SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CALCULAR MEDIDAS INACESSÍVEIS TENDO O
TEODOLITO MANUAL COMO INSTRUMENTO MEDIADOR
EDUARDO BORGES
Artigo Final / PDE 2012
Trabalho referente ao Artigo Final
produzido como resultado do estudo
apresentado a SEED – Secretaria de
Estado da Educação / PDE – Programa
de Desenvolvimento Educacional no
ano de 2013, Núcleo Regional de
Cianorte.
Orientação: Dra. Marcia Maioli
MARINGÁ
2013
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“CALCULAR MEDIDAS INACESSÍVEIS TENDO O TEODOLITO MANUAL COMO
INSTRUMENTO MEDIADOR”
Eduardo Borges
RESUMO: O presente artigo objetiva relatar uma intervenção pedagógica realizada
com alunos no 9º ano do ensino fundamental, onde se utilizou medidas inacessíveis
para aprofundar a compreensão de relações trigonométricas, como o teorema de
Pitágoras e a tangente, tendo um teodolito manual como instrumento mediador
construído pelos próprios estudantes sob a orientação do professor. Dentre as
metodologias utilizadas na intervenção destacam-se: discussões sobre a história do
teorema de Pitágoras, uma demonstração do teorema, verificação experimental da
relação tangente no triângulo retângulo, construção do aparelho de medir ângulos na
vertical (teodolito manual), aferição do ângulo de visão, em relação à horizontal, do
topo de uma antena de celular, realização de esboços, bem como os cálculos
concernentes. As ações que permearam todo o trabalho intencionaram avanços no
processo ensino e aprendizagem, por meio do cálculo de medidas inacessíveis,
utilizando-se de instrumentos, como a elaboração de materiais manipuláveis. Pôdese verificar que houve avanços no processo ensino e aprendizagem, refletidos no
número de acertos nas atividades propostas, como avaliação escrita e respostas aos
questionamentos mediados pelo professor em sala de aula.
PALAVRAS CHAVE: Teorema de Pitágoras, Ensino e Aprendizagem de
Matemática, Teodolito Manual.
1. INTRODUÇÃO
A utilização de materiais e situações concretas é um recurso que oferece aos
estudantes a possibilidade de ampliar e desenvolver novos conhecimentos. A
construção do teodolito manual (aparelho utilizado para medir ângulos na vertical) e
a utilização do mesmo oportuniza ao estudante estimar medidas de alturas em
diversas situações.
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As atividades aqui relatadas foram elaboradas por um professor participante do
programa de formação do estado do Paraná, denominado Programa de
Desenvolvimento Educacional (PDE) e desenvolvidas em sala de aula com alunos
de uma turma do 9º ano do Ensino Fundamental de uma escola pública. Tais
atividades propuseram-se a apresentar instrumentos atrelados a procedimentos no
processo ensino e aprendizagem, buscando a participação dos estudantes.
Entendendo a relevância da história da matemática para a compreensão do objeto
matemático em um contexto que busca constantemente avanços na educação e na
cultura como um todo, é viável que esta compreensão histórica se configure como
um dos instrumentos motivadores da aprendizagem do aluno. Nesse sentido, o que
“[...] pode ajudar o professor no processo de construção do conhecimento é a
historicidade do objeto em estudo”. (VASCONCELLOS, 2002, p.110). Deste ponto
de vista, é profícuo que o estudante perceba que os conteúdos não estão sendo
apresentados de forma pronta e acabada, mas se apresentam em constante
movimento.
Com a apresentação da provável história do conteúdo e após realizada a
demonstração do Teorema de Pitágoras, foi apresentado aos estudantes a questão:
Qual é a altura da torre de celular próximo da escola?
A esse respeito, Andrade e Nogueira, 2005, alegam que: “Ao escolher a Resolução
de Problemas como estratégias de trabalho em sala de aula, é preciso ficar claro
que os conceitos, as ideias e os métodos não são dados pelo professor, mas
abordados mediante a exploração de problemas” (ANDRADE E NOGUEIRA, 2005,
p. 43).
Para responder a questão acima citada, o estudante construiu e utilizou um
instrumento que lhe favoreceu o cálculo, sendo instigado a responder inicialmente
por tentativas, ou seja, pela simples visualização da torre, já que neste momento,
esteve em frente à mesma. Após a visualização e realização de tentativas de
estimar a medida da altura da torre, cada estudante aferiu o ângulo do topo da
mesma (ponto mais alto da torre).
