Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
Seno, Cosseno e Tangente
1. (Ufrn 2013) A escadaria a seguir tem oito batentes no primeiro lance e seis, no segundo
lance de escada.
Sabendo que cada batente tem 20 cm de altura e 30 cm de comprimento (profundidade), a
ˆ mede:
tangente do ângulo CAD
9
14
29
a)
b)
c)
d) 1
30
10
15
2. (G1 - utfpr 2013) Um caminhão, cuja carroceria está a uma altura de 1,2 m do chão está
estacionado em um terreno plano. Deseja-se carregar uma máquina pesada neste caminhão e
para isso será colocada uma rampa da carroceria do caminhão até o chão. O comprimento
mínimo da rampa para que esta forme com o chão um ângulo máximo de 30° é, em metros, de:
1
3
3
e tg 30° 
(Considere: sen 30°  , cos 30° 
)
2
2
3
a) 0,8 3.
b) 2,4.
c) 1,2 3.
d) 0,6 3.
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e) 0,6.
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3. (Ufg 2013) Um topógrafo deseja calcular a largura de um rio em um trecho onde suas
margens são paralelas e retilíneas. Usando como referência uma árvore, A, que está na
margem oposta, ele identificou dois pontos B e C, na margem na qual se encontra, tais que os
ˆ medem 135° e 30°, respectivamente. O topógrafo, então, mediu a
ˆ e ACB
ângulos ABC
distância entre B e C, obtendo 20 metros.
Considerando-se o exposto, calcule a largura do rio.
Dado: 3  1,7.
4. (Unicamp 2013) Ao decolar, um avião deixa o solo com um ângulo constante de 15°. A 3,8
km da cabeceira da pista existe um morro íngreme. A figura abaixo ilustra a decolagem, fora de
escala.
Podemos concluir que o avião ultrapassa o morro a uma altura, a partir da sua base, de
a) 3,8 tan (15°) km.
b) 3,8 sen (15°) km.
c) 3,8 cos (15°) km.
d) 3,8 sec (15°) km.
5. (Ufsj 2013) Uma escada com x metros de comprimento forma um ângulo de 30° com a
horizontal, quando encostada ao edifício de um dos lados da rua, e um ângulo de 45° se for
encostada ao prédio do outro lado da rua, apoiada no mesmo ponto do chão.


