SISTEMAS LINEARES E REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA: UM ESTUDO
COM ALUNOS DO ENSINO MÉDIO
Wilian Barbosa Travassos, (IC, Fundação Araucária), Unespar – Câmpus de Campo Mourão,
[email protected]
Veridiana Rezende, (OR), Unespar – Câmpus de Campo Mourão, [email protected]
Mariana Moran, (CO-OR), Unespar – Câmpus de Campo Mourão, [email protected]
RESUMO: Apresentamos neste trabalho os resultados do projeto de Iniciação Científica desenvolvido
pelos autores deste trabalho, referente aos meses de agosto de 2013 a julho de 2014. O trabalho referese a uma pesquisa qualitativa, realizada com alunos do 3º ano do Ensino Médio de um colégio público
do Estado do Paraná, que teve como objetivo analisar e favorecer o avanço dos conhecimentos desses
alunos sobre sistemas lineares e suas diferentes representações. A justificativa pelo desenvolvimento
desta pesquisa decorre principalmente pelo fato de os livros didáticos de Matemática nem sempre
apresentarem diferentes representações desse conceito. Duval (2003) alega que para a compreensão de
um conceito matemático é necessário que haja coordenação entre diferentes registros. Sendo assim,
elaboramos e implementamos 3 atividades com alunos do Ensino Médio a fim de verificar o
desempenho dos alunos diante das questões propostas. Recolhemos os registros (resolução das
atividades) para análise dos dados, que serão apresentados nesse trabalho, em que verifica-se avanço
no processo de resolução de sistemas lineares pelos alunos envolvidos, no que diz respeito às
diferentes representações.
Palavras-chave: Álgebra. Educação Matemática. Tecnologias.
INTRODUÇÃO
Documentos curriculares brasileiros (BRASIL, 1998; PARANÁ, 2008) apontam que sistema
de equação linear é um conteúdo que deve ser estudado a partir do 8º ano do Ensino Fundamental.
Para o Ensino Médio, o estudo desse conteúdo deve ser ampliado, aumentando o número de equações
e de incógnitas, para pelo menos três equações e três incógnitas. Esse conceito também é estudado nos
Cursos de Ciências Exatas, na disciplina de Geometria Analítica e Álgebra Linear, geralmente no 1º
ano dos cursos.
De acordo com a teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval, é
essencial que o processo de ensino e aprendizagem favoreça ao aluno a capacidade de coordenar
diferentes representações de um mesmo conceito matemático. Com relação aos sistemas lineares, é
possível observar que eles podem ser estudados articulando vários registros, por exemplo: em uma
situação-problema que pode ser solucionada por meio de um sistema linear 2x2, podemos escrever
algebricamente estas equações montando um sistema, na sequência, resolve-lo utilizando o método de
Cramer, além de poder construir o gráfico desse sistema a partir do registro algébrico, explicando o
funcionamento das retas, sejam elas concorrentes, coincidentes, ou paralelas. Neste processo
trabalhamos a conversão de quatro diferentes registros de um mesmo conceito, são eles: registro
língua natural, registro algébrico, registro matricial e registro gráfico. Todavia, nota-se que os livros
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didáticos do Ensino Médio não têm apresentado tais coordenações entre registros, sendo priorizado na
maioria dos livros a conversão do registro língua natural para o registro algébrico ou ainda alguns
livros priorizam o registro algébrico.
Considerando que o livro didático ainda é o principal guia do professor, inferimos que as
diferentes representações dos sistemas lineares nem sempre chegam às salas de aula. Desse modo, com
a intenção de analisar e colaborar para ampliar os conhecimentos dos alunos sobre diferentes
representações dos sistemas lineares, elaboramos 3 atividades, mas que ao mesmo tempo, fossem
situações-problema contextualizadas com vocabulários e situações que fazem parte do cotidiano dos
adolescentes e jovens de hoje, a fim de atrair a atenção do aluno, além de favorecer a articulação e
apropriação pelos alunos de diferentes registros. Os sujeitos da pesquisa foram 15 alunos do 3º ano do
Ensino Médio de uma instituição pública do interior do Paraná, cuja metodologia da pesquisa e o
resultado das análises estão descritos a seguir.
