Qui-quadrado
de
Aderência
(a uma determinada
distribuição)
Prof. Ivan Balducci
FOSJC / Unesp
Teste Qui-quadrado
(1900 por Karl Pearson)
A estatística do teste é:
2
(O  E ) 2

E
O = freqüência observada em cada categoria
E = freqüência esperada em cada categoria
Aplicações do Qui-quadrado
• Comparar resultados experimentais com
resultados esperados para determinar:
(1) Aderência à uma distribuição conhecida
(2) Independência entre 2 variáveis
ADERÊNCIA
Um teste Qui-quadrado de aderência
é usado para testar se uma
distribuição de freqüência observada
se ajusta a uma distribuição
específica.
ADERÊNCIA
Qui-quadrado de aderência
1)a uma distribuição uniforme;
2)sob determinada proporção
e etc…
Qui-quadrado de aderência
a uma distribuição uniforme.
exº: na Biblioteca da FOSJC, o nº de livros
emprestados é o mesmo entre os dias da
semana?
Ho: os dias da semana
são todos iguais quanto ao número de livros retirados
dias
2ª
3ª
4ª
5ª
6ª
Total
O:
20
30
40
100
110
300
E:
60
60
60
60
60
Temos de calcular o valor de
2
χ
A estatística do teste é:
2
(O  E ) 2

E
O = freqüência observada em cada categoria
E = freqüência esperada em cada categoria
Qui-quadrado de aderência
sob determinada proporção
A teoria mendeliana (Gregor Mendel) diz que
o número de ervilhas de cada tipo de classificação
- lisa e amarela, rugosa e amarela, lisa e verde e rugosa e verde –
mantém entre si a relação 9:3:3:1.
Suponha que 100 ervilhas sejam classificadas,
de acordo com
esta ordenação em 56, 19, 17 e 8, respectivamente,
para cada classe.
Estes dados discordam da teoria de Mendell?
Temos de calcular o valor de
2
χ
A estatística do teste é:
2
(O  E ) 2

E
O = freqüência observada em cada categoria
E = freqüência esperada em cada categoria
Procedimento geral:
1. Suponha haver n observações.
2. Cada observação cai em uma célula (ou classe).
3. Freqüências observadas em cada célula: O1, O2, O3, … , Ok.
A Soma das freqüências observadas é n.
O1  O2  O3    Ok  n
4. Freqüência esperada, ou teórica, : E1, E2, E3, . . . , Ek.
E1  E2  E3    Ek  n
Notação:
k categorias
Frequênc. Observada
Frequênc. Esperada
1ª
O1
E1
2ª
O2
E2
3ª
O3
E3
kª
Ok
Ek
Objetivo:
1. Comparar as freqüências observadas com as
esperadas.
2. Decidir se a freqüências observadas parecem
concordar ou discordar das freqüências esperadas.
Metodologia:
2
(
O

E
)
2

* 
Use a estatística qui-quadrado:
E
all cells
Pequenos valores de 2: Observadas próximas das
esperadas.
Grandes calores de 2: Observadas não concordam
com as Esperadas.
Teste Qui-quadrado de Aderência
exº: uma organização de serviço social supõe
que 50% de todos os casamentos corresponde
ao 1º casamento para os noivos; que 12% dos
casamentos corresponde ao 1º casamento para
a noiva; a 14% para o noivo apenas e 24%
representa um novo casamento (mais um) para
ambos.
1º Casamento
Noiva e Noivo
Só a Noiva
Só o Noivo
Nenhum
%
50
12
14
24
Teste Qui-quadrado de Aderência
1º Casamento
Noiva e Noivo
Só a Noiva
Só o Noivo
Nenhum
%
50
12
14
24
H0: a distribuição de casamentos pela 1ª vez é 50% para ambos
noiva e noivo, e 12% só para a noiva, 14% só para o noivo; 24%
são novos casamentos (mais um) para ambos.
H1: A distribuição do casamento 1ª vez difere da distribuição
suposta.
Teste de Aderência
Frequência Observada, O é a freqüência da categoria
obtida na amostra.
Frequência Esperada, E é a freqüência calculada
para a categoria usando a distribuição especificada.
Ei=npi
Em um levantamento de 103 casais, encontre o
E = número esperado em cada categoria.
1º Casamento
Noivo e Noiva
Só p/ Noiva
Só p/ Noivo
Nenhum
%
50
12
14
24
E = np
103(.50) = 51.50
103(.12) = 12.36
103(.14) = 14.42
103(.24) = 24.72
Uma organização de serviço social supõe que
50% de todos os casamentos são o 1º
 casamento para os noivos;
12% são o 1º para a noiva,
14% para o noivo apenas e 24% um novo matrimonio para ambos.
 0.01
Os resultados de um estudo de 103 casamentos selecionados aleatoriamente
são listados na tabela.
1º Casamento
O
Noiva e Noivo
Só a Noiva
O Noivo apenas
Nenhum
55
12
12
24
soma = 103 casamentos
Teste a distribuição admitida pela agência.
1º Casamento
O
Noiva e Noivo
Só a Noiva
O Noivo apenas
Nenhum
55
12
12
24
1. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa
H0: A distribuição do 1º casamento é 50% para o noivo e para a
noiva, 12% só para a noiva, 14% para o noivo apenas. 24% são
novos casamentos para ambos.
Ha: A distribuição de casamentos pela 1ª vez difere da
distribuição suposta.
2. Estabeleça o nível de significância:
alfa = 1% = 0,01
3. Determine a Distribuição por amostragem
4. Calcule o valor crítico
0
11.34
2
5. Calcule a região de rejeição
A distribuição qui-quadrado com 4 - 1 = 3 gl
2
(
O

E
)
2  
E
6. Calcule a estatística do teste
%
50
Noiva e Noivo
12
Noiva apenas
14
Noivo apenas
Nenhum
24
Total 100
O
55
12
12
24
103
E
51.5
12.36
14.42
24.72
103
(O-E)2
12.25
0.1296
5.8564
0.5184
(O - E) 2/E
0.2379
0.0105
0.4061
0.0210
0.6755
 2  0.6755
0
11.34
2
7. Apresente a sua decisão
O teste estatístico 0.6755 não cai na região de rejeição,
assim falha em rejeitar H0.
8. Interprete sua decisão
A distribuição observada adere à
distribuição especificada para
casamentos pela 1ª vez.
1º Casamento
O
Noiva e Noivo
Só a Noiva
O Noivo apenas
Nenhum
55
12
12
24
Não foi possível rejeitar a hipótese Ho:
H0: A distribuição do 1º casamento é 50% para o noivo e para a
noiva, 12% só para a noiva, 14% para o noivo apenas. 24% são
novos casamentos para ambos.
“a distribuição observada adere
à distribuição especificada para casamentos pela 1ª vez”
Termos que devem ser familiares
Qui-quadrado
graus de liberdade
frequência esperada
frequência observada
Aderência