Sabendo que a distância entre os prédios é igual a 5 3  5 2 metros de largura, assinale a
alternativa que contém a altura da escada, em metros.
a) 5 2
b) 5
c) 10 3
d) 10
6. (Ufpr 2013) Um recipiente, no formato de hemisfério, contém um líquido que tem
profundidade máxima de 5 cm. Sabendo que a medida do diâmetro do recipiente é de 20 cm,
qual o maior ângulo, em relação à horizontal, em que ele pode ser inclinado até que o líquido
alcance a borda, antes de começar a derramar?
a) 75°.
b) 60°.
c) 45°.
d) 30°.
e) 15°.
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7. (Uepg 2013) Num instante t1, um avião é visto por um observador situado no solo sob um
ângulo de 60° e, no instante t 2 , sob um ângulo de 30°. Sabendo-se que o avião voa numa reta
horizontal a uma altitude de 5 km, assinale o que for correto.
01) No instante t1, a distância entre o observador e o avião é 10 3 km.
02) No instante t 2 , a distância entre o observador e o avião é 10 km.
04) A distância percorrida pelo avião entre os instantes t1 e t 2 é maior que 5 km.
08) A distância percorrida pelo avião entre os instantes t1 e t 2 é menor que 4 km.
8. (Udesc 2013) No site
http://www.denatran.gov.br/publicacoes/download/minuta_contran/Arquivo%206.pdf (acesso
em: 23/06/2012), encontra-se o posicionamento adequado da sinalização semafórica, tanto
para semáforos de coluna simples como para semáforos projetados sobre a via, conforme
mostra a Figura 1.
Para que o motorista de um veículo, ao parar, possa visualizar as luzes do semáforo, o grupo
focal deve ser visto sob um ângulo de 20°, conforme mostra a Figura 2.
Considerando tg(20º )  0,36, determine os valores que faltam para completar a Tabela 1.
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Tipo de Semáforo
Coluna simples
Projetado sobre a via
D
?
13,1
H
2,4
?
Tabela 1
Analise as proposições em relação às informações obtidas na Tabela 1, e assinale (V) para
verdadeira e (F) para falsa.
(
(
(
) Para o semáforo de coluna simples, D é aproximadamente 4,5 m.
) Para o semáforo projetado sobre a via, H é aproximadamente 4,2 m.
) A altura H do semáforo projetado sobre a via é aproximadamente 3,1 m maior que a altura
H do semáforo de coluna simples.
Assinale a alternativa correta, de cima para baixo.
a) F – V – V
b) V – F – V
c) F – V – F
d) V – V – F
e) F – F – V
9. (G1 - cftmg 2013) O percurso reto de um rio, cuja correnteza aponta para a direita,
encontra-se representado pela figura abaixo. Um nadador deseja determinar a largura do rio
nesse trecho e propõe-se a nadar do ponto A ao B, conduzindo uma corda, a qual tem uma de
suas extremidades retida no ponto A. Um observador localizado em A verifica que o nadador
levou a corda até o ponto C.
Dados:
α
sen α
cos α
tg α
30°
1/2
45°
2/2
3/2
3/3
2/2
1
60°
3/2
1/2
3
Nessas condições, a largura do rio, no trecho considerado, é expressa por
1
a) AC.
3
1
b) AC.
2
3
AC.
2
3 3
AC.
d)
3
c)
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10. (G1 - ifsp 2013) Na figura, ABCD é um retângulo em que BD é uma diagonal, AH é
perpendicular a BD, AH  5 3 cm e θ  30. A área do retângulo ABCD, em centímetros
quadrados, é
a) 100 3.
b) 105 3.
c) 110 3.
d) 150 2.
e) 175 2.
11. (G1 - utfpr 2012) Uma escada rolante de 6 m de comprimento liga dois andares de uma
loja e tem inclinação de 30°. Determine, em metros, a altura entre estes dois andares.
Use os valores: sen 30  0,5, cos 30  0,87 e tg 30  0,58.
a) 3,48.
b) 4,34.
c) 5,22.
d) 5.
e) 3.
12. (Ufsj 2012) O teodolito é um instrumento de medida de ângulos bastante útil na topografia.
Com ele, é possível determinar distâncias que não poderiam ser medidas diretamente. Para
calcular a altura de um morro em relação a uma região plana no seu entorno, o topógrafo pode
utilizar esse instrumento adotando o seguinte procedimento: situa o teodolito no ponto A e,
mirando o ponto T no topo do morro, mede o ângulo de 30° com a horizontal; desloca o
teodolito 160 metros em direção ao morro, colocando-o agora no ponto B, do qual, novamente
mirando o ponto T, mede o ângulo de 60° com a horizontal.
Se a altura do teodolito é de 1,5 metros, é CORRETO afirmar que a altura do morro com
relação à região plana à qual pertencem A e B é, em metros:
160 3
160 3
 1,5
 1,5
a) 80 3  1,5
b) 80 3  1,5
c)
d)
3
3
