6
Dinâmica Relativística
Este capítulo trata da dinâmica de uma partícula clássica relativística utilizando os recursos do formalismo tensorial do espaço-tempo de Minkowski.
Trata-se de obter a generalização relativística da segunda lei de Newton, que
no limite newtoniano de pequenas velocidades em relação à velocidade da luz
se reduza exatamente à segunda lei de Newton. A equação deve ser invariante na forma pelas transformações gerais de Lorentz, uma propriedade que
aparece explícitamente no formalismo tensorial.
6.1
Equação de movimento
A segunda lei de Newton,
dp
=F;
dt
relaciona a taxa de variação no tempo do momento linear p = mv com um
agente extertno atuando sobre a partícula através da força F.
Para procurar a equação relativística equivalente, de…ne-se o quadri-vetor
de momento
p = m0 U ;
(1)
onde m0 será identi…cado como a massa de repouso da partícula.
Uma equação covariante análoga à segunda lei de Newton é
f =
dp
dU
= m0
= m0 A ;
d
d
(2)
desde que a ação externa sobre a partícula possa ser representada através
de um quadri-vetor, f , quadri-vetor força. Para identi…car o signi…cado
físico destas grandezas, pode-se relacioná-las com as grandezas tradicionais
envolvidas como a massa, o momento linear e a força.
Se não houver nenhuma força externa atuando sobre a partícula,
f =0)
dp
dp dt
dp
=
=0)
=0;
d
dt d
dt
(3)
que implica na conservação do quadri-momento p .
As componentes temporal e espaciais do quadri-momento
p = (p0 ; pi )
(4)
são
p0 = m0 U 0 = m0
67
vc
(5)
e
pi = m0 U i = m0
vv
i
(6)
;
respectivamente, onde
vi =
dxi
dt
são as componentes da velocidade e
v
=p
1
1
v 2 =c2
para v 2 = vx2 + vy2 + vz2 :
De…ne-se a massa relativística da partícula, dependente da velocidade,
m = m0
(7)
;
v
de modo que o quadri-momento p …ca
(8)
p = (mc; mv) :
A equação (2) pode ser reformulada para que a derivada seja em relação
ao tempo do laboratório, usando dt = v d ;
dp
dp
= f =)
d
dt
v
=
vF
;
(9)
ou seja,
dp0 dp
dp
= F =) (
;
) = (F 0 ; F) :
dt
dt dt
Esta última equação, embora não seja explicitamente covariante, é expressa
em termos de grandezas físicas usuais. Em particular, a parte espacial é
exatamente a equação de força da segunda lei de Newton
dp
=F:
dt
(10)
Para identi…car a componente F 0 , considere a invariante
U U = c2 ;
cuja derivada em relação ao tempo próprio é
:
U U =U A =0;
indicando que o quadri-vetor de força deve satisfazer à identidade
U f =0;
68
(11)
ou seja,
cF 0
viF i = 0 :
(12)
Esta equação relaciona a componente temporal da quadri-força f com a
potência v F,
v F
;
(13)
F0 =
c
de modo que
v F
f = v
;F
(14)
c
e
dp
dp0 dp
v F
=
;
=
;F
(15)
dt
dt dt
c
ou, mais explicitamente,
v F
dp0
=
dt
c
6.2
e
dp
=F:
dt
(16)
Massa e energia
O ganho de energia cinética de uma partícula, inicialmente em repouso, ao se
locomover de uma posição O para uma outra posição P é dado pelo trabalho
realizado pela força neste percurso,
Z P
K=
F dr :
(17)
O
Utilizando as equações (8) e (10),
Z P
Z P
Z P
d
d
K=
F dr =
(mv) dr =
(mv) vdt
O
O dt
O dt
e, fazendo uma nova mudança na variável de integração,
Z P
Z P
Z P
K=
v d(mv) =
v [mdv + vdm] =
[mv dv + v 2 dm] :
O
O
O
Da massa relativística (7) resulta
m0
dm =
(1
v dv
;
2
v 2 =c2 ) c
3
2
sendo conveniente fazer a substituição
mv dv = (c2
69
v 2 )dm
que leva a
K=
Z
P
2
[mv dv + v dm] =
Z
m
c2 dm = mc2
m 0 c2 :
(18)
m0
O
Este resultado associa a energia cinética à variação da massa relativística,
e a variação da energia cinética entre dois pontos quaisquer P1 e P2 …ca
K = K2
No limite não relativístico (v
1= q
1
1
v2
c2
K1 = (m2
m1 )c2 :
(19)
c), usando a aproximação
1'1+
1 v2
2 c2
1 v2
;
2 c2
1=
a expressão relativística da energia cinética assume a forma usual da mecânica
newtoniana,
K = (m
1
1)m0 c2 = m0 v 2 :
2
m0 )c2 = (
(20)
O resultado (18) sugere a de…nição da energia total da partícula livre
como
E = K + m0 c2 = mc2 ;
(21)
onde
E0 = m0 c2
(22)
de…ne a energia de repouso.
