OBSTÁCULOS NA COMPREENSÃO DE FRAÇÕES
POR ALUNOS DA EDUCAÇÃO BÁSICA
Cleusiane Vieira Silva
Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia, Brasil
[email protected]
Ana Paula Perovano
Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia, Brasil
[email protected]
RESUMO
Este artigo evidencia um recorte da investigação realizada num trabalho de
conclusão de curso, cujo principal objetivo foi diagnosticar os obstáculos e, os
possíveis erros apresentados pelos alunos concluintes do Ensino Fundamental e do
Ensino Médio. A pesquisa fundamentou-se na abordagem qualitativa, e foi
realizada em uma escola pública da rede estadual de ensino no Estado da Bahia. A
análise dos dados deu-se mediante estudo dos obstáculos e análise dos erros
apresentados pelos alunos na resolução de um questionário. Da análise dos dados
coletados, verificou-se que, apesar de alguns alunos gostarem da disciplina
Matemática, mesmo assim apresentaram dificuldades na resolução de situaçõesproblema. Salientamos, também, as dificuldades com relação à Álgebra. Acreditase que, a partir de uma reflexão sobre tais dificuldades com professores e gestores
escolares, seja possível encontrar maneiras de minimizar os obstáculos e erros
apresentados pelos alunos.
Palavras-Chave: obstáculos, frações, erros, dificuldades.
ABSTRACT
This paper presents a part of a research work carried out in end of course whose
main objective was to detect obstacles and consequently the errors made by
students graduating from elementary school and high school. The research was
based on a qualitative approach and was conducted in a public school of the state
education system in the State of Bahia. Data analysis took place through the study
of obstacles and analysis of errors made by students in filling out a questionnaire.
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From the analysis of data collected, it was found that although some students like
mathematics discipline, they had difficulties in resolving problem situations. We
emphasize the difficulties in relation to algebra. It is believed that, from a
consideration of these difficulties, teachers and school managers be able to find
ways to minimize the errors and obstacles presented by the students.
Keywords: Obstacles, fractions, errors, difficulties.
1
Introdução
A dificuldade no aprendizado em Matemática seja nas séries iniciais, finais ou no
Ensino Médio tem sido refletida, discutida e investigada nos últimos anos (OLIVEIRA,
2009). Em relação à dificuldade no aprendizado em Matemática nos níveis iniciais,
Groenwald et al. (2010), baseados nos estudos de Miranda alegam que:
o desenvolvimento inapropriado nos primeiros níveis educacionais contribui
na aparição das dificuldades de aprendizagem acadêmica do conceito de
números e das operações aritméticas, muitas vezes insuperáveis, contribuindo
com o elevado índice de evasão escolar. (GROENWALD et al., 2010, p. 2).
Além de provocarem a evasão escolar, essas dificuldades acarretam a má
formação dos alunos, isto é, os estudantes concluintes do Ensino Médio também
apresentam dificuldades em muitos outros conteúdos que lhes foram ensinados durante
o Ensino Fundamental.
O ensino do conceito de frações e o desenvolvimento da conservação de
quantidades, bem como a habilidade em resolver problemas que envolvam os números
racionais em geral, são muito importantes, e exigem do professor habilidades para
facilitar a aprendizagem do aluno. No entanto, em sala de aula, cabe ao professor evitar
o ensino desse conceito de forma mecânica, em que se busca apenas a memorização de
regras e aplicação direta de técnicas.
Normalmente, os números racionais são apresentados nos livros didáticos sob a
forma de frações com a seguinte definição: são números da forma
em que a e b são
números inteiros, com b ≠ 0, sendo que a é chamado de numerador e b de denominador.
No processo de transposição didática, o conhecimento matemático é transformado com
o objetivo de ser ensinado, fazendo com que, assim, esses números passem a ter
significados específicos. De acordo com Chevallard (1985a) apud D’Amore (2007,
p.225), “o conceito de transposição didática nasce da relatividade do saber no interior
do qual se apresenta”. Segundo D’Amore (2007, p.225), “Chevallard refere-se à
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adaptação do conhecimento matemático para transformá-lo em conhecimento para ser
ensinado”, e que, portanto, a transposição didática consiste em retirar um elemento de
saber do seu contexto para recontextualizá-lo no ambiente da própria classe.
Quando o professor transpõe o conteúdo números racionais, apresenta aos alunos
diferentes formas, tais como parte-todo, quociente, medida, razão, equivalência, entre
outros. É nesta fase que os alunos apresentam sua maior dificuldade, pois, na maioria
das vezes, esses conteúdos são transmitidos aos alunos de forma mecanicista, o que
possivelmente acarreta algumas das falhas na compreensão, relacionados à
complexidade do próprio conceito. O ensino mecanicista oferece aos alunos uma forma
pronta e acabada de um determinado conteúdo, sem estimular a construção de conceito
pelos próprios alunos.