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13. (Unesp 2012) Um prédio hospitalar está sendo construído em um terreno declivoso. Para
otimizar a construção, o arquiteto responsável idealizou o estacionamento no subsolo do
prédio, com entrada pela rua dos fundos do terreno. A recepção do hospital está 5 metros
acima do nível do estacionamento, sendo necessária a construção de uma rampa retilínea de
acesso para os pacientes com dificuldades de locomoção. A figura representa
esquematicamente esta rampa (r), ligando o ponto A, no piso da recepção, ao ponto B, no piso
do estacionamento, a qual deve ter uma inclinação α mínima de 30° e máxima de 45°.
Nestas condições e considerando 2  1,4, quais deverão ser os valores máximo e mínimo,
em metros, do comprimento desta rampa de acesso?
14. (Ufjf 2012) A figura abaixo representa um rio plano com margens retilíneas e paralelas. Um
topógrafo situado no ponto A de uma das margens almeja descobrir a largura desse rio. Ele
avista dois pontos fixos B e C na margem oposta. Os pontos B e C são visados a partir de A,
segundo ângulos de 60° e 30°, respectivamente, medidos no sentido anti-horário a partir da
margem em que se encontra o ponto A. Sabendo que a distância de B até C mede 100 m, qual
é a largura do rio?
a) 50 3 m
b) 75 3 m
c) 100 3 m
d) 150 3 m
e) 200 3 m
15. (Uepb 2012) Os lados iguais de um triângulo isósceles têm comprimento
ângulos congruentes medem 30. O perímetro deste triângulo em cm é
a) 2 3  3
b) 2 3  2
c) 8 3
3 cm e os
d) 3  3
e) 3 3
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16. (G1 - ifpe 2012) Um estudante do Curso de Edificações do IFPE tem que medir a largura
de um rio. Para isso ele toma os pontos A e C que estão em margens opostas do rio. Em
seguida ele caminha de A até o ponto B, distante 100 metros, de tal forma que os segmentos
AB e AC são perpendiculares. Usando instrumento de precisão, a partir do ponto B ele visa o
ponto C e em seguida o ponto A, determinando o ângulo CBˆA que mede 37º. Com isso ele
determinou a largura do rio e achou, em metros:
Dados: sen (37º) = 0,60, cos (37º) = 0,80 e tg (37º) = 0,75
a) 60
b) 65
c) 70
d) 75
e) 80
17. (G1 - ifal 2012) Considere um triângulo retângulo, cujas medidas dos catetos são 10 cm e
10 3 cm. Assinale a alternativa errada.
Dados: sen 30° = 0,5, cos 45° = 0,707 e sen 60° = 0,866.
a) O seno do menor ângulo agudo é 0,707.
b) O cosseno do menor ângulo agudo é 0,866.
c) O seno do menor ângulo agudo é 0,5.
d) O maior ângulo agudo desse triângulo mede 60°.
e) O menor ângulo agudo desse triângulo mede 30°.
18. (G1 - epcar (Cpcar) 2012) Uma coruja está pousada em R, ponto mais alto de um poste, a
uma altura h do ponto P, no chão.
Ela é vista por um rato no ponto A, no solo, sob um ângulo de 30°, conforme mostra figura
abaixo.
O rato se desloca em linha reta até o ponto B, de onde vê a coruja, agora sob um ângulo de
45° com o chão e a uma distância BR de medida 6 2 metros.
Com base nessas informações, estando os pontos A, B e P alinhados e desprezando-se a
espessura do poste, pode-se afirmar então que a medida do deslocamento AB do rato, em
metros, é um número entre
a) 3 e 4
b) 4 e 5
c) 5 e 6
d) 6 e 7
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19. (Pucsp 2012) Abílio (A) e Gioconda (G) estão sobre uma superfície plana de uma mesma
praia e, num dado instante, veem sob respectivos ângulos de 30° e 45°, um pássaro (P)
voando, conforme é representado na planificação abaixo.
Considerando desprezíveis as medidas das alturas de Abílio e Gioconda e sabendo que,
naquele instante, a distância entre A e G era de 240 m, então a quantos metros de altura o
pássaro distava da superfície da praia?
a) 60 ( 3 + 1)
b) 120 (
c) 120 (
d) 180 (
e) 180 (
3 – 1)
3 + 1)
3 – 1)
3 + 1)
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a PUCRS para
colher informações. Uma das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade
entre Engenharia e Matemática.
20. (Pucrs 2012) Em uma aula prática de Topografia, os alunos aprendiam a trabalhar com o
teodolito, instrumento usado para medir ângulos. Com o auxílio desse instrumento, é possível
medir a largura y de um rio. De um ponto A, o observador desloca-se 100 metros na direção do
percurso do rio, e então visualiza uma árvore no ponto C, localizada na margem oposta sob um