Pela equação (21) a variação da energia leva à variação da massa,
E=
m c2 ;
(23)
mostrando a equivalência entre estas duas grandezas, a menos de um fator
de conversão c2 da unidade de massa para a unidade de energia.
Com estes resultados, …cam de…nidas as componentes do quadri-vetor de
energia-momento,
(p ) = (p0 ; p) = (mc; p) =
E
;p
c
;
(24)
e a equação (15), nestas variáveis, …ca
dp
=
dt
dE dp
;
cdt dt
70
=
v F
;F
c
:
(25)
Do produto escalar
E2
p2 ;
c2
invariante relativística, cujo valor no referencial de repouso (onde p = 0) é
p p =
p p =
E02
= m20 c2 ;
c2
resulta uma da relações fundamentais da Relatividade Restrita,
E2
p2 c2 = m20 c4 :
(26)
Para uma partícula com massa de repouso nula, (m0 = 0), como o fóton,
resulta
E 2 p2 c2 = 0 ;
(27)
e, em módulo,
(28)
E = pc :
Como a energia
E = mc2 = p
1
m0
v 2 =c2
c2
deve ser …nita, a velocidade de uma partícula sem massa deve ser igual à
velocidade da luz. A energia quântica associada ao fóton e a outras partículas
de massa nula é dada pela relação de Planck
E = ~!
(29)
que, juntamente com a relação de De Broglie
p = ~k
(30)
leva à relação
! 2 = k 2 c2
da física ondulatória.
6.3
Transformações de Lorentz
As grandezas quadri-vetoriais, por de…nição, transformam-se da mesma maneira que as coordenadas, por uma transformação de Lorentz. Assim, para
a transformação geral de Lorentz
x0 =
71
x ;
(31)
os quadri-vetores energia-momento e a quadri-força, de…nidos em (1) e (2),
respectivamente, transformam-se exatamente da mesma forma,
0
p e f0 =
p0 =
f
(32)
:
Em especial, para uma transformação de Lorentz especial entre referenciais R e R0 com movimento relativo uniforme ao longo do eixo comum xx0 ,
8 0
8 00
ct = (ct
x)
x = (x0
x1 )
>
>
>
>
< 0
< 01
x = (x V t)
x = (x1
x0 )
()
;
(33)
0
02
2
y =y
x =x
>
>
>
>
: 0
: 03
z =z
x = x3
a transformação da energia-momento
E
;p
c
p = m0 U =
(34)
= (mc; mv)
…ca
8 0
E = (E
>
>
< 0
px = (px
p0 = py
>
>
: 0y
pz = pz
V px ) ! m0 = m (1
EV =c2 )
vx V =c2 )
(35)
e a transformação da força, obtida a partir da quadri-vetor
f =
v
v:F
;F
c
;
resulta
1
[v F V Fx ]
(1 vx V =c2 )
1
V
=
F
v F
x
(1 vx V =c2 )
c2
1
=
Fy
(1 vx V =c2 )
1
=
Fz
(1 vx V =c2 )
v0 F0 =
Fx0
Fy0
Fz0
(36)
Na primeira das equações (35),
m= p
m0
1
e m0 = p
2
2
v =c
1
m0
v 0 2 =c2
;
onde v e v0 são as velocidades nos referenciais R e R0 , respectivamente.
