CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
1
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
Maceió, julho de 2006
2
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
Governador
Luis Abilio de Sousa Neto
Secretário Executivo de Educação
José Marcio Malta Lessa
Secretário Adjunto de Educação
Roberto Jorge Vasconcelos dos Santos
Coordenador de Educação
José Neilton Nunes Alves
Gerente do Projeto Avaliação e Estudos Educacionais
Maria de Fátima Santos de Lima
Representante da UNESCO no Brasil
Vicent Defourny
Consultores
Adna de Almeida Lopes
Benedito Carvalho
Cleyton Hércules Gontijo
Eraldo de Souza Ferraz
Eduardo de São Paulo
Fátima Lúcia Soares Ribeiro
Iracema Campos Cusati
Jeanne Amália de Andrade Tavares
Julio Jacobo Waiselfisz
Maria José de Oliveira Maciel
Wellington Rodrigues de Araújo
Parceria
Secretarias Municipais de Educação
3
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
Equipe técnica do PROAEE
Ademir da Silva Oliveira
Leni Gladis de Carvalho Brito Franco
Maria de Fátima Santos de Lima
Equipe de Apoio do PROAEE
Irailda Santos Albuquerque
Lúcia Maria Rocha Sanches
Elaboração
Cleyton Hércules Gontijo
Revisores
Ademir da Silva Oliveira
Leni Gladis de Carvalho Brito Franco
Maria de Fátima Santos de Lima
Arte
Benedito Carvalho
Este Caderno foi produzido no contexto da Cooperação UNESCO/SEE, Projeto
914BRA1096. As opiniões expressas são de responsabilidade dos autores e não refletem,
necessariamente, a visão da UNESCO sobre o assunto.
4
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
5
Sumário
APRESENTAÇÃO................................................................................................................................................... 8
INTRODUÇÃO...................................................................................................................................................... 10
1. A AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA REALIZADA PELO SAVEAL........................................................... 14
2. A MATRIZ DE REFERÊNCIA DE MATEMÁTICA....................................................................................... 15
3. A MATRIZ DE REFERÈNCIA E OS ITENS DO TESTE DO SAVEAL 2005............................................... 17
3.1 TEMA I – Espaço e Forma........................................................................................................................... 17
3.1.1 D1 – Identificar propriedades comuns e diferenças entre figuras bidimensionais e tridimensionais,
relacionando-as com as suas planificações .................................................................................................... 17
3.1.2 D2 – Identificar propriedades de triângulos pela comparação de medidas de lados e ângulos............. 19
3.1.3 D3 – Reconhecer os quadriláteros por meio de suas propriedades referentes a lados e ângulos...........19
3.1.4 D4 – Reconhecer a conservação ou modificação de medidas dos lados, do perímetro, da área em
ampliação e/ou redução de figuras poligonais usando malhas quadriculadas................................................ 20
3.1.5 D5 – Resolver problemas envolvendo ângulos como mudança de direção, identificando ângulos retos
e não-retos....................................................................................................................................................... 22
3.1.6 D6 – Reconhecer eixos de simetria em figuras planas identificando figuras simétricas e não simétricas
.........................................................................................................................................................................23
3.1.7 D7 – Resolver problema utilizando propriedades dos polígonos (soma de seus ângulos internos,
número de diagonais, cálculo da medida de cada ângulo interno nos polígonos regulares)...........................25
3.1.8 D8 – Interpretar informações apresentadas por meio de coordenadas cartesianas................................ 25
3.1.9 D9 – Resolver problemas que envolvam as relações métricas no triângulo retângulo.......................... 26
3.1.10 D10 – Reconhecer círculo / circunferência, seus elementos e algumas de suas relações.................... 27
3.2 TEMA II – Grandezas e Medidas................................................................................................................. 28
3.2.1 D11 – Resolver problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas.................................. 28
3.2.2 D12 – Resolver problema envolvendo o cálculo de área de figuras planas...........................................30
3.2.3 D13 – Resolver problema envolvendo noções de volume..................................................................... 32
3.2.4 D14 – Resolver problema envolvendo diferentes unidades de medida................................................. 33
3.2.5 D15 – Resolver problema envolvendo as grandezas comprimento, massa, capacidade, tempo,
temperatura e suas respectivas unidades de medida fazendo as conversões adequadas entre essas unidades e
seus múltiplos e submúltiplos......................................................................................................................... 34
3.2.6 D16 – Resolver problema envolvendo o cálculo de área de figura bidimensional que possa ser
decomposta em triângulos, quadrados, retângulos, paralelogramos, losangos e trapézios ou uma combinação
dessas formas, em uma malha quadriculada................................................................................................... 35
(A)14........................................................................................................................................................... 36
3.3 TEMA III – Números e Operações............................................................................................................... 36
3.3.1 D17 – Identificar a localização de números inteiros na reta numérica.................................................. 37
3.3.2 D18 – Identificar a localização de números racionais na reta numérica ............................................... 38
3.3.3 D19 – Efetuar cálculos com números inteiros, envolvendo as operações (adição, subtração,
multiplicação, divisão, potenciação)............................................................................................................... 40
3.3.4 D20 – Resolver problema com números naturais, envolvendo diferentes significados das operações
(adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação)................................................................................ 41
3.3.5 D21 – Resolver problema com números inteiros, envolvendo as operações (adição, subtração,
multiplicação, divisão, potenciação)............................................................................................................... 44
3.3.6 D22 – Reconhecer as diferentes representações de um número racional.............................................. 45
3.3.7 D23 – Identificar fração como representação que pode estar associada a diferentes significados
(parte/todo, razão e quociente)........................................................................................................................ 46
3.3.9 D24 – Identificar frações equivalentes..................................................................................................48
3.3.10 D25 – Reconhecer as representações decimais dos números racionais como uma extensão do sistema
de numeração decimal, identificando a existência de “ordens” como décimos, centésimos e milésimos......49
3.3.11 D26 – Resolver problema envolvendo adição, subtração, multiplicação e divisão de números
racionais. ........................................................................................................................................................ 49
3.3.12 D27 – Resolver problema que envolva porcentagem...........................................................................51
3.3.13 D28 – Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica............................................................ 52
3.3.14 D29 – Resolver problema que envolva equação do 1o. grau............................................................... 53
3.3.15 D30 – Identificar uma equação ou inequação do 1o grau que expressa um problema........................ 55
3.3.16 D31 - Resolver problema que envolva equação do 2o grau.................................................................56
3.3.17 D32 – Identificar a relação entre as representações algébrica e geométrica de um sistema de equações
do 1o. grau.......................................................................................................................................................56
3.4 TEMA IV – Tratamento da Informação........................................................................................................57
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
6
3.4.1 D33 – Ler e interpretar informações e dados apresentados em tabelas................................................. 58
3.4.2 D34 – Interpretar, comparar e utilizar dados apresentados em gráficos (coluna, segmento e setores)..58
CONSIDERAÇÕES FINAIS..................................................................................................................................61
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS....................................................................................................................64
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
7
Aula de Matemática
Antonio Carlos Jobim e Marino Pinto (1958)
Pra que dividir sem raciocinar
Na vida é sempre bom multiplicar
E por A mais B
Eu quero demonstrar
Que gosto imensamente de você
Por uma fração infinitesimal,
Você criou um caso de cálculo integral
E para resolver este problema
Eu tenho um teorema banal
Quando dois meios se encontram desaparece a fração
E se achamos a unidade
Está resolvida a questão
Prá finalizar, vamos recordar
Que menos por menos dá mais amor
Se vão as paralelas
Ao infinito se encontrar
Por que demoram tanto os corações a se integrar?
Se infinitamente, incomensuravelmente,
Eu estou perdidamente apaixonado por você.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
8
APRESENTAÇÃO
A Secretaria Executiva de Educação de Alagoas, por intermédio de sua
Coordenadoria de Educação e do Projeto Avaliação e Estudos Educacionais, decidiu
implantar seu sistema de avaliação educacional em 2001. Tal sistema tem como
finalidade, entre outras, desenhar o perfil da realidade educacional no Estado,
produzindo indicadores básicos de qualidade, capazes de direcionar políticas para o
fortalecimento de escolas do sistema educacional como um todo.
Uma escola fortalecida é aquela que dá conta de todos os alunos que nela
entram, permitindo que esses se apropriem de um saber mais elaborado, de um
conhecimento que é produzido pela humanidade e materializado nos currículos
escolares. Somente de posse desse bem cultural é que esses alunos poderão
utilizá-lo como ferramenta fundamental para usufruir os bens produzidos na
materialidade da prática social.
Na tentativa de construir uma escola desse tipo, esta Secretaria vem
desenvolvendo algumas ações direcionadas para atingir o foco principal da
reprovação e abandono. Partiu-se, inicialmente, para resolver a questão do aluno
fora da escola. Foram construídas 17 e reformadas 256 escolas. Com essa medida,
houve um avanço significativo no número de matrículas, com destaque para o
Ensino Médio, que cresceu 325% nesses oito anos de governo.
Outra ação significativa foi a expansão da avaliação do sistema educacional
no Estado, com o intuito de conhecer os principais entraves que vêm causando o
baixo desempenho dos alunos na educação básica. Para fortalecer essa ação,
foram firmadas parcerias com a Organização das Nações Unidas para a Educação,
a Ciência e a Cultura – UNESCO e com Secretarias Municipais de Educação, na
tentativa de realizar um diagnóstico mais abrangente da realidade educacional no
Estado, ou seja, dos sistemas educativos estadual e municipais de ensino.
Com base nos resultados diagnosticados, é possível planejar ações
governamentais e pedagógicas significativas para a melhoria da qualidade do
ensino. Entre outras ações resultantes da pesquisa, há de se destacar o programa
de formação continuada de professores, planejado com ênfase nos problemas de
ensino e aprendizagem detectados na pesquisa.
Esses resultados estão sintetizados em relatórios, contendo a realidade
educacional de cada município e região, e cadernos pedagógicos, contendo alguns
princípios que orientam a prática docente, de modo que a sua leitura possibilite uma
reflexão sobre o processo de desenvolvimento cognitivo dos alunos. Eles vêm sendo
utilizados pelos professores e educadores em geral com o objetivo de contribuir para
que os alunos evoluam do estágio de conhecimento em que se encontram para um
estágio mais elevado de conhecimento.
É nesse sentido que se considera de relevante importância o uso dos
resultados dessa avaliação, pois não basta constatar ou conhecer a realidade como
ela é, mas utilizar esses resultados no redimensionamento de práticas que não
estão dando certo para outras ações que produzam os resultados desejados.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
9
Trata-se, portanto, de transformar os resultados dessa avaliação em ações
significativas de intervenção para que se possam atingir os objetivos da construção
de uma escola fortalecida e com qualidade.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
10
INTRODUÇÃO
O marco inicial do Sistema de Avaliação Educacional de Alagoas – Saveal foi
em 2001. Numa postura ousada desta Secretaria Executiva de Educação,
construímos as Matrizes Curriculares de Referência em Língua Portuguesa e em
Matemática. Essas Matrizes são o referencial curricular mínimo a ser avaliado em
cada disciplina e série, informando os conhecimentos esperados e as competências
e habilidades de cada aluno. Nelas estão contidos os descritores que orientam a
elaboração de itens e expressam o desempenho discente. Naquele momento, foram
avaliadas as 4ªs séries do Ensino Fundamental das escolas estaduais da capital e da
10ª Coordenadoria Regional de Ensino, compreendendo-se 86 escolas, 6.432
alunos, 209 professores, 80 diretores, 79 coordenadores pedagógicos e 2.232 pais
de alunos.
Em todo o processo de realização da pesquisa, contou-se com a participação
efetiva de professores de todas as Coordenadorias Regionais de Ensino - CRE,
desde a elaboração das matrizes e dos itens até a discussão pedagógica dos
resultados, demonstrando, assim, a postura democrática que esta Secretaria
mantém na execução de suas ações.
O Saveal cresceu. Em dezembro de 2003, foi firmado um convênio de
cooperação técnica com a Organização das Nações Unidas para a Educação, a
Ciência e a Cultura – UNESCO, que permitiu otimizar as ações do Saveal, tendo em
vista a equipe multidisciplinar de que ela dispõe para atuar na orientação e
supervisão da pesquisa. As atividades principais que caracterizam essa cooperação
são o apoio técnico-gerencial que responde satisfatoriamente às demandas da
pesquisa, agregando-lhe conhecimento e valor com eficiência e agilidade.
Em 2004, as Matrizes Curriculares foram ampliadas para a 8ª série do Ensino
Fundamental e 3ª série do Ensino Médio, dentro dessa mesma postura democrática
de participação docente, garantindo-se a transparência do processo de avaliação do
Saveal. Todos os descritores de Língua Portuguesa indicam o nível de desempenho
dos alunos no que se refere à leitura. Já os de Matemática dividem-se em quatro
tópicos: I – Espaço e Forma; II – Grandezas e Medidas; III – Números e Operações;
IV – Tratamento da informação.
A partir dessas Matrizes, foram realizadas várias oficinas para elaboração de
itens de Língua Portuguesa e Matemática com o objetivo de aproximar o conteúdo e
a linguagem dos testes ao cotidiano da sala de aula, contemplando estágios de
construção em níveis crescentes de competências e habilidades. Foram construídos
163 itens de Língua Portuguesa, sendo 64 da 4ª e 75 da 8ª série do Ensino
Fundamental e 24 do Ensino Médio, e 251 itens de Matemática, sendo 105 da 4ª e
95 da 8ª série do Ensino Fundamental e 51 da 3ª série do Ensino Médio.
A fim de garantir a qualidade dos itens elaborados, procedeu-se a uma
análise, observando-se a relevância do conteúdo abordado e a adequação dos
mesmos aos critérios utilizados na avaliação em larga escala, além da observação
de sua compatibilidade com os descritores e de sua qualidade técnica.
Para que fosse garantido o sigilo e que os alunos pesquisados não tivessem
acesso, esses itens foram pré-testados em 108 turmas, distribuídos em 17 escolas
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
11
das redes estadual e municipal de Pernambuco, envolvendo 4.278 alunos, cujo
objetivo foi a validação dos mesmos. Saliente-se, porém, que os itens da 3ª série do
Ensino Médio não foram pré-testados, tendo em vista que não foram produzidos em
quantidade suficiente. Os resultados obtidos foram analisados e interpretados à luz
de duas teorias: Teoria Clássica do Teste – TCT e Teoria de Resposta ao Item –
TRI. Os modelos que fundamentam as duas análises se apóiam em modelos
estatísticos que buscam analisar o desempenho dos alunos resultante da aplicação
dos testes considerando-se os níveis de dificuldade, de discriminação e de acerto ao
acaso dos itens.
A TCT se apóia nas respostas dadas por todos os alunos aos itens do teste,
independentemente da habilidade possuída por cada um para responder a um
determinado item. A TRI, considerada uma teoria mais moderna, se apóia também
nas respostas dadas pelos alunos, mas considerando que o desempenho do aluno
em um teste só pode ser explicado por um conjunto de habilidades possuídas por
cada um deles. Esta última permite que seja feita a análise comparativa do
desempenho dos alunos entre os anos e entre as séries para se avaliar a evolução
do desempenho dos alunos. Observando-se, também, que esta teoria apresenta o
poder de discriminação e a dificuldade de cada item.
Concluído todo o processo de análise estatística dos itens, passou-se à etapa
de organização dos mesmos para implantação do Banco de Itens de Alagoas –
BIAL.
Em 2005, o Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica – Saeb, do
Ministério da Educação - MEC, criou a Avaliação Nacional do Rendimento Escolar –
ANRESC, que avaliou as escolas públicas urbanas de 4ª e 8ª séries do Ensino
Fundamental, atendendo o critério de possuir mais de trinta alunos por série.
Conseqüentemente, para que fosse atingido o universo das escolas públicas
de Alagoas, o SAVEAL realizou uma pesquisa complementar à da ANRESC,
avaliando 4ª e 8ª séries do Ensino Fundamental das escolas estaduais urbanas com
mais de cinco e menos de trinta alunos por série, assim como em todas as escolas
rurais. Ampliou-se essa pesquisa para as escolas de 60 municípios cujos secretários
de educação aderiram ao SAVEAL, mediante Termo de Adesão, avaliando as
escolas que atendessem aos referidos critérios.
Foram confeccionados 08 cadernos de teste para a 4ª série, sendo 04
de Língua Portuguesa e 04 de matemática, e 12 cadernos para a 8ª série, sendo 06
de Língua Portuguesa e 06 de Matemática. Em cada um deles havia 25 itens do
Banco de Itens de Alagoas – BIAL e 05 do Banco Nacional de Itens – BNI do SAEB.
Concomitante à confecção desses cadernos, foram elaborados itens para
questionários socioeducacionais a serem aplicados a alunos, professores, diretores,
coordenadores pedagógicos e pais de alunos, destinados a investigar alguns fatores
associados ao desempenho dos alunos e às políticas públicas voltadas para a
Educação Básica.
