ANÁLISE DE SEGUNDA ORDEM: COMPARAÇÃO DAS ANÁLISES
BIDIMENSIONAIS E TRIDIMENSIONAIS EM MODELOS ESTRUTURAIS DE
AÇO
Ricardo Ficanha1, Ricardo Fabeane2, Zacarias M. Chamberlain. Pravia3
Resumo
Os efeitos de segunda ordem são considerados na análise de estruturas de aço através do método
de comprimento efetivo de flambagem (coeficiente K). Os estudos e normas internacionais
preconizam como método base o uso da análise de segunda ordem (P∆ e Pδ), seja através da
análise direta ou pelo método das amplificações de esforços. Essa proposta foi inclusa na norma
americana ANSI AISC360, primeiramente na versão de 2005 e confirmou-se como o método de
referência a ser usado na versão 2010. No presente trabalho, o conceito de comprimento efetivo
de flambagem foi revisado por métodos numéricos e estendido para estruturas em 3D,
comparando-os com resultados de análises em 2D. Modelos típicos de edifícios simétricos e não
simétricos, seja no plano ou em 3D, foram analisados pelo método de análise de estabilidade
elástica. Os resultados foram avaliados entre as análises realizadas em 2D e 3D.
Palavras chaves: Estruturas de aço, sistemas irregulares, efeitos de segunda ordem
1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS
A evolução da engenharia vem possibilitando construção de estruturas de aço
cada vez mais complexa, com diversas irregularidades dimensionais e de cargas na
concepção, requerendo um estudo específico para a análise do edifício. Uma grande
quantidade de estruturas, não somente construções referencias arquitetônicas assim
como edifícios industriais são projetados sem nenhuma simetria, seja dimensional ou no
carregamento.
As referencias normativas e os trabalhos científicos são carentes de
informações precisas sobre o comportamento de uma estrutura irregular analisada em
modelo tridimensional. Assim, inúmeras considerações são feita durante o projeto sem
que o responsável saiba o que realmente é correto considerar.
Segundo Chen at al. (1982, 1991, 1994), um grande esforço de pesquisa em
quantidade e qualidade tem sido desenvolvido nas últimas quatro décadas sobre o
comportamento não-linear de estruturas de aço.
Canela (2010) apresenta analises sísmicas não lineares em edifícios industriais
sem simetria, com o procedimento da força equivalente porém com a necessidade de um
estudo mais aprofundado sobre o tema, assim como o objetivo deste trabalho, onde os
1
Engenheiro Mecânico mestrando do PPGEng da UPF – Setor de Engenharia METASA S/A –
[email protected]
2
Engenheiro Civil mestrando do PPGEng da UPF – Setor de Orçamento METASA S/A –
[email protected]
3
D. Sc., Professor Titular FEAR/UPF – [email protected]
resultados aprimorados resultam em uma aproximação mais realista possível para
consideração no modelo estrutural. Todo o procedimento será detalhado e especificado
para também considerar a análise do comportamento torcional da estrutura. As
considerações sísmicas são prescritas para direções globais, perpendiculares as fachadas
da estrutura, deixando situações que podem vir a ser as criticas de fora da análise. A
torção em uma edificação pode ocorrer devido a falta de simetria dimensional e
irregularidades das cargas que agem na estrutura.
Até o ano de 2005, o único método definido em norma técnicas era o método
do comprimento efetivo de flambagem, largamente conhecido como coeficiente de
flambagem k. Baseado na análise de estabilidade no plano, considerando as condições
de contorno de barras isoladas, ou a rigidez das conexões de extremidade, considerados
em estruturas de quadro (sem travamento vertical).
