5-23. Rio Claro: 2001.
BARBOSA, Jonei Cerqueira. O que Pensam os Professores sobre a Modelagem Matemática.
Zetetiké, v. 7, n. 11, p. 67-85. Campinas: 1999.
FREITAS, César Augusto Machado de. SANT’ANA, Marilaine de Fraga. Modelo Matemático
do crescimento da Araucaria angustifolia. Aplicação da Modelagem Matemática no Ensino do
Cálculo Diferencial e Integral. Acta Scientiae, v. 8, n. 2. Canoas: 2007 (no prelo)
28
PIVA, Cláudia. DORNELES, Lecir Dalabrida. SPILIMBERGO, Patrícia. Uma experiência no
Ensino de Cálculo no Curso de Agronomia. In: IV CONFERÊNCIA NACIONAL DE
MODELAGEM EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Anais... Feira de Santana: UEFS, 2005. 1
CD ROM.
SANT’ANA, Marilaine de Fraga. ULRICH, Rodrigo Maurício, BORDIGNON, Gisele.
VARGAS, Daniel Silveira. Projeto Orkutemática. In:
IX ENCONTRO NACIONAL DE
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, . Anais... Belo Horizonte: SBEM, 2007, 1 CD-ROM.
SANT’ANA, Marilaine de Fraga. Modelagem de Experimento e Ensino de Cálculo. In:
Modelagem matemática na Educação matemática Brasileira: pesquisas e práticas
educacionais. Recife: SBEM, 2007.
SKOVSMOSE, Ole. Cenários para investigação. Bolema. No. 14, p. 66 – 91. Rio Claro: 2000.
SILVEIRA, Everaldo. JESUS, Rossely Valoni de. Projetando uma sala de informática na escola
com o uso da Modelagem Matemática. IV CONFERÊNCIA NACIONAL DE MODELAGEM
EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Anais... Feira de Santana: UEFS, 2005. 1 CD ROM.
SOISTAK, Alzenir Virgínia Ferreira. BURAK, Dionísio. Modelagem Matemática: uma
alternativa de ensino aprendizagem da Matemática. . IV CONFERÊNCIA NACIONAL DE
MODELAGEM EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Anais... Feira de Santana: UEFS, 2005. 1
CD ROM.
VARGAS, Paulo Roberto Ribeiro. Modelagem Matemática: um ambiente de ensino e
aprendizagem significante. Canoas: ULBRA, 2006. Dissertação (Mestrado em Ensino de
Ciências e Matemática), Universidade Luterana do Brasil, 2006.
29