REFERENCIAL TEÓRICO E METODOLOGIA DA PESQUISA
Para o desenvolvimento do projeto, inicialmente, foram realizados estudos bibliográficos
sobre a Teoria dos Registros de Representação Semiótica do pesquisador francês Raymond Duval. A
teoria de Duval para o processo de ensino e aprendizagem consiste em desenvolver no aluno a
capacidade de coordenar diferentes representações de um mesmo registro. A restrição a um único
registro, não garante a compreensão, ou seja, a aprendizagem deste conceito matemático.
Permanecer num único registro de representação significa tomar a representação
como sendo de fato o objeto matemático – por exemplo, f(x) = x seria a função, e
não uma representação do objeto matemático. Logo, para não confundir o objeto e o
conteúdo de sua representação é necessário dispor de, ao menos, duas
representações, de modo que estas duas devam ser percebidas como representando o
mesmo objeto. Além disso, é preciso que o estudante seja capaz de converter, de
transitar entre uma e outra representação (FLORES, 2006, p. 4).
Para Duval, existem dois conceitos fundamentais em sua teoria, denominados por tratamento e
conversão, e os define da seguinte forma:
O tratamento de uma representação é a transformação desta representação no mesmo
registro onde ela foi formada. O tratamento é uma transformação interna a um
registro, no entanto, [...] a conversão de uma representação é a transformação desta
função em uma interpretação em outro registro, conservando a totalidade ou uma
parte somente do conteúdo da representação inicial. A conversão é uma
transformação externa ao registro de início (o registro da representação a converter)
(DUVAL, 2012, p. 272).
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Em seguida, Duval deixa explícito que a conversão é uma atividade cognitiva diferente e
independente do tratamento e que pode ser observada em situações simples, como por exemplo, o
cálculo numérico.
Alunos podem, muito bem, efetuar a adição de dois números com sua expressão
decimal e com sua expressão fracionária e podem não pensar em converter, se isto
for necessário, a expressão decimal de um número em sua expressão fracionária (e
reciprocamente), ou mesmo não conseguir efetuar a conversão. Muitas vezes é este
tipo de exemplo que é colocado para explicar porque os alunos chegam ao ensino
médio e não sabem calcular. É esquecer que a expressão decimal, a expressão
fracionária e a expressão com expoente constituem três registros diferentes de
números (DUVAL, 2012, p. 272-273).
De acordo com as Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná - DCE (PARANÁ, 2008), os
sistemas lineares devem ser estudados no Ensino Médio, e fazem parte do conteúdo estruturante
Números e Álgebra. Trata-se de um conteúdo que favorece a resolução de diversos problemas do
cotidiano que envolve duas ou mais variáveis. Conhecer estes diferentes tipos de problemas
envolvendo sistemas lineares, e, portanto, de diferentes representações – língua natural1, representação
gráfica e algébrica é, de acordo com a teoria de Duval (2003), o caminho para a compreensão do
conceito de sistemas lineares.
Duval (2003) considera que o funcionamento do pensamento em Matemática apresenta certas
especificidades em relação a outros domínios do conhecimento. Sobretudo, por ser uma ciência
abstrata, é preciso considerar as diferenças existentes entre a atividade cognitiva em Matemática e de
outras Ciências, tais como Biologia, Física ou Química, nas quais os conceitos podem ser observados
ou manipulados por meios de experiências visuais.
De acordo com o referido pesquisador, para a compreensão de um conceito matemático, é
primordial se considerar as representações semióticas. Duval (2003) chama atenção para o
desenvolvimento da história da Matemática, ele nos diz que “[...] as representações semióticas foi uma
condição essencial para a evolução do pensamento matemático” (p.13). Ele cita o caso dos números,
que seu acesso está associado à utilização de um sistema de representação que os permite designar.
