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INVESTIGANDO ALTURAS
NA PERSPECTIVA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Danúbia M. de Oliveira
Valéria Schlottag
Maria Eugênia de Carvalho e Silva
RESUMO
Esta pesquisa, apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação
Matemática da Universidade Tuiuti do Paraná, contemplada na linha de Educação
Matemática, identificou relações didáticas estabelecidas na tríade aluno-professorconhecimento matemático como um processo de ensinar Matemática por meio da
Resolução de Problemas. Estudou-se o modo como alunos das séries iniciais do
Ensino Fundamental, resolvem problemas, estes com diversos aspectos
interdisciplinares. A pesquisa alicerça-se a duas teorias fortemente fundamentadas no
conhecimento sobre a resolução de problemas enquanto atividade matemática e
modalidade de ensino para alunos do Ensino Fundamental: a Heurística e a Resolução
de Problemas. O teórico escolhido foi: George Polya, por fundamentar a atividade
heurística da resolução de problemas sob a ótica pedagógica. Daremos sugestões de
situações problemas para que o professor possa aplicá-las em sala de aula, no processo
de aprendizagem mais significativa.
Palavras chaves: Resolução de Problemas; Aula diferenciada; Aprendizagem.
Investigating Height in problem-solving perspective
ABSTRACT
This research, presented to the Graduate Program in Education
Mathematics at the University Tuiuti contemplated in the line of Mathematics
Education, identified the relations established in the teaching triad student-teachermathematical knowledge as a process of teaching Mathematics through Problem
Solving. We studied how students from lower grades of elementary school, solve
problems, those with various interdisciplinary aspects. The research is founded on the
two theories strongly grounded in knowledge about the problem-solving as
mathematical activity and mode of education for elementary school students: the
Heuristics and Problem Solving. The theory was chosen: George Polya, for heuristic
reasons for the activity of problem solving from the perspective pedagogy. We will
give suggestions for problem situations that the teacher can apply them in the
classroom, the learning process more meaningful.
Key words: Troubleshooting a differentiated classroom; language learning.
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1.
INTRODUÇÃO
O presente trabalho tem como base, a utilização de uma das tendências em
Educação Matemática, a Resolução de Problemas, para a explanação do conteúdo do
Ensino Fundamental, pois é preciso que o aluno desenvolva o raciocínio lógico e faça
uso inteligente e eficaz dos recursos disponíveis, para que ele possa propor boas
soluções a questões que surgem em seu dia a dia, na escola ou fora dela.
Serão apresentadas situações que o professor poderá explorar em sala de aula
com seus alunos, diferentes abordagens matemáticas que o desafiam, tornando as aulas
mais dinâmicas e incentivadoras.
Pretende-se, com isso, tornar os alunos motivados para que, orientados pelo
professor, trabalhem na aventura de buscar a solução de um problema, pois quanto
mais difícil maior a satisfação em resolvê-lo.
Para melhorar, nos alunos, a capacidade de resolução de problemas, o
professor deve instigar sua criatividade, proporcionando novas estratégias e
instrumentos de análise na busca da solução de um problema matemático.
Quando se buscam estratégias para a resolução de um problema, deve-se levar
em consideração todas as informações escritas dos alunos em busca da solução, os
questionamentos em relação à interpretação do enunciado, e os conhecimentos
matemáticos que o problema proporciona.
A Resolução de Problemas, neste trabalho, será uma ferramenta no processo
de ensino–aprendizagem, apresentando aos alunos respostas à pergunta: Para que serve
isso? Como resolve isso? Para isso, busca-se uma maior aproximação do aluno com o
professor e o conhecimento matemático.
Levantam-se algumas questões em relação aos enunciados dos problemas,
como de que forma é mais interessante resolvê-los, com enunciados longos ou curtos.
Nesse caso, quando se tem enunciados longos, tem-se que instigar o interesse do
aluno, na contextualização do problema, pois um problema só é um problema quando
há interesse na busca pela solução, utilizando as vantagens e desvantagens de cada
etapa da Resolução de Problemas.
Leva-se em conta a capacidade dos alunos em interpretar perguntas, deduzir,
encontrar palavras chaves, fazer conjecturas e verificar os resultados obtidos através da
prova real, obtendo uma solução criativa e obtendo sucesso na sua resolução.
