UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO POLITÉCNICO
Graduação em Engenharia Mecânica
Disciplinas:
Mecânica dos Materiais 2 – 6º Período
E
Dinâmica e Projeto de Máquinas 2-10º Período
Professor: Dr. Damiano da Silva Militão.
Tema de aula 5: Flambagem de Colunas
OBJETIVOS:
•
•
Determinar carga axial crítica para flambagem de colunas ideais e reais.
Discutir métodos para projetar colunas com cargas concêntricas e excêntricas.
SEQUÊNCIA DE ABORDAGENS:
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5.1 Carga Crítica em Coluna Ideal com Apoios de Pino
5.2 Colunas com Vários Tipos de Apoio
5.3 Fórmula da Secante
5.4 Flambagem inelástica , Projetos concêntricos e excêntricos (Curiosidade)
“Não é conhecer muito, mas o que é útil, que torna um homem sábio.”
THOMAS FULLER, M.D.
5.1 Carga Crítica em Coluna Ideal com Apoios de Pino
Elementos compridos e esbeltos, submetidos à uma carga axial crítica de compressão Pcr ,
estarão em equilíbrio instável, sujeitos à Flambar, e podem falhar subitamente;
Definição de Pcr para uma coluna apoiada em pino;
Em uma coluna ideal (homogênea, carga no centróide,linear elástica,
fletindo em plano único), P aumentaria até escoar longitudinalmente,
Se atingido um Pcr ; com qq pequena F lateral ela fletirá,
retirando F ela ficará fletida, se ela retornar é pq P<Pcr;
A estabilidade depende de M e da deflexão v na seção;
Sabemos que
(se elástica com pequeno v)
e aqui
logo
(E.D. homog. 2º ordem coef. ctes)
Sol. Geral:
Se
Se
C.C:
(sol. trivial, coluna reta)
->
,
ou
(Carga de Euler)
(p/ elástica com pequeno v)
Pcr será primeira e menor carga (quando n=1);
Neste estado teremos;
(veja que; vmáx = C1 em x=L/2 )
Conclusões;
-Pcr aumenta se L diminui ou I aumenta (seção transv. longe do eixo centroidal)
-Flambagem ocorre no eixo da seção transversal de menor I. Ex:
-Logo sessões circulares e quadradas são ótimos
.
è conveniente expressar
então:
,
(A= área da seção, r = raio de giração da área)
Logo:
Resumindo:
O denominador (L/r) é denominado índice de esbeltez (mede flexibilidade e classifica como
comprida, curta ou média) (veremos melhor à frente).
Gráfico tensão crítica x índice de esbeltez;
Ex:
(Substituindo (σE)aço =36ksi em σcr na fórmula,
obtemos o menor índice de esbeltez admíssivel > 89.
Para L/r > 89, estamos na região elástica, e podemos
usar a fórmula de Euler para obter Pcr de flambagem.
Exemplo: Uma coluna construída com perfil W8 X 31 de aço A-36, deve ser usado como representado.
Determinar a maior carga axial que ela suportará antes que a flambagem se inicie ou o aço escoe sabendo que seu comprimento é de 12 pés.
Sol:
Observando a tabela do Apêndice B temos:
Logo a flambagem ocorre em y-y (menor I).
Aplicando a fórmula de Euller vemos qual deveria ser a carga crítica para as dimensões dadas;
Esta carga daria uma tensão média de;
Tensão está acima do
do aço (tabela),
Então limitamos a carga pelo escoamento na compressão e não pela flambagem na
fórmula de Euller (que valeria apenas na região elástica ultrapassada);
Obs: Poderíamos obter σcr por
com o raio de giração r=2,02pol(tabela), confira!
Fazer: A alavanca de Aço A-36 é usada para operar uma prensa simples que comprime latas.
Determinar o menor diâmetro d da haste BC, com aproximação de 1/8 pol, que pode ser usado se a
força máxima P aplicada à alavanca é P = 60 lb. A haste está presa por pino nas extremidades.
5.2 Colunas com Vários Tipos de Apoio
Vimos, na fórmula de Euler para 2 apoios de pino, que o comprimento total da viga (L) representava a
distância entre os pinos (pts onde o Momento fletor é nulo).
Para usar Euler em outros tipos de apoio, basta determinar o comprimento efetivo (Le) entre os pts
de Momento fletor nulo (vimos no tema
4 que eles ocorrem nos pts de inflexão).
Veja;
Logo;
Mas usa-se um fator de comprimento
efetivo (k);
Veja;
Então;
e
Aqui
é o índice de esbeltez efetivo.
Exemplo: A coluna de tubo de aço A-36 com 12 pés de altura tem diâmetro externo de 3 pol e
espessura de 0,25 pol. Determinar a carga crítica supondo que a extremidade inferior esteja
engastada e a superior seja presa por pino.
Sol:
As propriedades da seção são;
A fórmula de Euler para apoio pino/engaste será;
onde k=0.7.