Nessa direção, Vergnaud (1988) afirma que os conceitos de frações e razões serão
construídos através de concepções e habilidades que
Desenvolvem-se com o decorrer da vida, e isso não ocorreria apenas a partir
de características gerais do pensamento, mas os conceitos de frações e razões
possuem raízes em atividades que são significativas para os alunos préadolescentes, particularmente quando envolvem valores simples, tais como
1/2, 1/3 ou 1/4. (VERGNAUD, 1988 apud SILVA, 2008, p. 2).
Acreditava-se que o problema na dificuldade do aprendizado em Matemática era
causado, exclusivamente, por falhas no processo ensino/ aprendizagem no Ensino
Fundamental e, portanto, sua solução só poderia ocorrer de uma ação naquele segmento
de ensino. Observa-se que esse quadro mudou e pode-se dizer que, hoje, prevalece a
convicção de que as questões referentes às dificuldades de aprendizado não se encerram
no nível incipiente de ensino mas perduram até mesmo no Ensino Superior.
Como exemplo do que foi dito anteriormente, podemos citar uma pesquisa
interinstitucional no Estado da Bahia, envolvendo a formação de professores de
Matemática nos cursos de licenciatura oferecidos nas universidades estaduais baianas,
intitulada: Análise dos erros cometidos por alunos dos cursos de licenciatura em
Matemática das universidades estaduais baianas (BORTOLOTI et al, 2007), projeto de
pesquisa aprovado em junho de 2008, cujo foco é investigar sobre os erros cometidos
pelos alunos do curso de Licenciatura em Matemática.
Dessa forma, optamos por investigar, por meio de uma pesquisa do tipo
qualitativa, quais obstáculos e, em consequência deles, quais erros os alunos dos anos
finais do Ensino Fundamental e do Ensino Médio cometiam na resolução de situaçõesproblema que envolviam o conteúdo frações.
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Nossa hipótese de trabalho era a de que os conhecimentos referentes ao conteúdo
de frações, supostamente aprendido até aproximadamente o 6º ano do Ensino
Fundamental, não tinham sido solidificados e que, por isso, os alunos dos anos
posteriores apresentavam lacunas de aprendizagem nos referidos conteúdos. Dessa
forma, acreditamos que nosso trabalho se insere na temática Educação Matemática no
Ensino Médio.
2
O Ensino de Frações no Contexto Matemático
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN, “o conceito de número
racional, em sua representação fracionária, se inicia formalmente, a partir do segundo
ciclo do Ensino Fundamental, mais precisamente entre 3ª e 4ª séries, estendendo-se até
o terceiro ciclo, entre 5ª e 6ª série do Ensino Fundamental” (BRASIL, 1998, p.101).
Apesar de as representações fracionárias e decimais dos números racionais serem
desenvolvidas nos ciclos iniciais, hoje podemos constatar que os alunos chegam a
concluir o Ensino Fundamental, e até mesmo o Ensino Médio, chegando a se estender
ao Ensino Superior, sem compreender os diferentes significados associados a esses
números e, inclusive, os procedimentos de cálculos, notadamente quando se tratava de
operações que envolvem os racionais em sua representação fracionária (PATRONO,
2011).
Em geral, as dificuldades encontradas pelos alunos no processo aprendizagem de
Matemática, principalmente nos conceitos e nas operações envolvendo números
fracionários, são muitas e já conhecidas. Segundo Lopes (2008, p. 10), “alunos de quase
todas as culturas cometem erros padrão no cálculo de adição de frações, trata-se de um
fenômeno conhecido como ‘sobregeneralização’”:
a c ac
 
b d bd
Os alunos aplicam a operação de adição tanto no numerador quanto no denominador .
É comum, diante de práticas pedagógicas tradicionais, aplicadas por professores
de Matemática, os alunos não demonstrarem habilidades acerca das frações e, dessa
forma, muitas vezes serem reprovados por não dominarem esse conteúdo. Mesmo
quando aprovados, continuam sentindo grandes dificuldades em utilizar os
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conhecimentos adquiridos, ou seja, não conseguem, efetivamente, o domínio desse
saber.
Ao ensinar Matemática, tem-se como objetivo que o aluno desenvolva
competências e habilidades para que possa distinguir e procurar relações entre as
diferentes partes e concepções que envolvem o conhecimento matemático. É de
fundamental importância que o aluno saiba interpretar e refletir sobre o que já aprendeu,
bem como que tenha condições para aplicar esse conhecimento em outras situações. Em
relação à aprendizagem da Matemática, cabe ao o professor conseguir que o aluno
desenvolva essas competências.