Dar-se-á ênfase a uma situação do dia a dia. Foram elaborados alguns
exemplos de problemas para que o professor, além de explorar o conteúdo matemático
em sala de aula, suscita a curiosidade e desencadeie no aluno um comportamento de
pesquisa.
2.
REFERENCIAL TEÓRICO
Conforme as Diretrizes Curriculares da Educação Básica de Matemática, os
conteúdos propostos devem ser abordados por meio de tendências metodológicas da
Educação Matemática que fundamentem a prática docente, das quais se pode destacar
a de Resolução de problemas.
George Polya (1887-1985) foi um matemático e educador que sustentava a
idéia da atividade matemática. No livro “How solve it” (Como resolvê-lo) 1954,
introduziu o termo heurístico (a arte da descoberta) para descrever a arte da resolução
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de problemas, conceito que desenvolveu em seus outros livros, como: Matemática e
Raciocínio plausível (1957) e a Descoberta Matemática (1981) Para ele, ensinar os
jovens a pensar é o maior objetivo da educação.
Mas o que é um problema matemático? Segundo Dante (1989, p.10) “é
qualquer situação que exija a maneira matemática de pensar e conhecimentos
matemáticos para solucioná-la”.
Segundo Polya
“Resolver um problema é encontrar um caminho onde nenhum outro é conhecido de
antemão, encontrar um caminho a partir de uma dificuldade, encontrar um caminho
que contorne um obstáculo, para alcançar um fim desejado, mas não alcançável
imediatamente, por meios adequados.” (1997, p.v.)
Portanto para resolver um problema é preciso encontrar os meios
desconhecidos para um fim nitidamente imaginado, mas antes de se iniciar, deve-se
reconhecer os diferentes tipos de problemas matemáticos.
Os problemas matemáticos, de maneira geral, são classificados em:
- Exercício de reconhecimento: Seu objetivo é fazer com que o aluno
reconheça, identifique ou lembre um conceito, uma definição, um teorema, uma
propriedade, etc. (NICOLAU,2007)
Exemplo: “Responda: Todo número natural tem antecessor em N?”
- Exercício de algoritmos: São exercícios que podem ser resolvidos por um
procedimento passo-a-passo, que geralmente envolvem expressões numéricas e
algébricas. (KRULIK; REYS;1997)
Exemplos: Calcule: (20+8): (3+4);
Resolva: x²+25x+5=0.
- Problemas de aplicação: O traço característico desses problemas é que seu
enunciado contém uma estratégia para resolvê-los.
Exemplo: “Num campo de futebol, a medida do comprimento tem 42 metros a
mais que a largura. Quais são essas medidas, sabendo que o perímetro do campo é de
356 metros?”
- Problemas de pesquisa aberta: São problemas em cujo enunciado não há uma
estratégia para resolvê-los, normalmente expressam-se por: “Prove que...”, “Encontre
todos...”, “Para quais é...?”, etc. (KRULIK; REYS;1997)
Exemplo: “Prove que o número 1 não é primo.”
- Problemas-padrão: Sua resolução envolve a aplicação direta de um ou mais
algoritmos anteriormente aprendidos, e não exige qualquer estratégia. De maneira
geral, não aguçam a curiosidade do aluno nem desafiam o mesmo. (NICOLAU,2007)
Exemplo: Atividades integradas de livros didáticos.
- Problemas-processo ou heurísticos: São problemas cuja solução envolve
operações que não estão contidas no enunciado. Em geral, não podem ser traduzidos
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diretamente para a linguagem matemática, nem resolvidos pela aplicação automática
de algoritmos, pois exigem do aluno um tempo para pensar e formular um plano de
ação para levá-lo à solução. (NICOLAU,2007)
Exemplo: “Qual é a soma dos coeficientes de (a+1)31? Justifique sua resposta.”
- Problemas de quebra-cabeça: São problemas em que a solução depende
quase sempre de perceber algum truque para obter a solução chave ou ainda de uma
pitada de sorte. Também são chamados de Matemática recreativa. (NICOLAU,2007)
Exemplo: Jogo Uno.