72
(37)
6.4
Força e aceleração
Muitas vezes, para uma melhor visão dos processos físicos e das relações entre
as grandezas envolvidas, torna-se necessária ou preferível trabalhar com as
grandezas físicas usuais em vez das equivalentes quadri-vetoriais. A equação
quadri-vetorial (2) …ca mais intuitiva separando nas equações de força,
dp
=F;
dt
(38)
dE
dm 2
=F v=
c :
dt
dt
(39)
e na equação de potência,
Resolver estas equações signi…ca determinar a trajetória da partícula
movendo-se sob a ação da força externa F. Pela de…nição do momento linear relativístico e, considerando a dependência da massa relativística com a
velocidade,
d
dm
dv
dp
= (mv) = v
+m
:
(40)
dt
dt
dt
dt
Como
dm
F v
= 2 ;
dt
c
resulta
d
(F v)
dv
(mv) = v
+
m
;
dt
c2
dt
ou seja,
F
(F v)
dv
a=
=
v
:
(41)
dt
m
mc2
Esta equação mostra que na Relatividade Restrita força e aceleração em
geral não tem a mesma direção, nem resulta numa equação diferencial linear,
o que pode di…cultar muito a sua integração. No entanto, há dois casos
em que a equação de movimento é facilmente integrada, respectivamente
força e velocidade paralelas e força e velocidade perpendiculares, para forças
constantes em módulo, que serão tratados a seguir.
6.5
Força constante: movimento hiperbólico
Talvez este seja o sistema relativístico mais simples, uma partícula sujeita
a uma força constante F0 . Se a força for aplicada na mesma direção da
73
velocidade, a aceleração também resultará na mesma direção, e o movimento
resultante será unidimensional. Com efeito,
F0 v 2
=
m c2
F0
a=
m
1
3=2
v2
c2
a0 ;
(42)
onde a0 = F0 =m0 , constante, resultando
1
v 2 =c2 )3=2
(1
dv
= a0 ;
dt
uma equação diferencial facilmente integrável.
Porém, para um movimento unidimensional, há uma maneira mais simples de integrar a equação de movimento. A equação (38) …ca, neste caso,
d
(mv) = F0 ;
dt
(43)
ou seja,
d
( v) = a0 ;
(44)
dt v
cuja integração é imediata. Dada a velocidade v0 no instante t0 , resulta
vv
0 v0
= a0 (t
onde
v
=p
1
v 2 =c2
1
(45)
t0 ) ;
(46)
:
Para isolar a velocidade, pode-se quadrar o resultado (45),
v 2 (t)
= f 2 (t) = [ 0 v0 + a0 (t
2
2
1 v =c
t0 )]2 ;
e resolver para v 2 ,
f 2 (t)
:
1 + f 2 (t)=c2
Supondo a velocidade v0 = 0 no instante t0 = 0, resulta
v 2 (t) =
e, para o fator
c
a0 t
v(t) = p
=p
1 + (a0 t=c)2
1 + c2 =(a0 t)2
(47)
(48)
v,
v
=p
1
1
v 2 =c2
=
74
p
1 + (a0 t=c)2 :
(49)
Figura 6.1: Velocidade em função do tempo,
hiperbólico.
1 < t < 1, no movimento
As expressões da velocidade na equação (48) mostra que, para tempos
pequenos, a velocidade tende à expressão não-relativística
v(t) = a0 t ;
enquanto que, para tempos grandes, em especial no limite t ! 1,
lim v(t) = c ;
t!1
mostrando que a velocidade da luz é o limite superior da velocidade.