Em relação à aplicação dos conhecimentos matemáticos, cada indivíduo pode
utilizar os seus próprios recursos (generalização, abstração, visualização, regras,
procedimentos, métodos e outros), advindos de uma aprendizagem, em uma dada
situação da realidade. Diante disso, pode-se dizer que o aluno apreende o conceito de
fração por meio de situações-problema que lhe sejam familiares.
Ainda sobre o tema relativo ao ensino e à aprendizagem de números racionais na
forma fracionária, Moreira e Ferreira (2008) afirmam que os professores, geralmente,
reconhecem as dificuldades dos alunos acerca desse conteúdo, mas que, muitas vezes,
imputam tais dificuldades à falta de preparo anterior daqueles alunos. Rego aborda o
tema de maneira semelhante:
Não são poucas as professoras das séries iniciais do 1º grau que se queixam
das dificuldades presentes na sala de aula quando o tema é fração. Essas
dificuldades aparecem na compreensão do conceito (divisão da unidade em
partes iguais), no uso da simbologia (notação), na compreensão e utilização
das operações, na resolução de problemas “práticos”. (REGO, 1986, p. 3032).
O conceito de número fracionário é parte importante da disciplina de Matemática,
no Ensino Fundamental e, posteriormente, nos níveis Médio e Superior. Neste ponto de
vista, os números racionais estão relacionados a algumas ideias mais importantes e
complexas dentre aquelas com as quais os alunos trabalham, em especial, as crianças no
Ensino Fundamental. Essa importância se atribui, principalmente, à variedade de
aspectos, ou perspectivas, envolvidas na abordagem desses números. (DAVID;
FONSECA apud VARELA; FERREIRA, 2010, p. 14).
Na maioria dos currículos de Matemática, espera-se que os alunos conheçam
e compreendam este conceito, interpretem as informações e seus resultados e
apliquem na vida pessoal e na vida em sociedade. Mas o que se observa é
uma imensa dificuldade neste conteúdo e isso se deve em parte a idéia de
números fracionários é um conceito sofisticado que requer dos alunos mais
maturidade e maior base matemática comparando-se ao conceito de número
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natural ou até mesmo de número inteiro. Na verdade, uma das causas da
grande incompreensão do conjunto dos números racionais, pode ser o fato de
que encerra vários conceitos como relação entre a parte e o todo, decimais
não exatos, etc. (GONÇALVES (1974) apud VARELA; FERREIRA, 2010,
p. 13).
O estudo das frações recai sobre elementos de importante e imediata utilização na
vida atual, como, por exemplo, as porcentagens. Como se vê, são muitas as variáveis
que cercam o ensino e a aprendizagem das frações, visto que seu conhecimento está
interligado com conteúdos de outras áreas do saber, o que nos leva a refletir
criticamente sobre o seu ensino e a sua aprendizagem.
Perdurou, por muito tempo, o entendimento da Matemática como um
conhecimento, pronto, acabado e incontestável, o que requeria do estudante uma
devolução de respostas corretas às questões que o professor solicitava. Entretanto, “a
prática da Matemática, como produto humano, está sujeita às imperfeições naturais da
nossa espécie. Nela há margem para se desenvolverem diversos estilos ou se tomarem
diferentes opções.” (PONTE, 1992, p. 205). Neste processo de construção do
conhecimento é natural a existência de erros e obstáculos.
Apresentaremos a seguir uma breve discussão sobre obstáculos e erros.
2.1 Obstáculos e Erros
O conceito de obstáculo foi proposto por Bachelard (1996), quando afirmou que,
“o ato de conhecer dá-se contra um conhecimento anterior, destruindo conhecimentos
mal estabelecidos, superando o que no próprio espírito é obstáculo a espiritualização”
(BACHELARD, 1996, p.17).
Para este autor, historicamente, na Matemática não existiam obstáculos
epistemológicos; Brousseau (2007), no entanto, afirma que a modelagem das situações
didáticas o levou a pensar o contrário e a propor outra definição:
Um obstáculo é um conhecimento no sentido que lhe demos de forma regular
de considerar um conjunto de situações. Tal conhecimento dá resultados
corretos ou vantagens observáveis em um determinado contexto, mas revelase falso e totalmente inadequado em um contexto novo ou mais amplo.
(BROUSSEAU, 2007, p.49).
