UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
ESCOLA POLITÉCNICA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
ENG 008 – Fenômenos de Transporte I A – Profª Fátima Lopes
________________________________________________________________________________________________
Comparação entre Newton e kgf; poundal e lbf:
1 Newton = 1 kg 1m/s2
1 kgf = 1kg 9,81 m/s2
1 poundal = 1 lbm 1 ft/s2
1 lbf = 1 lbm 32,174 ft/s2
Comparação entre slug e lbm; UTM e kg:
1 slug =
1 lbm =
1 lbf
1 ft / s 2
1 lbf
32,174 ft / s 2
1 kgf
1 m / s2
1 kgf
1 kg =
9 ,81 m / s 2
1 UTM =
Princípio da homogeneidade dimensional
Exercício 1:
É a equação a = 2 d − 2 v 0 dimensionalmente homogênea?
2
t
t
a – aceleração (L/T2)
d – distância (L)
t – tempo (T)
v0 – velocidade (L/T)
Resposta:
L
a =  2 
T 
d L
= 2
2
t
T 
v
L
2 0 =  2
t T 
2
A equação é dimensionalmente consistente (ou homogênea).
Exercício 2:
Qual a dimensão do termo hf (perdas) na seguinte forma da equação da energia?
v12 p1
v 22 p 2
z1 +
+ = z2 +
+
+ hf
2g γ
2g γ
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z1 e z2 – altura (L)
v1 e v2 – velocidade (L/T)
p1 e p 2 – pressão (força/área)
γ - peso específico (peso/volume)
Resposta:
Como
força = m a [= ] M L T − 2
área [=] L2
F
M L T− 2
p = [=]
[=] M L−1 T −2
2
A
L
−2
peso = m g [= ] M L T
volume [=] L3
peso
M L T −2
γ=
[=]
[=] M L− 2 T − 2
3
volume
L
Então
z [ =] L
(
)
v2
L T −1
=
2g
L T −2
2
L2 T − 2
[=] − 2 [=] L
LT
p M L−1 T − 2
=
[ =] L
γ M L−2 T − 2
Logo hf (perdas) tem dimensão de comprimento (L).
Hipótese do contínuo
Na definição de um fluido não foi mencionada a estrutura molecular dos fluidos,
apesar de todos serem compostos de moléculas em movimento constante.
No entanto, na maior parte das aplicações de engenharia, é de interesse somente
os efeitos médios de um conjunto de moléculas.
São estes efeitos macroscópicos que podemos perceber e medir. Então o fluido é
tratado como uma substância infinitamente divisível, um contínuo.
O conceito de CONTINUUM é a base da Mecânica dos Fluidos clássica e como a
Mec. Flu. consiste fundamentalmente na aplicação das leis da Mecânica ao movimento de
fluidos, é evidentemente impraticável aplicar essas leis para cada molécula do fluido.
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Por exemplo: a velocidade em um ponto do espaço é indefinida em um meio
molecular, pois seria zero o tempo todo exceto quando uma molécula ocupasse
exatamente esse ponto, e aí seria a velocidade da molécula e não a velocidade média
das partículas na vizinhança do ponto.
Esse dilema é evitado se for considerada a velocidade em um ponto como sendo a
média das velocidades de todas as moléculas existentes em torno do ponto, ou seja
dentro de uma pequena esfera com raio grande se comparado com a “distância média
entre as moléculas”.
Procura-se então os valores médios (relativos ao espaço e tempo) das grandezas
que caracterizam o comportamento de porções de fluidos, de dimensões mínimas
arbitrárias, de tal maneira que seja então possível a aplicação daquelas leis, mediante
hipóteses restritivas e extrapolação adequadas.
O significado atribuído à maioria das propriedades dependem da existência do
CONTINUUM no sistema considerado.
Por exemplo: o significado da pressão em um tanque fechado é freqüentemente
explicado como a força total por unidade de área aplicada na parede do tanque, devido
aos impactos contínuos das moléculas sobre as paredes.
“Uma dada massa de gás contida em um volume constante e sujeito a uma
temperatura constante, apresenta sempre a mesma pressão”.