Para concretização da pesquisa, houve, previamente, treinamento da equipe
que trabalharia na aplicação da pesquisa, a fim de que os mesmos
operacionalizassem, com eficiência, todos os procedimentos pertinentes à referida
pesquisa. Foram criadas as funções de coordenadores estaduais, indicados pelas
Coordenadorias Regionais de Ensino – CRE, e coordenadores municipais, indicados
pelas Secretarias Municipais de Educação dos municípios participantes da pesquisa,
todos sob a supervisão do PROAEE. Esses coordenadores estiveram responsáveis
pela seleção e treinamento das pessoas que trabalharam na aplicação da pesquisa,
intitulados coordenadores de escola e coordenadores de turma.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
12
A avaliação do Sistema Educacional de Alagoas ocorreu no dia 05 de
outubro. Foi atingido o quantitativo de 17.237 alunos, sendo 13.896 da 4ª série e
3.341 da 8ª série em 821 escolas. Do total de alunos, 905 são da rede estadual
urbana, 1.182 da estadual rural, 1.057 da municipal urbana, 14.093 da municipal
rural. Percebe-se, assim, que essa avaliação atingiu, predominantemente, escolas
municipais rurais e urbanas de pequeno porte.
Já os questionários foram aplicados a 17.237 alunos, 1.090 professores, 676
coordenadores pedagógicos, 581 diretores e 3.361 pais de alunos. A partir deles,
foram observadas questões referentes ao nível socioeconômico, esforço acadêmico,
apoio familiar, controle da trajetória escolar do aluno; formação inicial e continuada,
experiência e condições de trabalho do professor; estilo de gestão, clima
organizacional, disciplinar e acadêmico da escola.
Para caracterização do sistema educacional de Alagoas, foram utilizados,
além dos resultados dos testes e questionários, dados do censo escolar, como o
movimento da matrícula e indicadores de eficiência: taxas de aprovação,
reprovação, abandono, evasão, distorção idade/série, fluxo escolar e indicadores de
produtividade.
Foram elaborados Cadernos Pedagógicos de Língua Portuguesa e
Matemática, nos quais estão contidas as análises dos descritores das Matrizes
Curriculares de Referência para avaliação e análises de itens das provas aplicadas
pelo SAVEAL em 2005, seguidas de sugestões pedagógicas para os professores,
subsidiarão as escolas na reflexão sobre o ensino das disciplinas avaliadas.
As Coordenadorias Regionais de Ensino – CREs e os municípios que
aderiram ao SAVEAL, receberão relatórios sintético e analítico, onde estão contidos:
a – os índices de desempenho dos alunos de 1ª a 4ª e de 5ª a 8ª séries do Ensino
Fundamental; b – índices de eficiência, no que se refere à taxa de aprovação
(relacionando-se esses índices de desempenho e eficiência às médias das escolas
municipais, estaduais e federais); c – pontuação da escola com sua representação
em relação à média estadual; d – percentual de acertos por descritor curricular em
Língua Portuguesa e Matemática nas duas séries avaliadas, que servirão de
instrumento gerencial aos gestores públicos.
Esses instrumentos, resultantes da Avaliação do Sistema Educacional de
Alagoas permitem, que os gestores identifiquem as principais dificuldades e desafios
para a operacionalização das políticas públicas educacionais com base nos
resultados da pesquisa, utilizando-os no planejamento das ações governamentais
para a melhoria institucional, como também no planejamento das ações
pedagógicas para a melhoria na qualidade do ensino.
Todavia, a adoção dessa avaliação por parte desta SEE não significa que
haja alguma intenção de julgamento individual de docentes ou discentes. Não são as
pessoas que são avaliadas, mas sim as estruturas, as práticas, as relações, os
processos, os produtos e os recursos que constituem o saber/fazer da escola, em
função dos objetivos desejados. Ela busca, sim, identificar pontos fortes e pontos
fracos do sistema de ensino, com vistas respectivamente ao seu aprofundamento ou
superação, sempre almejando o incremento da qualidade.
Ressalta-se, ainda, que esta avaliação não se reduz ao simples levantamento
de dados, sua análise e a produção de um relatório final. Ela é um processo
permanente de conhecimento do sistema, a fim de alimentar o planejamento para a
melhoria da qualidade. Este processo requer continuidade e regularidade, para que
possibilite a comparação de dimensões e indicadores em diferentes momentos e de
maneira constante.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
13
No entanto, a avaliação de sistema somente se converte em instrumento para
o planejamento da melhoria da qualidade, se for desenvolvida com competência
técnica, correção ética e fidedignidade dos dados e evidências utilizados. E este é o
compromisso desta Secretaria e da Unesco.
Quanto a este Caderno Pedagógico de Matemática para a 8ª série do
Ensino Fundamental, ele está constituído da seguinte forma: (1) a avaliação de
matemática realizada pelo Saveal (2) a Matriz de Referência, indicando de forma
abrangente seu processo de elaboração e seu papel na elaboração dos itens para a
avaliação, (3) apresentação da matriz de referência para a 8ª série com os seus
respectivos descritores e alguns itens da avaliação realizada pelo Saveal em 2005.
Espera-se que este trabalho possa colaborar para o entendimento do que é a
avaliação do Saveal em Matemática, bem como possibilitar uma reflexão acerca dos
procedimentos utilizados no processo de avaliação realizado e refletir sobre
estratégias de ensino que podem favorecer o desenvolvimento adequado das
competências matemáticas.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
14
1. A AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA REALIZADA PELO SAVEAL
A avaliação de matemática realizada pelo Saveal tem por objetivo identificar o
nível de proficiência dos estudantes nesta área do conhecimento, isto é, avaliar o
que eles sabem e o que são capazes de fazer, verificando as competências e as
habilidades que construíram ao longo do processo de escolarização.
Assim, o Saveal quer avaliar as competências dos estudantes, isto é, a sua
“capacidade de mobilizar diversos recursos cognitivos para enfrentar um tipo de
situações” (Perrenoud, 2000, p. 15).
Segundo Perrenoud,
1. As competências não são elas mesmas saberes, savoir-faire ou
atitudes, mas mobilizam, integram e orquestram tais recursos.
2. Essa mobilização só é pertinente em situação, sendo cada situação
singular, mesmo que se possa tratá-la em analogia com outras, já
encontradas.
3. O exercício da competência passa por operações mentais complexas,
subentendidas por esquemas de pensamento, que permitem
determinar (mais ou menos consciente e rapidamente) e realizar (de
modo mais ou menos eficaz) uma ação relativamente adaptada à
situação. (op. cit. p. 15)
Considerando os aspectos acima, podemos dizer que ser matematicamente
competente na realização de uma dada tarefa implica não só ter os conhecimentos
necessários para realizá-la, mas a capacidade de identificar e mobilizar esses
conhecimentos em uma situação concreta, isto é, em situações-problema.
Associadas à competência, as habilidades referem-se ao plano da ação, do
exercício prático de resolução de problemas, da transposição do pensamento para a
prática.
Assim, para avaliar competências e habilidades em matemática torna-se
necessário estabelecer como eixo norteador da avaliação a proposição de
situações-problema, nas quais o aluno deve aplicar os conhecimentos adquiridos,
demonstrando em que medida essas competências e habilidades foram construídas.
Destaca-se que o conhecimento matemático ganha significado quando os alunos
têm situações desafiadoras para resolver e trabalham para desenvolver estratégias
de resolução.
Esta opção por resolução de situações-problema não exclui a possibilidade da
proposição de outros tipos de situações com o objetivo de avaliar se o aluno tem
domínio de determinadas técnicas, que servirão para a resolução de problemas.
O uso dessas duas estratégias, resolução de situações-problema e aplicação
técnicas matemáticas, possibilita investigar as competências que os alunos já
desenvolveram e aquelas que ainda precisam ser mais bem trabalhadas no contexto
escolar.
Ressalta-se que para a avaliação de competências e habilidades
matemáticas, as situações propostas devem refletir o universo vivenciado pelos
estudantes, isto é, devem ser significativas e corresponder ao contexto social,
econômico e cultural dos mesmos, uma vez que aprendizagem da matemática deve
contribuir para a construção de uma visão de mundo, para ler e interpretar a
realidade e para desenvolver capacidades que deles serão exigidas ao longo da vida
social e profissional.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
15
2. A MATRIZ DE REFERÊNCIA DE MATEMÁTICA
A Matriz de Referência de Matemática é o documento que contém as
competências e habilidades matemáticas que serão avaliadas no teste do Saveal.
A Matriz de Referência de Matemática contempla 04 temas, que são os
mesmos para as 4ª e 8ª séries do Ensino fundamental e para a 3ª série do Ensino
Médio, e estão de acordo com as recomendações estabelecidas nos Parâmetros
Curriculares Nacionais para o ensino de matemática. Os temas variam em
complexidade e abrangência de acordo com a realidade de cada série avaliada. Os
temas que compõem a Matriz de Referencia em Matemática são: I – Espaço e
Forma; II – Grandezas e Medidas; III – Números e Operações; IV – Tratamento da
informação.
Cada tema da matriz é constituído por um conjunto de descritores. Os
descritores descrevem competências relacionadas a diferentes operações de
natureza cognitiva, e se traduzem basicamente em três tipos habilidades possíveis
de serem medidas pelo Saveal. Dessa forma, os descritores foram selecionados de
modo que se possa refletir sobre a natureza das operações mentais que
caracterizam cada uma das competências e habilidades definidas como relevantes.
As habilidades descritas pelos descritores referem-se à:
a) Compreensão de conceitos: refere-se a habilidades como identificar,
reconhecer e associar conceitos e relações matemáticas em situações
diversas.
b) Utilização de procedimentos: refere-se às habilidades de fazer cálculos,
estimativas, execução de algoritmos e manipulações algébricas.
c) Resolução de problemas: refere-se à seleção e ao uso de estratégias e
procedimentos matemáticos adequados para resolver situações-problema.
Destaca-se que cada descritor descreve apenas uma competência ou
habilidade a ser avaliada. Assim, cada item do teste, elaborado a partir de um
descritor, avalia uma única competência. A isto denominados unidimensionalidade
do item.
Os itens propostos na avaliação são construídos observando as
competências descritas na matriz de referência de matemática e as normas técnicas
para esta construção.
As normas técnicas indicam dois tipos de itens. Em um dos tipos, o aluno
resolve uma situação problema e identifica a alternativa que contém a resposta
certa. No outro tipo, o aluno analisa cada alternativa de acordo com o enunciado e
identifica a correta. Dessa forma, o enunciado de cada item poderá ser uma
pergunta ou uma frase a ser completada.
Outro importante aspecto a ser considerado refere-se à construção das
alternativas que compõem cada item. Dentre elas, uma é a correta, denominada de
gabarito e as outras, incorretas, são denominadas distratores. Os distratores,
preferencialmente, devem ser elaborados de maneira que não apresentem valores
arbitrários, devendo cada um deles corresponder ao resultado de uma estratégia
possível de ter sido utilizada pelo estudante e que produziu resultado incorreto.
Dessa forma, é possível identificar as principais dificuldades encontradas pelos
estudantes na resolução dos itens, indicando assim, mudanças que poderão ser
implantadas nas salas de aula de modo a propiciar o desenvolvimento das
competências avaliadas.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
16
A seguir, apresentaremos a matriz de referência da 8ª série do Ensino
Fundamental, mostrando de forma sucinta o que cada tema desta matriz quer avaliar
e os descritores relativos a esses temas. Destaca-se que ao tratarmos dos
descritores, apresentaremos alguns itens do teste do Saveal aplicado em 2005,
analisando os resultados dos estudantes e sugerindo algumas atividades que podem
ser desenvolvidas em sala de aula para favorecer o desenvolvimento das
competências matemáticas.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
17
3. A MATRIZ DE REFERÈNCIA E OS ITENS DO TESTE DO SAVEAL 2005
3.1 TEMA I – Espaço e Forma
Para a 8ª série do Ensino Fundamental, a Matriz indica para a avaliação, em
relação ao tema Espaço e Forma, competências como a capacidade de
reconhecimento de figuras geométricas planas e espaciais por meio de suas
definições e da identificação de algumas propriedades, bem como a resolução de
problemas utilizando propriedades dos polígonos; o reconhecimento de ângulos
como mudança de direção ou giros, identificando ângulos retos e não retos;
utilização das relações métricas do triângulo retângulo para resolver problemas
significativos. A matriz prevê, ainda, a avaliação de competências relativas à
interpretação de informações dadas em coordenadas cartesianas e do
reconhecimento de elementos e algumas relações do círculo e da circunferência.
3.1.1 D1 – Identificar propriedades comuns e diferenças entre figuras
bidimensionais e tridimensionais, relacionando-as com as suas
planificações
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno quantificar as faces, as
arestas e os vértices dos poliedros e reconhecer planificações dos sólidos
geométricos.
Essas habilidades podem ser avaliadas por meio de situações-problema
contextualizadas, que envolvam a composição e decomposição de figuras espaciais,
identificando suas semelhanças e diferenças.
A seguir apresentamos um item da avaliação de 2005 que teve por finalidade
avaliar essa competência.
20. Fábio é muito curioso. Ele resolveu desmontar esta caixa de creme dental. Que
figura encontrou?
Creme Dental
(A)
(C)
Creme Dental
Creme Dental
(D)
(B)
Creme Dental
Creme Dental
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
18
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
A
A
B
C
D
Não
respondeu
58,0
9,0
21,6
8,5
2,9
Esse item solicita ao aluno que reconheça qual é a planificação de uma
caixa retangular que representa a embalagem de um creme dental. Nesse caso, é
dada a figura de um tetraedro regular e, como alternativas de respostas são dadas
quatro planificações, sendo apenas uma a verdadeira, de modo que seja possível
julgar se o aluno reconhece ou não as características do tetraedro.
Observamos que a maioria dos alunos (58%) respondeu corretamente ao
item, escolhendo a alternativa “A”.
Quanto aos que escolheram as alternativas “B” e “C”, representando
respectivamente 9% e 21,6% dos respondentes do teste, podemos concluir que
estes alunos não desenvolveram a percepção espacial, pois não reconheceram que
uma “caixa” possui seis faces, sendo formada, no caso desse item, por quatro
retângulos com as mesmas dimensões e dois quadrados também de mesmas
dimensões. Esse fato está bastante claro, pois escolheram planificações formadas
por apenas três retângulos.
Os alunos que escolheram a alternativa “D” (8,5%) demonstraram
reconhecer o número de faces do tetraedro apresentado, porém possivelmente se
distraíram, fixando a sua atenção na face na qual estava escrita a expressão “Creme
Dental”, imaginando que essa inscrição só poderia estar no segundo retângulo da
planificação.
Com relação à aprendizagem das formas geométricas, as primeiras
atividades serão de observação e reconhecimento dessas formas nos objetos do
ambiente. A partir daí, pode-se explorar algumas características das figuras
geométricas, tanto das figuras planas como dos sólidos geométricos (formas
bidimensionais e tridimensionais), estabelecendo semelhanças e diferenças entre
essas formas. É importante que os alunos reconheçam alguns elementos que
compõem as figuras, tais como faces, arestas, vértices, lados e ângulos. Para
desenvolver habilidades relacionadas ao trabalho com figuras planas e espaciais, o
professor pode realizar, dentre outras, as seguintes atividades:
a) Propor aos alunos que identifiquem as características das formas geométricas
que estão presentes em elementos naturais e nos objetos criados pelo
homem, podendo explorar as formas existentes no próprio espaço da sala de
aula.
b) Propor aos alunos a composição e a decomposição de sólidos geométricos e
figuras planas, identificando diferentes possibilidades. Por exemplo, explorar
o cubo e o quadrado, estabelecendo relações entre eles a partir da
planificação de caixas, por meio da qual se pode evidenciar que o quadrado é
uma face do cubo.
c) Realizar com os alunos a planificação de alguns sólidos geométricos,
identificando a relação entre faces e figuras planas.
d) Propor aos alunos a confecção de maquetes a partir da montagem de sólidos
geométricos.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
19
3.1.2 D2 – Identificar propriedades de triângulos pela comparação de
medidas de lados e ângulos
Esse descritor deve verificar a habilidade de o aluno explorar as propriedades
dos triângulos segundo seus ângulos e segundo seus lados. É importante que ao
trabalhar com triângulos, o professor destaque os seus principais elementos
constitutivos: lados, vértices e ângulos internos. Deve-se também destacar a
classificação dos triângulos quanto à medida dos lados (eqüilátero, isóscele e
escaleno) e quanto à medida dos ângulos (acutângulo, retângulo e obtusângulo).
Outra propriedade que deve ser destacada refere-se à soma das medidas dos
ângulos internos do triângulo, que é constante e igual a 180º.
Outro aspecto fundamental que deve ser trabalhado com os alunos refere-se
à semelhança de triângulos. Nesse sentido, o aluno deve ser capaz de identificar
que triângulos com lados correspondentes proporcionais e triângulos que têm
ângulos correspondentes iguais são semelhantes.