O Uno é um jogo de cartas, com 108 cartas de quatro tipos de cores diferentes
(azul, amarelo, vermelho e verde), consiste basicamente em descartar uma carta da
mesma cor ou mesmo número daquela que está na mesa, e o objetivo final é ser o
primeiro a se livrar de todas as cartas da mão.
- Problemas convencionais: São problemas que podem ser resolvidos pela
aplicação direta de um ou mais algoritmo. (NICOLAU,2007)
Exemplo: “Aumentando-se a base e a altura de uma caixa retangular em 20%,
em que porcentagem aumentará a área?”
- Problemas não convencionais: São os que envolvem a busca de uma solução
que não se resume à aplicação direta de uma ou mais técnicas operatórias, nem à
utilização imediata de uma equação. (NICOLAU,2007)
Exemplo: “Numa estrada, encontrei sete mulheres. Cada mulher tinha sete
sacos, cada saco tinha sete gatos, cada gato tinha sete gatinhos. Quantos gatinhos
encontrei na estrada?” (ANDRINI; VASCONCELLOS; 2002)
- Problemas de Lógica: São problemas que exigem do aluno raciocínio
dedutivo. (NICOLAU,2007)
Exemplo: “Figuras geométricas, chamadas de quadriláteros, correspondem a
quantos lados em geral? Justifique sua resposta.”
- Situações Problemas: São problemas em forma de projetos a serem
desenvolvidos usando conhecimentos e princípios de outras áreas, além da
Matemática. (KRULIK; REYS;1997) Além disso, são situações nas quais uma das
etapas decisivas é identificar o problema inerente a situação.
Podem-se destacar diversas estratégias de resolução de problemas, na
matemática escolar, entre elas: tentativa e erro, padrões, resolver um problema mais
simples, trabalhar em sentido inverso, simulação, etc.
Por exemplo, considere-se o seguinte problema: “ O macaco cinza é grande e
pesa duas vezes mais que o menor, que pesa 15Kg mais do que o orangotango
marrom. O Peso do orangotango marrom é 7/8 do peso do orangotango vermelho, que
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por sua vez pesa 20 Kg menos que seu tratador. Se o tratador pesa 100 Kg, quanto
pesa o macaco mais pesado?” (KRULIK; REYS; 1997)
Dentre as estratégias de resolução, escolhe-se a de Situação Problema, pois
aguça o pensar matemático dos alunos, fazendo-os à recorrer à diversas estratégias
para resolve-lo de maneira plausível.
Como sugestão de esquema de resolução de problemas, se pode utilizar o de
Polya (2006), composto por quatro fases, as quais são: (1) compreensão do problema;
(2) estabelecimento de um plano; (3) execução do plano e (4) retrospectiva.
Podem-se definir cada uma delas como:
(1) Compreensão do problema:
È a fase onde o aluno necessita ler com atenção, interpretando o enunciado da
melhor forma possível. Respondendo algumas perguntas intrínsecas referentes ao
enunciado, como: “O que se pede no problema?”, “Quais são as informações
transmitidas?”, Quais são os dados relevantes?, etc.
(2) Estabelecimento de um plano:
Esta fase consiste em relacionar os dados do problema à pergunta feita e
procurar traçar uma estratégia de desenvolvimento, para que se possa chegar à solução.
A elaboração de um bom plano depende também, de uma boa idéia.
(3) Execução do plano:
È onde o aluno deverá executar, passo a passo, o plano estabelecido
anteriormente, verificando se tudo está de acordo com o planejado.
(4) Retrospectiva:
Nesta ultima fase, o aluno verifica se o plano foi bem executado, se há
necessidade de ajustes, se a resposta está coerente, se há possibilidade de optar por
outro caminho de solução, mais prático e seguro.
3.
METODOLOGIA
Para Polya (1986), a resolução de um problema é, na verdade, um desafio e
um pouco de descobrimento, uma vez que não existe um método rígido do qual o
aluno possa sempre seguir para encontrar a solução de uma situação-problema. Em seu
livro “A Arte de Resolver Problemas”, Polya diz que
... uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma
pitada de descoberta na resolução de qualquer problema. O problema pode
ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades
inventivas, quem o resolver por seus próprios meios, experimentará a tensão
e gozará o triunfo da descoberta. (2006, p.v.)