Esta conhecida lei começa a perder seu significado quando o volume considerado
passa a conter uma quantidade de massa tão pequena que apenas algumas moléculas se
encontram presentes.
Se a pressão é ainda definida como acima, com o número muito reduzido de
moléculas, o seu valor irá depender da probabilidade das moléculas se chocarem com a
parede num determinado instante.
Deste modo a pressão não será contínua (constante) variando de tempo em tempo.
O mesmo argumento é valido para volumes muito pequenos de substâncias
diversas onde somente algumas moléculas estão presentes.
Cabe então uma pergunta: Até que magnitude, um volume contendo uma certa
substância pode ser considerado um contínuo?
Ou o que é a mesma coisa: Qual o menor número de moléculas de uma substância
que deve conter um dado volume para que este seja considerado um contínuo?
O contínuo é dito existir num dado volume de uma substância quando o volume
contém um número de moléculas suficiente para que os efeitos médios das moléculas nas
propriedades, dentro do volume, sejam constantes ou variem continuamente com o tempo
e a dimensão do volume.
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Em um contínuo a molécula não tem significado; a menor divisão permissível da
substância é um volume contendo um número considerável de moléculas.
A teoria do CONTINUUM deixa de ser válida sempre que a distância média entre
as colisões das moléculas -Teoria Cinética Molecular – (aproximadamente 6,3 x 10-6
polegadas, para o ar nas CNTP) tornar-se da mesma ordem de grandeza que a menor
dimensão relevante característica do problema.
Em face do exposto, conclui-se que para os gases rarefeitos (por exemplo:
escoamento hipersônico e tecnologia de alto vácuo), a hipótese do contínuo não se
aplica, devendo então os problemas particulares serem estudados no ponto de vista
microscópico, com o auxílio da Teoria Cinética Molecular.
Ilustração:
Considere um mol de gás nas CNTP. O volume ocupado será 22,4 litros e , o
número de moléculas do gás será o próprio número de Avogrado ou seja, 6,023 x 1023.
Assim, o volume correspondente a um cubo com um milésimo de milímetro de
aresta (valor suficientemente pequeno para em um grande número de aplicações
na Engenharia ser associado a um ponto), conterá 2,685 x 107 moléculas, que
corresponde a um número suficientemente elevado para que sejam significativos
os valores médios estatísticos das suas propriedades, ou o que em outras palavras
significa a validade da hipótese do contínuo.
A figura que se segue representa esquematicamente o que foi explanado
anteriormente:
P
Variação da propriedade devido a
flutuações em Escala Molecular
CONTINUUM
Escala
Molecular
V
Volume do fluido
Fig 2.1 – Influência do volume nas propriedades dos fluidos
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Propriedades Físicas dos Fluidos
Certas propriedades físicas dos fluidos são envolvidas no estudo da mecânica dos
fluidos e processos de transporte de quantidade de movimento, calor e massa.
Ø
Ø
Ø
Ø
Ø
Ø
Entre estas propriedades pode-se incluir:
densidade
calor específico
tensão superficial
condutividade térmica
difusividade mássica
viscosidade
Estas propriedades são funções da pressão e da temperatura a que estão
submetidos os fluidos.
Os valores dessas propriedades têm sido medido por diversos pesquisadores e os
resultados podem ser encontrados em Hand Books como por exemplo o Perry, sob a
forma de ábacos, tabelas ou correlações empíricas.
ρ
Massa específica:
ρ
A massa específica
de um fluido é definida como sua massa por unidade de
volume, ou seja, representa a massa do fluido contida num volume unitário:
ρ [= ] M L− 3
Exemplo:
Para água a 4 oC e pressão de 1 atm. → ρ = 1 g / cm 3
Matematicamente a massa específica em um ponto do fluido é dada por:
ρ=
lim
∆V → ∆V
δm
δV
onde
δm
é a massa do fluido nas vizinhanças do ponto considerado
δV
é o volume
ou seja, a massa de um pequeno volume
δV
δV
circundando um ponto.
é o volume mínimo em torno do ponto para o qual é aplicável a teoria do
contínuo.