O professor pode explorar os casos de semelhanças entre triângulos com os
seus alunos, destacando:
a) Dois triângulos são semelhantes quando têm dois ângulos respectivamente
congruentes (caso ângulo, ângulo).
b) Dois triângulos são semelhantes quando têm todos os lados homólogos
proporcionais (caso lado, lado, lado).
c) Dois triângulos são semelhantes quando têm dois lados homólogos proporcionais
e os ângulos determinados por eles são congruentes (caso lado, ângulo, lado).
Sugere-se que seja apresentado para os alunos situações em que possam
estabelecer comparações entre triângulos, identificando suas propriedades. Essa
atividade será mais significativa se essas situações forem contextualizadas,
podendo, para isso, apresentar elementos de natureza artística ou arquitetônica.
3.1.3 D3 – Reconhecer os quadriláteros por meio de suas propriedades
referentes a lados e ângulos
Esse descritor tem por finalidade avaliar se o aluno desenvolveu a habilidade
de identificar todos os tipos de quadriláteros (trapézios, paralelogramos, e
trapezóides) e as inclusões entre eles, bem como as propriedades das suas
diagonais.
Assim, o professor deve estimular os alunos para uma atitude reflexiva em
relação ao estudo dos quadriláteros, pois, normalmente, cria-se uma imagem do que
venha a ser cada quadrilátero sem se preocupar com as definições de cada um. É
relevante que conheçam essas definições:
a) Paralelogramo: é um quadrilátero que tem os lados opostos paralelos. Alguns
paralelogramos têm características especiais. São eles:
a. Retângulo: é um paralelogramo que tem quatro ângulos retos e
diagonais de medidas iguais.
b. Losango: é um paralelogramo que tem quatro lados de medidas iguais
e diagonais perpendiculares.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
20
c. Quadrado: é um paralelogramo que reúne características do retângulo
e do losango. Dessa forma, apresenta quatro ângulos retos, quatro
lados de medidas iguais, diagonais de medidas iguais e
perpendiculares.
b) Trapézio: é um quadrilátero que têm apenas dois lados paralelos.
Encontramos três tipos de trapézios:
a. Trapézio escaleno: possui lados transversais de medidas diferentes.
b. Trapézio retângulo: possui dois ângulos retos.
c. Trapézio isóscele: possui lados transversais de medidas iguais.
c) Trapezóides: é um quadrilátero cuja forma lembra um trapézio, sendo
formado por 3 segmentos retilíneos dos quais dois são paralelos entre si e de
uma quarta linha de forma qualquer.
Um exemplo de situação-problema para avaliar as habilidades dos alunos
em relação aos quadriláteros é apresentado a seguir. Conhecidas as seguintes
características de um quadrilátero: lado AB perpendicular ao lado AD; lado AB
paralelo ao lado CD; ângulo interno B̂ de medida igual a 30º; pergunta-se, que tipo
de quadrilátero é esse? Essa situação-problema está solicitando ao aluno que ele
reconheça o tipo de quadrilátero que possui as características citadas. Nesse caso
seria um trapézio.
3.1.4 D4 – Reconhecer a conservação ou modificação de medidas dos
lados, do perímetro, da área em ampliação e/ou redução de figuras
poligonais usando malhas quadriculadas
É muito comum, quando tratamos do planejamento de construções de casas
e prédios, ou quando nos referimos a situações que envolvem a ampliação de
desenhos, recorrermos inicialmente à elaboração de um pequeno modelo que visa
representar a idéia que temos em mente. Uma vez feita esta “pequena”
representação, podemos testar o que poderá acontecer no plano real se
modificarmos as medidas que utilizamos, alterando o perímetro e a área daquilo que
queremos elaborar. Assim, este descritor quer avaliar a habilidade de o aluno,
usando figuras planas desenhadas em uma malha quadriculada, reconhecer um
polígono em que cada lado é ampliado (ou reduzido) por um fator k, e, dessa forma,
o perímetro é multiplicado por k e a área é multiplicada por k2. Como se trata de um
tipo de atividade comum de encontrarmos no nosso cotidiano, essa habilidade é
avaliada por meio de situações-problema contextualizadas em que o aluno é
solicitado a ampliar e reduzir figuras planas desenhadas em uma malha
quadriculada.
A seguir, apresentamos um item do teste aplicado pelo Saveal em 2005 para
avaliar essa habilidade.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
21
Um pintor quer destacar uma parede com azulejos coloridos. Ele fez um teste com o
desenho menor e depois ampliou o desenho. Seu patrão aprovou o maior desenho.
A ampliação do desenho maior foi de quantas vezes?
(A)
(B)
(C)
(D)
2
3
4
5
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
A
B
C
D
Não
respondeu
Observamos
C
17,9
17,7
37,5
24,3
2,6
que 37,5% dos
alunos acertaram ao item, escolhendo a alternativa “C”. Para chegar à solução do
problema, os alunos poderiam ter utilizado diferentes estratégias, desde a contagem
dos quadrinhos em cada uma das figuras e estabelecendo relações entre elas até
aplicar as relações que expusemos acima. Assim, o aluno poderia ter contado os
quadrinhos na figura menor, encontrando 12 unidades de área e contando os
quadrinhos da figura maior, encontrando 48 unidades de área. A partir daí, ele pode
observar que a figura maior representou um aumento de 4 vezes a área da figura
menor. Isso ocorreu tanto em relação à área colorida de vermelho com em relação à
área colorida de azul. O aluno também poderia ter utilizado a seguinte relação: como
um dos lados foi ampliando por um fator k, no caso o dobro, isto é multiplicado por 2,
a nova área seria obtida multiplicando a área de figura menor por k 2, isto é 22 (4).
Assim, a nova área seria encontrada realizando a operação 12 x 4, obtendo 48
unidades de área.
Quanto aos alunos que escolheram as alternativas “A”, “B” e “D” e que
representam respectivamente, 17,9%, 17,7% e 24,3%, podemos inferir que:
a) No caso dos que escolheram a alternativa “A”, observaram que ambas as
dimensões foram ampliadas pelo dobro de suas medidas, afirmando assim
que o desenho maior foi ampliado em 2 vezes.
b) Em relação aos que escolheram a alternativa “B”, possivelmente observaram
que uma das dimensões foi aumentada em três unidades, logo imaginaram
que a figura foi ampliada em três vezes.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
22
c) No caso daqueles que escolheram a alternativa “C”, provavelmente fizeram
uma escolha aleatória, não buscando nos elementos do problema, dados que
pudessem justificar sua escolha.
O desenvolvimento dessa habilidade implica que o aluno realize ampliações
ou reduções de uma figura poligonal fechada ou a sua transferência de um lugar a
outro, sua modificação ou, ainda, a realização de um giro da posição do polígono.
É importante que o aluno utilize o recurso da malha quadriculada para
construir essa competência. O professor poderá sugerir que o aluno faça desenhos
de figuras geométricas em cadernos quadriculados e os reproduza em tamanhos
diferenciados, fazendo-o desenvolver a noção de proporcionalidade.
Uma estratégia interessante poderia ser a troca dos desenhos das figuras
pelos colegas na sala de aula e a reprodução em tamanhos diferenciados,
trabalhando-se a ampliação ou redução, conservando-se ou modificando-se os
lados, os perímetros ou as áreas.
3.1.5 D5 – Resolver problemas envolvendo ângulos como mudança de
direção, identificando ângulos retos e não-retos
Esse descritor tem por finalidade avaliar a habilidade de o aluno resolver
problemas nos quais um elemento (pessoa, objeto etc.) muda de direção, formando
um novo ângulo a partir do percurso que estava desenvolvendo. Essa habilidade é
avaliada por meio de situações-problema contextualizadas, solicitando ao aluno que
observe as mudanças de direção, por exemplo, de navios e de aviões, que alteram
suas rotas ao longo do percurso entre sua partida e sua chegada. A seguir temos
um item do teste do Saveal 2005 que avalia essa habilidade.
Um navio partiu de uma cidade A, num ângulo de 30° com o norte. Após alguns
quilômetros, fez um giro de 90° para a direita. Esses ângulos são, respectivamente,
(A)
(B)
(C)
(D)
agudo e reto.
agudo e raso.
obtuso e reto.
obtuso e raso.
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
A
A
B
C
D
Não
respondeu
33,6
25,0
26,7
12,9
1,8
As respostas dos alunos nos mostram que apenas 33,6% acertaram ao item
escolhendo a alternativa correta “A”. Observa-se que para responder corretamente
ao item, bastava que o aluno tivesse o domínio dos conceitos de ângulo agudo (de
medida menor que 90º) e de ângulo reto (de medida igual a 90º). Sabendo desses
conceitos, a resposta ao item seria imediata.
Os demais alunos que não responderam corretamente ao item,
provavelmente não têm o domínio dos conceitos nele envolvidos. Destaca-se que
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
23
esses alunos representam 64,6% dos respondentes. Esse fato deve ser considerado
grave, pois esses conceitos deveriam ser trabalhados com os alunos desde os anos
iniciais do ensino fundamental, de modo que ao chegarem à última série desse nível
de ensino, não deveriam apresentar dificuldades em relação a esses conceitos.
Esse item trata do domínio de algumas habilidades envolvendo ângulos como
mudança de direção, identificando ângulos retos e não-retos. Para isso, os alunos
devem ter noções claras sobre mudanças de direção, por exemplo, se forem usadas
expressões como direita, esquerda, à frente ou atrás, norte, sul, leste e oeste, ele
deve lembrar que, quando o norte está à sua frente, o oeste está à sua esquerda, o
leste, à direita e o sul, atrás. Isso favorecerá representar por meio de desenhos ou
gráficos as mudanças de direção ocorridas. Os alunos também devem demonstrar
domínio em relação aos conceitos de ângulos retos e não retos, de modo que sai­
bam representar corretamente um ângulo reto (que possui medida de 90º) e saibam
que ângulos não retos podem ter medidas maiores que 90º (ângulos obtusos) ou
menores que 90º (ângulos agudos). O item apresentado solicita ainda que os alunos
saibam que um ângulo raso é aquele que mede 180º.
3.1.6 D6 – Reconhecer eixos de simetria em figuras planas identificando
figuras simétricas e não simétricas
Observe as figuras desenhadas neste quadro:
Podemos afirmar que:
(A)
(B)
(C)
(D)
Todas as figuras são simétricas pois a linha tracejada representa o eixo
simetria.
Todas as figuras são simétricas pois qualquer linha representará o eixo
simetria.
Existem três figuras simétricas nas quais a linha tracejada marca o eixo
simetria.
Existem quatro figuras não simétricas no quadro, porém, elas têm eixos
simetria.
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
A
B
C
D
Não
respondeu
C
23,5
18,3
31,1
25,2
1,9
de
de
de
de
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
24
Os alunos que acertaram ao item representam 31,1% dos respondentes.
Esses alunos escolheram a alternativa “C”, que apresenta a afirmação de que
existem três figuras simétricas nas quais a linha tracejada marca o eixo de simetria.
Esses alunos reconheceram que as figuras 2, 3 e 4 estão simetricamente divididas.
Quanto aos alunos que escolheram a alternativa “A” (23,5%), afirmando que
todas as figuras são simétricas e que a linha tracejada representa o eixo de simetria,
possivelmente confundiram dividir ao meio como divisão simétrica, pois a linha
tracejada na figura 1 corresponde à divisão da mesma em duas partes, porém não
simétricas.
Os alunos que optaram pela alternativa “B” (18,3%) demonstram não ter
clareza sobre o conceito de simetria, uma vez que afirmaram que todas as figuras
são simétricas, pois qualquer linha representará o eixo de simetria.
Os alunos que escolheram a alternativa “D” (25,2%) também evidenciaram
não ter domínio do conceito de simetria, uma vez que afirmaram existir quatro
figuras não simétricas no quadro, apesar de 3 delas serem simétricas.
O eixo de simetria pode ser representado por um ponto, reta ou plano, que
divide uma estrutura ou uma figura em partes semelhantes em forma, grandeza e
posição, relativamente a esse ponto, reta ou plano.
Encontramos dois tipos de simetrias: simetria axial e simetria central. O
primeiro tipo refere-se a uma transformação no plano, que a cada ponto faz
corresponder o seu simétrico, em relação a uma reta que é o eixo de simetria. A
simetria central refere-se a transformações no plano que a cada ponto faz
corresponder o seu simétrico, com relação a um centro fixo, podendo ser uma
translação, uma rotação ou uma reflexão nesse ponto.
“À primeira vista, as transformações podem parecer um assunto que não tem
relação com o dia-a-dia, mas, refletindo e observando um pouco, nota-se, por
exemplo, que as simetrias estão muito presentes no cotidiano. Em inúmeros objetos
físicos ocorrem aproximações de planos de simetria de reflexão. Em representações
planas desses objetos, tais planos de simetria reduzem-se a eixos de simetria. No
corpo humano pode-se observar (aproximadamente) um plano de simetria. Assim,
também a imagem de um objeto no espelho é simétrica a ele. Há eixos de simetria
em diversas criações do homem, como desenhos de aeronaves, edifícios e móveis”
(Brasil, 1998, p. 124).
Os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática para as séries finais do
ensino fundamental destacam que “as simetrias centrais e de rotação também
surgem em diversas situações: desenhos de flores, logotipos de empresas,
desenhos de peças mecânicas que giram, copos, pratos, bordados etc. Os exemplos
de translação também são fáceis de encontrar: grades de janelas, cercas de jardins,
frisos decorativos em paredes, azulejos decorados etc.” (Idem, 1998 p. 124)
Os exemplos citados acima são uma ótima forma de explorar o tema simetria
em sala de aula com os alunos.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
25
3.1.7 D7 – Resolver problema utilizando propriedades dos polígonos
(soma de seus ângulos internos, número de diagonais, cálculo da
medida de cada ângulo interno nos polígonos regulares)
Esse descritor tem por objetivo avaliar a habilidade de o aluno resolver
problemas utilizando propriedades dos polígonos. Essa avaliação pode ser realizada
por meio de situações-problema contextualizadas que explicitem o conhecimento
específico.
Por exemplo: apresentar um lugar no qual será organizada uma festa junina.
Pode-se dizer que, para iluminar a área da festa, foram instalados 5 postes,
dispostos de tal forma que cada um representa o vértice de um pentágono.
Pergunta-se: quantos segmentos de fios elétricos serão necessários para ligar um
poste aos demais, sabendo que esses fios devem cruzar a área central da festa?
Neste caso, os alunos poderão inicialmente realizar ilustração e então encontrar o
número de segmentos necessários, que representam as diagonais do pentágono.
n(n-3)
Para responder é usada a fórmula D =
, onde D é o número de diagonais e n é
2
o número de lados.
Essa fórmula é muito simples de ser explicada. Lembre-se de que o número
de diagonais que se pode traçar de cada um dos n vértices de um polígono de n
lados é (n-3), porque não conta o próprio vértice e seus dois vértices adjacentes. E a
diagonal que liga um vértice V1 ao vértice V2 é a mesma que liga V2 a V1, portanto
n
são
vértices a considerar. Respondendo corretamente a essa questão fica claro
2
que o aluno aprendeu a calcular as diagonais de um polígono, caso contrário, não
aprendeu.
3.1.8 D8 – Interpretar
coordenadas cartesianas
informações
apresentadas
por
meio
de
Esse descritor tem por finalidade propor situações-problema para verificar se
o aluno consegue interpretar informações apresentadas por meio de coordenadas
cartesianas. Destacamos, por curiosidade, que o sistema de coordenadas
cartesianas tem esse nome por causa de Descartes (1596-1650), que assinava, em
latim, Cartesius.
Essa habilidade pode ser avaliada por meio de uma diversidade de
situações-problema contextualizadas. Assim, podemos propor:
a) Dado um conjunto de pares ordenados, por exemplo, o aluno deve identificar
o gráfico que contenha esses pontos (pares).
b) Dado um gráfico representado por uma reta, o aluno deve identificar o ponto
que representa, por exemplo, a intersecção dessa reta com o eixo das
abscissas.
c) Apresentado um mapa desenhado em uma malha quadriculada, informar que
essa malha representa um plano cartesiano. Assim, pode-se solicitar aos
alunos que identifique o par ordenado que representa a localização de uma
determinada região.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
26
d)
Utilizando um contexto lúdico, por exemplo, o jogo de batalha naval, que é
um campo representado em um retângulo quadriculado organizado em linhas
(representadas por números) e colunas (representadas por letras). Pode-se
solicitar aos alunos que indiquem o par ordenado (número, letra)
correspondente à localização do inimigo.
e) Pode-se ainda, usar o contexto de um teatro, no qual as fileiras estão
organizadas por letras em ordem alfabética e as cadeiras estão numeradas
em ordem crescente. Dessa forma, solicita-se ao aluno que identifique a
posição de uma determinada cadeira.
f) Apresentar uma equação do 1º ou do 2º grau com duas variáveis e solicitar
que o aluno identifique o par ordenado que possa ser a solução da equação.
