16 - Séries Temporais: Processos MA e Processos AR
Estacionariedade
Um processo estocástico yt é dito estacionário de 2a. ordem
se
Ergodicidade
Ergodicidade na média
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Ergodicidade de 2a. ordem
Função de Autocorrelação (FAC)
Representa uma medida de associação linear entre o processo e
o seu passado, ou seja, uma medida da “memória” do processo.
Formalmente
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A FAC de um processo estocástico é como se fosse uma
“marca registrada” deste processo.
Processos de uma mesma “família” geram FAC’s do mesmo
tipo.
Portanto, a FAC pode ser utilizada como um procedimento
para identificar o processo estocástico que gera uma série
temporal.
Propriedades da FAC
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A FAC estimada a partir de uma realização do processo
estocástico (série temporal) é
Função de Autocorrelação Parcial (FACP)
Complementa a idéia da FAC.
A FACP é a correlação entre duas observações seriais yt e yt-k ,
eliminando-se a dependência dos termos intermediários.
Formalmente
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A FACP de ordem k estimada a partir de uma realização do
processo estocástico (série temporal) é o valor estimado do
coeficiente a(k) na regressão
O Ruído Branco
Um processo estocástico é chamado de ruído
branco se
Em geral, considera-se também que
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O processo é chamado de ruído branco Gaussiano se
Exemplo: Uma realização (série temporal) de um processo
estocástico do tipo ruído branco Gaussiano com variância
1.
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Qual a FAC de um ruído branco?
7
Qual a FACP de um ruído branco?
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O Processo Média Móvel (MA)
Um processo estocástico {yt} é chamado de processo média
móvel de ordem q, MA(q), se para cada instante de tempo t,
yt segue a equação
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Exemplo: uma realização de um processo MA(1) com
100 observações
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O Processo MA(1)
O processo MA(1) e definido por
Algumas questões importantes
• Quais são as condições necessárias e suficientes para
estacionariedade de um processo MA(1)?
• Qual a média de yt ?
• Qual a variância de yt ?
• E a FAC e FACP?
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Qual a condição de estacionariedade de um processo MA(1)?
• Todo processo MA(1) é estacionário!
• Qual a média de um processo MA(1)?
• Qual a variância?
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• Qual a FAC de um processo MA(1)?
• E a FACP?
Um processo MA pode ser escrito como um somatório
infinito de valores defasados de yt .
Desta forma, a FACP de um processo MA(1) terá a forma da
FACP de um processo auto-regressivo de ordem infinita.
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O Processo Auto-Regressivo
Um processo estocástico {yt } é chamado de processo autoregressivo de ordem p, AR(p),se para cada instante de tempo t,
yt segue a equação
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Exemplo: uma realização de um processo AR(1)
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O processo AR(1) é definido por
Algumas questões importantes
• Quais são as condições necessárias e suficientes para
estacionariedade de um processo AR(1)?
• Qual a média de yt ?
• Qual a variância de yt ?
• E a FAC e FACP?
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• Qual a condição de estacionariedade de um processo AR(1)?
• Um processo AR(1) pode ser escrito da seguinte forma
onde y0 é um valor inicial.
Portanto, para um processo AR(1) ser estacionário
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• Qual a média de um processo AR(1)?
• Se o processo for estacionário
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• Qual a variância do processo AR(1)?
•A variância de um processo AR(1) é dada por
• Qual a FAC de um processo AR(1)?
• A FAC de um processo AR(1) decai exponencialmente.
• A autocorrelação de k-ésima ordem é dada por
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• Qual a FACP do processo AR(1)?
• Pela própria definição, para um processo AR(1) a FACP é dada
por
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