Segundo Almouloud (2007, p.138), Brousseau afirma que existem diversas
origens para os obstáculos identificados na didática da Matemática, que correspondem a
maneiras diversas de serem tratados no plano didático. Brousseau (1997, p.87-86)
apresenta os seguintes de obstáculos:
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obstáculos de origem epistemológica são aqueles a partir dos quais não pode
nem deve escapar, por causa de seu papel formativo no conhecimento que
está sendo procurado. Eles podem ser encontrados na história dos próprios
conceitos. Isso não significa que devemos ampliar o seu efeito ou reproduzir
no contexto escolar as condições históricas em que foram vencidos.
Obstáculos de origem didática são aqueles que parecem depender apenas de
uma escolha ou um projeto dentro de um sistema educacional
Obstáculos com uma origem ontogênica são aqueles que surgem por causa
das limitações do aluno (os neurofisiológicas entre outros) no momento de
seu desenvolvimento. Ele desenvolve saberes adequados às suas capacidades
e objetivos de uma determinada idade. (Tradução Nossa)
Para Brousseau, o erro está intimamente relacionado ao obstáculo, uma vez que,
para ele,
O erro não é somente o efeito da ignorância, da certeza, do acaso [...], mas os
efeitos de um conhecimento anterior que por um tempo era interessante e
conduzia ao sucesso, mas agora se mostra falso, ou simplesmente
inadaptável. Os erros deste tipo não erráticos imprevisíveis, mas se
constituem em obstáculos. Tanto na ação do mestre como na do aluno, o erro
é constitutivo de sentido de conhecimento adquirido (BROUSSEAU apud
ALMOULOUD, 2007, p.132).
Diante disso, constatamos que o erro está presente na prática constante de
tentativas de resolução de problemas, desde que seja observado tanto pelo professor
quanto pelo aluno. Na perspectiva de CURY (2007), o erro:
[...] se constitui como um conhecimento é um saber que o aluno possui,
construído de alguma forma, e é necessário elaborar intervenções didáticas
que desestabilizem as certezas, levando o estudante a um questionamento
sobre suas respostas (p. 80)
Tratando sobre o erro, Pinto (2000) afirma ser ele essencial no processo de
construção do conhecimento, pois se devem avaliar os artifícios usados na resolução e
considerá-los como um observável de grande valor para a avaliação, desde que seja
considerado não como uma falha de conhecimento, mas como um artifício
correspondente ao processo de conhecer.
3
Procedimentos Metodológicos
Para entender o que ocorre durante a aprendizagem de frações, e qual é o produto
desse processo, acredita-se que nosso objetivo e o problema proposto nos aproximaram
de uma pesquisa do tipo qualitativa, visto que “o qualitativo engloba a idéia do
subjetivo, passível de expor sensações e opiniões” (BICUDO 2004, p. 104).
A opção pela abordagem qualitativa se dá por considerarmos que a natureza do
objeto em estudo: obstáculos na compreensão de frações por alunos nos anos finais do
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Ensino Fundamental e do Ensino Médio nos permitirão perceber como esses obstáculos
são apresentados pelos alunos.
Como instrumento de coleta de dados foi utilizado um questionário que segundo
Fiorentini e Lorenzato (2006, p.116), “[...] é um dos instrumentos mais tradicionais de
coleta de informações e consiste numa série de perguntas que podem ser abertas,
fechadas ou mistas”. Dessa forma, optamos por um questionário com perguntas abertas,
“pois exigem do sujeito que responde maior atenção” (FIORENTINI; LORENZATO,
2006, p.117). As respostas possibilitaram a análise dos erros dos alunos, tendo como
referência os teóricos que discutem o obstáculo e o erro no processo de aprendizagem
citados no referencial teórico acima destacado. O questionário era composto por oito
questões abertas que abordavam desde o gosto pela disciplina, o conceito dos números
racionais, passando por sua aplicabilidade no cotidiano e chegando até mesmo a
questões diretas, envolvendo operações com números racionais em sua forma
fracionária.
Tomamos como base para a elaboração do questionário, algumas questões do
livro didático do 6º ano, utilizado pela escola, pois é nesse ano escolar que o referido
conteúdo é também abordado. O questionário foi aplicado por uma aluna concluinte da
licenciatura de Matemática da UESB, campus de Jequié, e teve a duração 1h e
40minutos. Os alunos receberam o questionário em uma folha A4, contendo as questões
com os devidos espaços em branco para as respostas
Os sujeitos da pesquisa são alunos do 9º ano (8ª série) do Ensino Fundamental (18
alunos) e 3ª série do Ensino Médio (16 alunos), de uma escola pública da rede estadual
de ensino da cidade do interior do Estado da Bahia. Trabalhamos com alunos
voluntários na faixa etária de treze aos dezenove anos. Dentre os voluntários, foram
escolhidos 10 questionários de cada ano escolar, pelo fato de terem respondido pelo
menos 50% das questões propostas.