3.1.9 D9 – Resolver problemas que envolvam as relações métricas no
triângulo retângulo
Esse descritor tem por finalidade avaliar a habilidade de o aluno resolver
problemas que envolvam as relações métricas no triângulo retângulo. No ensino
fundamental, podemos, no caso do Teorema de Pitágoras, mostrar duas formas de
resolução: algébricas (baseadas nas relações métricas nos triângulos retângulos),
geométricas (baseadas em comparações de áreas).
Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema contextualizadas
que exijam que o aluno selecione as relações que devem ser utilizadas no problema,
especialmente em se tratando do teorema de Pitágoras. A propósito, o Teorema de
Pitágoras nos diz que, num triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenu­
sa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Vejamos uma situaçãoproblema que pode ser resolvida aplicando-se esse teorema.
Um eletricista foi chamado para fazer uma ligação de energia elétrica na
casa do Sr. Antônio. Após observar em volta da casa, o eletricista disse que poderia
fazer a ligação a partir de uma caixa que estava localizada a 16 metros poste. O Sr.
Antônio perguntou qual a quantidade de fio que ele gastaria e o eletricista disse que,
para dar essa informação, precisaria saber, antes, a altura do poste. Os dois, então,
realizaram a medição do poste, descobrindo que ele tem 12 metros de altura. Sr.
Antônio voltou a perguntar: qual a quantidade de fio que será necessária?
Para resolver essa situação-problema, o professor deve estimular os alunos
a fazerem uma ilustração, a fim de melhor visualizarem a situação apresentada para
então, realizarem os cálculos necessários.
Reproduzimos abaixo um poema escrito em homenagem ao Teorema de
Pitágoras:
Teorema em Matemática
é algo de grande valor,
pois ele resolve problema
sem um pingo de dor.
Foi por isso que o mestre Pitágoras
grande tempo dedicou
jogou tudo na panela
e só o triângulo sobrou.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
27
Pegou a tal hipotenusa
e ao quadrado elevou
o mesmo fez com os catetos
e muito surpreso ficou.
Descobriu que o triângulo precisa de três lados
mas só com dois conhecidos
o terceiro é calculado.
(Hailton D. M. Rodrigues)
3.1.10 D10 – Reconhecer círculo / circunferência, seus elementos e
algumas de suas relações
Esse descritor tem por finalidade avaliar a habilidade de o aluno reconhecer
os elementos de uma circunferência: raio, diâmetro, corda, arco, ângulo central,
ângulo inscrito, ângulos exteriores, secantes, tangentes, e os elementos de um
círculo: setor circular, segmento circular e anel circular, bem como algumas relações
entre eles. Essa habilidade é avaliada por meio de situações em que o aluno
reconheça, por exemplo, que o diâmetro de uma circunferência é o dobro do raio;
que o diâmetro é sempre maior que qualquer corda; que ângulos centrais
congruentes correspondem a arcos congruentes etc.
A seguir, apresentaremos um item do teste do Saveal 2005 que avalia essa
habilidade.
Considere os pontos A, B e C na circunferência de centro 0 e raio r = 4 cm (raio é o
segmento de reta que parte do centro O até a circunferência).
A
B
O
C
O diâmetro AC dessa circunferência mede
(A)
(B)
(C)
(D)
4 cm
5 cm
8 cm
9 cm
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
A
B
C
D
Não
respondeu
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
C
31,0
17,8
41,5
7,6
28
2,1
O quadro de respostas nos mostra que apenas 41,5% dos alunos acertaram o
item, escolhendo a alternativa “C”. Para solucionar o problema, os alunos poderiam
ter recorrido ao conceito de diâmetro (d = 2r, isto é, d = 2x4 = 8) ou ainda poderiam
ter considerado o diâmetro AC como a soma dos raios AO com OC (4 + 4 = 8).
Dentre as alternativas incorretas, a alternativa “A”, escolhida por 31% dos
respondentes, mostra-nos que os alunos que a escolheram não dominam o conceito
de diâmetro, pois escolheram um dado apresentado no enunciado como resposta
para o problema. Os demais alunos, que escolheram as alternativas “B” e “D”
provavelmente fizeram suas escolhas de forma aleatória, pois os resultados
apresentados nessas alternativas não evidenciam cálculos incorretos nem mesmo
possibilidades de solução.
Os termos circunferência, círculo, raio, diâmetro e corda são utilizados para
descrever as características de peças mecânicas, instrumentos musicais,
estabelecer regras para construção de quadras poliesportivas etc. Algumas áreas do
conhecimento como a Física, a Geografia, a Biologia, a Literatura e a Arte se
utilizam desses termos com o significado que a matemática lhes atribui, justificando,
assim, a importância desse conhecimento pelos alunos.
As habilidades para trabalhar com esses elementos podem ser desenvolvidas
favorecendo aos alunos o contato com manuais que trazem especificações técnicas
de produtos, discutindo o significado dos termos que aparecem na descrição das
peças. Por exemplo, “... polia com 60 mm de diâmetro”; “tambor com 150 mm de
raio” etc.
Solicite aos alunos que observem à sua volta e procurem encontrar círculos e
circunferências. Eles estão presentes em quase todo tipo de máquina: automóveis,
aviões, radares, relógios etc. Destaque para os seus alunos que os paralelos e
meridianos utilizados para demarcar o nosso planeta também são representações
desses elementos. Essas habilidades também podem ser desenvolvidas por meio da
exploração de obras de arte e peças de artesanato solicitando que os alunos as
analisem, identificando círculos e circunferências.
3.2 TEMA II – Grandezas e Medidas
Para a 8ª série do Ensino Fundamental, a Matriz de Referência quer avaliar
competências que dizem respeito à compreensão das medidas convencionais ou,
dos sistemas convencionais para o cálculo de perímetros, áreas, volumes e relações
entre as diferentes unidades de medida.
3.2.1 D11 – Resolver problema envolvendo o cálculo de perímetro de
figuras planas
Esse descritor tem por finalidade avaliar a habilidade de o aluno resolver
problemas que envolvam polígonos regulares e irregulares, desenhados ou não em
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
29
malhas quadriculadas, solicitando que calculem o perímetro dos mesmos. Destacase que figuras circulares também podem ser exploradas nesse descritor.
A seguir apresentaremos um item do teste aplicado pelo Saveal em 2005
para avaliar essa habilidade.
Uma pista para caminhada foi construída ao redor do pátio da escola, como mostra
a figura quadriculada.
Cada quadrado mede 10m de lado. O perímetro da figura, que representa o
comprimento da pista é
(A)
(B)
(C)
(D)
506m
340m
530m
560m
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
A
B
C
D
Não
respondeu
D
15,4
34,3
21,9
26,8
1,5
A alternativa correta é a “D”, escolhida por 26,8% dos alunos. Para resolver o
problema, bastava contar o número de laterais dos quadradinhos que
representavam a pista para caminhada que foi construída no pátio da escola e
multiplicar esse número por 10 (pois cada lado dos quadradinhos tem medida igual a
10 unidades).
Dentre as respostas incorretas desse item, destacamos a alternativa “B” que
apresentou o maior percentual de respostas (34,3%). Observamos que os alunos
que escolheram essa alternativa consideraram apenas os contornos que estavam
mais externos à figura, não levando em consideração toda a linha poligonal que
representa o contorno da mesma. Isso evidencia que os alunos não têm o domínio
do conceito de perímetro, que é a soma de todos os lados da figura,
independentemente do número de lados que ela possa apresentar.
Quanto aos que responderam ao item escolhendo a alternativa “A” (15,4%),
podemos supor que fizeram a contagem correta do número de laterais que
representam a pista para caminhada, mas provavelmente, cometeram um erro ao
multiplicar 56 x 10, encontrando 506. Quanto aos que escolheram a alternativa “C”
(21,9%), é provável que o fizeram de forma aleatória, sem realizar procedimentos de
cálculo para solucionar o problema.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
30
O cálculo do perímetro de figuras planas é um conhecimento significativo pela
sua aplicabilidade em situações reais.
Habilidades como comparar perímetros de várias regiões, identificar que
regiões diferentes podem ter o mesmo perímetro e que figuras de mesmo perímetro
podem ter áreas diferentes e vice-versa, identificar em um conjunto de figuras
isoperimétricas (mesmo perímetro) a que possui a maior área, etc., são atividades
que podem ser trabalhadas com os alunos. Figuras com tais características podem
ser encontradas em obras de artesanatos, logomarcas, trabalhos artísticos etc.
Outras atividades que também podem ser desenvolvidas são:
a) Atividades no geoplano onde o aluno constrói, por exemplo, figuras
isoperimétricas e verifica o que acontece com ás áreas dessas regiões;
figuras de mesma área e compara os perímetros etc.
b) Utilização de problemas envolvendo o cálculo do perímetro de lagos,
cidades, percursos reais a partir de suas representações em mapas, croquis
em escala.
c) Atividades onde o aluno calcula o perímetro de molduras de quadros e a
quantidade de fios para fazer iluminações de decorações natalinas.
d) Atividades que levam o aluno a perceber que a decomposição de uma figura
e a composição (sem superposição) em uma nova figura, não altera a área,
mas pode alterar o perímetro.
3.2.2 D12 – Resolver problema envolvendo o cálculo de área de figuras
planas
Esse descritor tem por finalidade descrever competências e habilidades
relacionadas à resolução de problemas envolvendo o cálculo de áreas de figuras
planas, tanto de polígonos regulares como de polígonos irregulares e figuras
circulares.
O cálculo de áreas de figuras planas é um conhecimento significativo pela sua
aplicabilidade em situações reais, os problemas que serão apresentados devem ser
contextualizados, explorando situações familiares às vividas pelos alunos, podendo
solicitar o cálculo, por exemplo, da área de uma casa que é composta por diferentes
polígonos ou por polígonos iguais, porém com dimensões diferentes. Situações
como essas exigem do aluno a decomposição de uma figura, em muitas outras, para
então poder realizar os cálculos necessários para a solução do problema. Destacase que o descritor envolve diferentes figuras planas, podendo, assim, requer o
cálculo da área de triângulos, quadriláteros e círculos, dentre outros.
A seguir apresentaremos um item do teste do Saveal 2005 que avalia essa
habilidade.
A planta da casa de Dora está representada nessa figura. Como cada quadrado
representa 1m2 de área, podemos concluir que a área total é de
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
31
(A) 59m2
(B) 69m2
(C) 74m2
(D) 77m2
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
A
B
C
D
Não
respondeu
C
27,8
21,0
38,0
11,3
2,0
Este item é um problema considerado simples para o contexto da 8ª série do
Ensino Fundamental, pois refere-se ao cálculo de área de figuras planas
desenhadas em malha quadriculada. Essa característica do item possibilita ao aluno
resolver o problema realizando apenas a contagem do número de quadradinhos que
compõe a figura que representa a planta de uma casa, não exigindo o uso de
fórmulas ou de decomposição da figura. Entretanto, apesar da facilidade do item,
apenas 38% dos alunos o acertaram, escolhendo a alternativa “C”.
Os alunos que erraram ao item correspondem a 60,1% dos respondentes.
Isso é muito preocupante, pois, nessa etapa de escolarização, situações, como a
apresentada no problema, não deveriam representar dificuldades para os alunos.
Quanto às alternativas escolhidas por esses alunos, podemos supor que fizeram
suas escolhas de forma aleatória, decorrente do não domínio do conceito de área ou
pela falta de disposição em contar os “quadradinhos” da figura.
Resolver problema envolvendo o cálculo de área de figuras planas é uma
habilidade muito requisitada cotidianamente. Situações referentes à construção civil
e à confecção de roupas, dentre outras, envolvem o cálculo de áreas. No primeiro
caso, é comum buscarmos saber a área das casas, a área de campos de futebol, a
área de um piso ou parede em que será revestida com cerâmica ou que será
pintada. Quanto às situações que envolvem confecções, é uma preocupação
constante para aqueles que costumam encomendar a fabricação de roupas saber
quantos metros quadrados de tecido terão que comprar. Esses exemplos servem
para ilustrar que a principal estratégia para desenvolver essa habilidade é por meio
da abordagem de situações-problema, extraídas dos contextos práticos em que
esses cálculos podem ser requisitados.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
32
3.2.3 D13 – Resolver problema envolvendo noções de volume.
O objetivo desse descritor é avaliar a habilidade de o aluno resolver
problemas envolvendo noções de volume. Assim, podem ser exploradas situações
que requeiram o cálculo de volumes de objetos representados sob a forma de
cubos, paralelepípedos, prismas e pirâmides.
Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema contextualizadas
que, preferencialmente, apresentem os desenhos dos sólidos geométricos.
A seguir, apresentamos um item do teste do Saveal aplicado em 2005 que
buscou avaliar se os estudantes sabem resolver problemas envolvendo noções de
volume.
Ritinha precisa de 600 ml de leite para fazer uma torta. A sua vasilha de medida
mesmo bem cheia não comporta 600 ml. Ela procurou medir de outra maneira.
Observe que ela deixou apenas 300 ml na vasilha.
Podemos concluir que Ritinha iria
(A)
medir duas vezes 300 ml.
(B)
medir uma vez 300 ml.
(C) desistir de usar a medida.
(D) medir três vezes 200 ml.
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
A
B
C
D
Não
respondeu
A
63,9
14,8
7,4
12,5
1,4
Esse item apresentou uma situação-problema relativamente simples.
Contudo, apenas 63,9% dos alunos acertaram a resposta, escolhendo a alternativa
“A”, indicando que Ritinha iria medir duas vezes 300 ml.
Aqueles que escolheram a alternativa “B” (14,8% dos alunos), possivelmente
se distraíram ao interpretar o problema e devem ter considerado, ao observar a
ilustração, que Ritinha já havia medido 300ml, necessitando, portanto, medir mais
uma vez 300ml (não consideraram que ela ainda estava pensando em como
proceder a medição).
Os alunos que escolheram a alternativa “C” (7,4%) demonstraram pouco
envolvimento com a tarefa, não buscando analisar a situação apresentada para
encontrar uma solução.
Quanto aos que escolheram a alternativa “D” (12,5%) podemos dizer que
encontraram uma forma de resolver a situação, pois medir três vezes 200ml também
solucionaria o problema de Ritinha. Contudo, eles deveriam escolher uma solução
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
33
que estivesse diretamente relacionada aos dados apresentados, especialmente
considerar que Ritinha havia deixado 300 ml na vasilha, sendo essa a quantidade
que orientaria o processo de solução.
3.2.4 D14 – Resolver problema envolvendo diferentes unidades de
medida
Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema contextualizadas
que explorem as relações entre diferentes unidades de comprimento, tais como
metro e centímetro, quilômetro e metro, metro e milímetro, centímetro e milímetro;
unidades de massa, tais como quilograma e grama; unidades de área, tais como
metro quadrado, quilômetro quadrado, hectare; unidades de capacidade, tais como
litro e mililitro, e de volume, tais como metro cúbico e decímetro cúbico, e as
relações entre essas unidades. Esse descritor tem por finalidade verificar a
habilidade de o aluno realizar transformações entre unidades de medidas. A seguir,
apresentamos dois itens do teste aplicado pelo Saveal em 2005 que avaliam essa
habilidade.
O primeiro item requer que o aluno saiba fazer a leitura de números
decimais; no caso, relacionados ao contexto de medida de massa, reconhecendo
dentre as alternativas apresentadas, aquela que corresponde à menor quantidade
de massa, expressa em quilogramas.
Marta foi comprar um pedaço de queijo. No supermercado ela encontrou 4 pedaços
de queijo com as seguintes etiquetas:
0,545 kg
(A)
0,6 kg
(B)
0,38 kg
(C)
0,375 kg
(D)
Qual desses pedaços de queijo tem o menor peso?
(A)
(B)
(C)
(D)
A
B
C
D
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
A
B
C
D
Não
respondeu
D
10,5
73,7
8,8
5,6
1,4
Esse item demonstra que os alunos têm grande dificuldade em fazer leitura
de números decimais, não compreendendo a magnitude desses números em função
das posições que seus algarismos se encontram no sistema de numeração decimal.
Observa-se que um percentual significativo de alunos, 73,7%, escolheu a alternativa
“B” como resposta em função de que a mesma apresenta apenas um dígito após a
vírgula. A resposta correta, representada pela alternativa “D”, foi a que obteve o
menor percentual de escolha, apenas 5,6% dos alunos a assinalaram. Para esta
etapa de escolaridade, isto é muito grave, pois os alunos não têm a compreensão de
que 6 décimos representa uma quantidade maior do 375 milésimos.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
34
O próximo item que vamos comentar testou a habilidade de os alunos
efetuarem transformações entre unidades de medida de capacidade, no qual
deveriam transformar litros em mililitros para obter a quantidade de copos de
refrigerante que poderão ser servidos em uma festa.
Simone vai fazer uma festinha para suas amigas e pretende comprar 4 litros de
refrigerante. Os refrigerantes serão servidos em copos com capacidade de 200 ml.
Quantos copos de refrigerante poderão ser servidos para as meninas?
