Dinâmica de um Sistema
de Partículas
Dra. Diana Andrade, Dra. Angela Krabbe, Dr. Caius Lucius & Dr. Sérgio Pilling
4 - MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
Se um ponto se move numa circunferência, seu movimento é circular, podendo ser
uniforme ou não. Alguns movimentos ocorrem em setores de circunferência tendo
características semelhantes ao movimento circular, embora não sejam chamados
com esse nome. Um exemplo é o pêndulo.
O movimento circular pode ser tratado como um movimento em uma dimensão (1D),
(através de uma única coordenada) ou em duas dimensões (2D), através da
decomposição x,y, pois este movimento se dá num plano. Primeiro vejamos o
movimento circular como um movimento 1D.
Uma vez definido o ponto R e a convenção de sinais, a coordenada s de um ponto P
numa reta ou numa curva aberta, possui um único valor. Seu módulo é dado pelo
comprimento do trecho de curva que vai de R a P, sendo o sinal atribuido de acordo
com a convenção adotada.
Num círculo, ou qualquer curva fechada, a escolha de R e da convenção de sinais não
é suficiente para definir a coordenada de posição de modo inequívoco. Seja ela
escalar ou polar, há infinitos valores possíveis para a coordenada de um determinado
ponto P sobre a curva, todos medidos a partir de R. O exemplo a seguir mostra dois
valores, s1 e s2, para uma mesma posição de P e para o mesmo observador.
-R+
-R+
s1
900
P
900
P
5 cm
s2
s1 = (π/2) . 5 ≅
7,85 cm
s2 = - (3π/2) . 5 ≅ - 23,6 cm
O movimento circular uniforme é o movimento circular no qual o ponto se move com
velocidade escalar (ou angular) constante. Nesse caso as funções s(t) e θ(t) são
lineares em t:
s(t) = s0 + vt, onde s0 e v são a coordenada de posição escalar inicial e a
velocidade escalar da partícula, respectivamente.
θ(t) = θ0 + wt, onde θ0 e w são a coordenada polar inicial e a velocidade
angular da partícula, respectivamente.
s(t) e θ(t) são formas alternativas de descrever o movimento circular e não são
independentes. As grandezas escalares do movimento estão relacionadas diretamente
com as respectivas grandezas angulares através do raio do círculo:
s(t) = r θ(t) ;
v(t) = r θ’(t) ;
a(t) = r θ’’(t)
No movimento circular uniforme tem-se:
v(t) = v,
v constante
θ’(t) = w,
e
ω constante
Podemos ainda, descrever o movimento circular uniforme como um movimento em
duas dimensões (2D), pois o ponto P se move num plano, o plano do círculo. Assim, o
movimento de P é descrito pelas coordenadas x(t) e y(t), num sistema de referência
cartesiano previamente escolhido. Os movimentos das sombras x e y obedecem às
relações do movimento retilíneo, isto é, velocidade e aceleração são respectivamente a
primeira e segunda derivadas das funções x(t) e y(t). A velocidade e aceleração de
uma sombra é a projeção do vetor velocidade e do vetor aceleração, respectivamente,
no eixo correspondente.
Exemplo4-1: Um ponto P move-se num círculo de raio r e dois observadores
estudam seu movimento:
-o observador 4-1 usa a descrição 1D. Para esse observador o movimento é descrito
pela coordenada polar θ(t). As convenções para a coordenada θ(t) são as mesmas da
coordenada escalar s(t) e estão mostradas na FIG. 4-1 pela referência R e convenção
de sinais. A FIG. 4-1 mostra o ponto P num instante de tempo t qualquer. O ângulo
mostrado, θ(t) é positivo (sentido anti-horário é positivo, de acordo com a convenção +
R -).
P
r
θ (t)
r
+
R
-
FIG. 1: coordenada polar segundo observador 1
-o observador 2 usa a descrição 2D. Para esse observador o movimento é descrito no
sistema de referência cartesiano mostrado na FIG. 4-2. A origem foi escolhida como
sendo o centro do círculo.
y
P
y(t)
r
0
x(t)
x
FIG. 2: coordenadas cartesianas segundo o observador 2
a)Represente na FIG. 4-3 o ângulo θ(t), conforme definido pelo observador 1 (FIG. 4-1)
b)Com dois riscos a lápis, mostre na FIG. 3 os segmentos de reta que representam os
valores de x(t) e y(t).
y
y(t)
t
θ (t)
0
FIG. 3
x(t)
x
c)Obtenha a relação entre o segmento x(t) (cateto adjacente) e o ângulo θ(t).
x(t) = r cos [θ(t)]
d)Faça o mesmo para o segmento y(t) (cateto oposto).
y(t) = r sen [θ(t)] ;
y(t) é igual ao tamanho do cateto oposto ao ângulo.
