Matemática II
t
Capítulo 19
Ângulos
1. (UNIRIO) As retas r1 e r2 são paralelas. O valor do ângulo α,
apresentado na figura a seguir, é:
r1
α
Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avião
AII, que seguiu a direção que forma um ângulo de 135° graus
no sentido horário com a rota Brasília – Belém e pousou em
alguma das capitais brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fez
uma conexão e embarcou em um avião AIII, que seguiu a
direção que forma um ângulo reto, no sentido anti-horário,
com a direção seguida pelo avião AII ao partir de Brasília-DF.
Considerando que a direção seguida por um avião é sempre
dada pela semirreta com origem na cidade de partida e que
passa pela cidade destino do avião, pela descrição dada, o
passageiro Carlos fez uma conexão em:
a) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba.
b) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador.
c) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho.
d) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro.
e) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus.
4. (UTFPR) Na figura a seguir, temos r//s e t//u//v.
130º
r2
x
52 º30’
a)40º
b)45º
c)50º
64 º30’
d)65º
e)130º
r
Y
b)
47
17
e)
43
13
c)
13
17
X
Z
2. (PUCPR) Dois ângulos complementares A e B, sendo A < B,
têm medidas na razão de 13 para 17. Consequentemente,
a razão da medida do suplemento do ângulo A para o
suplemento do ângulo B vale:
43
119
a)
d)
47
48
t
s
v
u
Com base nos estudos dos ângulos formados por retas
paralelas cortadas por uma transversal, pode-se afirmar que:
I) o ângulo X mede 127°30’;
II) o ângulo Y mede 117°;
III) o ângulo Z mede 64°30’.
Analise as proposições acima e assinale a alternativa correta.
a) somente as afirmações I e II estão corretas.
b) somente as afirmações I e III estão corretas.
c) somente a afirmação I está correta.
d) as afirmações I, II e III estão corretas.
e) as afirmações I, II e III estão incorretas.
3. (ENEM) Rotas aéreas são como pontes que ligam cidades,
estados ou países. O mapa a seguir mostra os estados brasileiros
e a localização de algumas capitais identificadas pelos números.
Considere que a direção seguida por um avião AI que partiu de
Brasília – DF, sem escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento
de reta com extremidades em DF e em 4.
t
Capítulo 20
Mapa do Brasil e algumas Capitais
2
Triângulos
3
5
6
A
17
15
1 Manaus
2 Boa Vista
3 Macapá
4 Belém
5 São Luís
6 Teresina
7 Fortaleza
8 Natal
9 Salvador
1. Na figura,
=
AB AC
=
e AD AE. A medida do ângulo oposto α é:
8
10 Rio de Janeiro
11 São Paulo
12 Curitiba
13 Belo Horizonte
14 Goiânia
15 Cuiabá
16 Campo Grande
17 Porto Velho
18 Rio Branco
20°
9
14
13
16
11
12
10
E
Reprodução / Enem
18
7
4
1
B
a)5°
b)10°
c)15°
SIQUEIRA, S. Brasil Regiões. Disponível em: www.santiagosiqueira.pro.br.
Acesso em: 28 jul. 2009 (adaptado).
ensino médio
1
D
α
C
d)20°
e)25º
1ª- ano
2. Considere um triângulo equilátero de lado L, como na figura
abaixo.
L
a)30
b)49
c)60
2. A figura mostra um triângulo ABC, isósceles, de base BC.
ˆ e CD bissetriz de ACB, calcule
Sendo BD bissetriz de ABC
o valor de x.
A
a)100°
80º
b)110°
c)120°
d)130°
e)135°
L
L
Unindo os pontos médios dos seus lados, obtemos 4 (quatro)
novos triângulos. O perímetro de qualquer um desses quatro
triângulos é igual a:
a)
x
B
L
5L
d)
2
2
b)L
e)
c)3L
d)75
e)90
C
3. O esqueleto de uma grande pipa japonesa está sendo
montado de acordo com o polígono ABCD da seguinte figura.
3L
2
B
3. Com 3 segmentos de comprimentos 10 cm, 12 cm e 23 cm,
a) é possível formar apenas um triângulo retângulo.
b) é possível formar apenas um triângulo obtusângulo.
c) é possível formar apenas um triângulo acutângulo.
d) não é possível formar um triângulo.
e)é possível formar qualquer um dos dos triângulos:
retângulo, acutângulo ou obtusângulo.
D
A
C
4. Na figura, ABCD é um quadrado, ADE e ABF são triângulos
equiláteros.