No entanto, além da importância dos registros de representação, Duval (2003) considera a
grande variedade de representações semióticas que deve ser utilizada em Matemática. O pesquisador
cita os sistemas de numeração, as escritas algébricas, as figuras geométricas, as representações
gráficas e a língua natural.
1
Para o presente trabalho, entende-se por língua natural o português – língua oficial do Brasil.
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Desse modo, Duval (2003) conjectura que a compreensão em Matemática supõe a
coordenação de ao menos dois registros de representação semiótica, ou seja, passar de um registro
para outro registro é essencial para a compreensão de um conceito matemático.
No entanto, a pesquisa de Battagliori (2008) mostra que os livros didáticos de Matemática
nem sempre favorece a conversão entre registros. Em sua dissertação de mestrado, a pesquisadora
analisou três livros didáticos de Matemática do Ensino Médio, segundo a teoria de Registros de
Representação Semiótica, e constatou que as conversões estão pouco presentes nos livros analisados, e
a conversão que predomina é a da língua natural para o algébrico. A pesquisadora detectou carência
tanto nos exercícios resolvidos, como os exercícios para resolver, relacionados às conversões: do
gráfico para o algébrico, do algébrico para a língua natural, e do gráfico para a língua natural.
É preciso ressaltar que a não coordenação entre os registros, assim como vem ocorrendo nos
livros didáticos de Matemática, está intimamente ligada aos alunos não compreenderem a essência e o
verdadeiro significado dos conceitos matemáticos, ficando limitada a compreensão de apenas um dos
registros.
Após o estudo dos sistemas lineares vigente nos documentos curriculares (BRASIL, 1999;
PARANÁ, 2008) para a disciplina de Matemática; e livros didáticos de Matemática do Ensino Médio,
com foco principal no livro de Iezzi et al. (2010) utilizado no colégio que realizamos a pesquisa,
foram elaboradas três atividades buscando explorar diferentes registros de representação e conversões.
O procedimento de implementação das atividades, bem como suas análises estão descritos na seção a
seguir.
DESCRIÇÃO E ANÁLISES DAS ATIVIDADES IMPLEMENTADAS COM OS ALUNOS
Embasados nos estudos elencados acima, foram elaboradas três atividades relacionadas às
diferentes representações de sistemas lineares. As atividades foram implementadas pelo aluno de
Iniciação Científica, autor deste trabalho, em três aulas de aproximadamente 35 minutos cada, em dias
distintos, com alunos do 3ª ano do Ensino Médio. Para realização destas atividades, utilizamos o
laboratório de informática do colégio, com finalidade de explorarmos as representações gráficas dos
sistemas de equações utilizando o software Geogebra, além dos recursos lápis e borracha, para
realização das atividades propostas.
Cada atividade foi entregue impressa aos alunos, que as resolveram em grupos utilizando seus
conhecimentos, e anotaram a resolução na folha da atividade. Ao final de cada atividade, as folhas
foram recolhidas a fim de analisar os registros dos alunos e, em seguida, a atividade era resolvida no
quadro pelo autor deste trabalho utilizando o método da adição. Para a resolução envolvendo registro
gráfico foi utilizado o software livre Geogebra, sendo que inicialmente foi realizado uma explicação
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sobre como manuseá-lo e, em seguida, feito um acompanhamento da resolução pelos alunos em cada
computador. A correção das atividades acontecia após o término das mesmas, para não influenciarmos
nas respostas dos alunos.
Para a elaboração dos problemas na língua natural, foram escolhidos temas e vocabulários que
acreditamos fazer parte do cotidiano dos alunos, relacionadas à lanchonete da cidade dos alunos, redes
sociais, televisão, e que nem sempre estão disponibilizados nos livros didáticos. A intenção foi
elaborar problemas que pudessem atrair a atenção dos alunos, de maneira que despertasse o interesse
pelo resultado. Confere-se a seguir, as três atividades implementadas nessa pesquisa:
Quadro 1
Atividades implementadas nessa pesquisa
Problema 1: Elizabeth chamou suas amigas para ir à Lanchonete Maresia2. Chegando lá, encontrou
um cartaz com as seguintes informações:
Imagem 1- dados fictícios
Fonte: autores desta pesquisa
Para dividir as despesas com as amigas, Elizabeth precisa saber o preço unitário do sanduíche e do
suco.
a) Como Elizabeth pode resolver seu problema?
b) Resolva o problema e determine os preços unitários do suco e do sanduíche
c) Você saberia resolver este problema por meio de gráfico? Em caso positivo, resolva-o
utilizando gráficos.