Para analisarmos os dados e mantermos sigilo com relação aos sujeitos da
pesquisa, chamaremos de Turma A, aos alunos do 9º ano do Ensino Fundamental, e
Turma B, aos alunos da 3ª série do Ensino Médio. Codificamos os questionários dos
alunos, segundo a ordem: primeiro a turma e depois o número do aluno.
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Análise dos dados
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Para este artigo apresentaremos um recorte do questionário, analisaremos as
questões 1, 2 e 8. A questão 1 é a que buscava indícios sobre a relação dos alunos com a
Matemática. A questão 2 tratava de obter quais seriam os conhecimentos destes em
relação ao conceito de números racionais priorizando a representação fracionária. A
questão 8, pelo fato de ter sido a mais respondida pelos sujeitos, consequentemente,
poderia trazer mais elementos que subsidiassem nossa análise.
4.1 Análise da Questão1
Com o intuito de saber se o gosto pela Matemática exerce influência no
rendimento do aluno, questionamos se eles gostam da Matemática e o motivo desse
gosto.
Gráfico 1: Gosto Pela disciplina de Matemática das turmas A e B.
Você gosta da disciplina de Matemática?
Por quê?
10
SIM
5
NÃO
1
INDECISOS
0
Turma A
Turma B
Fonte: Dados da pesquisa
Da turma A, seis alunos disseram gostar da Matemática porque a achavam
interessante, uma vez que “não fica só preso em leitura” (aluno 6A) e quatro deles
disseram não gostar, pois a consideram “uma disciplina muito complicada”, “exige
muito da mente”, “exige muita concentração” (alunos 7A, 8A e 9A, respectivamente).
Uma das respostas que nos despertou atenção foi a do aluno 10A que, ao ser
questionado sobre o gosto pela disciplina e o porquê dele, apresentou a seguinte
resposta:
Figura 1: Resposta do aluno 10A
Fonte: Dados da pesquisa
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O aluno acima citado tem uma visão de que a Matemática é uma disciplina difícil,
e isso cria um bloqueio que implica a perda do interesse pela disciplina. Por outro lado,
o mesmo aluno diz que é uma disciplina que exige muito deles, afirmando também que
não gosta de raciocinar.
Já os alunos da turma B, quatro responderam que gostam da disciplina de
Matemática, porque acham “uma disciplina interessante”, “porque trabalha com a
lógica”, e alguns deles afirmaram que apesar de Matemática ser uma disciplina difícil
eles sabem da sua importância no nosso dia a dia, tal como a resposta do aluno 1B,
descrita a seguir:
Figura 2: Resposta do aluno 1B
Fonte: Dados da pesquisa
As respostas dos alunos vão ao encontro dos parâmetros curriculares nacionais,
uma vez que
O ensino de matemática costuma provocar duas sensações contraditórias,
tanto por parte de quem ensina quanto por parte de quem aprende: de um
lado, a constatação de que se trata de uma área do conhecimento importante;
de outro, a insatisfação diante dos resultados negativos obtidos com muita
frequência em relação a sua aprendizagem (BRASIL, 1997, p.15).
Podemos perceber que o interesse pela disciplina não é o único obstáculo, quando
se trata de resolução de questões que envolvam números fracionários. Continuaremos
analisando os dados coletados para diagnosticar quais outros fatores influenciam ou
conduzem esses alunos ao erro.
4.2 Análise da Questão 2
Na segunda questão, a intenção era saber se os alunos conhecem a definição dos
números racionais e se eles conseguem relacioná-la com o seu dia a dia, apresentando
um exemplo. Segue abaixo o gráfico comparativo das turmas A e B referente à questão
dois.
Gráfico 2: Definição de Números Racionais das turmas A e B.
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O que são números Racionais?
Dê um exemplo.
10
8
6
4
2
0
ACERTARAM
ERRARAM
NÃO RESPONDERAM
ACERTO C/ EXEMPLO
ERRO C/ EXEMPLO
Turma A
Turma B
Fonte: Dados da Pesquisa
Na turma A, sete alunos acertaram a questão, porém, dos que acertaram, apenas
um forneceu a definição com as próprias palavras, os outros seis usaram a definição do
livro didático, qual seja: Chama-se número racional todo número que pode ser colocado
na forma de razão
p
, com p  Z e q  Z * (BIANCHINI; PACCOLA; 2003, p.26).
q
Com relação aos exemplos, apenas cinco os apresentaram, dos quais três acertaram a
definição.