E
M
A
D
F
C
B
Se os pontos C, A e M são colineares, então o ângulo FÂM
mede:
a)75º
d)85º
b)80º
e)87º30’
c)82º30’
Se os ângulos BAD e DCB medem 60° e ABC mede 20°,
então o ângulo obtuso ADC medirá:
a)150°
b)160°
c)170°
d)140°
e)130°
4. As retas r e s são interceptadas pela transversal t, conforme
a figura.
t
t
Capítulo 21
x + 20º
Retas paralelas e ângulos num
triângulo
4x + 30º
s
1. Na figura, ABCD é um quadrado e BCE é um triângulo
equilátero. A medida do ângulo AEB, em graus, mede:
A
B
E
D
ensino médio
r
O valor de x, para que r e s sejam paralelas, é:
a)20°
b)26°
c)28°
d)30°
e)35°
C
2
1ª- ano
t
?
O ângulo EÂF mede 20°. Quanto vale o ângulo EGB
a)10°
d)20°
b)12°
e)24°
c)16°
Capítulo 22
Quadriláteros notáveis
t
1. Dadas as afirmações:
I. Quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero são
suplementares;
II. Quaisquer dois ângulos consecutivos de um paralelogramo
são suplementares;
III.Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares
entre si e se cruzam em seu ponto médio, então esse
paralelogramo é um losango.
Pontos notáveis num triângulo
1. Um triângulo ABC tem ângulos A = 40° e B = 50°. Qual é
o ângulo formado pelas alturas relativas aos vértices A e B
desse triângulo?
a)30°
b)45°
c)60°
d)90°
e)120°
Podemos garantir que:
a) todas são verdadeiras.
b) apenas I e II são verdadeiras.
c) apenas II e III são verdadeiras.
d) apenas II é verdadeira.
e) apenas III é verdadeira.
2. Quais pontos notáveis de um triângulo nunca se posicionam
externamente em relação à sua região triangular?
a) Baricentro e Ortocentro
b) Incentro e Circuncentro
c) Baricentro e Circuncentro
d) Incentro e Ortocentro
e) Baricentro e Incentro
2. Na figura tem-se o trapézio isósceles ABCD no qual as bases
medem 15 cm e 27 cm. Os lados AB e CD foram divididos
em 4 partes iguais, e pelos pontos de divisão, foram traçados
3 segmentos paralelos às bases. Ver figura:
A
Capítulo 23
D
3. O triângulo ABC da figura é retângulo em A, AS é a bissetriz
interna e AM é mediana.
B
A
C
A soma das medidas dos três segmentos traçados é, em
centímetros, igual a:
a) 52 d) 61
b)58
e)63
c)59
α
60°
B
3. Na figura a seguir, ABCD é um quadrado de lado unitário e
ABE é um triângulo equilátero.
Nessas condições, qual é o valor de α?
a)12°
D
α
b)15°
E
c)18°
d)19°
e)20°
M
C
S
Então a medida de α, em graus, é:
a)10°
b)12°
c)15°
d)20°
e)28°
C
4. Considere o triângulo ABC, sendo BH a altura do triângulo
ABC e BM a mediana relativa ao lado AC.
B
A
B
α α
4. No retângulo ABCD, E é o ponto médio do lado BC e F é o
ponto médio do lado CD. A interseção de DE com FB é G.
D
C
F
A
G
ensino médio
H
M
x
C
Com base na figura acima, a medida, em grau, do ângulo x é:
a)60
d)20
b)45
e)25
c)30
E
A
α
B
3
1ª- ano
t
4. Uma pessoa pegou um mapa rasgado em que constava um
terreno delimitado por quatro ruas.
Capítulo 24
R. Netuno
Polígonos
1. O número de diagonais de um polígono convexo de x lados
x 2 − 3x
é dado por d =
. Se o polígono possui 9 diagonais,
2
seu número de lados é:
a) 10 b)9
c)8
d)7
e)6
R. Saturno
2. Dois ângulos internos de um polígono convexo medem 130°
cada um e os demais ângulos internos medem 128° cada
um. O número de lados do polígono é:
a)6
b)7
c)13
d)16
e)17
1. Pentágonos regulares congruentes podem ser conectados,
lado a lado, formando uma estrela de cinco pontas, conforme
destacado na figura a seguir.
Nessas condições, o ângulo α mede:
a)108°
b)72°
c)54°
d)36°
e)18°
α
A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares,
com as respectivas medidas de seus ângulos internos.