A …gura 1 ilustra a evolução da velocidade (em unidades de c) em função
do tempo (em ct), vindo do in…nito com velocidade v(t ! 1) = c
aproximando-se em direção à origem até atingir a velocidade mínima (em
módulo) v(t = 0) = 0 e retornando ao in…nito com velocidade crescente
v(t ! 1) = c.
No caso relativístico, força constante não implica numa aceleração constante, e nem poderia ser, uma vez que existe uma velocidade limite de…nida
pela velocidade da luz. A aceleração é dada por
a(t) =
a0
1 + (a0 t=c)
2 3=2
=
1
3
v
a0 ;
(50)
que tende a zero na medida em que a velocidade tende ao limite c (em
t = 1). A …gura 2 mostra a evolução temporal da aceleração.
75
Figura 6.2: Aceleração em função do tempo no movimento hiperbólico.
A aceleração decrescente com a velocidade para uma força aplicada constante está de acordo com a existência de uma velocidade limite c. Esta
compensação ocorre devido à massa relativística
p
m0
m= p
= m0 1 + (a0 t=c)2 ;
(51)
1 (v=c)2
crescente com o módulo da velocidade. Na medida em que a massa inercial tende ao in…nito quando a velocidade se aproxima de c, nenhuma força
externa será su…ciente para aumentar a velocidade acima de c. A …gura
3 mostra a dependência temporal da massa relativística de um corpo em
movimento hiperbólico.
Figura 6.3: Massa relativística, m=m0 , em função do tempo, no movimento
hiperbólico.
A trajetória da partícula,
x(t) = x0 +
Z
76
v(t) dt :
considerando a condição inicial x0 = 0 em t = 0, …ca
2s
3
2
2
c 4
a0 t
x(t) =
15 ;
1+
a0
c
(52)
ilustrada na …gura 4. A equação da trajetória pode ser rearranjada na forma
a0 x2 + 2c2 x
a0 c2 t2 = 0 ;
(53)
equação da hipérbole no plano x ct que dá nome ao movimento hiperbólico.
Figura 6.4: Trajetória hiperbolica de uma partícula sujeita a uma força
constante.
Na dinâmica relativística, uma força constante aplicada num corpo não
resulta numa aceleração constante, uma vez que a velocidade é limitada pela
velocidade da luz. No entanto, nos referenciais onde o corpo está instantaneamente em repouso, a aceleração a0 , constante, é dada por
1
a0 =
v 2 3=2
c2
1
a;
(54)
idêntica à equação (42), onde a(t) e v(t) são a aceleração e a velocidade no
referencial de laboratório R. No referencial próprio R0 da partícula, não
inercial, a aceleração é nula, mas há um campo de aceleração equivalente a
um campo gravitacional uniforme, como rege o Princípio da Equivalência de
Einstein entre gravitação e aceleração.
Deste modo, um observador num referencial inercial em queda livre num
campo gravitacional uniforme verá um corpo em repouso no referencial de
laboratório como executando um movimento hiperbólico.
77
Se integrar a relação diferencial entre o tempo próprio
laboratório t,
dt = v d ;
o fator
resulta
v
dado em (49)., considerando a condição
Z tr
=
1
0
v2
dt =
c2
cuja relação inversa é
Z
t
0
1
q
1+
a0 t 2
c
dt =
e o tempo de
= 0 quando t = 0,
c
sinh
a0
1
a0 t
c
a0
c
sinh
:
a0
c
As coordenadas no espaço-tempo de uma partícula executando movimento hiperbólico, com a condição x(t = 0) = c2 =a0 , são
t=
a0
c2
cosh
x =
a0
c
c2
a0
ct =
sinh
a0
c
;
(55)
equações paramétricas correspondentes ao ramo superior da equação da hipérbole no plano x ct.
7
Carga num campo magnético uniforme
Um campo magnético B exerce uma força sobre uma partícula com carga
elétrica q dada por
q
F= v B
c
que, sendo perpendicular à velocidade,
F v=0;
e, portanto,
dE
d
= (mc2 ) = 0 ;
dt
dt
mostrando que a energia é conservada e a massa relativística permanece
constante.