O processo de resolução de um problema não se limita em seguir passo a
passo as instruções, como se fosse um algoritmo. De um modo geral, as instruções
ajudam os alunos a se orientarem durante o processo de resolução.
Quando os alunos interpretam problemas matemáticos, leva-se em
consideração a estratégia traçada para chegar à solução, pois encontrar a resposta faz
parte de um processo de descobertas.
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Acredita-se, também, que o aluno se sente mais motivado em aprender
matemática quando é desafiado a resolver problemas de variados tipos, levando em
consideração algumas questões, tais como:
· Um bom problema é aquele que os desafiam?
· Existe diferença entre exercício e problema?
· Alunos preferem problemas com enunciados longos ou curtos?
· Qual a importância das descobertas que os alunos fazem sozinhos quando
resolvem Situações Problemas?
Ao se levantar as questões acima deve-se levar em consideração alguns fatores
como a estrutura da sala de aula, o nível dos alunos que compõe a classe, entre outros.
Para a compreensão de um problema matemático é necessário que o aluno
esteja envolvido em todo o processo de contextualização e para desafiar a resolvê-lo,
tem-se que provocar o desenvolvimento de estratégias de resolução.
Por sua vez, o papel do professor é investigar de que forma os alunos estão
aprendendo, com perguntas que os desafiem, tendo em vista o seu aprimoramento com
a Resolução de Problemas, propiciando aos alunos a proximidade da Matemática com
a realidade.
Procura-se interpretar o processo da Resolução de Problemas buscando
compreender as vantagens e as desvantagens aparentes nas diferentes etapas para
chegar a uma solução plausível. Com esse objetivo, propõe-se, aqui, a resolução de
alguns problemas, constantes de livros didáticos de ampla divulgação.
3.1 MODELOS DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS UTILIZANDO A
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS SEGUNDO G.POLYA:
Com o objetivo de se analisar a resolução de alguns problemas, alguns
problemas propostos em alguns livros didáticos conhecidos foram aqui
reproduzidos.
(1) Projeto “Investigando Alturas”: (CASTRUCCI; GIOVANNI; GIOVANNI JR.)
“A Torre Panorâmica da Brasil Telecom, foi inaugurada em 1991 com
109,5m de altura, situada no bairro Mercês, que permite visualizar praticamente toda
a cidade de Curitiba. É o ponto mais alto da cidade, assim como o Cristo Redentor na
cidade do Rio de Janeiro, com seus 38 metros de altura, sendo 8 no pedestal e
localizado à 709 metros do nível do mar, no morro do Corcovado.
Esses dados precisos, que podem ser encontrados em enciclopédias, livros de
Geografia ou até mesmo na internet, em sites de pesquisa.
Hoje em dia podemos encontrar essas alturas facilmente, através de um
simples aparelhinho como o GPS (Global Positioning System - Sistema de
posicionamento global) convertidos em dados como posição, velocidade e tempo.
O grande interesse da humanidade pela medição de altitudes e outras alturas
impulsiona o desenvolvimento tecnológico.
E você? Já teve curiosidade de saber qual é altura de determinado prédio?
Consegue imaginar quanto mede certa torre ou monumento de sua cidade?”
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A proposta metodológica de aula diferenciada de aplicação do projeto
Investigando Alturas, foi aplicada no Colégio Estadual Gabriela Mistral E.F.M., do
estado do Paraná na 8ª série A do Ensino Fundamental e no Colégio Efetivo, na 8ª
série do Ensino Fundamental, uma escola aparticular.
Como trabalho extra classe foi solicitado aos alunos que percorressem o seu
bairro, para visualizar as alturas de várias construções arquitetônicas, além de suas
próprias residências, casas ou edifícios, tentando investigar as suas reais alturas,
confrontando com suas estimativas.
Após a realização do trabalho extra classe, As professoras construíram com os
alunos, em sala, um astrolábio rudimentar, com materiais trazidos de casa. O astrolábio
foi utilizado nas ruas próximas ao colégio, para que os alunos pudessem fazer, em
grupos, a medição de edifícios predeterminados. Essas medições foram confrontadas,
depois, com o folder da planta dos edifícios.