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Problema 2: Luís e Ana resolveram criar grupos nas redes sociais para divulgar informações e
simulados do ENEM para os alunos do Colégio Estadual 14 de Dezembro. Eles criaram 2 grupos,
sendo um grupo no Facebook, e outro no Instagram. Sabe-se que, no primeiro dia, o número de
seguidores do Facebook mais o número de seguidores do Instagram atingiu 59 seguidores. No
segundo dia, o número de seguidores do Facebook foi 4 vezes maior que o primeiro dia, enquanto o
número de seguidores do Instagram dobrou, totalizando 178 seguidores.
a) Quantos seguidores cada rede social (Facebook e Instagram) obteve no primeiro dia?
b) E no segundo dia, quantos seguidores cada rede social (Facebook e Instagram) obteve?
c) Você saberia determinar a quantidade de seguidores de cada rede social no primeiro dia
utilizando gráficos?
Problema 3: Atualmente é costume entre os jovens a troca de mensagens por meio do celular. Com
o aumento desta tendência, foi desenvolvido um aplicativo para celular chamado WhatsApp. O
WhatsApp é capaz de enviar mensagens, fotos, gravações de áudio e vídeo entre smartphones que
possuem o aplicativo instalado, utilizando apenas a conexão com a internet.
João utiliza o WhatsApp para trocar informações com seus amigos. No primeiro dia de
férias, João enviou 67 informações entre mensagens e gravações de áudio. No dia seguinte, João
dobrou a quantidade de mensagens enviadas e triplicou o número de gravações de áudio, enviando
no total, 139 informações.
a) Qual foi o número de mensagens e gravações de áudio que João enviou no primeiro dia?
b) Você saberia resolver este problema por meio de gráfico? Em caso positivo, resolva-o
utilizando gráficos.
Fonte: autores desta pesquisa
Como resultado do procedimento apresentado, percebemos um avanço dos conhecimentos dos
alunos diante das atividades implementadas. Informamos que a turma consiste de 15 alunos, no
entanto, apenas 7 alunos compareceram em todas as aulas relacionadas à nossa pesquisa. Sendo assim,
para esta análise, estamos considerando apenas os registros destes 7 alunos, atribuindo um código de
A1 à A7, mantendo assim o anonimato.
As três atividades implementadas referem-se a problemas que podem ser resolvidos com
sistemas lineares com duas equações e duas incógnitas. No entanto, na primeira atividade nenhum
aluno conseguiu resolver o problema algebricamente, pois, não conseguiram realizar a conversão do
registro língua natural para o registro algébrico. Deste modo, todos alunos utilizaram o método
tentativa e erro (que corresponde ao registro numérico) para resolução do exercício, como pode ser
observado no quadro a seguir:
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Quadro 2
Registros dos alunos
Atividades
Realizou corretamente a
conversão Língua Natural
- Algébrica
Sim
Atividade
1
Atividade
2
Atividade
3
Nenhum
aluno
A2
A2, A3, A4,
A5 A6, A7
Não
A1, A2, A3
A4, A5, A6
A7
A1, A3, A4
A5, A6, A7
A1
Resolveu o problema utilizando o método:
Adição
Tentativa e erro
Não fez ou
errou
Nenhum aluno
A1, A2, A3
A4, A5, A6, A7
Nenhum aluno
A2, A3
A1, A4, A5, A6 A7
A1, A3
A2, A3, A5 A6, A7
Nenhum aluno
A1, A4
Fonte: autores desta pesquisa
Analisando o quadro 2, percebemos que na terceira atividade apenas um aluno não conseguiu
realizar a conversão para o registro algébrico (montar o sistema de equações). No que se refere ao
cálculo algébrico, podemos notar que 5 dentre os 7 alunos conseguiram resolver o problema utilizando
o método da adição. É importante destacar esses fatos, pois no início da pesquisa os alunos alegaram
não se lembrar de sistemas lineares, todos alunos acertaram a atividade 1, porém, intuitivamente iam
atribuindo valores e conferindo o resultado na calculadora do celular ou do computador, até chegarem
à uma igualdade.