(A)
(B)
(C)
(D)
20
30
40
50
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
A
B
C
D
Não
respondeu
A
39,5
8,2
18,5
32,3
1,5
Observamos que apenas 39,5% dos alunos acertaram ao item, escolhendo a
alternativa “A”. Esses alunos possivelmente fizeram a conversão de 4l para 4000 ml,
e dividiram esse valor por 200, encontrando 20 como resposta. Também poderiam
ter levado em consideração que 1l tem 1000ml, logo, com 1l, poderiam servir 5
copos. Como dispõem de 4l, poderiam, então, servir 20 copos.
Destacamos que os demais alunos, que escolheram as alternativas “B”, “C” e
“D”, representam 59% dos respondentes. Considerando os valores apresentados
nessas alternativas, podemos concluir que esses alunos não desenvolveram as
habilidades necessárias para efetuarem transformações entre unidades de medida
de capacidade, ou, realizaram suas escolhas de forma aleatória.
Considerando que estamos analisando o desempenho de alunos que são
concluintes do Ensino fundamental, devemos nos preocupar com a falta de
habilidade apresentada nos dois itens comentados, pois situações-problema como
as que constituem esses itens são freqüentes no cotidiano, devendo os alunos terem
condições de respondê-las com segurança nesse estágio escolar em que se
encontram.
3.2.5 D15 – Resolver problema envolvendo as grandezas comprimento,
massa, capacidade, tempo, temperatura e suas respectivas
unidades de medida fazendo as conversões adequadas entre essas
unidades e seus múltiplos e submúltiplos
Esse descritor envolve habilidades semelhantes às comentadas no descritor
anterior, porém, neste caso, o aluno deve demonstrar saber fazer conversões entre
unidades de diferentes grandezas.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
35
Suzana fez um suco e colocou numa jarra que comportava 1 dm3. Ela encheu a
jarra. Sabendo-se que 1 m3 = 1000 dm3 = 1000 l , então, podemos concluir que ela fez
que quantidade de suco?
(A)
(B)
(C)
(D)
0,5 litro
1 litro
1,5 litros
2 litros
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
A
B
C
D
Não
respondeu
B
6,6
35,2
27,4
28,8
2,1
Esse item, como dito anteriormente, envolve habilidades mais complexas que
as exigidas nos itens comentados no descritor 14. Porém, observamos que os
alunos demonstraram um desempenho superior em relação a esses outros itens.
Podemos supor que esse desempenho deve-se à contextualização do problema,
que apresentou as relações envolvidas entre as diferentes unidades de medida que
fazem parte do enunciado da situação proposta. Assim, tornou-se simples para os
alunos que escolheram a alternativa “B” (35,2% dos respondentes) que a relação
1000dm 3 = 1000l guarda uma relação de 1 para 1, assim, 1dm 3 = 1l .
Entretanto, apesar da correspondência apresentada entre estas unidades de
medida, 62,8% dos respondentes não acertaram ao item. Isso pode estar
relacionado tanto à dificuldade em realizar transformações entre unidades de
medida como estar relacionadas à dificuldade de leitura e interpretação de
problemas, visto que as informações necessárias para responder ao item se
encontravam no próprio enunciado do mesmo.
3.2.6 D16 – Resolver problema envolvendo o cálculo de área de figura
bidimensional que possa ser decomposta em triângulos,
quadrados, retângulos, paralelogramos, losangos e trapézios ou
uma combinação dessas formas, em uma malha quadriculada
Esse descritor guarda estreita relação com o descritor 12, acrescentando que
tem por finalidade avaliar a capacidade de os alunos resolverem problemas
envolvendo o cálculo de área de figura bidimensional, que possa ser decomposta
em vários polígonos regulares, desenhados em malhas quadriculadas. A seguir,
apresentamos um item do teste do Saveal aplicado em 2005 que avaliou essa
habilidade.
A área da figura abaixo é
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
(A)
(B)
(C)
(D)
36
14
15
16
18
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
A
B
C
D
Não
respondeu
C
12,8
9,2
35,9
40,0
2,1
Nota-se que o item possui um grau de complexidade baixo. Todavia, apenas
35,9% dos alunos responderam corretamente, escolhendo a alternativa “C”. Para
solucionar o item, bastava que o aluno fizesse a contagem do número de
quadradinhos que compõem a parte destacada na malha quadriculada,
considerando, nessa contagem, que as partes que representam metade de um
quadradinho deveriam ser agrupadas para formarem quadradinhos completos.
Os alunos que escolheram a alternativa “A”, consideraram apenas o número
de quadradinhos completos, não levando em contas os que estavam preenchidos
pela metade, enquanto os que escolheram a alternativa “D”, contaram todos os
quadradinhos envolvidos na figura, independentemente de que 4 deles
representavam apenas a metade de um quadradinho. Destaca-se que esta
alternativa foi a que obteve o maior percentual de respostas, 40%. Quanto aos que
escolheram a alternativa “B”, possivelmente o fizeram de forma aleatória.
As sugestões apresentadas no descritor 12 também podem ser utilizadas
para desenvolver as habilidades relacionadas a esse descritor.
3.3 TEMA III – Números e Operações
Para a 8ª série do Ensino Fundamental, a matriz busca avaliar competências
relacionadas à resolução de situações-problema envolvendo a localização de
inteiros e racionais na reta numérica; o reconhecimento das diferentes
representações dos números racionais; a realização de cálculos com números
naturais, inteiros e racionais, a resolução de problemas envolvendo porcentagens; a
resolução de cálculos algébricos; a identificação de expressões algébricas que
representam os valores de uma seqüência numérica; a identificação de equações e
desigualdades do 1º grau em problemas significativos; a identificação de um sistema
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
37
de equações do 1º grau e da relação entre essas equações e suas representações
geométricas.
3.3.1 D17 – Identificar a localização de números inteiros na reta numérica
Esse descritor tem por objetivo avaliar a habilidade de o aluno identificar a
disposição de números inteiros na reta numerada, ou seja, marcando-se o zero,
sabem que os inteiros positivos estão à direita do zero e os inteiros com o sinal
negativo à esquerda do zero.
O item que será apresentado a seguir refere-se a uma situação-problema
contextualizada para avaliar essa habilidade e fez parte teste do Saveal aplicado em
2005.
Em determinados lugares do nosso planeta a temperatura pode variar de 40º graus
positivos a 60º graus negativos em um mesmo dia. Veja a representação que
alguns alunos fizeram das temperaturas na reta numérica.
Carlos
-60º
0º
Marcos
40º
0º
Mateus
40º 60º
Victor
60º 0º 40º
0º
40º -60º
Qual aluno representou corretamente as temperaturas na reta numérica?
(A)
(B)
(C)
(D)
Carlos
Marcos
Mateus
Victor
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
A
B
C
D
A
26,7
16,4
11,3
44,1
Não
respondeu
1,5
Esse item mostra-nos que algumas das dificuldades dos alunos não estão
diretamente relacionadas ao domínio de conceitos e de procedimentos matemáticos,
mas à falta de compreensão e de interpretação das informações contidas nos
enunciados das situações apresentadas. No item, em questão os alunos buscaram
como resposta uma alternativa que expressasse os dados do problema na mesma
seqüência em que foram apresentados, sem julgar se a representação feita estava
matematicamente correta. Esse procedimento foi executado por 44,1% dos
respondentes, que optaram pela alternativa “D”. A expressão “a temperatura pode
variar de 40º graus positivos a 60º graus negativos em um mesmo dia” fez com que
escolhessem essa alternativa, pois é a única que traz os números 40 e – 60 na
ordem em que foram citados no enunciado.
Os alunos que optaram pela alternativa “C”, que representam 11,3% dos
respondentes, podem ter feito a escolha errada por falta de atenção, pois não
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
38
observaram que, apesar dos valores estarem na ordem correta, o número – 60 não
continha o sinal negativo, tornando assim, incorreta a representação dos valores que
constituíam os dados do problema.
A alternativa “B” foi escolhida por 16,4% dos alunos. Essa escolha nos faz
supor que a mesma se deu realizada de forma aleatória, pois não tem sentido no
contexto da situação apresentada, ou foi escolhida em função da falta de
compreensão acerca do que está sendo solicitado no problema, pois nessa
alternativa, é apresentada uma representação correta de dois números inteiros na
reta, porém, essa representação não se refere ao que foi solicitado.
Apenas 26,7% dos respondentes fizeram a escolha correta, indicando a
alternativa “A” como solução do problema apresentado no item. Considerando que
essa habilidade começa a ser trabalhada, geralmente, na 6ª série do ensino
fundamental, observamos que um número significativo de alunos ainda não a
desenvolveram, o que é completamente incompatível com o tempo de escolaridade
desses alunos.
Atividades envolvendo variação de temperatura, de saldos de contas
bancárias, de pontuação de equipes em competições desportivas e de
movimentações no mercado financeiro podem ser utilizadas para propiciar o
desenvolvimento da habilidade de identificar números inteiros na reta numérica.
3.3.2 D18 – Identificar a localização de números racionais na reta
numérica
Esse descritor deve avaliar a habilidade de o aluno identificar a localização
dos números racionais, tanto positivos quanto negativos, na reta numérica.
Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema em que podem
ser exploradas as representações fracionária e decimal dos números racionais.
A seguir, apresentamos dois itens do teste aplicado pelo Saveal em 2005
para avaliar essa habilidade.
Observe a reta numérica:
-2
-1
0
F 1
A letra F está representando o número
(A)
(B)
(C)
(D)
1
2
3
2
4
2
5
2
2
3
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
39
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
A
B
C
D
Não
respondeu
A
60,5
23,1
10,8
3,6
2,1
Esse item foi considerado relativamente fácil, pois os distratores não
apresentavam forte plausibilidade, de modo que os alunos que desenvolveram a
habilidade de representar mentalmente frações em números decimais puderam
notar que apenas a alternativa “A” continha um valor que estava compreendido entre
0 e 1. Esta alternativa foi escolhida por 60,5% dos respondentes.
Os alunos que escolheram as alternativas “B”, “C” e “D”, demonstraram que
não desenvolveram a habilidade de localizar números racionais na reta numérica
quando eles estão representados na forma fracionária. Essa dificuldade pode estar
relacionada à falta de compreensão de que um dos significados de uma fração é
uma divisão, o que os possibilitaria ter resolvido o problema pelo método de
tentativas, dividindo o numerador pelo denominador em cada alternativa, caso não
visualizassem mentalmente o resultado dessas divisões. Considerando que a
habilidade envolvida no item - localizar números racionais positivos na reta numérica
- é formalmente trabalhada a partir do segundo ciclo do ensino fundamental (3ª
série) esperava-se que a maioria dos alunos obtivesse sucesso na resolução de
situações-problema como a apresentada.
No item que será comentado a seguir, é requerido do aluno saber dispor
números racionais expressos na forma decimal em ordem crescente. Apesar do item
não apresentar uma reta numérica, a habilidade que deverá ser demonstrada é a
mesma avaliada por este descritor. Neste caso, temos uma situação-problema
contextualizada que requer a habilidade de identificar a posição de números
racionais.
O pediatra, acompanhando o desenvolvimento das crianças, mede constantemente
a altura delas. Ele registrou os seguintes valores:
Ana
Bruna César Isabela -
1,20.m
1,33 m
1,36 m
1,25 m
Para colocar em ordem crescente as medidas registradas, teremos:
(A)
(B)
(C)
(D)
1,20m, 1, 25m, 1, 33m
1,36m, 1, 33m, 1, 25m
1,20m, 1, 33m, 1, 25m
1,36m, 1, 20m, 1, 33m
e
e
e
e
1,36m
1,20m
1,36m
1,25m
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
A
B
C
D
Não
respondeu
A
60,2
15,5
15,5
7,7
1,2
Esse item também foi considerado fácil, pois a representação de números
racionais na forma decimal é muito utilizada no cotidiano das pessoas, tornando
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
40
familiar o trabalho com essa forma de representação, uma vez que a utilizamos no
sistema monetário e para fazer medições, dentre outras.
A alternativa correta, “A”, foi escolhida por 60,2% dos alunos, evidenciando
que desenvolveram a habilidade de ordenar números decimais do menor para o
maior.
Com relação às demais alternativas, supomos que foram escolhidas
aleatoriamente, pois não apresentam forte plausibilidade para distrair os alunos
durante o processo de resolução do item.
A seguir, citamos um trecho retirado dos Parâmetros Curriculares Nacionais
– 5ª a 8ª séries (página 101) – com algumas orientações didáticas que possibilitarão
aos alunos a compreensão de alguns aspectos relacionados aos números racionais
que os ajudarão na identificação desses números na reta numérica.
A aprendizagem dos números racionais supõe rupturas com idéias
construídas para os números naturais. Ao trabalhar com os números racionais, os
alunos acabam tendo de enfrentar vários obstáculos: cada número racional pode ser
representado por diferentes (e infinitas) escritas fracionárias: por exemplo,
•
1 2 3 4
, , , ... são
3 6 9 12
•
a comparação entre racionais: acostumados com a relação 3 > 2, terão de
diferentes representações de um mesmo número;
compreender uma desigualdade que lhes parece contraditória, ou seja,
1
3
<
1
2
;
•
se o tamanho da escrita numérica, no caso dos naturais, é um bom indicador da
ordem de grandeza (8345 > 83), a comparação entre 2,3 e 2,125 já não obedece
ao mesmo critério;
•
se, ao multiplicar um número natural por outro natural (sendo este diferente de 0
ou 1) a expectativa é a de encontrar um número maior que ambos, ao multiplicar
10 por
•
1
2
, se surpreenderão ao ver que o resultado é menor do que 10;
se a seqüência dos números naturais permite estabelecer sucessor e antecessor,
para os racionais isso não faz sentido, uma vez que entre dois números racionais
quaisquer é sempre possível encontrar outro racional; assim, o aluno deverá
perceber que entre 0,8 e 0,9 estão números como 0,81, 0,815 ou 0,87.
Nos Descritores 22 a 26 apresentaremos outros comentários relacionados ao
trabalho com números racionais.
3.3.3 D19 – Efetuar cálculos com números inteiros, envolvendo as
operações
(adição,
subtração,
multiplicação,
divisão,
potenciação)
O descritor avalia a habilidade do aluno em resolver um ou mais cálculos com
números inteiros que envolvam os diferentes significados de uma ou mais das
seguintes operações: adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação. Como
já foi dito no item anterior, os significados das operações podem ser alterados
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
41
quando saímos do conjunto dos números naturais e adentramos nos inteiros. Então,
a relevância desse descritor é o de avaliar a capacidade que o aluno tem de operar
nesse novo contexto.
As regras das operações e suas justificativas devem ser destacadas, como,
por exemplo, a comutatividade e a associatividade da adição e da multiplicação, sem
esquecer de destacar que a divisão de dois inteiros pode não resultar um número
inteiro.
Essa habilidade é avaliada por meio de situações que exijam do aluno a
realização de cálculos com quantidades variadas de algarismos, e que utilize
números com zeros colocados em diferentes posições, ou seja, zeros intercalados
com outros dígitos e zeros no final do número.
O uso da localização na reta numérica pode ser uma estratégica didática que
contribua para a compreensão das operações com números inteiros. O uso do
ábaco de inteiros é uma outra estratégia didática para trabalhar os diversos
significados desses números. Alguns livros didáticos do ensino fundamental já
apresentam a aplicabilidade desse recurso.
3.3.4 D20 – Resolver problema com números naturais, envolvendo
diferentes significados das operações (adição, subtração,
multiplicação, divisão, potenciação)
Esse descritor tem por finalidade avaliar a habilidade de o aluno resolver
problemas com números naturais, envolvendo diferentes significados das
operações. No caso da adição e da subtração, os problemas podem apresentar
ações de: juntar (situações associadas à idéia de combinar dois estados para obter
um terceiro), de alterar um estado inicial (situações ligadas à idéia de transformação,
que pode ser positiva ou negativa), de comparar (situações ligadas à idéia de
comparação), operar com mais de uma transformação (situações que supõem a
compreensão de mais de uma transformação – positiva ou negativa). Esse descritor
refere-se ainda, à solução de problemas que envolvam operações de multiplicação e
divisão, relacionadas a situações associadas à multiplicação comparativa, à
comparação entre razões, isto é, envolvendo a idéia de proporcionalidade, à
configuração retangular e à idéia de análise combinatória.
A seguir, apresentamos um item do teste aplicado pelo Saveal em 2005 para
avaliar uma das habilidades relacionadas a esse descritor.
A diferença entre dois números é 628. O menor deles é 2.236. O outro número é
(A)
(B)
(C)
(D)
1.608.
1.618.
2.608.
2.864.
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
A
B
C
D
Não
respondeu
D
24,1
19,9
20,0
32,7
3,2
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
42
Os percentuais de respostas dados às alternativas “A”, “B” e “C”, que
representam as respostas de 64% dos alunos, indicam que eles ainda não
conseguiram desenvolver a habilidade para resolver problemas que exijam a
interpretação da situação apresentada para decidir qual a operação que eles
deverão utilizar: se adição ou subtração.