Figura 3: Resposta do aluno 7A
Fonte: Dados da pesquisa
Na turma B, sete alunos responderam e desses, apenas um acertou, enquanto seis
erraram. Com relação aos exemplos, apenas dois os apresentaram, um dos quais tinha
acertado a definição, conforme pode ser observado na figura a seguir.
Figura 4: Resposta do aluno 10B
Fonte: Dados da pesquisa
Com esta questão, percebemos que, apesar de alguns alunos não conhecerem a
definição de números racionais, ainda assim conseguiram citar exemplos da sua
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aplicabilidade, ou seja, eles sabiam do que se tratava, embora não tivessem conseguido
defini-los adequadamente.
Chamamos a atenção para o fato de que a maioria dos alunos do 9º ano acertaram
a questão, enquanto os alunos da 3ª série do Ensino Médio erraram a mesma questão, o
que nos levou a ponderar que o fato de o ensino de frações não ser retomado, ou mesmo
relacionado com outros conteúdos durante o ensino médio, fosse o responsável por esse
resultado.
4.3 Análise da Questão 8
O objetivo dessa questão era investigar se os alunos dominavam as operações com
os números racionais, e observar as estratégias utilizadas por eles nas resoluções que
envolviam as operações de adição e subtração de frações com denominadores
diferentes. O mesmo faríamos com as operações de multiplicação e divisão, além de
verificar quais obstáculos encontrados os conduziram a uma resolução de forma
incorreta das questões propostas.
A questão era composta de seis itens: um item envolvia adição de dois números
fracionários com denominadores diferentes, um item envolvia a subtração de frações,
também com denominadores diferentes, dois itens envolveriam multiplicação e dois
envolveriam a divisão. Para avaliarmos melhor cada item, eles foram analisados
separadamente.
No item a, era proposta a soma dos números fracionários, dois quintos e três
décimos a fim de verificar quais estratégias os estudantes usariam para encontrar a
resposta correta. Segue, abaixo, uma das estratégias utilizada pelos alunos, tanto da
turma A, quanto da turma B.
Figura 5: Resposta do aluno 8A, referente ao item a de número 8.
Fonte: Dados da Pesquisa
Ao observar esse registro, percebemos que os estudantes somaram os
numeradores e os denominadores das frações, dando-nos indícios de que procederam a
operação como nos números inteiros. Outro fato observado foi que o número de
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estudantes do 3ª série do Ensino Médio que utilizaram essa estratégia foi maior que o
número de estudantes do 9º ano.
Por exemplo: os alunos 2B, 3B, 6B, 7B e 8B, apresentaram resposta idêntica ao
aluno 8A. Esses dados corroboram o que já foi evidenciado por (LOPES, 2008): os
alunos, mesmo de culturas diferentes, efetuam a sobregeneralização; em nosso caso,
mesmo em se tratando de alunos de ano escolar diferente eles também efetuam a
sobregeneralização, ou seja, eles somam os numeradores e somam os denominadores.
O aluno 2A efetuou o calculo do mínimo múltiplo comum, mas conservou os
numeradores das frações no momento da soma, como pode ser visto na Figura 6 a
seguir:
Figura 6: Resposta do aluno 2A, referente ao item a de número 8.
Fonte: Dados da pesquisa
Analisando o registro do aluno 9B, notamos que o procedimento usado para
resolver o item proposto foi o de somar o numerador da primeira fração com o
denominador da segunda e o denominador da primeira com o numerador da segunda. O
registro do aluno segue apresentado abaixo:
Figura 7: Resposta do aluno 9B, referente ao item a de número 8.
Fonte: Dados da Pesquisa
Vale salientar que não foram todos os alunos que erraram o item proposto. Os
alunos 3A, 4A, 7A, 9A, 10A, 5B e 10B seguiram os procedimentos corretos e
conseguiram encontrar a resposta correta. Dos alunos não citados, apenas um, deixou o
item em branco e em relação aos demais não pudemos inferir quais as estratégias de
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resolução utilizadas na resolução apresentada.Detectamos no item a da questão 8, o
aparecimento de obstáculos de origem didática, pois os sujeitos efetuaram as operações
de adição de duas frações somando numerador com numerador e denominador com
denominador, que toma referência à soma de números inteiros, que para o conjunto dos
números naturais seria uma operação válida e que levaria ao êxito, mas no conjunto dos
números racionais, já não é válido (BROUSSEAU apud ALMOULOUD, 2007, p.132).
Além disso, ao efetuar soma cruzada das frações, os alunos revelaram outro
obstáculo do mesmo tipo, mas dessa vez tomando por referência a regra “o produto dos
meios é igual o produto dos extremos”, ensinada pelos professores. Isto solicita mais
atenção dos professores aos erros que os alunos estão cometendo para poder ajudá-los a
superar esses obstáculos.