O estudo da não linearidade em análise foi impulsionado pelo advento do
desenvolvimento computacional, facilitando e transformando análises de segunda
ordem viáveis pelo reduzido tempo relativo necessário. A norma americana
AISC360:05 apresenta um modelo de cálculo inovador sendo este o método da análise
direta (DAM), onde considera o fator k=1 para todas as barras da estrutura, pois os
efeitos das imperfeições são simulados com a inclusão de cargas horizontais fictícias
(denominadas na norma ABNT NBR8800:2008 como cargas nocionais). Para estruturas
planas também é conhecido o método da amplificação dos esforços da análise de
primeira ordem (FOM).
Os métodos simplificado para a amplificação dos esforços para uma barra
articulada e estruturas rígidas foram expostas por Lemessurier (1976, 1977).
Tanto a norma AISC360 versão 2005 como a norma AISC360 versão de 2010
não apresentam comentários e indicações de como o profissional deve proceder para
interpretação dos resultados apresentados na análise de segunda ordem. Tampouco a
norma brasileira ABNT NBR800:2008 não tem citação sobre o assunto.
A situação apresentada por Silvestre e Camotin (2007) torna inapropriado o
método FOM para vigas de cobertura inclinadas, indicando a consideração do primeiro
modo de flambagem elástica para determinação do comportamento da estrutura quanto
ao sensibilidade ao deslocamento horizontal.
A norma europeia Eurocode EC3-EM (2005) afirma que se o primeiro modo de
flambagem global for superior a 10, não é necessário as considerações dos efeitos de
segunda ordem na estrutura, pois assim a estrutura apresenta a mínima estabilidade
necessária para atender as solicitações durante a vida útil. Os efeitos localizados não
servem como base para a classificação da estrutura como estável.
A equação 1, apresenta a relação entre a carga crítica suportada pelo sistema
estrutural com a carga aplicada.
α cr =
Fcr
FEd
onde:
FCr = carga crítica associada a flambagem global elástica
FEd = carga aplicada no sistema estrutural
(1)
2. ANÁLISE LINEAR DE FLAMBAGEM
Consiste na determinação de uma solução de autovalor, a qual através das
equações de equilíbrio sobre a deformada, iterativamente define o fator crítico
resistente, fator considerado sobre a carga aplicada. Os modos de flambagem não
fornecem uma deformação em função de uma carga, mas sim o valor limite resistente da
estrutura (carga crítica).
A maioria dos programas computacionais comerciais ou livres já apresenta o
método da análise linear de flambagem elástica, porém esta opção não é de
conhecimento dos profissionais e assim não utilizado. Como exposto no item anterior,
com esta análise é possível obter um parâmetro para a tomada de decisão sobre a
utilização ou não dos efeitos gerados pelos efeitos de segunda ordem, conforme
indicação do Eurocode (2005).
Embora não apresente valores de deformações reais para utilização nas
verificações de projeto, os modos resultantes da análise linear de flambagem
possibilitam a verificação do comportamento da estrutura como um todo, evidenciando
possíveis pontos de baixa rigidez estrutural que pode ser reduzido com o uso de um
sistema de travamento.
Na análise linear de flambagem de edifícios industriais o modo crítico de
torção global pode ser verificado, enquanto em uma análise dos efeitos de segunda
ordem os deslocamentos verificados são os deslocamentos apresentados nas direções
principais, podendo geral uma interpretação inadequada para o sistema.
3. ANÁLISES ILUSTRATIVAS
Para apresentar os comportamentos estruturais de segunda ordem, foram
selecionados dois modelos com características de regularidades diferentes, uma
estrutura regular e outra estrutura irregular.
O primeiro modelo é apresentado na Figura 1, onde as vigas são soldadas aos
pilares apresentando conexões rígidas, com 3 níveis, distancia entre pórticos de 6m e
8m. O modelo foi analisado no plano e tridimensionalmente, com análise de segunda
ordem pelo método da análise direta (DAM), também considerando o método de
primeira ordem e flambagem global elástica. Na Figura 2 pode ser visto o modelo com
o carregamento vertical e horizontal provocada pelo vento.