Paralelo às ações realizadas com os estudantes, foram desenvolvidas atividades
com um grupo de 14 professores em rede, denominado de Grupo de Trabalho em
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Rede (GTR-2012). Tal processo se iniciou pelas inscrições dos professores da rede
estadual de ensino do Paraná, para o curso, optando por um dos vários temas
propostos pelo PDE 2012. As atividades se desenvolveram intencionando, entre
outros aspectos, a participação, a interação, a discussão e análises de outros
professores, no sentido de disseminar os trabalhos dos professores PDEs que
estavam realizando a intervenção pedagógica com os estudantes nas escolas. Entre
os principais pontos discutidos pelos cursistas e professor tutor, destaca-se a
construção do projeto, o embasamento teórico, a própria intervenção pedagógica, as
dificuldades e possíveis avanços no processo ensino e aprendizagem.
2. DESENVOLVIMENTO
Como participante PDE em 2012, os estudos, análises, debates, produção do
material didático, intencionaram a apropriação de novos conhecimentos no processo
ensino e aprendizagem e em especial, na intervenção pedagógica junto aos
estudantes do 9º ano do Colégio Estadual Primo Manfrinato.
Pais (1996), afirma que, para a construção do conhecimento teórico geométrico,
torna-se necessário tanto o recurso às bases intuitivas, quanto aquele dirigido à
atividade experimental, ou seja, ao estudante deve ser proporcionado instrumentos,
que considere a correlação entre o particular e o geral, entre o concreto e o abstrato,
envolvida na representação conceitual, para que facilite a aprendizagem.
As atividades desenvolvidas referentes à intervenção pedagógica se iniciaram na
primeira semana do ano letivo 2013, com a apresentação do projeto e do material
didático para a comunidade escolar. No primeiro dia letivo, foi apresentado aos
alunos, o projeto e o material didático, sendo que num primeiro momento os
estudantes demonstraram-se apreensivos quanto à realização de todas as
atividades que lhes foram propostas, porém, o professor, na medida em que
realizaram os questionamentos, esclareceu as dúvidas, tranquilizando a turma.
Deu-se início ao desenvolvimento das atividades, com a disponibilização do material
para cada estudante, de maneira que cada um recebeu somente a atividade a ser
trabalhada na respectiva aula, no sentido de que o mesmo recebesse os conteúdos
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propostos pausadamente, a fim de possibilitar uma análise minuciosa e criteriosa
referente a cada ação e em cada atividade.
As ações foram propostas no intuito de que o estudante fizesse parte do cenário em
que estaria composto cada atividade, como exemplo, o cálculo da altura da
cobertura da quadra, do poste de iluminação, das dimensões da quadra descoberta,
da altura da antena de celular próximo da escola, ou seja, utilizou-se objetos que
fazem parte do contexto no qual está inserido. Neste sentido, Pais (1996), enfatiza
que, nesse processo, o aluno recorreria ao que lhes estivesse mais próximo e
disponível, entrando em cena as representações por objetos, desenhos e imagens
mentais.
Destaca-se que concomitante às ações realizadas com os estudantes, no mesmo
período do ano letivo, as atividades foram direcionadas e discutidas com outros
professores da rede pública por meio da plataforma moodle, como uma das
atividades do próprio PDE. Tais discussões objetivaram a participação, a interação,
a discussão e análises de outros professores, no sentido de disseminar os trabalhos
dos professores PDEs que realizavam a intervenção pedagógica com os estudantes,
nas escolas.
Portanto, se faz necessário a constante retomada de conteúdos, de maneira a
integrar o estudante no processo ensino e aprendizagem, para que este realmente
faça parte do cenário ao qual está inserido e realize as observações e inferências a
respeito das ações mais estruturadas.
Na implementação do projeto em sala de aula, observou-se que os estudantes
apresentaram várias dificuldades, entre elas com a matemática básica, visualização
geométrica, tabuada, falta de material e etc. Assim, coube ao professor realizar o
processo descrito por Vasconcelos, 2002, que é a apropriação por "aproximações
sucessivas", sendo esta realizada pela ação de rever, subsequente a cada
momento, as ações mais relevantes já realizadas.
Para melhor compreensão das ações, segue os relatos das aulas em que foram
desenvolvidos o material didático na intervenção pedagógica.
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2.1 OBSERVAÇÕES SOBRE AS ATIVIDADES REFERENTES AO TEOREMA DE
PITÁGORAS
No transcorrer da intervenção pedagógica, verificou-se abordagens interessantes
quanto à apropriação dos conteúdos em pauta. As atividades propostas tornaram
possível a realização de alguns apontamentos pelos estudantes. Essas foram
subdivididas em atividades organizadas a partir de situações práticas e experiências,
as quais possibilitaram inferências quanto à relação ensino e aprendizagem. O
desenvolvimento das atividades é descrito a seguir.