ângulo de 60°, conforme a figura abaixo.
Nessas condições, conclui-se que a largura do rio, em metros, é
100 3
a)
3
100 3
2
c) 100 3
b)
50 3
3
e) 200
d)
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TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
As ruas e avenidas de uma cidade são um bom exemplo de aplicação de Geometria.
Um desses exemplos encontra-se na cidade de Mirassol, onde se localiza a Etec Prof. Mateus
Leite de Abreu.
A imagem apresenta algumas ruas e avenidas de Mirassol, onde percebemos que a Av. Vitório
Baccan, a Rua Romeu Zerati e a Av. Lions Clube/Rua Bálsamo formam uma figura geométrica
que se aproxima muito de um triângulo retângulo, como representado no mapa.
Considere que
– a Rua Bálsamo é continuação da Av. Lions Clube;
– o ponto A é a intersecção da Av. Vitório Baccan com a Av. Lions Clube;
– o ponto B é a intersecção da Rua Romeu Zerati com a Rua Bálsamo;
– o ponto C é a intersecção da Av. Vitório Baccan com a Rua Romeu Zerati;
– o ponto D é a intersecção da Rua Bálsamo com a Rua Vitório Genari;
– o ponto E é a intersecção da Rua Romeu Zerati com a Rua Vitório Genari;
– a medida do segmento AC é 220 m;
– a medida do segmento BC é 400 m e
– o triângulo ABC é retângulo em C.
21. (G1 - cps 2012) Para resolver a questão, utilize a tabela abaixo.
sen
cos
tg
26°
0,44
0,90
0,49
29°
0,48
0,87
0,55
41°
0,66
0,75
0,87
48°
0,74
0,67
1,11
62°
0,88
0,47
1,88
ˆ é, aproximadamente,
No triângulo ABC, o valor do seno do ângulo ABC
a) 0,44.
b) 0,48.
c) 0,66.
d) 0,74.
e) 0,88.
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22. (Uel 2011) Um indivíduo em férias na praia observa, a partir da posição P1 , um barco
ancorado no horizonte norte na posição B. Nesta posição P1 , o ângulo de visão do barco, em
relação à praia, é de 90°, como mostrado na figura a seguir.
Ele corre aproximadamente 1000 metros na direção oeste e observa novamente o barco a
partir da posição P2 . Neste novo ponto de observação P2 , o ângulo de visão do barco, em
relação à praia, é de 45°.
Qual a distância P2B aproximadamente?
a) 1000 metros
b) 1014 metros
c) 1414 metros
d) 1714 metros
e) 2414 metros
23. (G1 - cftmg 2011) Um foguete é lançado de uma rampa situada no solo sob um ângulo de
60º , conforme a figura.
Dados: sen 60º 
1
3
; cos 60º  ; tg 60º  3 .
2
2
A altura em que se encontra o foguete, após ter percorrido 12km , é
a) 600 dam
b) 12.000 m
c) 6.000 3 dm
d) 600.000 3 cm
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24. (G1 - ifsc 2011) Uma baixa histórica no nível das águas no rio Amazonas em sua parte
peruana deixou o Estado do Amazonas em situação de alerta e a Região Norte na expectativa
da pior seca desde 2005. [...] Em alguns trechos, o Rio Amazonas já não tem profundidade
para que balsas com mercadorias e combustível para energia elétrica cheguem até as cidades.
A Defesa Civil já declarou situação de atenção em 16 municípios e situação de alerta – etapa
imediatamente anterior à situação de emergência – em outros nove. Porém, alguns trechos do
rio Amazonas ainda permitem plenas condições de navegabilidade.
Texto adaptado de: http://www.ecodebate.com.br/2010/09/10/com-seca-no-peru-nivel-dorioamazonasdiminuiu-e-regiao-norte-teme-pior-estiagem-desde-2005/ Acesso em: 10 nov. 2010.
Considerando que um barco parte de A para atravessar o rio Amazonas; que a direção de seu
deslocamento forma um ângulo de 120º com a margem do rio; que a largura do rio,
teoricamente constante, de 60 metros, então, podemos afirmar que a distância AB em metros
percorrida pela embarcação foi de...
Dados:
Seno
Cosseno
Tangente
0º
1
2
3
2
2
2
1
2
3
3
45º
60º
2
2
3
2
1
3
a) 60 3 metros.
b) 40 3 metros.
d) 20 3 metros.
e) 40 metros.
c) 120 metros.
ˆ
25. (Ufjf 2011) Considere um triângulo ABC retângulo em C e  o ângulo BAC.
Sendo
1
AC  1 e sen( )  , quanto vale a medida da hipotenusa desse triângulo?
3
a) 3
b)
2 2
3
c)
10
d)
3 2
4
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e)
3
2
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[B]
Supondo que A, B e C pertencem a um mesmo plano horizontal, temos
AB  8  30  240cm,
BC  6  30  180cm
e
CD  (8  6)  20  280cm.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC, encontramos
2
2
2
2
AC  AB  BC  AC  2402  1802
 AC  300cm.
Portanto, do triângulo retângulo ACD, vem
tgCAD 
CD
AC