Força e aceleração resultam paralelas,
m0
F = ma = p
a ;
(56)
1 v 2 =c2
78
e, consequentemente, aceleração perpendicular à velocidade, típica de um
movimento circular. A equação de movimento (41) …ca
a=
q
v
mc
B :
(57)
Para um campo magnético uniforme orientado na direção do eixo z, B =
B z, e perpendicular à velocidade,
^
^
^
B = ( vx y + vy x)B ;
v
de modo que
dv
qB ^
^
=
(vy x vx y) ;
dt
mc
resultando num sistema de equações diferenciais acopladas
a=
qB
dvx
=
vy ;
dt
mc
dvy
qB
=
vx ;
dt
mc
dvz
= 0 :
dt
(58)
Derivando uma vez em relação ao tempo, resulta no par de equações
desacopladas
d2 vx
+ ! 2 vx = 0 ;
dt2
d2 vy
+ ! 2 vy = 0 ;
dt2
(59)
para
qB
:
(60)
mc
Não é necessário considerar a componente z do movimento, que pode contribuir com uma velocidade vz constante, a qual pode ser tomada como nula
sem perda de generalidade.
No caso de uma partícula carregada que penetra numa região de campo
magnético uniforme com uma velocidade v perpendicular ao campo, por exemplo ao longo do eixo x, que corresponde à condição inicial
!=
v(t = 0) = (v; 0; 0) ;
79
as componentes x e y da velocidade …cam
vx (t) = v cos !t e vy (t) =
v sin !t :
(61)
Integrando, resultam as coordenadas da trajetória,
x=
v
v
sin !t e y = cos !t ;
!
!
(62)
que descreve um movimento circular uniforme no plano xy,
x2 + y 2 =
de raio
r=
v
!
2
;
mvc
pc
v
=
=
!
qB
qB
(63)
conhecido como o raio de giro ou raio giromagnético de Larmor.
A aceleração centrípeta é
a=
v2
qvB
=
;
r
mc
(64)
a frequência angular dada pela equação (60).
7.1
Raios cósmicos
Excetuando os provenientes do Sol, os raios cósmicos, essencialmente prótons
e outros núcleos leves, tem origem no espaço exterior. Alguns são de origem
galáctica, da nossa Via Láctea, outros são extra-galácticos. De onde quer que
provenham, uma vez aceleradas e lançadas ao espaço, devem ter seguido uma
longa caminhada até, eventualmente, penetrarem na atmosfera terrestre. No
interior das galáxias as partículas carregadas estão sujeitas à ação do campo
magnético que permeia o meio galáctico, da ordem de G = 10 6 gauss (o
campo magnético da Terra na superfície é da ordem de 0; 3 gauss). Uma
partícula com carga Ze e energia E, numa região de campo magnético uniforme B, executará uma órbita circular de…nida pelo raio de Larmor ((63),
rL =
E
pc
'
:
Ze:B
Ze:B
(65)
Para um próton com energia de 1018 eV (eV = 1; 602 10 12 erg) num
campo de 3 G corresponde um raio de giro rL de aproximadamente 300pc,
que é ordem da espessura do disco galáctico. Assim, raios cósmicos acima
80
1018 eV tendem a ser excluídos do plano galáctico, sendo, portanto, um limitante para a energia dos raios cósmicos de origem galáctica.
O pc (parsec), abreviatura de paralax per second, corresponde à distância
de uma estrela …xa tal que um observador na Terra, ao ocupar as posições
opostas durante a sua translação em torno do Sol, vê a posição desta estrela
deslocada de um segundo de arco. Equivale a 3; 262 anos-luz, um ano-luz
sendo a distância percorrida pela luz no vácuo durante um ano, = 9; 461
1017 cm.
