QUESTÕES – ÁREAS DE POLÍGONOS
1. (Unicamp 2014) O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão em
progressão aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a
a) 3,0 m2.
b) 2,0 m2.
c) 1,5 m2.
d) 3,5 m2.
2. (Fgv 2014) A figura abaixo representa a face superior de um recipiente em forma de cubo de lado igual a L.
Esta face está parcialmente tampada por uma placa de metal (área em cinza) e parcialmente destampada (área em
branco), sendo AE  AF  L / 2. João e Maria arremessam bolinhas de diâmetro desprezível sobre essa face.
Considere que a probabilidade de a bolinha atingir qualquer região dessa face é proporcional à área da região e que
os arremessos são realizados de forma independente.
a) Dado que uma bolinha arremessada por João caia na região do quadrado ABCD, qual é a probabilidade de que
passe diretamente pela parte branca (destampada)?
b) Se João arremessar uma bolinha e Maria arremessar outra, dado que em ambos os lançamentos as bolinhas
caiam na região do quadrado ABCD, qual é a probabilidade de que ao menos uma passe diretamente pela parte
branca?
c) Se João efetuar seis arremessos, e em todos eles a bolinha cair na região do quadrado ABCD, qual é a
probabilidade de que em exatamente 4 desses arremessos a bolinha passe diretamente pela parte branca?
3. (Ita 2014) Em um triângulo isósceles ABC, cuja área mede 48cm2 , a razão entre as medidas da altura AP e da
base BC é igual a
2
. Das afirmações abaixo:
3
I. As medianas relativas aos lados AB e AC medem
II. O baricentro dista 4 cm do vértice A;
97 cm;
III. Se α é o ângulo formado pela base BC com a mediana BM, relativa ao lado AC, então cos α 
3
97
,
é (são) verdadeira(s)
a) Apenas I.
b) Apenas II.
c) Apenas III.
d) Apenas I e III.
e) Apenas II e III.
4. (Insper 2014) As disputas de MMA (Mixed Martial Arts) ocorrem em ringues com a forma de octógonos regulares
com lados medindo um pouco menos de 4 metros, conhecidos como “Octógonos”. Medindo o comprimento exato de
seus lados, pode-se calcular a área de um “Octógono” decompondo-o, como mostra a figura a seguir, em um
quadrado, quatro retângulos e quatro triângulos retângulos e isósceles.
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A medida do lado do quadrado destacado no centro da figura é igual à medida a do lado do “Octógono”. Se a área
desse quadrado é S, então a área do “Octógono” vale
a) S(2 2  1).
b) S( 2  2).
c) 2S( 2  1).
d) 2S( 2  2).
e) 4S( 2  1).
5. (Espm 2014) Durante uma manifestação, os participantes ocuparam uma avenida de 18m de largura numa
extensão de 1,5km. Considerando-se uma taxa de ocupação de 1,5 pessoas por m2 , podemos estimar que o
número de participantes dessa manifestação foi de aproximadamente:
a) 70 mil
b) 60 mil
c) 40 mil
d) 30 mil
e) 50 mil
6. (Espm 2014) Na figura abaixo, ABCD é um paralelogramo de área 24cm2 . M e N são pontos médios de BC e
CD, respectivamente.
A área do polígono AMND é igual a:
a) 20 cm2
b) 16 cm2
c) 12 cm2
d) 15 cm2
e) 18 cm2
7. (Espm 2013) A figura abaixo mostra um trapézio retângulo ABCD e um quadrante de círculo de centro A,
tangente ao lado CD em F.
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Se AB = 8 cm e DE = 2 cm, a área desse trapézio é igual a:
a) 48 cm2
b) 72 cm2
c) 56 cm2
d) 64 cm2
e) 80 cm2
8. (Insper 2013) No triângulo ABC da figura, M é ponto médio de AB e P e Q são pontos dos lados BC e AC,
respectivamente, tais que BP  AQ  a e PC  QC  4a.
Os segmentos AP, BQ e CM interceptam-se no ponto O e a área do triângulo BOM é 5 cm2. Dessa forma, a área
do triângulo BOP, assinalado na figura, é igual a
a) 5 cm2.
b) 6 cm2.
c) 8 cm2.
d) 9 cm2.
e) 10 cm2.
9. (Enem 2013) A cerâmica constitui-se em um artefato bastante presente na história da humanidade. Uma de suas
várias propriedades é a retração (contração), que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou
bloco cerâmico quando submetido a uma determinada temperatura elevada. Essa elevação de temperatura, que
ocorre durante o processo de cozimento, causa uma redução de até 20% nas dimensões lineares de uma peça.
Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 3 mar. 2012.
Suponha que uma peça, quando moldada em argila, possuía uma base retangular cujos lados mediam 30 cm e 15
cm. Após o cozimento, esses lados foram reduzidos em 20%.
Em relação à área original, a área da base dessa peça, após o cozimento, ficou reduzida em
a) 4%.
b) 20%.
c) 36%.
d) 64%.
e) 96%.
10. (Mackenzie 2013) Um arame de 63 m de comprimento é cortado em duas partes e com elas constroem-se um
triângulo e um hexágono regulares. Se a área do hexágono é 6 vezes maior que a área do triângulo, podemos
concluir que o lado desse triângulo mede
a) 5 m
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b) 7 m
c) 9 m
d) 11 m
e) 13 m
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
A figura abaixo representa uma peça de vidro recortada de um retângulo de dimensões 12 cm por 25 cm. O lado
menor do triângulo extraído mede 5 cm.
11. (Insper 2013) A área da peça é igual a
a) 240 cm2.
b) 250 cm2.
c) 260 cm2.
d) 270 cm2.
e) 280 cm2.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Suzana quer construir uma piscina de forma triangular em sua casa de campo, conforme a figura abaixo (ilustrativa).
Ela deseja que:
— as medidas s e t sejam diferentes;
— a área da piscina seja 50 m2;
— a borda de medida s seja revestida com um material que custa 48 reais o metro linear;
— a borda de medida t seja revestida com um material que custa 75 reais o metro linear.
12. (Insper 2013) Ao conversar com o arquiteto, porém, Suzana foi informada de que já foi construída uma saída de
água que fica a uma distância de 3 m da borda de medida t e a 7 m da borda de medida s. Para que a terceira
borda da piscina passe por esse ponto, t deve ser aproximadamente igual a
a) 10,00 m.
b) 13,33 m.
c) 16,67 m.
d) 20,00 m.
e) 23,33 m.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[C]
Sejam x, x r e x  2r as medidas, em metros, dos lados do triângulo, com x, r  0.
Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos x  3r. Logo, os lados do triângulo medem 3r, 4r e 5r.
Sabendo que o perímetro do triângulo mede 6,0 m, vem
3r  4r  5r  6  r 
1
.
2
Portanto, a área do triângulo é igual a
2
3r  4r
 1
 6     1,5 m2 .
2
2
Resposta da questão 2:
a) A probabilidade pedida é dada por
1 L L