Nome
Triângulo
Quadrado
Pentágono
Hexágono
Octógono
Eneágono
60º
90º
108º
120º
135º
140º
2. Observe a figura a seguir.
Figura
Ângulo interno
Capítulo 25
Polígonos regulares
Reprodução / Enem
Figura 2: Heptágonos regulares não pavimentam
o plano (há falhas ou superposição)
Na parte visível do mapa, vê-se que o ângulo formado pela
Rua Saturno e pela Rua Júpiter é 90°; o ângulo formado pela
Rua Júpiter e pela Rua Netuno é 110° e o ângulo formado
pela Rua Netuno e pela Rua Marte é 100°. Nessas condições,
a medida de um ângulo formado pelas Ruas Marte e Saturno,
na parte rasgada do mapa, é de:
a)50°
b)60°
c)70°
d)80°
e)90°
t
3. (ENEM) Na construção civil, é muito comum a utilização
de ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o
revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas
as combinações de polígonos que se prestam a pavimentar
uma superfície plana, sem que haja falhas ou superposições
de ladrilhos, como ilustram as figuras.
Figura 1: Ladrilhos retangulares
pavimentados o plano
R. Júpiter
R. Marte
A
60°
Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos
diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um
deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma
de um
a) triângulo. b) quadrado. c)pentágono.
d)hexágono.
e)eneágono.
ensino médio
D
B
45°
60°
E
C
Sobre as sentenças:
I. O triângulo CDE é isósceles;
II. O triângulo ABE é equilátero;
III.AE é bissetriz do ângulo BÂD.
4
1ª- ano
É verdade que:
a) somente a I é falsa.
b) somente a II é falsa.
c) somente a III é falsa.
d) são todas falsas.
e) são todas verdadeiras.
3. Dado um polígono regular de n lados, se unirmos o seu centro
a cada um de seus vértices, obteremos n triângulos isósceles,
cada um dos quais tendo dois ângulos internos congruentes
de medidas iguais a:
a) 90º −
180º
2n
d) 180º −
ˆ , QSR
ˆ , SPR
ˆ ,
Suponha que as medidas dos ângulos PSQ
assinalados na figura, sejam 45°, 18° e 38°, respectivamente.
ˆ , em graus, é:
A medida do ângulo PQS
a)38
d)80
b)63
e)87
c)79
3. Na figura, AB e AC são tangentes ao círculo de centro O e
. PQR é tangente ao círculo,
Q é um ponto do arco menor BC
180º
2n
Aˆ = 28º.
B
180º
180º
e)
360º −
n
n
180º
c) 90º −
n
P
b) 180º −
O
C
4. O número de diagonais de um polígono regular 2n lados,
que não passam pelo centro da circunferência circunscrita a
este polígono, é dado por:
n (n − 5 )
a) 2n(n – 2)
d)
n (n2− 4 )
b) 2n(n – 1)
e)
4
R
ˆ ?
Sendo assim, qual é o valor do ângulo POR
a)70°
d)76°
b)72°
e)78º
c)74°
4. O pentágono ABCDE abaixo está inscrito em um círculo de
centro O. O ângulo central mede 60°.
c) 2n(n – 3)
t
A
Q
O ângulo central mede 60°. Então x + y é igual a:
a)180°
A
b)185°
c)190°
d)210°
B x
y E
O
e)250°
Capítulo 26
Ângulos numa circunferência –
Tangência
60º
C
1. Na figura abaixo, a circunferência tem o centro O e o seu raio
tem a mesma medida do segmento BC. Sejam a a medida
ˆ e β a medida do ângulo ACD
ˆ .
do ângulo AOD
D
t
Capítulo 27
A
D
Segmentos proporcionais
B
α
C
β
O
A relação entre α e β é:
5β
a) α =
2
b) α = 3β
7β
c) α =
2
d) α = 2β
1. Deseja-se construir uma ponte sobre um rio, no entanto os
engenheiros não têm acesso para medir a largura do rio nesse
local. Eles então usaram um pequeno truque efetuando, com
aparelhos apropriados, as medidas que se veem na figura a
seguir.
e) α = β
2. Observe a figura.
18º
t
R
38º
po
45º
nt
e
S
Pode-se afirmar, então, que a largura do rio no local onde a
ponte deverá ser construída é:
a) 33 m
b) 38 m
r
c) 43 m
30 m
24 m
d) 48 m
s
e) 53 m
56 m
2m
rio
P
Q
ensino médio
5
1ª- ano
2. Um desenhista fez a seguinte construção:
• desenhou o segmento AB e dividiu-o em três partes:
AD = 4 cm, CD = 6 cm e CB = 10 cm;
• desenhou o segmento AG, que mede 26 cm;
• uniu B a G e traçou os segmentos DE e CF paralelos a
BG.