No item b, foi proposto que aos alunos subtraíssem dois quintos de três. A
intenção desse item era investigar as estratégias usadas nesta resolução, principalmente
com relação à primeira fração, escrita sob a forma de um número inteiro.
O fato de os sujeitos não perceberem que os denominadores são diferentes, isto é,
que o número 3 também pode ser colocado na forma fracionária, cujo denominador é
igual a 1, fez com que boa parte dos alunos, mais especificamente os alunos
1A,6A,3B,6B,7B,8B e 9B, resolvessem da seguinte forma:
Figura 8: Resposta do aluno 9B, referente ao item b de número 8.
Fonte: Dados da Pesquisa
Nesse caso observamos que os sujeitos usaram como estratégia subtrair o
numerador da primeira fração com relação ao numerador da segunda fração e ainda
subtrair o denominador da segunda fração com o numerador da primeira fração.
Aqueles alunos que perceberam que os denominadores são diferentes utilizaram a
estratégia de subtrair os numeradores e os denominadores.
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Figura 9: Resposta do aluno 2B, referente ao item b de número 8.
Fonte: Dados da Pesquisa
O aluno 5B resolveu da mesma forma, o que nos chamou atenção foi o fato de que
tanto nesse caso como no anterior, o sinal negativo é ignorado, ponderamos que os
alunos podem ter operado numerador da primeira pelo numerador da segunda, mas no
denominador a operação segue a ordem inversa.
O aluno 2A também percebeu que os denominadores são diferentes e que teria que
encontrar o mínimo múltiplo comum - m.m.c. dos denominadores. Até então prosseguiu
de forma correta, porém se atrapalhou no momento de encontrar o numerador da nova
fração. Segue a seguir a resolução deste aluno
Figura 10: Resposta do aluno 2A, referente ao item b de número 8.
Fonte: Dados da Pesquisa
Os alunos 3A, 4A, 5A, 7A, 9A, 10A e 10B, conseguiram encontrar a resposta
correta, enquanto os alunos 1B e 4B deixaram a questão em branco. Não conseguimos
identificar as estratégias utilizadas pelos demais alunos não citados.
No item b, além do obstáculo de origem didática, percebemos que os alunos
também têm dificuldades com relação ao sinal da fração, pois nas operações, eles
evitam o aparecimento do número negativo, o que naturalmente, nos leva a considerar o
aparecimento de um obstáculo de origem epistemológica, quando os alunos
desconsideram o sinal negativo conforme podem “ser encontrados na história dos
próprios conceitos” (BROUSSEAU apud ALMOULOUD, 2007, p.132).
Os itens c e d propõem a multiplicação de um número inteiro por um número
fracionário, com a intenção de investigar se os alunos dominavam a multiplicação
envolvendo os números racionais na forma de fração e, além disso, o item d solicitava
que eles encontrassem dois quintos de nove.
Analisando os resultados, percebemos que alguns erros com relação à
multiplicação de frações foram frequentes. Uma das estratégias usadas por alguns
alunos, mais precisamente os alunos 6A, 2B, 3B, 6B, 7B, 8B e 9B, foi à seguinte:
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Figura 11: Resposta do aluno 6A, referente ao item c de número 8.
Fonte: Dados da Pesquisa
Podemos perceber que das questões que analisamos até agora, os mesmos tipos de
erros continuaram persistindo, a estratégia usada pelos sujeitos foi a de multiplicar o
numerador da primeira fração pelo numerador e denominador da segunda.
No entanto, alguns estudantes apresentaram ter domínio com relação à operação
trabalhada em questão, uma vez que os alunos 2A, 5A, 7A, 9A, 10A, 5B e 10B
seguiram os procedimentos corretos que os conduziram à resposta correta. Os alunos
não citados desenvolveram estratégias não identificadas e responderam erroneamente, e
dois deles não apresentaram qualquer resposta.
Com relação ao item d, três estudantes usaram a mesma estratégia usada pelos
sujeitos da figura 10, referente ao item c, sete alunos (todos da turma A) responderam
corretamente, enquanto 10 alunos deixaram em branco a resposta.
Os itens e e f envolvem a operação de divisão com números racionais na forma
fracionária, com o intuito de investigar as estratégias usadas pelos alunos para chegarem
ao resultado correto do item dado.
Figura 12: Resposta do aluno 2A, referente ao item d de número 8.
Fonte: Dados da Pesquisa
Inferimos que a estratégia utilizada pelo aluno 2A na resolução do item dado, na
qual ele faz confusão com relação à operação apresentada, ou seja, é dada uma operação
de divisão com números fracionários e o estudante resolve como se fosse multiplicação.