Ocorrem eventos raros, conecidos como raios cósmicos ultra-energéticos,
com energias acima da ordem 1019 eV , reconhecidos como de origem extragaláctica. Suas trajetórias são pouco afetadas por campos magnéticos da
ordem de grandeza dos campos galácticos e inter-galácticos, de modo que a
direção de entrada na atmosfera de uma partícula cósmica ultra energética
deve apontar diretamente para a sua fonte. No entanto, o espaço cósmico
é permeado pela radiação cósmica de fundo que, embora não tenha energia
su…ciente para afetar partículas cósmicas com energias abaixo da ordem de
1016 eV , pode-se mostrar que interage fortemente com os raios cósmicos de
ultra alta energia, com energias acima da ordem de 1019 eV , causando uma
rápida perda de energia causada pela criação de pares partícula antipartícula
como os píons.
7.2
Colisões
Efeitos relativísticos são particularmente importantes no universo das partículas elementares, que podem alcançar velocidades próximas à da luz. Informações acera da natureza destas partículas e o tipo de interações a que estão
sujeitas são, em geral, obtidas em processos de colisões como as dos raios
cósmicos ao incidirem sobre os núcleos dos gases atmosféricos ou em experimentos realizados nos aceleradores de partículas.
Como o tempo de interação é extremamente curto nestes processos, os
experimentos se reduzem às observações dos estados inicial e …nal do sistema,
as leis de conservação sendo fundamentais na análise dos dados coletados.
Para a energia e momento, as leis de conservação garantem que o momento
linear total e a emergia total do sistema antes e depois do processo são iguais,
Pi = Pf
e Ei = Ef :
Os índices i e f referem-se aos estados inicial e …nal, respectivamente.
Considere, por exemplo, uma colisão e espalhamento entre duas partículas, A e B, resultando em duas outras, C e D,
A+B !C +D
81
:
A equação de conservação do momento linear total …ca
pA + pB = pC + pD
(66)
e a equação de conservação da energia,
EA + EB = EC + ED ;
(67)
com a equivalente lei de conservação da massa relativística,
mA + mB = mC + mD :
(68)
Na linguagem dos quadri-vetores, resume-se na equação de conservação
da energia-momento total do sistema,
pA + p B = pC + pD :
(69)
As colisões podem ser elásticas, inelásticas. Nas colisões elásticas, a energia cinética total do sistema é conservada e nas ineláticas, parte da energia
cinética é absorvida pelo sistema.
7.2.1
Colisões elásticas
Diz-se que uma colisão é elástica quando a energia cinética total do sistema
é conservada,
KA + K B = KC + KD :
(70)
Como a energia cinética relativística de uma partícula de massa m e velocidade v é de…nida como
K = (m m0 )c2 ;
podemos ver que a conservação da energia cinética aliada à conservação da
massa relativística implica na conservação da massa de repouso das partículas,
m0A + m0B = m0C + m0D :
(71)
Como exemplo de uma colisão elástica, vamos considerar uma partícula
incidente, massa m0 , momento p0 e energia E0 ; chocando-se com uma outra
partícula idêntica, em repouso, sendo que, após o choque, as partículas
emergem espalhadas simetricamente de um ângulo em relação ao eixo de
incidência. Pela conservação de energia e momento,
E0 = E1 + E2 ;
0 = p1 sin
p2 sin ;
p0 = p1 cos + p2 cos
;
82
(72)
de onde resulta
p1 = p2 = p ) E1 = E2 = E ;
e portanto
E0 = 2E ;
p0 = 2p cos ;
(73)
de modo que
p
E2
p0
cos =
= p 0
2p
2 E2
p
E 2 m20 c4
p 0
=
2 E02 =4 m20 c4
m20 c4
m20 c4
Utilizando a relação entre energia e momento,
E2
p2 c2 = m2 c4 ;
a equação anterior …ca
p
p
(E0 + m0 c2 ) (E0 m0 c2 )
E02 m20 c4
p
cos = p 2
=
(E0 + 2m0 c2 ) [(E0 m0 c2 ) m0 c2 ]
E0 4m20 c4
p
(E0 + m0 c2 ) (E0
= p
(E0 + 2m0 c2 ) [(E0
m0 c2 )
m0 c2 )
m0 c2 ]
=
s
(74)
E0 + mc2
;
E0 + 3mc2
que de…ne o ângulo de espalhamente em função da energia inicial da partícula
incidente e da massa das partículas.