280 14

.
300 15
Resposta da questão 2:
[B]
No triângulo assinalado, temos:
sen 30 
1,2
1 1,2
 
 x  2,4
x
2
x
Resposta da questão 3:
Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular baixada de A sobre a reta BC.
Como ABC  135, segue que ABH  180  ABC  45 e, portanto, o triângulo ABH é
retângulo isósceles. Logo, AH  HB.
Do triângulo AHC, obtemos
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tg ACB 
AH
HB  BC
 tg30 

AH
AH  20
3
AH

3
AH  20
 AH 
20 3
3 3
 AH  10( 3  1)
 AH  27 m.
Resposta da questão 4:
[A]
h = altura do avião ao ultrapassar o morro.
tan 15 
h
 h  3,8  tg 15
3,8
Resposta da questão 5:
[D]
Considerando x a altura da escada, temos:
x  cos30  x  cos 45  5 3  5 2
 3
2
x 

  5( 3  2 )
 2
2 

x  10m
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Resposta da questão 6:
[D]
senα 
5
 α  30
10
Resposta da questão 7:
02 + 04 = 06.
[01] Falsa, pois sen 60 
5
3 5
10 3

 y
km.
y
2
y
3
[02] Verdadeira, pois sen30 
5
1 5
   x  10 km.
x
2 x
[04] Verdadeira, pois o triângulo At1t2 é isósceles, logo z = y > 5.
[08] Falsa, pois z = y > 5.
Resposta da questão 8:
[B]
Para o semáforo de coluna simples, temos
tg20 
H  1  1,25
2,4  0,25
 D  1,5 
D  1,5
0,36
 D  5,97  1,5
 D  4,5 m.
Por outro lado, considerando o semáforo projetado sobre a via, vem
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tg20 
H  1  1,25
H  0,25
 0,36 
D  1,5
13,1  1,5
 H  0,25  5,26
 H  5,5 m.
Por conseguinte, como 5,5  2,4  3,1m, segue-se que a altura H do semáforo projetado sobre
a via é aproximadamente 3,1m maior do que a altura H do semáforo de coluna simples.
Resposta da questão 9:
[C]
No triângulo ABC, assinalado na figura, temos:
AB
3  AC
sen60 
 AB  AC  sen60  AB 
AC
2
Resposta da questão 10:
[A]
no ΔAHD  sen30 
5. 3
 AD  10. 3
AD
no ΔAHB  cos 30 
5. 3
 AB  10
AB
Portanto a área do retângulo ABCD será dada por:
A  10. 3.10  100 3
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Resposta da questão 11:
[E]
h = altura entre os dois andares.
sen30 
h
6
h
6
h3m
0,5 
Resposta da questão 12:
[A]
H é a altura do morro em metros.
O triângulo ABT é isósceles, logo BT =160m.
No triângulo assinalado, temos:
sen60 