4.1 - Aceleração centrípeta e período:
Embora a velocidade escalar não varie no movimento circular uniforme, o movimento
é acelerado porque a velocidade muda de direção. A figura ao lado mostra a relação
entre os vetores velocidade e aceleração em várias posições durante o movimento
circular uniforme.
Î O módulo dos dois vetores permanece constante durante o movimento, mas a
orientação varia continuamente.
Î A velocidade está sempre na direção tangente à circunferência e tem o mesmo
sentido que o movimento.
Î A aceleração está sempre na direção radial e aponta para o centro do círculo. Por
essa razão, a aceleração associada ao movimento circular uniforme é chamada de
centrípeta (“que busca o centro”). Como será demonstrado a seguir, o módulo dessa
aceleração centrípeta
a=
r
a
é:
v2
(aceleração centrípeta)
r
(4.1)
onde r é o raio da circunferência e v é a velocidade da partícula.
Durante essa aceleração com velocidade escalar constante a partícula percorre a
circunferência completa (uma distância igual a 2π r) em um intervalo de tempo dado
por:
T=
2π r
v
(período)
(4.2)
O parâmetro T é chamado período de revolução ou, simplesmente, período.
Período é o tempo que uma partícula leva para completar uma volta em uma
trajetória fechada.
Demonstração da equação 5.1:
Para determinar o módulo e a orientação da
aceleração no caso do movimento circular uniforme,
considere a figura ao lado. Em (a) a partícula p se
move com velocidade escalar constante v enquanto
percorre uma circunferência de raio r. No instante
mostrado, p possui coordenadas xp e yp.
r
v é sempre tangente a trajetória da partícula na
posição considerada. Isso significa que, na figura,
r
v é perpendicular a uma reta r que liga o centro da
circunferência à posição da partícula. Nesse caso, o
r
ângulo θ que v faz com a reta vertical passando
pelo ponto p é igual ao ângulo θ que o raio r faz com
o eixo x.
As componentes escalares de
r
v
r
v
aparecem na figura
(b). Assim,
pode ser escrita em termos dessas
componentes, como:
r
v = v x iˆ + v y ˆj = (−vsenθ )iˆ + (v cos θ ) ˆj
Vemos que senθ =
r ⎛ − vy p
v = ⎜⎜
⎝ r
⎞ ˆ ⎛ vx p
⎟⎟i + ⎜⎜
⎠ ⎝ r
yp
r
e
⎞ˆ
⎟⎟ j
⎠
cos θ =
(4.3)
xp
r
.
(4.4)
Sendo a aceleração, a taxa de variação temporal da
velocidade e lembrando que tanto o raio r quanto a
velocidade escalar v são constantes, podemos
escrever:
r
r dv ⎛ v dy p ⎞ ˆ ⎛ v dx p ⎞ ˆ
⎟i + ⎜
⎟j
= ⎜−
a=
dt ⎜⎝ r dt ⎟⎠ ⎜⎝ r dt ⎟⎠
(4.5)
De acordo com a figura, v x = −vsenθ e v y = v cos θ , sendo a primeira, a componente x e
a segunda, a componente y da velocidade. Desta forma:
⎞ ⎛ v2
⎞
r ⎛ v2
(5.6)
a = ⎜⎜ − cos θ ⎟⎟iˆ + ⎜⎜ − senθ ⎟⎟ ˆj
⎝ r
⎠ ⎝ r
⎠
Assim, o módulo da aceleração será dado por:
a = a x2 + a y2 =
v2
r
(cos θ ) 2 + ( senθ ) 2 =
Para determinar a orientação de
tgφ =
ay
ax
=
v2
r
r
a , temos que encontrar o ângulo φ:
− (v 2 / r ) senθ
= tgθ
− (v 2 / r ) cos θ
φ =θ
r
a
Significando que
aponta na direção do raio r da figura acima, no sentido do centro
da circunferência, como queríamos demonstrar.
