Aplicações das leis de Newton e a Gravitação Universal
No Vestibular
1. b) o corpo de massa M1 descerá o plano com uma aceleração de 2,0 m/s2.
2. a) Em queda livre, a única força que atua sobre o objeto
durante todo seu movimento é a força peso; portanto:
Antes de discutir as questões, vamos marcar as forças que
a 5 g. Observe a figura:
agem sobre cada um dos blocos de massas M1 e M2 e suas
v0 = 0; s0 = 0; t0 = 0
Origem
componentes:
P
T
N
T
M1
s = 2.420 m
Px
P1
M2
J
P2
P2 . Px ] M2 g . P1 3 sen J ]
Substituindo os dados na equação horária do
movimento, temos:
Dessa forma, para que o corpo de massa M2 desça em
movimento acelerado, devemos ter:
Solo
(+)
10t2
2.420 5 0 1 0t 1 ____
​   ​   ] t 5 22 s
2
b) Nesse caso, temos a figura:
M2 g . M1 g 3 sen J ] M2 . M1 3 sen J
v0 = 0; s0 = 0; t0 = 0
Origem
Por outro lado, para que o corpo de massa M1 desça em
F
movimento acelerado, devemos ter P2 , Px. Finalmente,
t = 7 s; s = 200m
P
a condição para que o sistema permaneça em equilíbrio
Movimento uniforme
(v = 60 m/s)
é que P2 5 Px. Portanto, as respostas da questão I são,
Solo
s = 2.420 m
(+)
respectivamente:
M2 . M1 3 sen J; M1 3 sen J . M2 e M2 5 M1 3 sen J
Movimento variado
Segundo o enunciado, o tempo de queda durante o
Pelas condições em II, verifica-se que M1 3 sen J . M2, pois:
movimento variado é de 7 s. Portanto, falta acrescentar
M1 3 sen J 5 40 3 0,5 5 20 . 10
a esse valor o tempo de queda durante o movimento
Logo, o corpo M1 desce o plano inclinado em movimento
uniforme.
acelerado.
O início do movimento uniforme ocorre em s0 5 200 m.
Assim, da relação s 5 s0 1 vt, temos:
Orientando a trajetória no sentido anti-horário, temos:
• para o corpo de massa M1:
2.420 5 200 1 60t ] t 5 37 s
Px . T ] Px 2 T 5 M1 3 a (1)
Logo, o tempo total de queda será:
• para o corpo de massa M2:
ttotal 5 7 1 37 ] ttotal 5 44 s
P2 , T ] T 2 P2 5 M2 3 a (2)
Somando (1) e (2) membro a membro, temos:
Px 2 P2 5 M1 a 1 M2 a ] M1 g 3 sen 30w 2 M2 g 5 a(M1 1 M2) ]
] g(M1 3 sen 30w 2 M2) 5 a(M1 1 M2) ]
10(40 3 0,5 2 10) 5 a(40 1 10) ] a 5 2 m/s2
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3. Como o movimento é curvilíneo, a esfera está submetida a
6. a) I e IV
uma resultante centrípeta.
No plano inclinado, Px 5 P 3 sen 30w e Fc 5 jc 3 N 5 jc 3 P 3 cos 30w.
Para que haja resultante centrípeta sobre a esfera,
Como o bloco sobe em MU, a resultante das forças na
devemos ter T . P. Logo:
direção paralela à rampa deve ser nula. Logo, F 5 Px 1 Fc, o
2
mv
​   ​ 5 T 2 mg
Fcp 5 T 2 P ] ____
R
que torna corretas as afirmativas I e IV.
em que R é o raio da trajetória, que corresponde, nesse
7. d) 5,0 m/s
caso, ao comprimento do fio.
Substituindo os devidos valores na expressão acima,
Na situação-limite, temos Fcp 5 P; então:
obtemos:
m 3 v min
2
2
_______
​ 
 5 m 3 g ] v min 5 R 3 g ] v min 5 2,5 3 10 ]
 ​ 
2
R
0,6 3 22
______
 5 T 2 0,6 3 10 ] T 5 14 N
 ​ 
​ 
0,3
] vmin 5 5 m/s
8. a) 5,0 3 1022
4. b) 7 m/s
Nas condições do enunciado, a única força que age sobre
Água
N
P
Vênus é a da atração gravitacional (F), que corresponde à
Balde
Observe que a normal corresponde à reação da força
que a água aplica sobre o fundo do balde quando ele se
encontra nessa posição.
Para obtermos a velocidade mínima que o conjunto
própria resultante centrípeta:
F 5 Fcp ] F 5 mVênus 3 acp ]
@  #
2s 2
] F 5 mVênus 3 h2R ] F 5 mVênus​​ ___
​   ​    ​ ​3 R
T
Substituindo os devidos valores e adotando s 5 3,14, temos:
@ 
#
2 3 3,14 2
​ 
 ​  ​​ ​3 1011 ] F 7 5 3 1022 N
F 5 5 3 1024 3 ​​ _______
2 3 107
(balde 1 água) deve ter para que a água não caia, vamos
considerar que a água no interior do balde esteja na
9. a) A aceleração da gravidade na superfície da Lua pode
iminência de cair, ou seja, que N 5 0.
ser calculada como segue:
49 3 1011
GM 7 3 10211 3 7 3 1022 ________
​  2 ​ 5 _______________
​ 
  