Sendo assim, qual é o valor de
a)1
b)2
c)3
d)4
e)5
AE + EF
FG
Capítulo 28
Semelhança de triângulos
?
1. O desenho a seguir, construído na escala 1:7.000, representa
parte do bairro Água Branca, em Goiânia. As ruas R. 1, R. 2
e R. 3 são paralelas à Av. Olinda. O comprimento da Av. B,
da esquina com a Av. Olinda até a esquina com a Rua Dores
do Indaya, é de 350 m.
3. No triângulo ABC, MN // BC e AD é a bissetriz interna do
ângulo Â.
Rua
Dor
es d
o In
A
day
a
N
4
c
B
C
b
D
8
2,25 cm
C
R.1
3,00 cm
Qual é a razão entre os perímetros dos triângulos ABC e AMN
nessa ordem?
1
a)
2
1
b)
4
2
c)
3
4
d)
3
3
e)
4
Avenida Olinda
R
Q
Considerando-se que cada rua mede 7 m de largura, calcule
quantos metros um pedestre caminhará na Av. B, partindo
da esquina com Av. Olinda, até a esquina com a Rua R. 2,
sem atravessá-las.
a) 60 m
b) 116 m
c) 158 m
d) 168 m
e) 310 m
2. Um lateral l faz um lançamento para um atacante A, situado
32 m à sua frente, em uma linha paralela à lateral do campo
de futebol. A bola, entretanto, segue uma trajetória retilínea,
mas não paralela à lateral e quando passa pela linha de meio
do campo está a uma distância de 12 m da linha que une o
lateral ao atacante. Ver figura:
4. Nesta figura, os segmentos de retas AO, BP, CQ e DR são
paralelos.
120 m
1,50 cm
R.2
ida
9
6
Av
en
M
0,75 cm
R.3
12
a
Avenida B
R.4
P
O
A
12 m
40 m
C
30 m
D
32 m
B
A
20 m
A medida do segmento PQ , em metros, é:
a) 20 m
b) 30 m
c) 34 m
d) 37 m
e) 40 m
ensino médio
6
1ª- ano
Sabendo-se que a linha de meio do campo está à mesma
distância dos dois jogadores, a distância mínima que o
atacante terá que percorrer para encontrar a trajetória da
bola será de:
a) 18,8 m
b) 19,2 m
c) 19,6 m
d) 20 m
e) 20,4 m
Capítulo 29
Triângulo retângulo
1. Em um triângulo retângulo, um dos catetos mede 16 metros.
Determine, em metros, a medida da hipotenusa, sabendo
que a medida desta excede a medida do outro cateto em
8 metros.
a) 10 m
b) 12 m
c) 14 m
d) 18 m
e) 20 m
3. Em um terreno triangular, com 1.200 m2 de área, um dos
lados mede 60 m. Deseja-se construir, nesse terreno, um
galpão, cuja base retangular tem 504 m2 de área, conforme
a figura a seguir.
2. A Prefeitura de certa cidade montou uma árvore de Natal cujo
suporte é mostrado no esboço matemático abaixo, no qual
OM representa um mastro vertical fincado em uma superfície
plana e os segmentos AM, BM, CM e DM representam os
cabos de aço que ligavam o topo do mastro a ganchos que
os prendiam no solo.
Base do
galpão
M
60 m
Se os vértices da base do galpão estão sobre os lados do
terreno, o menor perímetro possível da base do galpão, em
metros, é:
a)90
b)92
c)100
d)110
e)128
A
rio
C
Se cada cabo de aço tinha 12,5 m de comprimento e cada
gancho distava 7,5 m do pé do mastro, então a medida da
altura do mastro, em metros, era:
a)9,5
d)11
b)10
e)11,5
c)10,5
3.
30 cm
90 cm
24 m
O
D
4. Duas árvores situadas em cada um dos lados de um rio estão
alinhadas, conforme a figura a seguir:
60 m
20 m
B
corrimão
30 cm
24 cm
A largura do rio, em metros, é:
a)45
b)48
c)50
d)60
e)67
ensino médio
24 cm
24 cm
24 cm
24 cm
7
90 cm
1ª- ano
Na figura acima, que representa o projeto de uma escada
com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do
corrimão é igual a:
a) 1,8 m
b) 1,9 m
c) 2,0 m
d) 2,1 m
e) 2,2 m
4. Na figura, a circunferência tem raio de medida r e AB é o
diâmetro. Considere todos os triângulos AXB, nos quais o
vértice X pertence à circunferência. O maior valor possível
para a área desses triângulos é:
X
3r 2
a)
5
b)r2
A
B
r 3
2
r2
d)
2
c)
e)2r2
ensino médio
8
1ª- ano