7.2.2
Colisões inelásticas
Uma colisão é inelástica quando a energia cinética, e consequentemente, a
massa de repouso não são conservadas,
KA + KB 6= KC + KD
(75)
m0A + m0B 6= m0C + m0D :
(76)
e
Numa colisão inelástica, pode ocorrer reações tal que
KA + KB < KC + KD ;
que caracteriza uma colisão com absorção de energia cinética, ou
KA + KB > KC + KD ;
83
que caracteriza uma colisão explosiva, com liberação de energia cinética.
Como caso extremo, temos as colisões completamente inelásticas, quando
as partículas emergentes após a colisão se agregam, formando um corpo único;
neste caso, há a absorção máxima da energia cinética. O exemplo a seguir
mostra um típico processo completamente inelástico: a colisão frontal de duas
partículas de massas iguais movendo-se com velocidades iguais em módulo e
sentidos opostos, após a colisão emergindo uma única partícula de massa de
repouso M0 .
Da conservação da energia e momento,
2mc2 = M0 c2 ;
o momento inicial e o …nal nulos, de modo que a partícula resultante deve
estar em repouso. A energia cinética inicial do sistema é
K = 2mc2
2m0 c2 ;
de modo que a relação entre as massas antes e depois do evento …ca
2m0 c2
= 2m0 c2 + K;
M0 c2 = 2mc2 = p
1 v 2 =c2
(77)
onde K é a energia cinética totalmennte absorvida e incorporada à massa de
repouso M0 do sistema resultante.
Em sistemas macroscópicos, a energia pode ser absorvida como energia
de ligação do sistema., assim como ser parcial ou totalmente convertida em
energia térmica, por exemplo. Signi…ca que qualquer tipo de energia contribui
para a massa total do sistema, sendo que, do ponto de vista relativístico,
massa e energia podem ser tomadas como sinônimos, diferindo apenas por
conveniência das unidades de medida.
Em processos explosivos, o sistema libera energia em forma de energia
cinética, como nos decaimentos expontâneos e criação e aniquilação de pares.
Suponha uma partícula de massa M, inicialmente em repouso, fragmentandose em duas outras de igual massa de repouso m0 . Nesta reação,
M0 c2 = 2mc2 ;
o momento …nal permanecendo nulo, de modo que as duas partículas devem
ser lançadas em direções opostas, com a mesma velocidade em módulo. O
momento linear de cada partícula, em módulo, sendo p = mv. A relação
entre as massas …ca
K
M0 = 2m0 + 2 ;
c
84
onde K é a energia cinética liberada, mostrando que a reação somente pode
ocorrer se
M0 > 2m0 :
Em sistemas de partículas elementares, colisões, aniquilações e produções
de pares são fenômenos comuns. Na colisão e aniquilação de um par elétronpósitron, deve resultar no mínimo dois fótons para que o momento linear
seja conservado, pois os fótons, embora de massa nula, transportam energia
e momento diferentes de zero relacionados por
E = pc :
Se o momento inicial do sistema elétron-pósitron for nulo, o momento …nal
também deve permanecer nulo, o que é impossível com a produção de apenas
um fóton. Dois fótons também podem dar origem a um par elétron-pósitron,
desde que a energia dos fótons seja su…ciente para, no mínimo, fornecer as
energias de repouso do elétron e do pósitron.