Antes de ser proposta a segunda atividade para os alunos, foi realizada a correção da primeira
atividade no quadro, buscando salientar a conversão do registro, para poder utilizar o método da
adição. Os alunos indicavam compreender o procedimento de resolução, no entanto, ao se depararem
com exercício da segunda atividade, apenas 1 aluno conseguiu resolver o problema utilizando o
método da adição, os demais até tentaram montar o sistema de equações, mas se confundiram em
algumas etapas, optando novamente pelo método tentativa e erro, como apresenta o relato entre o
autor (aluno de iniciação cientifica) e o aluno A1.
Autor: E o sistema, conseguiram montar?
Aluno A1: Não, o sistema não.... Eu consegui aqui, deu 30 e 29, está certo?
Autor: Não sei... como você fez?
Aluno A1: Eu fiz 28 mais 29 e deu 57! Aí eu fiz 30 mais 29 e deu 59.
Autor: Então você foi atribuindo valores, até encontrar a resposta?
Aluno A1: Sim!
Autor: Você conferiu a conta e deu certo?
Aluno A1: Aham! Eu fiz daí... Facebook teve 120 no segundo dia, é que eu fiz vezes 4... 30
vezes 4! Aí o Instagram eu fiz vezes 2 em baixo!
Percebemos que o aluno A1 tinha certa facilidade em resolver os exercícios utilizando o
método tentativa e erro, desta forma, ele não apresentava interesse em tentar montar o sistema de
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equações. Diante das análise dos registros, percebemos que alguns alunos atribuíam a metade do
resultado a incógnita x e a outra metade para a incógnita y, a partir daí, eles iam alterando valores, até
encontrarem a solução. Deste modo, a terceira atividade foi elaborada com uma diferença maior entre
os valores das incógnitas x e y, assim, os alunos buscariam a resposta por meio do método da adição.
No início da terceira atividade, o autor da pesquisa resolveu na lousa o exercício da atividade 2
juntamente com os alunos, buscando frisar os procedimentos a serem realizados, a forma como
poderia ser respondido o exercício por meio da adição das equações, ao invés de utilizar o método
tentativa e erro, na qual os alunos chamavam de “conta de mais”. Eles chamavam assim pois, como as
equações dos exercícios eram sempre do tipo “x + y = c”, então, para resolução, os alunos iam
atribuindo valores as incógnitas e fazendo a conta de mais. Se a equação fosse do tipo “x – y = c”
possivelmente os alunos chamariam de “conta de menos”.
Como resultado desta terceira atividade, cinco dentre os sete alunos resolveram corretamente o
problema utilizando o método da adição.
No que diz respeito as representações gráficas, na primeira atividade nenhum aluno respondeu
corretamente um item que questionava sobre a possibilidade de resolução do problema por meio de
gráficos, dois alunos chegaram a apresentar incorretamente gráficos de barras, alegando relação entre
os valores das incógnitas e o tamanho das barras, conforme a imagem abaixo:
Imagem 2- Atividade 1: registros dos alunos A3 e A4 respectivamente
Fonte: autores desta pesquisa
Após resolver a atividade 1 com os alunos utilizando o software Geogebra, foi distribuída a
segunda atividade para que, a partir dos métodos e procedimento utilizado para resolução da primeira
atividade, eles conseguissem resolver o exercício da atividade 2. Entretanto, não realizar a conversão
do registro língua natural para o registro algébrico, impediu os alunos de realizarem a conversão do
registro algébrico para o registro gráfico, visto que, eles não possuíam conhecimento para uma
conversão diretamente da língua natural para gráfica. Deste modo, notamos que os alunos sabiam que
era possível verificar a resposta do exercício por meio do gráfico, no entanto, não conseguiram
transpor as equações para o software. Apenas o aluno A2 conseguiu resolver graficamente o exercício.