2 2 2 1
 .
4
L2
b) A probabilidade de que as duas bolinhas atinjam a parte tampada é igual a
2
1
9

.
1   

4
16
Portanto, a probabilidade de que ao menos uma passe diretamente pela parte branca é
9
7
1

.
16 16
c) Sendo o acerto de uma bolinha na parte branca considerado sucesso, tem-se que o resultado pedido é dado por
4
2
6  1   3 
6!
1 9


     
4!  2! 256 16
 4  4   4 
9
 15 
4096
 3,30%.
Resposta da questão 3:
[A]
[I] Verdadeira. Sabendo que a área do triângulo ABC mede 48cm2 e que AP 
(ABC) 
2
 BC, vem
3
1
1
2
 BC  AP  48   BC   BC
2
2
3
 BC  32  42
 BC  12cm.
Logo,
AP 
2
 12  8cm.
3
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Como P é ponto médio de BC, é imediato, pelo Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo APC, que
AB  AC  10cm.
Portanto, sendo M o pé da mediana relativa ao lado AC, tem-se
2
2
2
1
 2  (AB  BC )  AC
2
1
  2  (102  122 )  102
2
BM 
 122  25
 97 cm .
[II] Falsa. De fato, sendo G o baricentro do triângulo ABC, temos
AG 
2
2
 AP   12  8cm.
3
3
[III] Falsa. Sabendo que BM  97 cm, vem BG 
cos α 
BP
BG