Utilizaram-se quatro aulas de 50 minutos na realização de toda a atividade
solicitada. Ainda no final da atividade, foi perguntado aos alunos: Quais foram as
maiores dificuldades encontradas por eles, para a resolução do problema? E quais das
três abordagens, citadas neste trabalho, seria a mais fácil para a solução do mesmo?
(2) “Um prédio situado no centro histórico de Curitiba pegou fogo por volta das 23
horas. Um morador avisou aos bombeiros, que logo chegaram no local com a escada
Magirus de 10 m para atingir a janela do apartamento incendiado. A escada estava
colocada a 1 m do chão, sobre um caminhão que se encontrava afastado 6 m do
edifício em chamas. Qual é a altura desse apartamento em relação ao chão?”
(CASTRUCCI; GIOVANNI; GIOVANNI Jr.; 2007,p. 253)
Resolução:
1° Passo: Compreensão do problema:
Pede-se a altura do edifício em chamas.
As informações relevantes retiradas do enunciado são:
A escada Magirus foi projetada 10 m de cima do caminhão, que se encontrava
afastado 6 m do edifício à uma distância de 1 m do chão.
2° Passo: Estabelecimento de um plano:
Estratégia para chegar a solução:
1ª Abordagem: A linguagem ilustrada, onde o aluno pode registrar as
informações através de desenhos.
Vantagens: visualização do problema, como facilitadora da resolução do
problema; caracterização das relações métricas do triângulo retângulo figurado,
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juntamente com seus elementos, em relação ao ângulo α: cateto oposto, cateto
adjacente e hipotenusa. O aluno deve identificar qual é o valor de cada elemento do
triângulo retângulo figurado: a escada Magirus é a hipotenusa (10m), o cateto
adjacente (6m) e cateto oposto (a incógnita).
2ª Abordagem: Através de sublinhar as palavras chaves do enunciado,
seguindo dois passos básicos:
1. Ler, atentamente o problema várias vezes e imaginar a situação;
2. Sublinhar as palavras chaves.
Um prédio situado no centro histórico de Curitiba pegou fogo por volta das 23
horas. Um morador avisou aos bombeiros, que logo chegaram ao local com a escada
Magirus de 10 m para atingir a janela do apartamento incendiado. A escada estava
colocada a 1 m do chão, sobre um caminhão que se encontrava afastado 6 m do
edifício em chamas. Qual é a altura desse apartamento em relação ao chão?
(CASTRUCCI; GIOVANNI; GIOVANNI Jr.; 2007,p. 253)
Vantagens: identificar facilmente os pontos chaves para a resolução rápida do
problema, no caso, os adjetivos no enunciado que demonstram grandezas ou variáveis,
que são importantes na resolução do problema.
Desvantagens: não compreensão do problema, devido a falta de interpretação
do mesmo, sendo assim os alunos deve realizar uma leitura mais lenta e atenciosa,
organizando os dados colhidos.
3ª Abordagem: Transformar a linguagem matemática retirada do enunciado
para a linguagem coloquial.
Linguagem coloquial
Qual é a altura da escada?
Qual é a altura do prédio?
Qual é a operação matemática?
Qual é a unidade utilizada?
Qual é o conteúdo relacionado?
Linguagem matemática (dados)
h = 10 m
H=?
As 4 operações básicas, potenciação e
radiciação
Metro (m)
Teorema de Pitágoras
Vantagens: ampliar o conhecimento da linguagem matemática, construindo até
um dicionário matemático, com as principais palavrinhas ou expressões que
matematicamente tem um outro significado.
Desvantagens: quando a linguagem não é do seu linguajar conhecido, os
alunos precisam se empenhar para transformar ou traduzi-la para a linguagem
matemática, para conseguir resolvê-la.
3° Passo: Execução do plano:
Foram propostos diferentes planos aos alunos, obtendo o mesmo resultado na
execução dos cálculos. Através do Teorema de Pitágoras temos o seguinte:
10 2 = 6 2 + x 2
9
x 2 = 100 - 36
x 2 = 64
x=8
Como a escada estava colocada a 1 m do chão, temos que H = 8 + 1 = 9 m.