Exemplo 4.1: Os pilotos de caça se preocupam quando têm que fazer curvas muito
fechadas. Como o corpo do piloto fica submetido à aceleração centrípeta, com a
cabeça mais próxima do centro de curvatura, a pressão sanguínea no cérebro
diminui, o que pode levar à perda das funções cerebrais. Os sinais de perigo são
vários. Quando a aceleração é de 2g ou 3g, o piloto se sente pesado. Quando a
aceleração passa para 4g a visão do piloto passa para preto e branco. Se a aceleração
é mantida ou aumentada, o piloto passa a não enxergar e logo em seguida perde a
consciência. Qual o módulo da aceleração, em unidades de g, para um piloto cuja
r
aeronave inicia uma curva horizontal com uma velocidade v0 = (400iˆ + 500 ˆj )m / s e 24,0
r
s após termina a curva com v f = −(400iˆ + 500 ˆj )m / s ? Suponha que o movimento é
circular uniforme.
a=
v2
=
r
(400) 2 + (500) 2
, mas não temos r.
r
Usando: T =
2π r
v
Î r=
Tv
2π
Como a velocidade final é o negativo da velocidade inicial, significa que o avião
termina a curva no lado oposto da circunferência e completou metade de uma
circunferência em 24,0 s. Assim, T=48 s. Substituindo na equação acima:
r=
48 (400) 2 + (500) 2
= 4891,77m
2π
a=
2
2 2
v 2 ( (400) + (500) )
410000
=
=
= 83,81m / s 2
r
4891,77
4891,77
e
Assim,
a=
83,81
≈ 8,6 g .
9,8
Exercícios:
1) Um ponto P move-se numa circunferência de raio 50 cm e sua posição angular é dada
π 25
pela função θ(t) =
+ πt (rad, s). Considere o sistema de referência cartesiano
8 2
indicado na FIG. 4. As convenções para as coordenadas escalar e angular estão também
y
indicadas.
P
FIG. – Mostra o ponto P
num instante qualquer t,
diferente de zero.
θ
+
R
-
x
Marque F (falso) V(verdadeiro)
(
) o movimento de P é no sentido anti-horário.
(
) o período do movimento é da 0,16s.
(
) a sombra x do ponto P move-se entre x = -50cm e x = +50cm.
(
) quando θ = 3π, a velocidade da sombra y é igual a zero.
) quando t=0 a sombra x encontra-se na origem do sistema de referência.
25
( ) a velocidade escalar de P é igual a
π cm/s.
2
( ) em t=0,04s a velocidade da sombra x é negativa.
(
( ) no instante em que o ponto P completa uma volta, a aceleração da sombra
y é negativa.
(
) a coordenada escalar de P, no instante t=0 é s(0) = 50
(
) sempre que x=0 o vetor aceleração é paralelo a y.
π
8
cm.
Resp.: V V V F F F V V V V
2)Um ponto P gira uniformemente no sentido horário sobre uma circunferência de
raio 40cm na taxa de 72 rotações por minuto. No instante t=0, a posição do ponto é
dada por sua coordenada escalar s(0) = -10π cm. O sistema de referência e
convenções para coordenada escalar estão indicadas na FIG. abaixo.
y
+
R
-
x
a) Obtenha a função θ(t) que descreve o movimento do ponto P.
b) Na FIG. 5, marque A, posição inicial de P, e represente o vetor velocidade nesse
instante.
c) Calcule o período, o módulo da velocidade escalar v1 de um ponto distante r/4 do
centro do círculo e os módulos da velocidade escalar e da aceleração de P.
Resp.: 0,833...s; 75,4 cm/s; 302 cm/s; 2274 cm/s2
3) A posição de um ponto P sobre uma circunferência é dada por θ0 =
π
rad, nas
4
convenções mostradas na FIG. 6. A partir desse instante seu movimento é uniforme,
no sentido anti-horário e à taxa de 3 voltas completas por segundo. O raio da
circunferência é igual a 20cm e o plano do movimento é vertical.
a) Dê a função θ(t) que descreve o movimento de P para t ≥ 0.
θ(t) =
b) Determine:
-o período do movimento
T = 1/3 s
-a função s(t) que descreve o movimento de P sobre a trajetória.
s(t) = 5π + 120 π t (cm,s)
r
-o módulo da velocidade v (t) do ponto P num instante de tempo t qualquer.
y
Resp.: 120 π cm/s
FIG.
P
θ0
+
R
-
x
c) Obtenha as funções x(t) e y(t) que descrevem o movimento de P no sistema de
referência cartesiano da FIG. 3 e determine as funções vx(t), vy(t), ax(t) e ay(t),
velocidades e acelerações das sombras x e y respectivamente.
x(t) = 20 cos (π/4 + 6π t) (cm,s)
vx (t) = - 120 π sen (π/4 + 6π t) (cm,s)
ax (t) = - 720 π2 cos (π/4 + 6π t) (cm,s)
y(t) =
vy (t) =
ay(t) =
d) Determine t1 e t2, instantes de tempo em que a sombra y atinge o ponto mais alto
de seu movimento pela primeira e segunda vez, respectivamente. Obtenha o vetor
aceleração quando P passa por esse ponto e desenhe-o na FIG. 6.
t1 = (1/24) s
; t2 = 0,375 s
r
a = (ax, ay) = (0, -720 π2 cm/s2)