Em parte, essa dificuldade pode estar associada ao uso de palavras-chave no
contexto da sala de aula. O professor, preocupado em ajudar seus alunos a
entender o enunciado do problema, lança mão de uma palavra de enunciado que
acredita ser a chave para a interpretação do mesmo. Dessa forma, indica que a
presença das palavras “diferença”, “doação”, “perda”, “venda” etc, se referem a
situações que envolvem subtrações. Porém, o enunciado pode apresentar certa
ambigüidade lingüística e, conseqüentemente, induzir o aluno ao erro. Foi isso que
provavelmente aconteceu com os alunos que assinalaram as alternativas
consideradas acima. A palavra “diferença” no enunciado levou os alunos a
realizarem uma subtração entre os valores apresentados, porém a interpretação
correta do problema exige que se realize uma adição.
Destaca-se que os alunos que escolheram a alternativa “A”, apesar de
demonstrarem dificuldades para resolver situações-problema, conseguem realizar
uma operação de subtração em que se exige o uso de recurso e na qual os valores
apresentados não têm o mesmo número de classes. Quantos aos alunos que
escolheram a alternativa “B” e “C”, podemos supor que têm a compreensão do
processo da subtração, porém ainda não conseguem utilizar o recurso
adequadamente para realizar a operação.
Os dados nos mostram que apenas 32,7% dos alunos escolheram a
alternativa correta (“D”), interpretando e realizando corretamente a adição solicitada
no problema. Isso é um fato preocupante, pois nesta etapa do processo de
escolarização, os alunos já deveriam demonstrar o desenvolvimento de habilidades
para resolver problemas envolvendo os diferentes significados da adição e da
subtração.
Destaca-se que esse item também fez parte do teste aplicado aos alunos da
4ª série do ensino fundamental e que nessa série, 28,3% dos alunos responderam
corretamente ao item. Isso nos mostra que apesar de transcorrido 4 anos de
escolaridade,os alunos ainda continuam a apresentar dificuldades para resolverem
problemas envolvendo operações de adição e subtração com números naturais.
Uma das estratégias que indicamos é a adoção da metodologia de resolução
de problemas para o desenvolvimento das atividades em sala de aula, pois, essa
competência não se desenvolve quando propomos apenas exercícios de aplicação
dos conceitos e técnicas matemáticas, pois, nesse caso, o que está em ação é uma
simples transposição analógica: o aluno busca na memória um exercício semelhante
e desenvolve passos análogos aos daquela situação, o que não garante que seja
capaz de utilizar seus conhecimentos em situações diferentes ou mais complexas.
A adoção da resolução de problemas como estratégia de organização do
trabalho pedagógico possibilita o desenvolvimento de capacidades como:
observação, estabelecimento de relações, comunicação, argumentação e validação
de processos, além de estimular formas de raciocínio como intuição, indução,
dedução e estimativa. Estas capacidades são requeridas nas situações práticas do
cotidiano dos estudantes, nas quais os problemas requerem um conjunto de
competências para solucioná-las. Essa opção traz implícita a convicção de que o
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
43
conhecimento matemático ganha significado quando os alunos têm situações
desafiadoras para resolver e trabalham para desenvolver estratégias de resolução.
Resolver um problema pressupõe que o aluno (Polya, 1994):
• Compreenda o problema
Para compreender um problema é necessário estimular o aluno fazer
perguntas. O que é solicitado? Quais são os dados? Quais são as
condições? É possível satisfazer as condições? Elas são suficientes ou não
para determinar a solução? Faltam dados? Que relações posso estabelecer
para encontrar os dados omitidos? Que fórmulas e/ou algoritmos posso
utilizar?
Nesse processo de compreensão do problema, muitas vezes torna-se
necessário construir figuras para esquematizar a situação proposta,
destacando valores, correspondências e uso da notação matemática.
• Construa uma estratégia de resolução
É importante estimular o aluno a buscar conexões entre os dados e o que é
solicitado, estimulando, também, que pensem em situações similares, a fim
de que possam estabelecer um plano de resolução, definindo prioridades e,
se necessário, investigações complementares para resolver o problema.
• Execute a estratégia escolhida
Essa etapa é o momento de “colocar as mãos na massa”, de executar o
plano idealizado. Se as etapas anteriores foram bem desenvolvidas, esta
será, provavelmente a etapa mais fácil do processo de resolução de um
problema. Para que o aluno obtenha sucesso, deve ser estimulado a realizar
cada procedimento com muita atenção, estando atento a cada ação
desenvolvida, verificando cada passo. O aluno também deve ser estimulado
a mostrar que cada procedimento realizado está correto, possibilitando a
afirmação de seu aprendizado e a comunicação de sua produção.
• Revise a solução
A revisão é um momento muito importante, pois propicia uma depuração e
uma abstração da solução do problema. A depuração tem por objetivo
verificar os procedimentos utilizados, procurando simplificá-los ou buscar
outras maneiras de resolver o problema de forma mais simples. A abstração
tem por finalidade refletir sobre o processo realizado, procurando descobrir a
essência do problema e do método empregado para resolvê-lo, de modo a
favorecer uma transposição do aprendizado adquirido nesse trabalho para a
resolução de outras situações-problema.
Destacamos que os problemas que envolvem diferentes significados das
operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, podem trabalhar com as
idéias de:
1º) Adição e subtração
Mudança - quando em um problema a situação inicial será alterada, trabalha-se
com a idéia de mudança (transformação) que pode ser tanto a positiva quanto a
negativa.
Combinação - trabalha-se com a idéia de juntar quantidades; combinando duas
situações para obter uma terceira.
Comparação - quando em um problema está possibilitando a comparação entre
duas situações.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
44
Igualamento - quando em um problema há comparação entre duas situações e uma
delas sofre alteração para se igualar à outra. Pode ser tanto negativa quanto
positiva.
2º) Multiplicação e Divisão
Comparação – referem-se aos problemas que envolvem a comparação entre duas
situações, utilizando, por exemplo, noções de dobro, triplo, metade, terça parte etc.
Comparação entre razões - quando se estabelece a relação entre parte / todo ou
todo/parte estamos trabalhando "situações associadas à comparação entre razões,
que, portanto, envolvem a idéia de proporcionalidade" (Brasil, 1997, p. 110).
Configuração retangular: Quando estamos ensinando tabuada geralmente
dizemos que 3 x 2 é igual a 2 x 3. Com certeza o produto é o mesmo, pois temos de
considerar a propriedade comutativa da multiplicação "a ordem dos fatores não
altera o produto". Mas são situações diferentes.
Combinação - esse é um tipo de problema mais complexo. Os alunos para resolvêlo podem montar diagramas, esquemas, até esgotarem todas as hipóteses para
fazer as combinações possíveis com os elementos apresentados.
3.3.5 D21 – Resolver problema com números inteiros, envolvendo as
operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação)
A diferença entre o descritor 20 e este, é que no primeiro são avaliadas
habilidades para resolver problemas com números naturais e neste são avaliadas as
habilidades para realizar as mesmas operações, porém, em contextos que envolvem
números inteiros. Destacamos também que este descritor difere do descritor 19 por
envolver a habilidade de resolver problemas, enquanto o outro avalia apenas a
habilidade de realizar operações com números inteiros.
Essa habilidade é avaliada exigindo do aluno o uso de uma das operações
envolvidas no descritor ou a combinação dessas operações para resolver situaçõesproblema contextualizadas.
Destaca-se, quando falamos de operações que envolvem números inteiros,
que o professor não deve enfatizar a memorização de regras de sinais, mas deve
proporcionar ao aluno a compreensão do significado desses sinais e de como operar
com eles na resolução de problemas.
O estudo desses significados inicia-se nos ciclos anteriores, mas em função
da variedade e complexidade dos conceitos que integram esse tema, eles levam
tempo para ser construídos e consolidados pelos alunos. Isso impõe um trabalho
sistemático desse conteúdo ao longo dos terceiro e quarto ciclos, concomitante ao
trabalho de sistematização da aprendizagem dos números naturais e da construção
dos significados dos números inteiros, racionais e irracionais. Assim, com operações
que envolvam a composição de transformações (com variações positivas e
negativas) e que levam à utilização dos números inteiros negativos, sugere-se
atividades que envolvam a resolução de problemas tais como os exemplos
apresentados a seguir1.
1
Exemplos retirados dos PCN, p. 108
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
45
•
No início de um jogo Ricardo tinha um certo número de pontos.No decorrer do
jogo ele ganhou 10 pontos e, em seguida, perdeu 25 pontos. O que aconteceu
com seus pontos no final do jogo?
•
Ricardo iniciou uma partida com 15 pontos de desvantagem em relação aos
pontos de Pedro. Ele terminou o jogo com 30 pontos de vantagem em relação a
Pedro. O que aconteceu durante o jogo?
•
No segundo tempo de um jogo Paulo perdeu 7 pontos. No final ele estava com
uma desvantagem de 9 pontos. O que aconteceu no primeiro tempo do jogo?
•
No primeiro tempo de um jogo Carlos perdeu 7 pontos e no segundo ele perdeu
9. Como estavam seus pontos ao final do jogo?
Vale ressaltar a importância do professor ao trabalhar com os números
inteiros, destacar a ampliação do conjunto numérico em relação ao dos números
naturais e como essas operações assumem outros significados. Por exemplo, o
significado de 2 x 3 = é diferente de (-2)x(3).
Como mencionamos no Descritor 17, atividades envolvendo variação de
temperatura, de saldos de contas bancárias, de pontuação de equipes em
competições desportivas e de movimentações no mercado financeiro podem ser
utilizadas para propiciar o desenvolvimento da habilidade de efetuar cálculos com
números inteiros.
3.3.6 D22 – Reconhecer as diferentes representações de um número
racional
Para resolver ou representar alguns tipos de situações que encontramos no
nosso cotidiano necessitamos do uso de um tipo de número que serve para
realizarmos medições, tais como a identificação da medida da estatura de uma
pessoa ou a quantidade de energia elétrica consumida por mês em uma casa. Para
essas situações precisamos dos números racionais, que expressam unidades e/ou
partes de uma unidade. Estes números podem ser escritos na forma fracionária,
1 1 3
como , , , ou na forma decimal, como 0,25, 0,5 e 0,6. Lembramos que as
2 4 5
porcentagens também representam números racionais, pois quando nos referimos,
por exemplo a 25% de um determinado valor, podemos dizer que estamos nos
1
referindo a de valor, ou ainda, que essa porcentagem corresponde a vinte e cinco
4
centésimos (0,25) do valor considerado.
Considerando que muitas das situações que vivenciamos no dia a dia
demandam o uso de números racionais, este descritor tem por finalidade verificar
em que medida os alunos da 8ª série do Ensino Fundamental conseguem identificar
as diferentes representações que um mesmo número racional pode apresentar. A
seguir analisaremos um item do teste aplicado pelo Saveal em 2005 que tem a
finalidade de avaliar essa habilidade.
O percentual de 75% pode ser representado pela fração
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
(A)
(B)
(C)
(D)
46
1
4
2
4
3
4
4
4
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
A
B
C
D
Não
respondeu
C
11,3
21,6
53,0
11,9
2,3
Este item explora uma outra forma de representar um número racional. Ele
avalia a habilidade do aluno de identificar uma fração que representa um valor
expresso em percentual.
Neste item, 50,3% dos alunos acertaram a resposta, escolhendo a alternativa
“C”. Para chegar ao resultado correto, os alunos poderiam representar 75% como
75
. A partir daí, buscar determinar a forma irredutível desta, isto é, realizar todas
100
3
75
as simplificações necessárias até encontrar a fração
que é equivalente à
.
4
100
Este item foi considerado relativamente fácil, pois os distratores não possuem
forte plausibilidade. Sugerimos observar os comentários que serão apresentados no
descritor a seguir para realizar atividades com os alunos de modo a desenvolver
habilidades para trabalhar com números racionais.
3.3.7 D23 – Identificar fração como representação que pode estar
associada a diferentes significados (parte/todo, razão e quociente)
Identificar vários significados que uma fração pode ter é relevante para a
compreensão de fatos da vida cotidiana e da própria matemática, como, por
exemplo, em medidas (1/2 kg, um quarto de hora), em culinária, escalas de mapas,
probabilidade.
A seguir, constam algumas orientações didáticas retiradas dos Parâmetros
Curriculares Nacionais – 5ª a 8ª séries (páginas 102 e 103) – que poderão colaborar
no planejamento das atividades que serão desenvolvidas em sala de aula, de modo
a favorecer aos alunos a compreensão dos diferentes significados que um número
racional pode apresentar.
Os racionais assumem diferentes significados nos diversos contextos:
relação parte/todo, divisão (quociente) e razão.
A relação parte/todo se apresenta quando um todo (unidade) se divide em
partes equivalentes. A fração, por exemplo, indica a relação que existe entre um
número de partes e o total de partes, é o caso das tradicionais divisões de uma
figura geométrica em partes iguais.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
47
A interpretação da fração como relação parte/todo supõe que o aluno seja
capaz de identificar a unidade que representa o todo (grandeza contínua ou
discreta), compreenda a inclusão de classes e saiba realizar divisões operando com
grandezas discretas ou contínuas.
Algumas situações-problema que envolvem a representação dos racionais
como uma relação entre parte/todo são apresentadas a seguir.
• Luís comeu metade do bolo e Ana comeu metade do que ele deixou. Quanto
sobrou do bolo?
1
• Para fazer um creme de frutas, foram misturados dois litros de leite,
de litro
4
1
de suco de laranja e de litro de suco de acerola. Qual a quantidade de
4
creme de frutas feito?
• Mamãe dividiu o bolo inteiro em 10 fatias iguais. Depois do lanche, sobrou
meio bolo. Quantas fatias de bolo foram comidas?
Uma outra interpretação do número racional como quociente de um inteiro
a
por outro (a: b = ; b≠0). Para o aluno, ela se diferencia da interpretação anterior,
b
pois dividir uma unidade em 3 partes e tomar 2 dessas partes é uma situação
diferente daquela em que é preciso dividir 2 unidades em 3 partes iguais. No
entanto, nos dois casos, o resultado é representado pelo mesmo número:
2
3
.
Algumas situações-problema que ilustram o significado de número racional
como quociente são apresentadas a seguir.
• Propor que os alunos dividam igualmente 12 doces para 4 crianças e
verifiquem quanto cada um vai receber.
• Propor que os alunos dividam igualmente 5 pães para 10 crianças e
verifiquem que fração do pão dá para cada um
Em cada caso, dar a resposta e explicá-la, sem uso de regras.
Uma interpretação diferente das anteriores é aquela em que o número
racional é usado como um índice comparativo entre duas quantidades, ou seja,
quando é interpretado como razão. Isso ocorre, por exemplo, quando se lida com
situações do tipo: 2 de cada 3 habitantes de uma cidade são imigrantes e se conclui
que
2
3
da população da cidade é de imigrantes.
Outras situações são as que envolvem probabilidades: a chance de sortear
uma bola verde de uma caixa em que há 2 bolas verdes e 8 bolas de outras cores é
de
2
10
. Ainda outras situações ocorrem na abordagem de escalas em plantas e
mapas (escala de 1cm para 100 m: representada por 1:10.000 ou
1
).
10.000
Também,
a exploração da porcentagem (70 em cada 100 alunos da escola gostam de futebol:
0,70,
70
100
, 70% ou, ainda
7
10
e 0,7).
Para trabalhar com os alunos essa forma de representação do número
racional, pode-se explorar um conjunto de frutas tal que, em cada grupo de 5 frutas,
duas sejam, por exemplo, laranjas. Separar as laranjas e verificar que elas
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
48
2
do total das frutas da cesta (a razão entre as laranjas e o total de
5
2
frutas é igual a ).
5
Existe ainda uma quarta interpretação que atribui ao número racional o
significado de um operador, ou seja, quando ele desempenha um papel de
transformação, algo que atua sobre uma situação e a modifica. Essa idéia está
presente, por exemplo, em problemas do tipo: ”que número devo multiplicar por 5
para obter 2”.
Na perspectiva do ensino não é desejável tratar isoladamente cada uma
dessas interpretações. A consolidação desses significados pelos alunos pressupõe
um trabalho sistemático, ao longo do terceiro e quarto ciclos, que possibilite análise
e comparação de variadas situações-problema.
Ao abordar os racionais pelo seu reconhecimento no contexto diário, devese observar que eles aparecem muito mais na forma decimal do que na forma
fracionária.
Embora o contato com representações fracionárias seja bem menos
freqüente nas situações do cotidiano, seu estudo também se justifica, entre outras
razões, por ser fundamental para o desenvolvimento de outros conteúdos
matemáticos (proporções, equações, cálculo algébrico). Também nas situações que
envolvem cálculos com dízimas periódicas, a representação na forma fracionária
favorece a obtenção dos resultados com maior precisão, uma vez que na forma
decimal é preciso fazer aproximações.