4° Passo: Retrospectiva:
Verificação dos resultados obtidos, utilizando as abordagens citadas no 2°
passo.
(3) Qual é a altura h do poste, sabendo que a sua hipotenusa é igual à 10 metros e que
seu ângulo oposto a sua altura é 37°. Dados: sen 37°= 0,602; cos 37° = 0,799 e tg 37°
= 0,754.(resp:6m) (CASTRUCCI; GIOVANNI; GIOVANNI Jr.; 2007,p. 278)
Resolução:
1° Passo: Compreensão do problema:
Pede-se a altura do poste, denominada de h.
As informações transmitidas foram que a hipotenusa é igual à10m e o cateto
oposto é igual à 37°.
2° Passo: Estabelecimento de um plano:
Será realizada da estratégia de linguagem ilustrada (o desenho ilustrativo das
informações coletadas do enunciado) e transformar a linguagem matemática retirada
do enunciado para a linguagem coloquial.
Vantagem: como facilitador da resolução,
Desvantagem: o problema é de enunciado curto, outra proposta de resolução
não seria tão plausível.
Linguagem coloquial
Qual é a altura do poste?
Qual é o ângulo relacionado?
Qual é a sua hipotenusa?
Qual é a operação matemática?
Qual é a unidade utilizada?
Qual é o conteúdo relacionado?
Linguagem matemática (dados)
h=?
α = 37°
hip = 10m
As 4 operações básicas
Metro (m)
Relações Trigonométricas
Vantagem: maior compreensão do enunciado e seus dados.
Desvantagem: dificuldade na transformação da linguagem coloquial para a
linguagem matemática.
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3° Passo: Execução do plano:
Leitura do enunciado e do desenho ilustrativo. Identificar os dados relevantes
através da ilustração, registrando-as na folha do caderno. E por fim, equacionar os
dados colhidos, através de Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo.
Temos:
Sen 37° =
0,602 =
h = 0,602 x 10
h = 6,02 metros.
Desta forma a altura do poste é de 6,02 metros.
4° Passo: Retrospectiva:
Verificação se a resposta está coerente, fazendo a prova real.
= sen 37°
0,602 = 0,602.
Portanto o resultado é coerente!
(4) O ângulo de elevação do pé de uma árvore ao topo de uma encosta é de 60°.
Sabendo-se que a árvore está distante 50 metros da base da encosta, que medida deve
ter um cabo de aço para ligar a base da árvore ao topo da encosta? (resp:100m)
(CASTRUCCI; GIOVANNI; GIOVANNI Jr.; 2002,p. 257)
Resolução
1° Passo: Compreensão do problema:
O problema pede o comprimento de um cabo de aço , da base da árvore em
relação ao topo da encosta, denominada de x.
Os dados colhidos do problemão ângulo de elevação é de 60° ( da base da
árvore ao topo da encosta). E a distancia da árvore da encosta é de 50 metros.
2° Passo: Estabelecimento de um plano:
Serão abordadas as seguintes estratégias: sublinhar as palavras chaves do
enunciado; a linguagem ilustrativa e transformar a linguagem matemática retirada do
enunciado para a linguagem coloquial.
O ângulo de elevação do pé de uma árvore ao topo de uma encosta é de 60°.
Sabendo-se que a árvore está distante 50 metros da base da encosta, que medida deve
ter um cabo de aço para ligar a base da árvore ao topo da encosta?
Vantagem: identificar facilmente os pontos chaves para a resolução rápida do
problema, como o ângulo envolvente é de 60°.
Desvantagem: dificuldade na compreensão do problema, devido à falta de
interpretação do mesmo.
Feito isso, agrupar todos os dados relevantes do enunciado em uma tabela
como a seguir:
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Linguagem coloquial
Linguagem matemática (dados)
Qual é a medida do cabo de aço
x=?
solicitado?
Qual é o ângulo relacionado?
α = 60°
Qual é o cateto adjacente?
CA= 50m
Qual é a operação matemática?
As 4 operações básicas
Qual é a unidade utilizada?
Metro (m)
Qual é o conteúdo relacionado?
Relações Trigonométricas
Vantagem: exposição dos dados, de uma forma claro ao aluno.