H  1,5
3 H  1,5


 H  80 3  1,5 m
160
2
160
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Resposta da questão 13:
Portanto, o valor mínimo do comprimento da rampa de acesso será 7 m e o valor máximo será
10 m.
Resposta da questão 14:
[A]
Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular baixada de A sobre a reta BC.
Queremos calcular AH.
Temos que CAB  BAH  30. Logo, do triângulo AHB, vem
tgBAH 
HB
AH
 HB 
3
 AH.
3
Por outro lado, do triângulo AHC, obtemos
tgCAH 
HB  BC
AH
3
 AH  100
3
 3  AH 

2 3
 AH  100
3
 AH 
150
3

3
3
 50 3 m.
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Resposta da questão 15:
[A]
Considere o triângulo isósceles ABC de base BC. Assim, AB  AC  3 cm e
ABC  ACB  30. Sendo M o ponto médio de BC, do triângulo AMC, vem
BC
cos ACB 
 cos30  2
3
AC
MC
 BC  3 cm.
Portanto, o resultado é
AB  AC  BC  3  3  3
 (2 3  3)cm.
Resposta da questão 16:
[D]
tg (37°) = 0,75
AC
 0,75
100
AC  75m
Resposta da questão 17:
[A]

a2  102  10 3

2
 a  20
senα 
10 1
  α  30
20 2
senβ 
10 3
3

 β  60
20
2
Logo, a alternativa errada é a [A], “O seno do menor ângulo agudo é 0,707”.
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Resposta da questão 18:
[B]
O triângulo BPR é retângulo e isósceles, logo BP = PR = h.
Utilizando o teorema de Pitágoras, podemos escrever que h2  h2  (6 2)2, logo h = 6.
No triângulo APR, podemos escrever:
tg30 
h
h  AB
3
6

3
AB  6
AB 
18  6 3
3
AB 
18 3  18
3
AB
4,2
e 4 < 4,2 < 5.
Resposta da questão 19:
[B]
Considere a figura, sendo Q o pé da perpendicular baixada de P sobre AG.
Queremos calcular PQ.
Como PGQ  45, segue que PQ  QG. Desse modo, AQ  240  QG  240  PQ.
Portanto, do triângulo APQ, vem
tgQAP 
PQ
AQ

3
PQ

3
240  PQ
 (3  3 )PQ  240 3
 PQ 
 PQ 
240 3
3 3
240 3 3  3

 120( 3  1) m.
3 3 3 3
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Resposta da questão 20:
[C]
O resultado pedido é dado por tg60 
y
 y  100 3 m.
100
Resposta da questão 21:
[B]
Pelo Teorema de Pitágoras, segue que
2
2
2
2
AB  AC  BC  AB  2202  4002
2
 AB  208400
 AB  208400
 AB  456,5 m.
Portanto,
sen ABC 
AC
220
 sen ABC 
456,5
AB
 sen ABC  0,48.
Resposta da questão 22:
[C]
cos 45º 
1000
x
2 1000

2
x
2x  2000
x
x
2000
2
1, 414 m
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Resposta da questão 23:
[D]
h = altura.
sen60o 
h
12
3
h

2
12
h  6. 3km = 600.000 3cm
Resposta da questão 24:
[B]
sen60o 
60
AB
3
60

2
AB
120
AB 
3
AB  40 3m
Resposta da questão 25:
[D]
Sabendo que AC  1 e sen 
sen  
1
, vem
3
BC
1 BC
AB
 
 BC 
.
3 AB
3
AB
Aplicando o Teorema de Pitágoras, obtemos:
2
 AB 
2
AB  AC  BC  AB  
 1
 3 
2
2
2
2
2
8  AB

1
9
 AB 
3
2 2

3 2
.
4
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