 ​ 
5 ​ 
 ​ 
]
gLua 5 ___
6 2
R
(2 3 10 )
4 3 1012
] gLua 5 1,225 m/s2
Nessas condições, como o movimento do conjunto é
circular, a resultante centrípeta sobre a água corresponde
ao seu peso:
b) Segundo o enunciado:
2
min
____
v
Fcp 5 P ] m​   ​ 5 mg ] v 2min 5 Rg ]
R
Pastr 5 m 3 gastr ] Pastr 5 80 3 1,225 ]
Rg ​ 5 d​ lllll
5 3 9,8 ​ 
] vmin 5 7 m/s
] vmin 5 d​ lll
] PLua 5 98 N
5. a) 7 N e 5 N
Aplicando a segunda lei de Newton a cada um dos blocos,
chegamos ao sistema:
14 2 fAB 2 fat 5 2 3 1
x
fAB 2 fat 5 2 3 1
14 2 2fat 5 4 ] fat 5 5 N
Retornando à segunda equação, obtemos FAB 5 7 N.
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10. a) tAB , tBC e que FA e FB apontam para o centro da estrela.
Baseemo-nos na segunda lei de Kepler para determinar
a relação entre tAB e tBC, e na lei da Gravitação Universal
para determinar os sentidos de FA e FB. Consideradas essas
13. d) 6​dll
6 ​ 
@  # @  #
TB 2
RB 3
Da terceira lei de Kepler, temos ​​ __
​   ​    ​​ ​5 ​​ __
​    ​   ​​ ​. Substituindo
TA
RA
os dados do enunciado, vem:
TB 2
TB 2
TB
6R 3
​   ​    ​​ ​5 ​​ ___
​   ​   ​​ ​ ] ​​ __
​   ​    ​​ ​5 216 ] __
​   ​   5 6​dll
6 ​ 
​​ __
TA
TA
TA
R
@  # @  # @  #
condições, observe a figura:
Área AB; tAB
B
Área BC; tBC
C
FB
FA
Estrela
A
D
14. b) I, III e IV
A afirmação I é correta, já que a força gravitacional é
inversamente proporcional ao quadrado da distância
entre os corpos. UB313 tem a massa parecida com a de
Como a estrela está mais próxima de A, temos:
Plutão, mas a distância ao Sol é praticamente o dobro da
área BC . área AB. Portanto, pela segunda lei de Kepler,
de Plutão. II é incorreta, pois a distância percorrida no
devemos ter tBC . tAB, uma vez que a velocidade de
trecho A1A2 é menor do que no trecho B1B2. III é correta, e
translação do planeta diminui à medida que ele se afasta
corresponde ao enunciado da primeira lei; finalmente, IV é
+
+ & BC​
​  
. Como a resultante das forças é
da estrela, já que ​AB​
correta pelo seguinte resultado: 560 4 250 5 2,24.
centrípeta, FA e FB apontam para o centro da estrela.
11. d) 9F
Pela lei da Gravitação Universal, temos:
m1 3 m2
 
F 5 G _______
​  2 ​ 
d
d
Com __
​   ​ , a intensidade da nova forma Fe será:
3
m1 3 m2
G 3 m1 3 m2
 
 ​ 
 5 9F
 ​ 
5 9 3 G ​ _______
Fe 5 _________
​ 
2
d
d2
__
​​ ​   ​   ​​ ​
3
@  #
12. a)
2,6 km/s; 1,9 3 1024 km/s2
A velocidade do satélite em órbita geoestacionária pode
2s
ser obtida pela relação: v 5 h 3 R ] v 5 ___
​   ​  3 R,
T
em que T 5 24 h (ou 86.400 s), já que o período de rotação
do satélite deve ser o mesmo que o da Terra em torno do
seu próprio eixo.
2s
2s
   ​ 
​ 
3 3,6 3 104
Então: v 5 ___
​   ​  3 R ] v 5 ______
86.400
T
Adotando s 5 3,14, obtemos: v 5 2,6 km/s
Para o cálculo da aceleração centrípeta, utilizamos a
(2,6)2
v2
​   ​  ] acp 5 _______
​ 
  ​  ] acp 7 1,9 3 1024 km/s2
relação: acp 5 __
R
3,6 3 104
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