Desvantagem: o tempo perdido na transformação da linguagem coloquial para
à de matemática.
Vantagem: Visualização do problema.
Desvantagem: Compreensão apenas pela imagem figurada, não interpretar
corretamente o desenho, não conseguir transmitir os seus dados importantes em
sentenças matemáticas.
3° Passo: Execução do plano:
O aluno colocará seu plano em prática, após ter lido atentamente, sublinhado
os dados do enunciado, colocando em destaque agora é só resolvê-la através de
Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo, da seguinte maneira:
Cos60° = CA/HIP
=
x = 50 x 2
x = 100m
Portanto, o cabo de aço deve ter 100 metros de comprimento.
4° Passo: Retrospectiva:
Realizando a prova real:
=
=
(5) A uma distância de 40 metros, uma torre é vista sob um ângulo α de 40°.
Determine a altura h da torre. Dados: sen 40°= 0,643; cos 40°= 0,766 e tg 40°= 0,839.
(resp:30,64m) (CASTRUCCI; GIOVANNI; GIOVANNI Jr.; 2002,p. 257)
Resolução:
1° Passo: Compreensão do problema:
Pede-se a altura da torre, denominada pela variável h.
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Dados retirados do enunciado:
Ângulo α = 40°; cateto adjacente = 40metros e cateto oposto ao ângulo= h.
2° Passo: Estabelecimento de um plano:
A estratégia utilizada será à de Transformar a linguagem matemática retirada
do enunciado para a linguagem coloquial.
Linguagem coloquial
Linguagem matemática (dados)
Cateto adjacente
CA = 40 metros
Qual é a altura da torre?
h=?
Qual é a operação matemática?
As 4 operações básicas
Qual é a unidade utilizada?
Metro (m)
Qual é o conteúdo relacionado?
Relações Trigonométricas
Qual é o ângulo relacionado?
α = 40°
Vantagem: ampliação da linguagem matemática, como facilitadora da
resolução do problema.
Desvantagem: a perca de tempo na tradução da linguagem matemática para a
linguagem corrente.
Vantagem: facilitador na resolução do problema.
Desvantagem: a não correta interpretação dos dados transmitidos.
3° Passo: Execução do plano:
Neste momento o aluno executará passo a passo o seu plano estabelecido
anteriormente, como: ler atentamente o enunciado, identificar as palavras de duplo
sentido, fazendo-as suas determinadas alterações transformando-as em dados
importantes para a resolução.
Fazendo o uso dos conhecimentos adquiridos das Relações Trigonométricas:
Cos 40°=
0,76 =
h = 0,76 x 40
h = 30,64 metros
Desta forma, temos que a altura da torre é de 30,64 metros.
4° Passo: Retrospectiva:
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Realizar o cálculo em sentido inverso.
30,64÷40 = cos 40°
0,76= cos 40°
Prova se que o resultado confere com a verdade.
(6) Uma árvore foi quebrada pelo vento e a parte do tronco que restou em pé forma um
ângulo reto com o solo. Se a altura da árvore antes de se quebrar era 9 metros, e
sabendo que a ponta da parte quebrada está a 3 metros da base da árvore, qual a altura
do tronco da árvore que restou em pé? (resp:4m) (CASTRUCCI; GIOVANNI;
GIOVANNI Jr.; 2007, p.254)
1° Passo: Compreensão do problema:
Pede-se a altura do tronco da árvore que ainda permanece em pé.
Os dados coletados do problema, são:
A altura da árvore total, antes, era de 9 metros e a da ponta do galho quebrado
à base da mesma arvore é de 3 metros e o ângulo em questão é de 90°.
2° Passo: Estabelecimento de um plano:
Será utilizada a estratégia de Transformar a linguagem matemática retirada do
enunciado para a linguagem coloquial e a de linguagem ilustrada.
Linguagem coloquial
Qual é a altura do tronco que
permanece em pé?
Qual é a altura da árvore?
Qual é a operação matemática?
Qual é a unidade utilizada?
Qual é o conteúdo relacionado?
Qual é o ângulo relacionado?