As atividades 01 à 07 abordam conteúdos de teorema de Pitágoras.
Os estudantes compreenderam que o teorema de Pitágoras não se aplica a todos os
triângulos, porque não é todo triângulo que têm ângulo reto e um lado maior.
Vários alunos conseguiram chegar à relação a² = b² + c², a partir das construções e
exposições dos triângulos retângulos. Concluíram que o terceiro lado calcula-se a
partir do teorema e construíram o triângulo retângulo com o compasso e régua. Na
oportunidade, foram exploradas as quatro operações e a radiciação.
A partir da análise da planta baixa da quadra da escola, alguns alunos concluíram
que com o teorema de Pitágoras é possível calcular e comprovar as medidas que
nela constam. Os cálculos realizados a partir do desenho, foram aferidos na prática
com a utilização de trena e de materiais para anotações.
Em uma atividade referente ao cálculo da distância em uma malha quadriculada,
alguns alunos não compreenderam os espaçamentos utilizados, pois demonstraram
dificuldades de interpretação entre o desenho e o real. Outros ainda apresentaram
dificuldades, devido à falta de pré-requisitos básicos no que diz respeito a cálculos
matemáticos.
A maior dificuldade apresentada pelos estudantes foi a compreensão de que 1 metro
corresponde a 100 centímetros e a conversão destas unidades de medida. Tal
atividade exigiu a retomada de conteúdos e a constante mediação por parte do
professor para que os alunos pudessem apropriar deste conhecimento.
Diante das discussões entre os envolvidos, verificou-se que os alunos apropriaramse do conhecimento quanto ao teorema de Pitágoras. Ressalta-se que durante o
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desenvolvimento da intervenção, o professor comunicou a coordenação pedagógica
e a direção da escola sobre as dificuldades dos estudantes em conteúdos básicos
na área da matemática. De posse destas informações, juntamente com algumas
atividades desenvolvidas até o momento, alguns estudantes (os que mais
apresentaram dificuldades) foram encaminhados para aulas de apoio em
contraturno, a fim de complementar as ações do professor titular da turma e superar
as dificuldades apresentadas.
Outro aspecto a se considerar foi a ação de inserir as medidas no cenário envolvido.
Nesse momento detectou-se o problema da compreensão/interpretação quanto à
relação do enunciado do exercício e da respectiva distribuição das medidas no
desenho. Contudo, com o desenvolvimento dos trabalhos, os estudantes
visualizaram o triângulo retângulo ao final dos estudos propostos.
Com o intuito de superar as lacunas ainda existentes, foi realizada a recuperação de
estudos quanto à extração de raízes exatas, visto que estas não demandam
operações complexas e agilizam os cálculos necessários ao desenvolvimento das
atividades.
Para ilustrar todo trabalho realizado, os estudantes assistiram ao filme “O BARATO
DE PITÁGORAS”, onde puderam visualizar melhor as aplicações e possíveis
aproximações do processo ensino e aprendizagem em sala de aula.
2.2 OBSERVAÇÕES SOBRE AS ATIVIDADES REFERENTES À RELAÇÃO
TANGENTE
Quando da definição da relação tangente, por meio de uma atividade que previa a
representação de triângulos retângulos com barbantes afixados na lousa, percebeuse que os estudantes demonstraram dificuldades para compreenderem tal relação.
As dificuldades decorrem de outras relações, concentrando-se nas operações
básicas, na desmotivação por calcular e até mesmo copiar as atividades propostas.
Alguns estudantes interpretaram a relação tangente e perceberam que as razões se
repetem quando da divisão do triângulo maior (inicial), em triângulos menores,
obtidos por retas paralelas ao cateto oposto.
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Alguns estudantes perceberam que, após fixado um ângulo interno, o quociente
entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente, se mantém
constante nos diversos triângulos retângulos representados com barbantes na lousa.
A construção da representação dos triângulos utilizando materiais diferenciados
como barbante, fita adesiva, régua de 100 cm e transferidor contribuíram com a
compreensão dos conteúdos da relação tangente, pois o barbante permitiu
dinamizar a atividade, variando as medidas dos triângulos. A foto abaixo mostra os
triângulos construídos com barbante afixados na lousa.