6
2 97
3

9
97
2
2 97
 BM 
cm. Assim, do triângulo BGP, obtemos
3
3
.
Resposta da questão 4:
[C]
Sabendo que o ângulo interno de um octógono regular mede 135, segue-se que os quatro triângulos, resultantes
da decomposição do octógono, são retângulos isósceles de catetos iguais a
a 2
. Logo, como a área do quadrado
2
destacado no centro do octógono é S  a2 , tem-se que o resultado pedido é


4   1  a 2  a 2  a  a 2   S  a2  2 2a2  S
2
2 
2 2
 2S 2  2S
 2S( 2  1).
Resposta da questão 5:
[C]
O resultado pedido é dado pelo produto da área da avenida pela taxa de ocupação, ou seja,
1500  18  1,5  40500  40.000.
Resposta da questão 6:
[D]
Sendo ABCD um paralelogramo, é imediato que AD  BC e AB  CD.
Como a área de ABCD vale 24cm2 , tem-se
1
(ABCD)  2   AD  CD  sen ADC  AD  CD  sen ADC  24.
2
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Além disso, sabemos que ADC  ABC e BCD  180  ADC. Por conseguinte, o resultado pedido é dado por
(AMND)  (ABCD)  (ABM)  (MCN)
1
1
 AB  BM  sen ABC   CM  CN  senBCD
2
2
1
AD
1 AD CD
 24   CD 
 sen ADC  

 sen(180  ADC)
2
2
2 2
2
1
1
 24   AD  CD  sen ADC   AD  CD  sen ADC
4
8
 24  6  3
 24 
 15cm2 .
Resposta da questão 7:
[C]
Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular baixada de C sobre AD.
Como CD é tangente ao quadrante no ponto F, segue que o triângulo AFD é retângulo em F. Além disso,
CH  AB  8cm e ADF  HDC implicam em CD  AD  10cm (os triângulos AFD e CHD são congruentes). Daí, é
imediato que DH  6cm e, portanto, BC  4cm.
A área do trapézio ABCD é igual a
 AD  BC 
 10  4 

  AB  
8
2


 2 
 56cm2 .
Resposta da questão 8:
[C]
Seja S a área do triângulo BOP.
Como PC  4  BP, segue que (OPC)  4  (BOP) e (APC)  4  (BAP). Além disso, como ABC é isósceles de base
AB, e M é ponto médio de AB, temos que (BOP)  (AOQ), (COP)  (COQ) e (BOM)  (AOM).
Portanto,
(APC)  4  (BAP)  (AOQ)  2  (COP)  4  [2  (BOM)  (BOP)]
 S  2  4S  4  (2  5  S)
 9S  40  4S
 S  8cm2 .
Resposta da questão 9:
[C]
Sendo de 20% a redução nas medidas dos lados, tem-se que a redução na área é dada por
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1  0,82  1  0,64  0,36  36%.
Resposta da questão 10:
[B]
Perímetro do triângulo: P = 3x, onde x é a medida do lado.
Perímetro do hexágono: 63 – 3x, onde (21 –x)/2 é a medida do lado;
Considerando que a área do hexágono é seis vezes a área do triângulo, temos a seguinte equação:
2
3
3
 21  x 
2
2
2
2
2
6
  4  6  x  4  441  42x  x  4x  3x  42x  441  0  x  14x  147  0
2


Resolvendo a equação, temos x = – 21 (não convém) ou x = 7.
Resposta da questão 11:
[D]
Considere a figura.
Sabendo que BE  25cm, DE  12cm e CE  5cm, obtemos
(ABCD)  (ABED)  (CDE)
CE  DE
2
5  12
 25  12 
2
 BE  DE 
 270cm2 .
Resposta da questão 12:
[E]
Considere a figura.
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Sabendo que BE  DF  7 m e BF  DE m  3, segue que AE  t  7 e CF  s  3. Logo, como os triângulos AED e
DFC são semelhantes, vem
CF DF
s3
7



3
t

7
DE AE
3t
s
.
t7
Além disso, como a área da piscina é 50 m2 e s  t, encontramos
s  t  100 
3t
 t  100
t7
 3t 2  100t  700  0
 t  23,33.
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