Linguagem matemática (dados)
x
9 metros
As 4 operações básicas
Metro (m)
Teorema de Pitágoras
α = 90°
Vantagens: melhor compreensão do enunciado do problema, usando as duas
abordagens, acima citadas.
Desvantagens: não interpretar corretamente o desenho, não conseguir
transmitir os seus dados importantes em sentenças matemáticas.
3° Passo: Execução do plano:
Após a leitura bem executada do enunciado e da figura, o aluno deverá superar
a dificuldade do problema e executá-la através do Teorema de Pitágoras.
Denominaremos a parte do tronco que ainda permanece em pé, com uma
variável, neste caso, chamamos de x e a parte do tronco que caiu, como y.
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Vamos aos cálculos:
x+y=9
x = 9-y ↔ x= 9 – 5 ↔ x = 4 metros
y² = (9 – y)² + 3²
y² = y² + 81 + 9
18y = 90
y=
y = 5 metros
Portanto, a parte que ainda restava em pé era de 4 metros e a parte que se
quebrou é de 5 metros, dando um total de 9 metros.
4° Passo: Retrospectiva:
Basta calcular a soma de 4+5=9 metros do total da árvore, que demonstra que
a resposta é coerente com o problema.
4.
CONCLUSÃO:
No projeto proposto aos alunos da 8ª série ou 9° ano do ensino fundamental de
uma escola públicas e uma escola particular de Curitiba, o professor pôde explorar os
conceitos matemáticos inseridos, como: Teorema de Pitágoras, Relações
Trigonométricas e Ângulos; as diferentes estruturas arquitetônicas ou não (poste,
prédios, torres, árvores, etc.) , existente ao meio dos alunos; a construção do
instrumento simples de medição (astrolábio rudimentar) e ainda trabalhar a
socialização entre eles, pois o projeto permitiu:
1°) estimular os alunos à pesquisa de campo, saindo com os seus grupos, para
percorrerem o seu bairro escolhido como observação de diferentes estruturas
arquitetônicas para estipular as suas estimada altura.
2°) Comprovar matematicamente, as estimativas.
3°) Fazer o uso do material concreto : astrolábio rudimentar.
4°) Confrontar opiniões e resultados obtidos.
A atividade em sala foi um pouco difícil no inicio, devido à organização da
turma e o entendimento por parte dos alunos nas diferentes abordagens que deveriam
ser realizadas por diferentes grupos., nas Situações-Problemas.
Houve diferenças no processo de resolução das situações-problemas, entre o
colégio público e o particular, mas com a interferência das professoras, no final,
obteve-se êxito em ambas as escolas.
Concluiu-se que as três abordagens podem e devem ser integradas em uma
única situação-problema, sendo assim, um facilitador na solução dos problemas
propostos.
O resultado expresso pela atividade deve fornecer ao professor informações
sobre as competências de cada aluno em resolver problemas, em utilizar a linguagem
matemática adequadamente, seja através de desenhos, tabelas, gráficos, para
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comunicar suas idéias, para integrar todos esses aspectos no seu conhecimento
matemático.
A Resolução de Problemas proporciona aos alunos e professores a
possibilidade de desenvolver problemas de qualquer natureza, utilizando problemas
com enunciados curtos ou longos, contextualizados, obtendo uma aprendizagem mais
significativa.
Finalmente, o potencial heurístico é característica de cada um, pois sem
criatividade, imaginação e potencial crítico não há garantia de aprendizado. Sendo
assim, as etapas da Resolução de Problemas leva o aluno a elaborar estratégias, ter
autonomia para chegar à solução de um problema, descobrindo assim a importância da
interpretação dos enunciados e a capacidade de resolver problemas matemáticos.
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5.
REFERÊNCIAS:
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Ruy. A conquista da matemática: a + nova. São Paulo: FTD, 2007. P. 429.
•
CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI Jr., José
Ruy. A conquista da matemática: a + nova. São Paulo: FTD, 2002. P. 367.
•
D´AMBRÓSIO,
Beatriz
S.
Como
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hoje?AnoII.N2.Brasília. 1989. p.15-19
•
DANTE, Luiz Roberto. Didática da resolução de problemas de
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•
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29
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•
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•
http://www.google.com.br. Acesso em: 30 ago. 2010.