COLÉGIO DE APLICAÇÃO – UFRJ
Portal Professor /Cônicas - Hipérbole - 2009
SETOR CURRICULAR DE MATEMÁTICA
www.cap.ufrj.br/matematica
Cônicas - Hipérbole
Sejam um plano e dois pontos distintos e fixos F1 e F2 nesse plano.
Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja diferença, em módulo, das distâncias a dois
pontos fixos desse plano é constante, isto é, qualquer ponto P do plano que satisfaz à condição
F1P − PF2 = k , pertence à hipérbole.
.
Elementos da Hipérbole:
Observe os elementos da hipérbole na figura abaixo:
•
F1 , F2 : focos
•
d (F1, F2) : distância focal : 2c
•
C: centro (ponto médio de FF
)
1 2
•
A1, A2, B1, B2: vértices
•
A1A 2 :
eixo real : 2a
(contém o centro)
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B1B 2
•
:
(é perpendicular a A1A 2 no centro, ou seja, A1A 2 iB1B2 = 0 )
eixo imaginário : 2b
c
a
r, s: retas chamadas de assíntotas
•
e : excentricidade:
•
e =
Observações:
1) Percebe-se, observando o gráfico, que d (F1, F2) > d (A1, A2), isto é, F1F2 > A1A2 , portanto,
2c > 2a.
Então, temos: c > a. Donde se conclui que e =
c
> 1.
a
Acesse, Atividade 1: Cônicas – Hipérbole – Excentricidade
2) Como A1 e A2 são pontos da elipse e A1 A2 = 2a , então se o ponto P estiver no vértice A1 ou A2 , temos
PF1 − PF2 = A1F1 − A1F2 =2a . Logo, como a distância é constante, temos que para um ponto qualquer
PF1 − PF2 =2a .
pertencente à hipérbole valerá
Dedução da equação da hipérbole com centro em (0,0):
1O caso: Eixo real coincide com o eixo Ox
Considere P = (x, y), F1 = (-c, 0) e F2 = (c, 0).
PF1 - PF2 = 2a
PF1 = ( -c -x , -y )
PF2 = ( c – x, -y
e
x2 +2xc + c2 + y2 -
c2 - 2xc + x2 + y2 = 2a
x2 +2xc + c2 + y2 = 2a +
(
x2 +2xc + c2 + y2
)
)
2
=
c2 - 2xc + x2 + y2
(2a
c2 - 2xc + x2 + y2
+
)
2
x2 +2xc + c2 + y2 = 4a2 + 4a c2 - 2xc + x2 + y2 + c2 - 2xc + x2 + y2
4a c2 - 2xc+ x2 + y2 = x 2 +2xc + c 2 + y/ 2 -4a2 - c 2 +2xc - x 2 - y 2
4a c2 - 2xc+ x2 + y2 = 4cx - 4a2
Dividindo este resultado por 4, temos:
(a
a2
) = (cx - a )
2
c2 - 2xc + x2 + y2
(c
2
- 2xc + x2 + y2
)
2
2
= c2 x 2 − 2ca2x + a4
a2c2 – 2a2cx + a2x2 + a2y2 = a4 – 2a2cx + c2x2
a2x2 - c2x2 + a2y2 = a4 - a2c2
(a
2
– c2
)
(
x2 + a2y2 = a2 a2 – c2
Como, c = a
2
2
+ b , então b
2
Daí, − b2x2 + a2y2 =
2
− a2b2
)
= c2 – a2.
(
)
Dividindo ambos os membro por − a2b2 , obtemos:
2
2
x
a2
−
y
b2
= 1
x2
a2
−
y2
b2
= 1
Equação reduzida da hipérbole de centro C = ( 0, 0 ) e eixo real sobre o eixo Ox.
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2o caso: Eixo real coincide com o eixo Oy
Por analogia, encontraremos:
y2
a2
−
x2
b2
= 1
Equação reduzida da hipérbole de centro
C = ( 0, 0 ) e eixo real sobre o eixo Oy.
Exercício 1: Encontre, utilizando a Atividade 2: Cônicas – Hipérbole como auxílio, A1, A2, B1, B2, F1, F2 e a
x2
y2
equação das assíntotas da hipérbole de equação
−
= 1.
9
4
Resp: A1 = ( 3, 0 ), A2 = ( -3, 0 ), B1 = ( 0, 2 ), B2 = ( 0, -2 ),
13
2x
−2x
F1 = 13, 0 , F2 = − 13, 0 , e=
, r:y=
, s:y=
3
3
3
(
)
Dedução da equação da hipérbole com centro fora da origem:
1o caso: Eixo maior paralelo ao eixo Ox
Considere C=(x0, y0).
F2P − F1P
Como
= 2a , então:
F2 P =
x −

(x
F1 P
x −

(x
=
0
0
+ c )  2 + ( y − y0 )2
− c )  2 + ( y − y0 )2
Chamaremos de z = x – xo
z 2 − 2 zc + c 2 + w 2 −
e
e de
w = y – yo.
z 2 + 2 zc + c 2 + w 2 = ± 2a
z 2 − 2 zc + c 2 + w 2 = ± 2a +
z 2 − 2 zc + c 2 + w 2 = 4a2 ± 4a
z 2 + 2 zc + c 2 + w 2
z 2 + 2 zc + c 2 + w 2 + z 2 + 2zc + c 2 + w 2
Simplificando e dividindo por 4 , temos:
±a
z 2 + 2 zc + c 2 + w 2 = – zc – a2.
Elevando ao quadrado,
a2z2 + 2a2zc+ a2c2+a2w2 = z2c2+2a2zc+ a4
(
)
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Simplificando,
a4 – a2c2 = a2z2 + a2w2 – c2z2 →
a2( a2 – c2 ) = z2( a2 – c2 ) + a2w2
Como c2 = a2 + b2 , então - b2 = a2 - c2. Logo, - b2a2 = a2w2 - z2b2 : (- a2b2 )
Tem-se:
z2
w2
− 2 =1
2
a
b
→
(x − x0 )2
(y − y0 )2
−
= 1.
2
a
b2
(x − x0 )2
(y − y0 )2
−
=1
2
a
b2
Equação da hipérbole de centro em (x0, y0) e eixo real paralelo a Ox
2o caso: Eixo real paralelo ao eixo Oy
Analogamente, temos:
(y − y0 )2
(x − x0 )2
−
=1
a2
b2
Equação da hipérbole de centro em (x0, y0) e eixo real paralelo a OY
Exercício 2: Encontre, utilizando a Atividade 2: Cônicas – Hipérbole como auxílio, A1, A2, B1, B2, F1, F2 e a
equação das assíntotas da hipérbole de equação 9x2 – 4y2 - 54x + 8y + 113 = 0.
Resp: A1 = ( 3, 4 ), A2 = ( 3, -2 ), B1 = ( 5, 1 ), B2 = ( 1, 1 ),
13
F1 = ( 3, 1 + 13 ), F2 = ( 3, 1 - 13 ), e =
,
3
3x 7
−3x 11
r: y =
− , s: y =
+ .
2 2
2
2