Fonte: Arquivo pessoal: Eduardo Borges (18/10/2012)
Neste processo, destaca-se uma importante observação realizada pelos estudantes:
é possível calcular a medida de um lado ou um ângulo, conhecendo um lado e dois
ângulos (um deles é o ângulo reto).
Foi apresentada uma atividade referente ao triângulo retângulo conhecendo-se as
medidas dos catetos, os estudantes foram motivados a pensar que neste caso é
possível aplicar a relação tangente, a fim de calcular a medida do ângulo interno
desconhecido, oposto ao menor lado. Ao final, percebeu-se novamente dificuldades
com a extração da raiz quadrada não exata.
Para real compreensão dos conteúdos e a relação destes com situações práticas,
tornou-se relevante a construção do teodolito manual (aparelho de medir ângulos).
Este instrumento possibilitou a mediação e a compreensão do que é um ângulo.
Assim foi possível aferi-lo e realizar representações que proporcionassem maiores
habilidades quanto ao cálculo de medidas inacessíveis.
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2.3 OBSERVAÇÕES SOBRE A CONSTRUÇÃO DO APARELHO MANUAL DE
MEDIR ÂNGULOS - TEODOLITO MANUAL
Intencionando a construção do aparelho de medir ângulos, foi solicitado
antecipadamente que os estudantes providenciassem os materiais: cano de PVC
com 20cm, 02 metros de linha 10, cola, transferidor (meia volta), chumbada pequena
e serrinha de cortar cano.
Na aula programada, já de posse dos materiais, foi solicitado aos estudantes que
alinhassem as pontas dos canos, raspando-as no piso. Na sequência, foi realizado
quatro cortes, em forma de cruz, nas duas pontas dos canos. Nas cavidades, foram
esticadas as linhas em forma de cruz, afixando-as, com cola, ao tubo. Desta forma o
estudante pode mirar o ângulo desejado.
O próximo passo foi a raspagem do cano com a serrinha, em sua extensão e em
forma de uma linha reta, de maneira a proporcionar aderência, onde seria colado o
transferidor. No centro deste, foi realizado um pequeno orifício por onde foi colocada
a linha 10 e afixada a partir de um nó. Do orifício, mediu-se aproximadamente 12
centímetros e amarrou-se uma chumbada pequena, formando assim um pêndulo,
com o qual tornou-se possível aferir o ângulo com maior precisão. O último passo foi
a fixação do transferidor de forma perpendicular, na base do cano. A foto abaixo
mostra um dos teodolitos construídos.
Fonte: Arquivo pessoal: Eduardo Borges (18/10/2012)
Durante o processo de construção do aparelho, os estudantes demonstraram
satisfação quanto à realização das atividades, interagindo com os colegas. Esta
atividade possibilitou também o desenvolvimento do espírito de cooperação, troca de
informações e ajuda mútua.
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Com o aparelho construído, os estudantes demonstraram-se motivados para as
próximas aulas, uma vez que este seria utilizado na realização de experiências
subsequentes.
2.4 OBSERVAÇÕES SOBRE AS EXPERIÊNCIAS COM O TEODOLITO MANUAL
O processo de construção e o seu uso possibilitou não só conhecer o aparelho, mas
a sua funcionalidade. Com o teodolito manual, as experiências realizadas tornaram
possível calcular a altura: do poste de iluminação da quadra descoberta da escola,
da cobertura de outra quadra da escola e da torre de celular.
Em sala de aula, foram realizados os treinamentos, manuseios e esboços das
situações a serem analisadas.
Posteriormente, em atividades realizadas externamente à sala de aula, cada
estudante aferiu o ângulo de visão, no ponto mais alto do poste de iluminação, da
cobertura e da torre de celular, utilizando o teodolito manual. Na realização destas
atividades, apresentaram os esboços dos cenários aferidos, como por exemplo:
medidas da base (chão), medidas do ângulo de visão (ângulo de visão do ponto
mais alto) e medidas de sua própria altura (aferidas anteriormente em sala de aula).
A partir das três experiências, em uma das propostas, os estudantes deveriam
apresentar as atividades na forma de trabalho extraclasse. No retorno desta
proposição, os alunos demonstraram muito interesse na realização das atividades,
por meio de alguns questionamentos, entre eles, se seria possível, nestas
condições, utilizar a relação tangente, desenhar, colorir os desenhos (esboços) e
realizar os cálculos manuais ou com calculadora.
Na apresentação dos trabalhos, poucos estudantes não o fizeram, afirmando que
não conseguiram realizar os cálculos. Os demais alunos apresentaram as atividades
de maneira interessante, interagindo, comparando e formulando novas hipóteses.