Figura 1 - Modelo estrutural regular
Figura 2 - Modelo regular com carregamento
Figura 3 - Primeiro modo de flambagem global elástica α cr = 4,67
Os resultados para análises de segunda ordem DAM e FOM são apresentados
na Tabela 1. Ilustrando que o modelo tridimensional é mais conservativo que o modelo
plano, em ambos os casos a análise de primeira ordem se comportam sem grande
diferenças de resultados. O modo crítico de flambagem é o primeiro e que apresenta
4,67 que é menor que o limitante 10, significa que a estrutura apresenta grande nãolinearidade, e em análise a figura apresentada do primeiro modo chega-se a conclusão
que o primeiro modo de flambagem global é de deslocamento lateral.
Tabela 1 – Resultados da análise para o edifício regular
Nível
(mm)
3000
6000
9000
Modelo 2D
Δ2/ Δ1
FOM
(DAM)
B2
1,08
1,04
1,08
1,04
1,09
1,03
Modelo 3D
Δ2/ Δ1
FOM
(DAM)
B2
1,06
1,07
1,09
1,07
1,08
1,06
O segundo modelo considerado para análise é referente a um edifício industrial
real, que apresenta geometria irregular entre os níveis para apoio dos equipamentos. O
edifício apresenta dimensão retangular na base de 22,2m de largura por 29,9m de
comprimento, altura da coluna externa de 20,8m e nível da cumeeira de 22,7m, com
cinco plataformas intermediárias distribuídas irregularmente utilizadas para apoio dos
equipamentos e acessos para manutenção.
Figura 4 - Modelo de estrutura irregular
Figura 5 - Cargas nocionais aplicadas somente na elevação externa
Figura 6 - Cargas nocionais aplicadas em todos os nós dos níveis
Primeiro modo de flambagem (α=6.59)
Segundo modo de flambagem (α=7.60)
Terceiro modo de flambagem (α=8.36)
Quarto modo de flambagem (α=8.54)
Figura 7 – Primeiros modos de flambagem para estrutura irregular
Apenas no 13° modo de flambagem global é evidenciado um modo de
flambagem caracterizado por deslocamento lateral, com valor de α=12,49, sendo para o
Eurocode (2005) desnecessária a consideração dos efeitos de segunda ordem, porém
quando utilizado o conceito de relação entre deslocamentos de analise de segunda
ordem e de primeira ordem do AISC 360:10, é necessária a redução da rigidez do
material para consideração dos efeitos de segunda ordem, pois para o nó 1308 do nível
18800mm a relação apresentada é de 2,45, maior que 1,7 (limite do AISC 360:10).
Tabela 2 – Deslocamentos das análises de primeira e segunda ordem com cargas nocionais da Figura 5
(Ux2* é o deslocamento de segunda ordem)
Elevação
Ux1
Ux2
Ux1*
Ux2*
Ux2*/Ux1*
Nó 20
mm
6000
mm
1,38
mm
1,84
mm
1,38
mm
1,84
1,33
Nó 606
Nó 1311
Nó 1308
11500
15400
18800
1,76
1,74
1,62
2,24
2,20
2,07
0,37
-0,01
-0,12
0,39
-0,03
-0,13
1,06
2,45
1,06
Nó 6
21840
1,41
1,86
-0,20
-0,21
1,02
Tabela 3 – Deslocamentos das análises de primeira e segunda ordem com cargas nocionais da Figura 6
(Ux2* é o deslocamento de segunda ordem)
Elevação
Ux1
Ux2
Ux1*
Ux2*
mm
mm
mm
mm
mm
Ux2*/Ux1*
Nó 20
6000
1.35
1.81
1.35
1.81
1.34
Nó 606
11500
1.73
2.21
0.38
0.41
1.07
Nó 1311
15400
1.76
2.23
0.03
-0.01
0.39
Nó 1308
18800
1.62
2.08
-0.14
-0.14
1.06
Nó 6
21840
1.40
1.85
-0.23
-0.23
1.02
Quando as cargas são aplicadas em todos os nós das colunas de todos os níveis,
a relação entre deslocamentos das análises de segunda e de primeira ordem a relação é
inferior a 1,0, sem significado. Os demais deslocamentos são considerados similares,
conforme apresentados nas Tabelas 2 e 3.