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Contudo, na terceira atividade, observando o Quadro 2, podemos notar que 6 dos 7 alunos
conseguiram realizar corretamente a conversão para o registro algébrico, e, dentre estes 6, 4 alunos
resolveram o exercício utilizando a representação gráfica por meio do Geogebra
A Imagem 2 apresenta um Print Screen referente a terceira atividade do computador de um
dos alunos, realizado a pedido do autor desta pesquisa.
Imagem 2 – Print Screen atividade 3
Fonte: autores desta pesquisa
Considerando o fato de que as atividades foram desenvolvidas em apenas três aulas, com cerca
de 35 minutos cada, e que a representação gráfica era o último processo a ser realizado no exercício,
alguns alunos não conseguiram concluir o exercício por falta de tempo. Porém, todos os alunos
compreenderam que o ponto pertencente à intersecção das retas, de fato, está relacionado com a
resposta do exercício, sendo a coordenada x o valor referente a primeira incógnita e a coordenada y o
valor referente a segunda incógnita. Assim, podemos inferir que houve aprendizagem por parte dos
alunos no decorrer destas atividades.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Considerando que os alunos iniciaram as atividades resolvendo os exercícios apenas por
tentativa e erro (registro numérico), e nenhum aluno conseguiu interpretar nem algebricamente nem
graficamente o problema; e considerando que na terceira atividade apenas um aluno não realizou
corretamente a conversão do registro língua natural para o registro algébrico, cinco alunos resolveram
corretamente o exercício utilizando o método da adição e quatro dentre os sete alunos da turma
resolveram o exercício utilizando o gráfico, denotando o ponto pertencente a intersecção das retas
como os valores correspondentes as incógnitas x e y do exercício; percebemos que com o decorrer das
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atividades os conhecimentos dos alunos avançaram em relação aos diferentes registros e
consequentemente em relação à aprendizagem de sistemas de equações lineares.
Para Duval, compreender os conceitos em matemática começa no momento em que o aluno é
capaz de mobilizar e coordenar espontaneamente ao menos dois registros de representação para um
mesmo objeto, fato que pôde ser notado durante essa pesquisa. Desse modo, notamos que com o
decorrer das atividades, os alunos indicaram compreender a resolução de problemas por meio de
sistemas lineares e que seus conhecimentos avançaram em relação ao primeiro dia de participação
como sujeitos desta pesquisa, atendendo, portanto, nossos objetivos propostos para o desenvolvimento
deste projeto de iniciação científica.
REFERÊNCIAS
BATTAGLIORI, Carla dos Santos Moreno. Sistemas Lineares na Segunda série do Ensino Médio:
um olhar sobre os livros didáticos. Dissertação. Mestrado Profissional em Ensino de Matemática.
Puc – SP, 2008.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais:
Matemática. Brasília, 1998.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros
Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Brasília, 1999.
DUVAL, R. Registros de representações semióticas e funcionamento cognitivo da compreensão em
Matemática. In: Aprendizagem em Matemática. Machado, S. D. A. (org.). pp. 11-33. Campinas, SP:
Papirus, 2003.
DUVAL, R. Registros de Representação Semiótica e Funcionamento Cognitivo do pensamento.
Revemat. Florianópolis, v. 07, n. 2, p.266-297, 2012.
FLORES, Cláudia Regina. Registros de representação semiótica em matemática: história,
epistemologia, aprendizagem. Boletim de Educação Matemática, vol. 19, 26, p. 1-22, 2006.
IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R; ALMEIDA, N. Matemática: Ciência e
Aplicações. 6ª ed. São Paulo: Editora Saraiva, 2010. Volume 2.
PARANÁ, Diretrizes Curriculares de Matemática para as séries finais do Ensino Fundamental e
para o Ensino Médio: Matemática – Curitiba: Secretaria de Estado da Educação, 2008, 50p.