Entretanto, cinco alunos (7A, 9A, 10A, 5B, 10B) conseguem encontrar a resposta
certa para o item solicitado, quatro alunos (5A, 6A, 1B e 4B) deixaram a questão em
branco e dos demais não citados, não se conseguiu entender o que os conduziu ao erro.
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O item f, também tratava de uma questão envolvendo divisão de números
fracionários e os erros cometidos foram os mesmos com relação ao item e, acima citado.
Apenas uma situação diferente das que foram apresentadas até agora, é a seguinte:
Figura 13: Resposta do aluno 6A, referente ao item f de número 8.
Fonte: Dados da Pesquisa
Esse tipo de erro foi apresentado pelos alunos 3B, 6B, 7B e 8B. Mais uma vez,
são alunos que estão terminando o Ensino Médio. Houve 6 acertos, que foram os dos
alunos 4A, 7A, 9A, 10A, 5B e 10B; cinco alunos não responderam e dos demais não se
conseguiu entender o processo usado para encontrar a solução que, por sua vez, também
era uma resposta errada.
Uma observação importante é que dos vinte sujeitos participantes da pesquisa,
uma minoria conseguia operar com frações. Os erros e as dificuldades estão
acompanhando esses alunos durante a sua vida escolar, cujos obstáculos não estão
conseguindo superar,; mesmo assim, foram sendo promovidos de uma série para outra,
podendo chegar a concluir o ensino médio sem conseguir sanar essas dificuldades.
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Considerações Finais
Com base nas análises dos resultados acima, a primeira conclusão a que chegamos
é a de que, embora os alunos apresentem erros conceituais e de simbologia, alguns deles
compreendem o significado ou até mesmo a aplicabilidade dos números fracionários em
seu cotidiano, pois mesmo que eles não tenham apresentado a definição correta de
números racionais, quando solicitados a apresentarem um exemplo, alguns o fizeram
corretamente.
Constatamos, também que, inclusive aqueles alunos que gostam da disciplina,
apresentam dificuldades de aprendizagem, situação esta que nos leva a refletir que não é
apenas o gosto da disciplina que influência na sua aprendizagem que, em nosso caso, é a
Matemática. Alguns alunos afirmam gostar da disciplina, outros a consideram
importante, mas quando solicitados a exporem o seu conhecimento demonstram visível
fragilidade com relação aos conteúdos matemáticos.
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Diante do que foi analisado percebem-se também dificuldades em interpretação e
compreensão dos dados do problema, fato esse que acarretou a não resolução de
algumas questões; em outros casos, os alunos usavam estratégias inadequadas para
resolver algumas das propostas. Essas dificuldades em interpretação criam na
imaginação dos alunos o mito de que Matemática é uma disciplina difícil, cabendo ao
professor motivar seus alunos, apresentando situações matemáticas que os levem a
construir os próprios conhecimentos.
Diante disso, cabe ao professor conhecer em que ponto a disciplina restringe e
também em que momento ela abre espaço para a capacidade especulativa dos alunos,
induzindo-os a criarem estratégias de solução e, com isso, a tomarem gosto pela
Matemática.
Respondendo a nossa questão de pesquisa, percebemos que os principais
obstáculos apresentados pelos alunos se referem aos obstáculos epistemológicos de
origem didática, uma vez que, ao dar ênfase apenas às técnicas para resolução de
problema os alunos não são orientados a construir novos conhecimentos a partir dos
conhecimentos que já possuem.
Ainda com relação aos obstáculos, Brousseau (1997) diz que não devemos e nem
podemos fugir deles; portanto, mesmo com todos os fatores geradores de dificuldades,
ainda sim é papel do professor procurar contornar esse conjunto de dificuldades como
um todo e procurar estratégias de ensino para que os obstáculos sejam superados.
Por fim com relação às hipóteses elencadas no início deste estudo, constatamos, a
partir da análise dos dados, a necessidade do conteúdo de frações ser retomado e
relacionado com os conteúdos que serão introduzidos no Ensino Médio, pois os
conhecimentos que começaram a ser construídos no Ensino Fundamental precisam ser
solidificados e reconstruídos, dentro de outros contextos.
Acredita-se que ensinar Matemática de forma com que os alunos possam construir
conceitos, formule e valide estratégias de soluções, assim como o interpretar
corretamente a linguagem matemática pode melhorar a qualidade do nosso ensino.
Agradecimentos
Gostaríamos de expressar nossos agradecimentos à Valéria Lago da Silva, aluna
do Curso de Licenciatura em Matemática – UESB Campus de Jequié, que fez parte
desta investigação e que muito contribuiu com o desenvolvimento deste trabalho.
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