7.3
Referencial de Centro de Massa
Considere um sistema de N partículas cujo momento linear total é
P=
N
X
pi :
i=1
De…ne-se o referencial do Centro de Massa R como o referencial onde o
momento linear total é nulo, P = 0. Considerando a energia e o momento
totais, as transformações relativísticas, equação (35), entre os referenciais R
e R (em movimento relativo uniforme V ao longo do eixo x) resultam
E
Px
Py
=
(E
V Px ) ;
EV
);
= (Px
c2
= Py ; Pz = Pz ;
(78)
Se o eixo x for escolhido tal que Px = P e Py = Pz = 0, a condição de
nulidade, P = 0, do momento linear total em R leva a
E
=
(E
P
=
(P
V Px ) ;
EV
)=0:
c2
Deste modo,
P c2
V =
E
85
(79)
de…ne a velocidade do referencial do centro de massa R em relação ao referencial de R , e a relação
E=q
1
1
E ;
(80)
V2
c2
para E = M c2 e E = M0 c2 de…ne a relação entre a massa relativística total
do sistema e a massa no referencial de Centro de Massa,
M=q
1
1
V2
c2
M0 :
(81)
Para um sistema de partículas que não interagem entre si, a posição do
Centro de Massa pode ser de…nida pela fórmula usual
P
mi ri
:
(82)
R = Pi
i mi
Como as massas relativísticas das partículas assim como a massa relativística
total do sistema são constantes,
P
mi vi
Pc2
dR
=
= V = Pi
(83)
dt
E
i mi
resulta na velocidade uniforme do Centro de Massa, já de…nida pela equação
(79).
O referencial do Centro de Massa é o referencial de repouso do sistema
como um todo. Neste sentido, veri…ca-se, também, a relação relativística
entre a energia e o momento do sistema,
E2
P 2 c2 = M02 c4 :
É como se uma única partícula com massa de repouso M0 estivesse localizada
nas coordenadas do Centro de Massa do sistema, movendo-se com velocidade
uniforme V , aproximação usada quando os graus de liberdade internos ao
sistema não são perceptíveis.
Exercícios
1. Para um quadri-vetor A o produto escalar A A é uma invariante
relativística. Determine estas invariantes para os quadri-vetores de
posição, x , e do momento, p .
86
2. Demonstre que, assim como
m= p
1
m0
v 2 =c2
de…ne a massa relativística de uma partícula de massa de repouso m0 e
velocidade v num referencial R, num outro referencial R0 em movimento
uniforme com velocidade V em relação a R, ao longo do eixo comum
xx0 , a massa relativística será
m0 = p
1
m0
v 02 =c2
:
3. Como variam no tempo a massa e a energia de uma partícula submetida
a uma força constante? Esboce grá…cos destas variações em função da
velocidade e do tempo.
4. Obtenha o movimento de uma partícula sujeita a uma força constante,
integrando a equação de movimento diretamente na sua forma tensorial.
5. As estrêlas obtem parte da energia pela fusão de três partículas , ou
H24 , formando um núcleo de Carbono, C612 . Quanta energia é liberada
nesta reação?
Dados: massas em unidade de massa atômica, u:m:a: = 1:66 10 27 kg =
931:1M eV ,
nêutron
1:008665
próton
1:007825
Hélio ( )
4:002603
12
12:000000
Carbono C6
6. Considere a reação
H 2 + Li6 ! 2He4 :
a) Supondo que toda a energia excedente desta reação transforme-se
em energia térmica, qual é o ganho em temperatura após a reação?
b) Qual é a energia cinética ganha por cada molécula de hélio, considerando que um mol contém 6:025 1023 moléculas?
Os pesos de um mol de cada uma das substâncias abaixo são:
H 2 (deutério)
Li6 (lítio)
He4 (hélio)
87
2:014102g
6:015126g :
4:002603g
Bibliogra…a
1. H. A. Lorentz, A. Einstein e H. Minkowski, Textos Fundamentais da
Física Moderna, I volume - O Princípio da Relatividade (3a: edição),
Editora da Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa (1958).
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10. John F. Hawley e Katherine A. Holcomb, Foundations of Modern Cosmology (second edition), Oxford University Press, 2005.
11. Hélio Schechter e Carlos A. Bertulani, Introdução à Física Nuclear,
editora da UFRJ (2007).
88