A familiaridade do aluno com as diferentes representações dos números
racionais (representação fracionária, decimal, percentual) pode levá-lo a perceber
qual delas é mais utilizada ou adequada para expressar um resultado. Numa
situação em que se deve comunicar um aumento de salário é mais freqüente dizer,
representam
por exemplo, que o acréscimo no salário foi de 12% (
12
100
) do que de
3
25
.
3.3.9 D24 – Identificar frações equivalentes
Este descritor tem por objetivo avaliar a habilidade de o aluno compreender
que duas frações escritas com números distintos podem representar o mesmo
número. Dessa forma, os alunos devem demonstrar que sabem, dentre outras
formas de representação, identificar que
de um mesmo número, assim como
1 2 3 4
, , , ... são
3 6 9 12
1 2 4 8
, , , ...
2 4 8 16
diferentes representações
também são diferentes
representações de um mesmo número.
Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema que utilizem dife­
rentes apresentações contendo desenhos, palavras, números, ou palavras e núme­
ros, solicitando aos alunos que identifiquem aquelas que representam frações equi­
valentes.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
49
3.3.10 D25 – Reconhecer as representações decimais dos números
racionais como uma extensão do sistema de numeração decimal,
identificando a existência de “ordens” como décimos,
centésimos e milésimos
Esse descritor tem por finalidade avaliar a capacidade de o aluno reconhecer
as representações decimais dos números racionais como uma extensão do sistema
de numeração decimal.
Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema contextualizadas
em que o aluno possa compor um número, ou seja, saber que 3,54 = 3 + 0,5 + 0,04,
ou, 3 inteiros mais 5 décimos mais 4 centésimos é igual a 3,54. Os alunos devem,
ainda, saber identificar que 1 décimo é 0,1; 1 centésimos é 0,01 e que 1 milésimo é
0,001. Todavia, devemos também mostrar para os alunos que existem outras formas
de efetuar a leitura de um número decimal. Observe o número 2,46. A forma
convencional de fazer a leitura desse número é dois inteiros e quarenta e seis
centésimos. Porém, podemos fazer a leitura desse número como duzentos e
quarenta e seis centésimos ou como dois inteiros, quatro décimos e seis
centésimos.
Também devemos destacar que todo número natural pode ser escrito na
forma decimal, bastando colocar a vírgula após o último algarismo e acrescentar
zero(s), por exemplo, 3 = 3,0 = 3,00.
3.3.11 D26 – Resolver problema envolvendo adição, subtração,
multiplicação e divisão de números racionais.
Esse descritor tem por objetivo avaliar a habilidade de o aluno fazer cálculos
com números racionais que sejam dados em forma fracionária ou em forma decimal,
utilizando diferentes operações.
Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema contextualizadas
que requeiram a manipulação de números racionais como, por exemplo, compra e
venda de objetos usando o nosso sistema monetário, a execução de uma receita
culinária que use frações dos mantimentos etc. Ressaltamos que as operações com
esses números estão presentes em várias situações do cotidiano, que podem estar
relacionadas com medidas e quantidades fracionárias.
No período compreendido entre a 5ª e a 8ª série, a abordagem dos números
racionais tem como objetivo levar os alunos a compreender que os números naturais
são insuficientes para resolver determinadas situações-problema como as que
envolvem a medida de uma grandeza e o resultado de uma divisão.
A seguir, citamos um trecho retirado dos Parâmetros Curriculares Nacionais
– 5ª a 8ª série (páginas 103 a 105) – com algumas orientações didáticas que
possibilitarão o planejamento das atividades de modo a propiciar aos alunos a
compreensão dos procedimentos de cálculo com os números racionais.
O conceito de equivalência assim como a construção de procedimentos para
a obtenção de frações equivalentes são fundamentais para resolver problemas que
envolvem a comparação de números racionais expressos sob a forma fracionária e
efetuar cálculos com esses números.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
50
O estudo do cálculo com números racionais na forma decimal pode ser
facilitado se os alunos forem levados a compreender que as regras do sistema de
numeração decimal, utilizadas para representar os números naturais, podem ser
estendidas para os números racionais na forma decimal. Além disso, é importante
que as atividades com números decimais estejam vinculadas a situações
contextualizadas, de modo que seja possível fazer uma estimativa ou
enquadramento do resultado, utilizando números naturais mais próximos. Como, ao
tentar encontrar o valor da área de uma figura retangular que mede 7,9 cm por 5,7
cm, o aluno pode recorrer à estimativa calculando mentalmente um resultado
aproximado (8 x 6) que lhe pode dar uma razoável referência para conferir o
resultado exato, obtido por um procedimento de cálculo escrito.
Também é importante que os alunos compreendam as regularidades das
multiplicações de números racionais na forma decimal por 10, 100, 1.000,... O
domínio desse conhecimento possibilita dar sentido aos procedimentos de cálculo
com esses números.
Quanto ao cálculo da adição e da subtração envolvendo frações com
denominadores diferentes, pode-se transformá-las em frações com o mesmo
denominador (não necessariamente o menor), aplicando as propriedades das
frações equivalentes.
A compreensão da multiplicação com frações pode ser pensada como partes
de partes do total. (nesse caso a multiplicação não se apóia na idéia de adição
reiterada). Assim,
2 3
x
5 4
pode ser interpretado como procurar
2
3
dos
5
4
de um todo. A
partir de várias experiências como essas, os alunos poderão construir um
procedimento para multiplicar frações.
Observe-se também que é possível explicar a multiplicação de decimais pela
multiplicação de frações. Exemplo:
0,12 x 0,8 =
12 8
12 x8
96
x
=
=
= 0,096
100 10 10 x100 1000
No caso da divisão envolvendo frações, pode-se interpretá-la como: partes
que cabem em partes. Assim,
cabem em
1
2
1 1
÷ pode
2 3
ser interpretado como quantas partes de
1
3
.
Comparando
1
1
com
2
3
1
1
pode-se observar que 3 cabe uma vez e meia em ou
2
1 1
1 3
÷ =1 = .
2 3
2 2
Entretanto, nem sempre representações desse tipo permitem a visualização
do resultado e por isso deve-se lançar mão de outras estratégias. Por exemplo, a
propriedade – um quociente não se altera quando dividendo e divisor são
multiplicados por um mesmo número (invariância do quociente) – permite obter na
divisão de frações, uma fração com denominador 1.
5 5 3 15
x
5 2 4 4 2
15
÷ =
=
= 8 =
2
2
3
4 3
1
8
x
3 3 2
Assim, uma forma de interpretar a divisão é lançar mão da idéia do inverso
multiplicativo de um racional diferente de zero: “dividir é multiplicar pelo inverso”.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
51
5 2 5 3 15
÷ = x =
.
4 3 4 2 8
3.3.12 D27 – Resolver problema que envolva porcentagem
Esse descritor tem por finalidade avaliar a habilidade de o aluno resolver
problemas utilizando porcentagem.
Para avaliar essa habilidade são utilizadas situações-problema
contextualizadas, nas quais podem ser explorados os conceitos de desconto e lucro,
por exemplo.
A seguir comentaremos um item do teste aplicado pelo Saveal em 2005 para
avaliar essa habilidade.
Ao pagar uma prestação de R$ 140,00 (cento e quarenta reais), Maria foi
contemplada com um desconto de 5%. O valor pago foi
(A)
(B)
(C)
(D)
R$ 133,00
R$ 135,00
R$ 145,00
R$ 147,00
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
A
B
C
D
Não
respondeu
A
23,5
61,6
9,7
3,8
1,5
Ao realizar atividades para desenvolver essa habilidade, faz-se necessário
enfatizar o sentido do símbolo utilizado para indicar porcentagens, pois muitos
alunos, ao lerem um problema, não consideram este símbolo (%), e tratam o valor
percentual apresentado como um número natural, desconsiderando o seu
significado. Esse fato pode ser observado considerando o percentual de respostas
dadas à alternativa “B”, escolhida por 61,6% dos respondentes. Esses alunos
demonstraram não ter habilidades para resolver problemas envolvendo
porcentagens, pois não têm compreensão do seu significado, uma vez que
representaram 5% como R$ 5,00.
Destaca-se que apenas 23,5% dos alunos acertaram o item. Para resolvê-lo,
poderiam ter utilizado diversas estratégias, dentre elas:
1) Cálculo mental
Se 100% é 140, pode-se concluir que 10% é 14. Como 5% é metade de 10%, então
o valor total é também a metade, que é 7.
Ao fazer a subtração do desconto de R$ 7,00, o valor a ser pago é R$ 133,00.
2) “Regra de três”
Esse procedimento de resolução é muito estimulado no ensino fundamental. O que é
importante destacar em tal “regra” é que se trata de um método que envolve
conceitos de proporcionalidade. Porém, algumas vezes os alunos são levados a
fazer sua aplicação, sem relação realmente significativa e prática com o conceito
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
52
propriamente dito. O uso de setas para determinar o tipo da grandeza, por exemplo,
pode, em alguns casos, revelar um erro conceitual.
140 → 100
x → 5
100 x = 140.5
140.5
x=
100
700
x=
100
x= 7
3) Fração
Nesse caso o aluno transforma os 5% em uma fração. Ou seja, 5% =
5
. Logo:
100
5
700
.(140) =
= 7
100
100
Outra possibilidade de resolução é determinar o valor a ser pago do produto
percentualmente. Como será dado o desconto de 5%, então será pago 95% do
produto.
Quanto aos alunos que escolheram as alternativas “C” e “D”, também
evidenciaram dificuldades em resolver problemas que envolvem porcentagem. No
caso dos que escolheram a alternativa “C”, assim como os que escolheram a
alternativa “B”, não têm domínio do conceito de porcentagem, indicando que 5%
corresponde a R$ 5,00, porém ao invés de considerar o desconto, fizeram um
acréscimo do preço do produto. Quanto aos que escolheram a alternativa “D”,
apesar de terem encontrado o valor correspondente a 5%, não levaram em
consideração que a situação tratava-se de desconto, realizando um acréscimo no
preço do produto.
Para trabalhar com os alunos para o desenvolvimento dessa habilidade, o
professor pode utilizar anúncios de lojas que indicam descontos promocionais na
venda de seus produtos para mostrar como descobrir o valor a ser pago com o des­
conto ou ajudá-los a encontrar o valor correspondente aos juros, no caso de com­
pras parceladas ou de pagamentos atrasados.
3.3.13 D28 – Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica
O descritor tem como objetivo verificar a habilidade do aluno em calcular o
valor numérico de uma expressão algébrica. Noções de álgebra, o reconhecimento
de conceito de variável e a operação dos números são algumas das ações
necessárias para demonstrar a habilidade.
No item que será apresentado a seguir, o aluno deverá demonstrar que
domina a habilidade de operar com os números inteiros e racionais. Em outras
situações, pode-se solicitar ao aluno que resolva o cálculo numérico de uma
expressão algébrica realizando operações em outros conjuntos numéricos.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
53
A seguir comentaremos um item do teste aplicado pelo Saveal em 2005 para
avaliar essa habilidade.
− b+
Dada a expressão: x =
b ² − 4.a.c
2.a
sendo a = 1, b = -7 e c = 10, podemos afirmar que o valor numérico de x é
(A) –5
(B) –2
(C)
2
(D)
5
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
A
B
C
D
Não
respondeu
D
24,6
30,1
22,4
20,6
2,3
A alternativa correta foi escolhida por apenas 20,6% dos alunos. Esse fato é
preocupante, pois este item exigia que os alunos substituíssem as letras presentes
na expressão pelos seus respectivos valores, que estavam indicados no enunciado.
Uma vez feita a substituição desses valores, a expressão reduz-se a operações
envolvendo números inteiros em uma fração. Os alunos que acertaram ao item
poderiam ter realizado o cálculo mental ou feito a substituição dos valores da
seguinte forma:
7+ 3
− (− 7) + (− 7) 2 − 4.1.10
x=
= 5
x=
2
2.1
A alternativa “A” foi escolhida por 24,6% dos alunos. As alternativas “B” e “C”
foram escolhidas, respectivamente, 30,1% e 22,4% dos respondentes. A hipótese
para os erros cometidos referem-se à manipulações incorretas dos números nas
operações, sinalizando que os alunos não compreenderam satisfatoriamente as
diferenças entre as operações com números naturais e inteiros, ignorando o sinal do
número.
As expressões algébricas podem ser introduzidas em vários contextos
escolares e práticos. Em situações escolares, podemos relacionar as expressões ao
estudo das Ciências, tais como as fórmulas da Física e Química. Também é possível
encontrar a aplicação em contexto mais práticos e cotidianos, como cálculo de
consumo de energia e água, e até mesmo em fórmulas financeiras.
Quanto à dificuldade com as operações com números inteiros, destacando a
multiplicação e a potenciação, é relevante que o aluno compreenda os novos
significados que essas operações assumem no contexto deste conjunto numérico.
As sugestões de situações-problema apresentadas no Descritor 21 poderão
colaborar no desenvolvimento das habilidades envolvidas em itens semelhantes a
este que acabamos de comentar.
3.3.14 D29 – Resolver problema que envolva equação do 1o. grau
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
54
Este descritor tem por finalidade verificar a habilidade de o aluno resolver
problema que envolva equação do 1º grau.
A seguir será comentado um item do teste do Saveal de 2005 que avaliou a
habilidade de os alunos resolverem um problema envolvendo equação do 1º grau.
A solução dessa equação
(A)
(B)
(C)
(D)
m− 1
m− 1
=
é
2
3
-1
0
1
2
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
A
B
C
D
C
36,4
12,8
30,7
18,2
Não
respondeu
2,0
O trabalho com equações do 1º grau começa a ser desenvolvido formalmente
no terceiro ciclo do ensino fundamental e, a partir daí, estará cada vez mais presente
nas atividades que serão realizadas em sala de aula, mesmo quando apresentadas
situações que requeiram o uso de equações do 2º no quarto ciclo.
O item apresentado avalia a habilidade de resolver uma equação do 1º grau,
habilidade esta bem mais simples do que a descrita no descritor, que refere-se à
resolução de problemas envolvendo equações do 1ºgrau, pois isto requer do aluno a
habilidade de transpor os dados do enunciado para a linguagem matemática,
utilizando representações apropriadas. Todavia, apenas 30,7% dos respondentes
acertaram ao item, escolhendo a alternativa “C”. O processo de resolução envolve
diferentes estratégias, dentre elas:
1) Como se trata de uma equação do 1º grau fracionária, o aluno poderia
inicialmente reduzir os dois termos da equação ao mesmo denominador para então
proceder ao cálculo do valor de m.
2) O aluno, ao perceber que cada membro da equação era composto de apenas um
termo fracionário, poderia ter aplicado a propriedade fundamental das proporções,
igualando os produtos dos termos dos meios ao produto dos termos dos extremos.
Utilizando qualquer dessas estratégias, os alunos que já desenvolveram a ha­
bilidade avaliada encontrariam, para m, o valor 1.
Os distratores do item indicam que os alunos que os escolheram, que
representam 67,4% dos respondentes, aplicaram um dos procedimentos expostos
acima, porém, cometeram erros ao multiplicar números inteiros, manipulando
incorretamente os sinais desses números e também erros na aplicação da
propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição durante o processo de
resolução.
Destaca-se que erros dessa natureza não mais deveriam ocorrer com alunos
concluintes do ensino fundamental.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
55
3.3.15 D30 – Identificar uma equação ou inequação do 1o grau que
expressa um problema
Esse descritor tem por finalidade avaliar a habilidade de o aluno identificar
uma equação ou inequação do 1º grau que expressa um problema. Essa habilidade
é avaliada apresentando ao aluno situações-problema contextualizadas, para que
ele reconheça quando se trata de uma igualdade ou de uma desigualdade,
identificando dentre um conjunto de equações ou inequações, a que traduz
corretamente o problema para a linguagem matemática.
A seguir será comentado um item do teste do Saveal de 2005 que avaliou
essa habilidade.
Seu João possui um terreno retangular que será cercado para plantar hortaliças. A
largura do terreno é 20 metros e seu João pode gastar no máximo 130 metros de
tela que é a quantidade que ele possui.
20
x
A inequação associada ao problema é
(A)
(B)
(C)
(D)
2x + 40 ≤ 130.
x + 40 ≤ 130.
2x + 20 ≤ 130.
x + 20 ≤ 130.
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
A
B
C
D
Não
respondeu
A
24,6
9,7
26,7
35,9
3,1
Esse item apresentou um percentual de 24,6% de acerto. A habilidade
avaliada, identificar, dentre um conjunto de inequações, a que traduz corretamente o
problema para a linguagem matemática, não é uma habilidade simples, pois requer
do aluno o domínio de vários conteúdos matemáticos e, especialmente, a
capacidade de interpretação de situações-problema. No item, especificamente, o
aluno deveria utilizar também, conhecimentos relativos a perímetro de figuras
planas, no caso, de um retângulo (lembrando que os lados paralelos têm a mesma
medida, logo, teria dois lados medindo x e dois lados medindo 20). Isso possibilitaria
representar o enunciado da seguinte maneira: 2x + 40 ≤ 130.