No modelo com irregularidades geométricas em que a presença de elementos
com uma extremidade livre é existente, a convergência de resultados não é alcançada
para a análise de segunda ordem, portanto estes elementos secundários foram retirados
do modelo e consideradas as ações dos mesmos na estrutura.
A única maneira de considerar as respostas de deslocamentos para modelos
tridimensionais irregulares é o uso comum da verificação quanto a sensibilidade lateral
da estrutura e a flambagem global da estrutura, assim o funcionamento da estrutura é
definido e possibilita a correta interpretação para devida escolha do sistema estrutural
necessário.
4. CONCLUSÃO
Sistemas estruturais irregulares requerem cuidados especiais do responsável
técnico, devido ao seu comportamento quando em serviço, simulado em modelos
tridimensionais.
Os métodos proposto nas normas de estruturas de aço foram desenvolvidos
com bases teóricas e estudos de modelos regulares no plano, basicamente, pelo
comportamento de deslocamento lateral. Quando o edifício de aço é irregular
geometricamente ou com carregamentos não simétricos as normas não são completas e
não apresentam diretrizes para esta situação.
A alternativa considerada prudente é da consideração dos efeitos da segunda
ordem elástica juntamente com a análise de flambagem global, chegando a uma
interpretação única para cada modelo estrutural estudado.
Percebe-se a necessidade da consideração dos resultados da análise linear de
flambagem global na norma nacional ABNT NBR8800:2008, definindo as prescrições
necessárias para a correta interpretação do responsável técnico em classificar a
estrutura.
O caso apresentado requer aprofundado estudo teórico e experimental para que
os resultados possam ser levados em consideração em qualquer sistema estrutural que se
configurar.
5. REFERÊNCIAS
American Institute of Steel Construction , AISC (2010). Specification for structural
steel buildings (AISC 360-10), American Institute of Steel Construction, Chicago.
Canela, G.G.,(2010), Nonlinear seismic analysis of industrial steel structures with
Irregularities, Ph.D. Thesis, Universitat Politecnic da Catalunya.
Chen W, Lui E. (1991) Stability design of steel frames. Boca Raton: CRC Press.
Chen W, Toma S. (1994) Advanced analysis of steel frames: theory, software and
applications. Boca Raton: CRC Press.
Comité Européen de Normalisation (CEN), (2005). Eurocode 3: Design of steel
structures, Part 1-1: General rules and rules for buildings (EN 1993-1-1).
Brussels.
Lemessurier, WM.J.,(1976) A practical method of second order analysis Part 1 – Pin
Jointed Systems, Engineering Journal /AISC, Second Quarter, 89-96.
Lemessurier, WM.J.,(1977) A practical method of second order analysis Part 2 – Rigid
Frames, Engineering Journal /AISC, Second Quarter, 49-67.
Lui, E.M., Chen, W.F., (1984) Simplified approach to the analysis and design of
columns with imperfections. Engineering Journal /AISC, Second Quarter, 99117.
Geschwindner, L. F., (2002) A Practical Look at Frame Analysis, Stability and
Leaning Columns, 2000 T. R. Higgins Award Paper, AISC Engineerinfg
Journal.
Silvestre,N., Camotin, D., (2007) Elastic Buckling and Second-order Behavior of
pitched-roof steel frames. Journal of Constructional Steel Research, (63) 804-818.
Statler, D.E., Ziemian, R.D., Robertson, L.E., (2011) The Natural Period as indicator
of second-order effects, Proceedings of the Annual Stability Conference
Structural Stability Research Council Pittsburgh, Pennsylvani.