2.5 OBSERVAÇÕES SOBRE AS ATIVIDADES AVALIATIVAS
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As avaliações foram realizadas, utilizando as situações problemas reais propostas
pelo professor PDE, sendo estas na igreja e em uma árvore, localizadas próximas
da escola. Nesse processo de avaliação, alguns apontamentos ou afirmações foram
apresentados pelos estudantes.
Quanto à avaliação realizada na igreja, com base em forma de círculo, a atividade
proposta foi calcular a distância do centro da mesma, até o meio fio, localizado na
rua adjacente. Salienta-se que, as informações dadas pelo professor foram a altura
da igreja, conforme projeto arquitetônico consultado previamente e o ângulo reto,
que se localiza no centro da igreja.
Com estas informações, alguns estudantes questionaram o professor sobre a
necessidade de medir e acrescentar a altura de quem estava aferindo as medidas.
Assim, o professor os orientou para que analisassem as medidas que tinham e a
medida procurada, para que então, pudessem realizar a atividade com êxito.
No que se refere à atividade de avaliação realizada em uma determinada árvore,
localizada na calçada do colégio, a atividade proposta foi calcular a altura da
mesma. Neste cálculo da medida da altura da árvore é viável utilizar a tangente
quando o ângulo de visão medir 45º. Sabendo-se disso, a maioria dos alunos se
movimentaram para realizar tal aferição a partir dessa afirmação.
Do pé da árvore, um dos alunos se afastou, andando na calçada e observando a
árvore, até que formasse no teodolito um ângulo de 45º. De posse deste ângulo,
concluiu que seriam iguais as medidas da altura da árvore e a medida, no chão, do
aluno até a base da mesma. Momentos após, os outros alunos compreenderam a
relação e chegaram a mesma conclusão.
Diante de diversas problematizações, uma das observações mais relevantes
destacadas pelos estudantes em todo o processo é a de que, se temos o cateto
oposto e o cateto adjacente nas questões que envolvem cálculos de medidas
desconhecidas, então é possível utilizar a tangente.
3. CONSIDERAÇÕES FINAIS
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Nesta intervenção pedagógica, pôde-se verificar que houve avanços no processo
ensino e aprendizagem, refletidos no número de acertos nas atividades propostas,
como avaliação escrita e respostas aos questionamentos mediados pelo professor
em sala de aula.
Com os cálculos realizados, os alunos foram direcionados a discutir entre si os
resultados obtidos. A realização de comparações dos resultados pelos estudantes
proporcionou abstrações e correlações entre o estimado pela visualização e os
cálculos realizados, levando-os a conclusões próprias.
Durante a intervenção pedagógica, as análises, discussões, bem como os registros
concernentes, é possível considerar que os resultados foram surpreendentes, pois
os estudantes solicitaram que os outros conteúdos a serem ministrados, também
fossem apresentados por meio de atividades práticas. A construção, o manuseio e
aplicabilidade do material produzido, possibilitou aos estudantes não só a
compreensão dos conteúdos científicos, mas as possíveis relações e correlações
destes na vida prática.
Outro aspecto interessante a ser considerado, foi os estudantes perceberem ao
término da intervenção, a possibilidade da construção de materiais práticos para os
demais conteúdos curriculares, visto que estes facilitariam a apropriação dos
conteúdos e proporcionariam a realização de atividades fora da sala de aula.
Também é relevante destacar que o presente projeto de intervenção pedagógica
possibilitou detectar dificuldades com conteúdos básicos apresentadas por alguns
alunos na resolução de cálculos. Neste caso os estudantes foram encaminhados à
equipe de coordenação pedagógica e, consequentemente, inseridos nas aulas de
apoio pedagógico, a fim de que pudessem superar as defasagens básicas.
Por fim, este trabalho cumpre o objetivo de utilizar medidas inacessíveis para
aprofundar a compreensão de relações trigonométricas como o teorema de
Pitágoras e a tangente, tendo um teodolito manual como instrumento mediador.
Evidencia, por sua vez, que a utilização de diversas metodologias de ensino, assim
como a prática do ir e vir dos conteúdos em todo momento, proporciona a efetivação
do processo ensino e aprendizagem. Vale salientar ainda, que o movimento de
pesquisa, produção, desenvolvimento, verificação, análise de resultados, possibilita
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ao professor perceber o processo cognitivo de cada estudante na compreensão do
conteúdo proposto, ou seja, se está ou não respondendo às expectativas de
aprendizagem.
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