Os alunos que escolheram as alternativas “B” e “C”, consideraram apenas
as medidas de três lados do retângulo que representa o terreno que seria cercado.
Os alunos que escolheram a alternativa “D” evidenciaram que não desenvolveram a
habilidade avaliada e, especialmente, que têm dificuldades de interpretar problemas
quando esses envolvem noções de geometria, pois só levaram em contas as
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
56
dimensões que estavam expressas na ilustração, desconsiderando que um
retângulo tem quatro lados e que os quatro lados deveriam ser cercados.
A habilidade descrita por esse descritor envolve diversos conteúdos
matemáticos do ensino fundamental. Dessa forma, ao trabalhar os aspectos
comentados nos descritores anteriores e, especialmente, trabalhar a leitura e
interpretação de situações-problema, o professor possibilitará aos seus alunos o
desenvolvimento desta habilidade. Ressaltamos que as recomendações feitas no
Descritor 20, relativas ao processo de resolução de problemas proposto por Polya,
podem também ser aplicadas na tradução de problemas para a linguagem
matemática.
3.3.16 D31 - Resolver problema que envolva equação do 2o grau
Esse descritor tem por objetivo avaliar a habilidade de o aluno resolver
situações-problema, contextualizadas, que requeiram a resolução de uma equação
do 2º grau.
Ressaltamos que muitos alunos sabem resolver equações do 2º grau,
− b± ∆
aplicando corretamente a fórmula de Bhaskara: x =
, onde ∆ = b 2 − 4ac .
2a
Entretanto, observamos que os alunos apresentam dificuldades no momento de
traduzir o enunciado do problema para a linguagem da matemática. Assim, é
fundamental que o professor trabalhe com seus alunos a leitura dos problemas,
auxiliando-os na interpretação e elaboração da equação que deverá ser resolvida
para solucionar a situação proposta.
Por exemplo: O número de pacotes de bombons contidos em uma caixa é
duas unidades maior que o número de bombons de cada pacote. Sabendo que a
caixa contém 80 bombons, calcule o número de pacotes que contém a caixa. Neste
caso, indicando por x o número de bombons de cada pacote, tem-se que a caixa
contém x + 2 pacotes. Logo, (x + 2)x = 80. A solução da equação nos dará dois
valores: x = - 10 e x = 8. Devemos mostrar para os alunos que o primeiro resultado
não convém como solução do problema, pois não faz sentido dizer que a caixa
contém – 10 pacotes de bombons, logo, tomaremos o segundo resultado para a
solução do problema. Cuidado, a solução x = 8 é a solução da equação, mas não do
problema, pois refere-se ao número de bombons por pacote. A solução do problema
é: caixa contém 10 pacotes.
3.3.17 D32 – Identificar a relação entre as representações algébrica e
geométrica de um sistema de equações do 1o. grau
Esse descritor tem por finalidade avaliar se o aluno desenvolveu a habilidade
de identificar a relação entre as representações algébrica e geométrica de um
sistema de equações do 1o. grau. Para identificar essa relação, o aluno tem que
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
57
compreender que o par ordenado solução de um sistema de equações, é o ponto de
encontro das retas que representam as equações do referido sistema.
Vejamos um exemplo de situação-problema relacionada à habilidade
envolvida nesse descritor.
Pedro e João estavam disputando uma partida de lançamento de dardos, em
que só valeria ponto quando se acertasse o centro do alvo. Cada um lançaria dez
vezes. Terminada a partida, os dois, juntos, haviam marcado 5 pontos. Pedro
ganhou por uma diferença de 3 pontos. Quantos pontos fez cada um?
Representando por x o número de pontos marcados por Pedro e por y o
número de pontos marcados por João, a interpretação do problema nos leva à
montagem do seguinte sistema de equações do 1º grau:
 x+ y = 5

 x− y = 3
O par ordenado (4,1), que verifica simultaneamente as duas equações, é a
solução do sistema. Assim, visto o sistema, o aluno deve identificar que o gráfico
abaixo, no qual estão representas as retas suportes dessas equações, também é
solução do sistema.
Observamos que, para cumprir a sua finalidade, esse descritor requer apenas
que o aluno seja capaz identificar a relação entre as representações algébrica e
geométrica de um sistema de equações do 1o. grau, não lhe exigindo a montagem
do sistema, nem a representação de sua solução graficamente. Esses dados,
sistema de equações e representação geométrica, devem ser mostrados prontos
para o aluno, a ele cabe apenas identificar o que representa a situação dada.
3.4 TEMA IV – Tratamento da Informação
Atualmente, as informações têm sido apresentadas por meio de gráficos e
tabelas, pois eles possibilitam uma comunicação rápida e atrativa dos dados que
querem apresentar. Essa forma de comunicar dados é encontrada freqüentemente
em revistas, jornais e meios televisivos. Assim, a capacidade de trabalhar com esses
instrumentos de informação possibilita fazer previsões e tomar decisões quanto a
aspectos do nosso cotidiano. Por este motivo, a Matriz de Referência contempla
essa temática, contendo descritores que orientam a construção de itens que avaliam
a capacidade do aluno em fazer a leitura e interpretação de tabelas e a capacidade
de interpretação, comparação e utilização de dados apresentados em gráficos
(coluna, segmento e setores) para resolver situações-problema.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
58
3.4.1 D33 – Ler e interpretar informações e dados apresentados em
tabelas
A seguir, apresentaremos um item do teste aplicado pelo Saveal em 2005 que
avaliou a habilidade de ler e interpretar dados apresentados em uma tabela.
Observe a tabela a seguir:
Material
Papel
Casca de fruta
Chiclete
Lata de aço
Plástico
Vidro
Tempo de
decomposição
3 meses
6 meses
5 anos
10 anos
400 anos
4000 anos
O material cujo tempo de decomposição é o dobro do tempo de decomposição de
um chiclete é:
A) casca de fruta
B) lata de aço
C) plástico
D) vidro
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
A
B
C
D
Não
respondeu
B
11,4
62,1
12,9
12,0
1,7
Esse item é considerado simples, pois envolve a habilidade de identificar em
uma tabela um dado correspondente a uma informação apresentada, no caso,
identificar qual o material cujo tempo de decomposição é o dobro do tempo de
decomposição de um chiclete.
Apesar da simplicidade do item, apenas 62,1% dos respondentes o
acertaram. Quanto aos demais alunos, considerando que os distratores não são
plausíveis, inferimos que responderam de forma aleatória ao item.
Algumas sugestões de como desenvolver as habilidades envolvidas neste
descritor serão apresentadas nos comentários relativos ao próximo descritor.
3.4.2 D34 – Interpretar, comparar e utilizar dados apresentados em
gráficos (coluna, segmento e setores)
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
59
Esse descritor tem por finalidade avaliar a habilidade de o aluno interpretar,
comparar e utilizar dados apresentados em diferentes tipos de gráficos, extraindo
deles as informações necessárias para a solução do problema e possivelmente
realizar algum cálculo para obter essa solução.
A seguir, comentamos um item do teste do Saveal aplicado em 2005 que
avalia essa habilidade.
O gráfico abaixo representa o resultado final da eleição para prefeito numa cidade
do interior.
Candidato A (28%)
Candidato B (19%)
Candidato C (53%)
Os candidatos A, B e C obtiveram no total 15.000 votos. Sabendo-se que o
candidato B obteve um total de 2.850 votos, quantos votos o candidato A teve a
mais que o candidato B?
(A)
(B)
(C)
(D)
1300
1350
3750
5100
Percentual de respostas às alternativas
GABARITO
A
B
C
D
B
18,2
30,8
33,3
15,5
Não
respondeu
2,3
Este, apesar de exibir um gráfico em setores, requeria do aluno outras
habilidades para responder corretamente à uma situação-problema proposta,
fazendo com que o item apresentasse um grau de dificuldade maior, ainda que
compatível com o nível de escolaridade dos alunos. Mesmo assim, apenas 30,8%
dos alunos escolheram a alternativa “B” que é a correta. Alguns caminhos podem ter
sido utilizados para a resolução:
1º) A primeira possibilidade refere-se ao cálculo do número de votos obtidos pelo
candidato A, calculando 28% de 15.000. Após esse cálculo, faria uma subtração
envolvendo os votos deste candidato e o candidato B.
2º) Outra possibilidade refere-se ao estabelecimento de relações entre os
percentuais de votos obtidos pelos candidatos A e B. Nesse caso, o aluno poderia
ter subtraído do percentual de votos do candidato A o percentual de votos do
candidato B, fazendo 28% – 19% = 9%. Assim, bastaria encontrar 9% de 15.000.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
60
Os demais alunos que escolheram as alternativas “A”, “C” e “D”,
representam 67% dos respondentes, demonstraram não ter desenvolvido as
habilidades para realizar cálculos com porcentagem, ainda que a situação-problema
tenha trazido uma ilustração de um gráfico para apoiar o processo de resolução.
Uma forma de explorar os processos estatísticos é a partir da leitura e
discussão das informações que aparecem nos jornais e revistas. Assuntos que
tratam de economia, política, esportes, educação, saúde, alimentação, moradia,
meteorologia, pesquisas de opinião, entre outros, geralmente são apresentados por
meio de diferentes representações, tais como tabelas e gráfico. Além disso, tais
assuntos costumam despertar o interesse dos alunos pelas questões sociais e
podem ser usados como contextos significativos para a aprendizagem dos conceitos
e procedimentos matemáticos neles envolvidos.
Outra forma interessante de explorar os conteúdos do tratamento da
informação é por meio da realização de pesquisas que tenham interesse para os
alunos, como a elaboração de tabelas e gráficos sobre a preferência em relação a
times de futebol (ou em relação a outro esporte), bem como mostrar aspectos do
desenvolvimento físico (massa, altura, idade) dos alunos da classe. Atividades como
essas possibilitarão aos alunos oportunidades de desenvolver conhecimentos para
poder compreender, analisar e apreciar as estatísticas apresentadas pelos meios de
comunicação.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
61
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Para conseguirmos a melhoria da qualidade do processo de ensino-aprendi­
zagem em relação à matemática, torna-se necessário, dentre outros aspectos, a
adoção de novas posturas pedagógicas em sala de aula.
Nesse sentido, a contextualização no ensino da Matemática é uma aliada
para o processo de ensino-aprendizagem. Grande parte dos conteúdos pode ser
relacionada com situações do cotidiano em que os alunos estejam familiarizados,
para que eles possam desenvolver as habilidades necessárias para o ciclo em que
se encontram e, favorecendo aos alunos deixar de simplesmente resolver contas de
forma mecanizada, para dar sentido ao que estudam, tendo prazer em fazê-lo (PCN,
1998).
É importante observarmos, também, o uso de recursos lúdicos como jogos e
materiais concretos que chamem a atenção dos alunos e que os levem a
compreender o sentido das atividades matemáticas propostas. Estes recursos
potencialmente podem agir como mediadores no processo de construção das
competências matemáticas. De acordo com os PCN (1998), os jogos são formas
interessantes e diferentes de resolver problemas; favorecem o trabalho em grupo, a
criatividade, o planejamento de ações para a busca de soluções, além de facilitar a
compreensão, construção de estratégia vencedora e a capacidade de comparação
de estratégias a serem utilizadas.
Outro fator importante de ser considerado é a contextualização histórica dos
conhecimentos matemáticos. Assim, deve-se ter a preocupação de incluir tópicos da
História da Matemática quando se trabalha os conteúdos, pois estaremos
fornecendo informações sobre o contexto no qual cada conteúdo foi desenvolvido,
percebendo-o como produção humana para a resolução de situações-problema e
indicando as aplicações atuais e possibilidades futuras do uso desses conteúdos
para o desenvolvimento científico e para a continuidade da pesquisa matemática.
Além disso,
o recurso à História da Matemática pode esclarecer idéias matemáticas
que estão sendo construídas pelo aluno, especialmente para dar
respostas a alguns “porquês” e, desse modo, contribuir para a
constituição de um olhar mais crítico sobre os objetos de conhecimento
(PCN, 1998, p. 43).
Destacamos, entretanto, que a estratégia fundamental para uma mudança na
construção de competências matemáticas pode estar na adoção da resolução de
problemas como estratégia metodológica. Essa competência não se desenvolve
quando propomos apenas exercícios de aplicação dos conceitos e técnicas
matemáticos, pois, nesse caso, o que está em ação é uma simples transposição
analógica: o aluno busca na memória um exercício semelhante e desenvolve passos
análogos aos daquela situação, o que não garante que seja capaz de utilizar seus
conhecimentos em situações diferentes ou mais complexas.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
62
A adoção da resolução de problemas como estratégia de organização do
trabalho pedagógico possibilita o desenvolvimento de capacidades como:
observação, estabelecimento de relações, comunicação, argumentação e validação
de processos, além de estimular formas de raciocínio como intuição, indução,
dedução e estimativa. Essas capacidades são requeridas nas situações práticas do
cotidiano dos estudantes, nas quais os problemas requerem um conjunto de
competências para solucioná-las. Essa opção traz implícita a convicção de que o
conhecimento matemático ganha significado quando os alunos têm situações
desafiadoras para resolver e trabalham para desenvolver estratégias de resolução.
Nesse contexto, um problema, ainda que simples, poderá despertar o
interesse pela atividade matemática se ele proporcionar ao aluno o gosto pela
descoberta da resolução, estimulando, assim, a curiosidade, a criatividade e o
aprimoramento do raciocínio, ampliando o conhecimento matemático.
Os problemas, para que possam motivar o aluno, não podem se caracterizar
como aplicação direta de algum algoritmo ou fórmula, mas devem envolver invenção
e/ou criação de alguma estratégia particular de resolução. O ensino de matemática
se torna mais interessante à medida em que se utilizam bons problemas ao invés de
se basear apenas em exercícios que remetem a reprodução de fórmulas em
situações que se distanciam do contexto do aluno.
A resolução de problemas, na perspectiva indicada pelos educadores
matemáticos, possibilita aos alunos mobilizar conhecimentos e
desenvolver a capacidade para gerenciar as informações que estão a
seu alcance. Assim, os alunos terão oportunidade de ampliar seus
conhecimentos acerca de conceitos e procedimentos matemáticos bem
como de ampliar a visão que têm dos problemas, da Matemática, do
mundo em geral e desenvolver sua autoconfiança. (PCN – Matemática
5ª a 8ª séries, p. 40)
Os Parâmetros Curriculares Nacionais consideram que a resolução de
problemas, como eixo organizador do processo de ensino e aprendizagem de
Matemática, pode ser fundamentada nos seguintes princípios:
• a situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática e não a
definição. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, idéias e
métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de
problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver
algum tipo de estratégia para resolvê-las;
• o problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de forma
quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há problema se
o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e a
estruturar a situação que lhe é apresentada;
• aproximações sucessivas de um conceito são construídas para resolver um
certo tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu
para resolver outros, o que exige transferências, retificações, rupturas,
segundo um processo análogo ao que se pode observar na História da
Matemática;
• um conceito matemático se constrói articulado com outros conceitos, por meio
de uma série de retificações e generalizações. Assim, pode-se afirmar que o
aluno constrói um campo de conceitos que toma sentido num campo de
problemas, e não um conceito isolado em resposta a um problema particular;
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
•
63
a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em
paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para a
aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode apreender
conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas.
As estratégias indicadas – ensino contextualizado, resolução de problemas,
uso de recursos lúdicos e da história da matemática – associadas a mudanças em
outros fatores intervenientes na organização do trabalho pedagógico, poderão
favorecer o desenvolvimento de competências e habilidades em matemática,
favorecendo não só o sucesso escolar, mas principalmente a formação do cidadão
capaz de aplicar em sua prática social os conhecimentos apreendidos,
possibilitando-lhe exercer os seus direitos e orientado-o no cumprimento de seus
deveres.
Todavia, as estratégias indicadas, para serem implementadas, requerem que
os professores desenvolvam competências docentes para propiciar um ambiente
adequado para o aprendizado da matemática. Para o desenvolvimento dessas
competências, destacamos o papel que a formação inicial e a formação continuada
devem exercer em sua conduta em sala de aula. Assim, esperamos que este
caderno possa servir, para você, colega professor, como um instrumento de estudo
e reflexão, contribuindo para o seu crescimento profissional e auxiliando-o
planejamento de suas atividades docentes.
CADERNO PEDAGÓGICO – MATEMÁTICA – 8ª SÉRIE –
64
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. (1997) Parâmetros Curriculares Nacionais:
Matemática. Brasília: MEC / SEF.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. (1998) Parâmetros Curriculares Nacionais:
Matemática. Brasília: MEC / SEF.
PERRENOUD, P., (2000). Dez novas competências para ensinar. 2ª ed. Porto Alegre: Artes
Médicas Sul. Tradução Patrícia Chittoni Ramos.
POLYA, G., (1994). A arte de resolver problemas: um novo enfoque do método matemático.
2ª reimpressão. Rio de Janeiro: Interciência. Tradução e adaptação de Heitor Lisboa de
Araújo.