Obtemos a tensão:
que não extrapola a tensão de escoamento 36kip do aço A-36.
Portanto a análise por Euler é valida e Pcr=58kip.
Fazer: O piso é suportado pelas duas colunas quadradas de 40 mm de lado. A coluna AB está presa por
pino em A e engastada em B, enquanto CD está presa por pino em C e D. Supondo que o piso esteja
impedido de se movimentar para os lados, determinar a carga mais pesada que pode ser aplicada
sobre ele sem provocar flambagem das colunas. O centro de gravidade da carga está localizado em d =
2 m. Ambas as colunas são feitas de abeto Douglas.
5.3 Fórmula da Secante
Euler pressupôs P aplicada no centróide, e coluna mantendo-se reta até flambar em Pcr.
Mas na realidade flambagem inicia ao aplicar P (como se P fosse aplicada ‘e’ excêntrica).
Considerando; A e B em pinos, elástica e deflexões pequenas. Analisaremos como em 5.1;
Temos;
Portanto;
(Eq. Dif. ñ Homogênea)
Sol. Geral;
as C.C fornecem as ctes;
;
Fazemos as subst. trig.;
,e
->
Assim escrevemos a equação da deflexão;
vmáx ocorre no centro,
, então reescrevemos;
Atenção: quando não há excentricidade
(e=0), e sec. tende para infinito, obtemos
a carga axial no centróide P=Pcr;
;
(novamente Euler
se e=0)
FÓRMULA DA SECANTE:
È sabido que σmáx na seção (fig. (b)) é dada por;
Vemos na fig. (b) que
Lançando M e vmáx (com I=r2A), na fórmula da tensão normal máx. acima, temos a FÓRMULA DA
SECANTE;
RESUMINDO;
Graficamente relacionamos
X
(esbeltez relativa)
(tensão média)
Para diferentes razões de excentricidade;
Note que;
• Se ‘e’=0 , temos a curva de Euler (P/A=Pcr/A)
• Estamos na reg. Elástica->gráfico não ultrapassa σE=36ksi.
• ‘e’ tem efeito mais marcante para esbeltez menor.
• Mais esbeltos falham próximo à Euler, qq que seja ‘e’.
Concluindo para projetar;
1º determinamos
, e a σmáx admissível (σE) da coluna.
2º estimamos PE através de P/A por tentativas na fórmula ou no gráfico
Atenção; PE=Pcr apenas se e=0 (Euler), caso contrário (carga excêntrica)
teremos PE<Pcr.
Exemplo para aço A-36
Exemplo: O elemento de aço A-36, perfil W14 X 30, usado como uma coluna
de 20 pés engastada na base e no topo. Determine a carga excêntrica
máxima P de modo que ela não sofra flambagem nem escoe. Comparar esse
valor com uma carga axial crítica P‘ aplicada através do centroide da coluna.
Sol:
As propriedades da seção são tabeladas;
A fórmula de Euler estima a carga crítica quando e=0; (flambagem neste caso
ocorre em y-y (menor I obtido))
(engaste/engaste)
Euler só vale na região elástica, vamos ver se P’ atinge a tensão de escoamento;
(Limite extrapolado (> 36ksi))
Então limitamos P’ pela tensão de escoamento;
Considerando a carga excêntrica como mostrada, flamba em x-x, vamos buscar P que admita σmáx=
σE=36ksi através da fórmula da secante, ;
(limitamos por esta
carga excêntrica )
Resolvendo por tentativa e erro;
Fazer: O elemento de aço A-36, perfil W14 X 30, usado como uma coluna
de 20 pés livre em cima e engastada na base. Determinar a carga excêntrica
máxima P de modo que ela não sofra flambagem nem escoe. Comparar esse
valor com uma carga axial crítica P‘ aplicada através do centroide da coluna.
5.4 Flambagem inelástica , Projetos concêntricos e excêntricos (Curiosidade)
Flambagem inelástica:
Vimos que colunas longas (esbeltez > (KL/r)lp ) flambam com tensão elástica abaixo de σE (=σlp)(usamos Euler)
Colunas intermediárias ou curtas (esbeltez<(KL/r)lp) escoam plasticamente com tensão σD acima de σE (=σlp)
(usamos algum Euler “modificado”);
Engessener
EX: Engessener (ou módulo da tangente) -> -> ->
Supõe que Et é inclinação
no pt D do diag. σ-ε;
Projetos concêntricos:
Usam normas de associações com fórmulas e fatores
de segurança de acordo
com o índice de esbeltez,
Ex: Col. Alumínio (2014T6)
(Aluminum Association),
Projetos excêntricos: (existem vários modelos)
O + simples é conservadoramente
supor toda a seção submetida à σmax ,
e analisar se
(σadm do
projeto concêntrico anterior).
Aumentar ‘A’ até satisfazer desigualdade.
– Bibliografia:
– R. C. Hibbeler – Resistência dos materiais – 5º Edição.
MUITO OBRIGADO PELA ATENÇÃO!