Volume específico:
υs
O volume específico υs é o inverso da massa específica
ocupado pela unidade de massa do fluido.
ρ , ou seja é o volume
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υs =
1
ρ
L3
υs [= ] [= ] M −1 L3
M
Peso específico:
γ
γ
O peso específico
de uma substância é o seu peso por unidade de volume.
Pode ser obtido pelo produto da massa específica pela aceleração da gravidade.
γ=ρg
Demonstração:
F=ma
peso = m g
÷ V (volume )
peso
massa g
peso
massa
=
∴
=
g ∴
volume volume
volume volume
M L
M L T−2
γ [= ] 3 2 [= ]
[= ] M L− 2 T − 2
3
L T
L
γ =ρg
Observação:
Porque
γ
e
ρ possuem o mesmo valor numérico?
γ H 2 O = 10 3 kgf / m 3
ρ H 2 O = 103 kg / m 3
1
F=
mg
gc
g c = 9,81
kg m
kgf s 2
1 kgf s2
m
γ=
ρ 9,81 2
9,81 kg m
s
γ=ρ
kgf
kg
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γ = 103
kg kgf
m 3 kg
γ = 103
kgf
m3
Exemplo:
Um certo líquido tem uma massa específica de 1,5 slug/ft3. Determinar o peso
específico e o volume específico do líquido sobre a terra e sobre a lua.
A aceleração da gravidade na lua é 5,47 ft/s2 .
Dados: massa específica do líquido: ρ = 1,5 slug/ft3
aceleração da gravidade na lua: 5,47 ft/s2.
Solução:
Definições básicas:
peso
ρg
volume
1
volume específico = υs =
ρ
peso específico =
slug
ft
lbf s 2
lbf
γ terra = ρ g terra = 1,5 3 × 32,2 2 × 1
= 48,3 3
slug ft
ft
s
ft
slug
ft
lbf s 2
lbf
γ lua = ρ g lua = 1,5 3 × 5,47 2 × 1
= 7,20 3
slug ft
ft
s
ft
υs ( terra ) =
υs (lua ) =
1
ρ terra
=
1
= 0,667 ft 3 slug
3
1,5 slug ft
1
1
=
= 0,667 ft 3 slug
3
ρlua 1,5 slug ft
o resultado é o mesmo porque massa independe de g.
Densidade Relativa: d (adimensional)
Refs.
Ø
Ø
Ø
Ø
Ø
Ø
Ø
Propriedades físicas da água – Crane A-6
Relação densidade-temperatura para óleos derivados do petróleo – Crane A-7
Densidade e peso específico de vários líquidos – Crane A-7
Propriedades físicas dos gases – Crane A-8
Densidade de combustíveis gasosos – Crane A-8
Peso específico e densidade de gases e vapores – Crane A-10
Crane, página 1-3, Conversão de d(60F/60F) para grau API e grau Baumé.
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É a relação entre a massa específica de um fluido e a massa específica da água a 4
C e 1 atm. de pressão (ou 15 oC = 60 oF)
o
df =
ρH 2O
ρf
4 C e 1 atm.
(
)
o
ρf - qualquer líquido a uma temperatura especificada.
A densidade relativa é também conhecida como gravidade específica pois,
também representa a relação entre o peso específico da substância em questão e o peso
específico da água nas condições citadas acima.
γ f = ρf g
γ H 2O = ρ H 2 O g
ρ g
γf
df = f
=
ρ H 2 O g γ H 2 O 4o C e 1 atm .
γf
(
)
- qualquer líquido a uma temperatura especificada.
Exemplo:
d Hg =
ρ Hg
ρH 2 O
13,6 g cm3
=
= 13,6
1 g cm 3
Pressão de vapor: pv
Os líquidos evaporam por causa de moléculas que escapam pela superfície livre.
As moléculas de vapor exercem uma pressão parcial no espaço, conhecida como pressão
de vapor.
Se o espaço acima do líquido for confinado, depois de um certo tempo o número de
moléculas de vapor atingindo a superfície do líquido e condensando é exatamente igual
ao número de moléculas que escapam em qualquer intervalo de tempo, e existe
equilíbrio.
Como este fenômeno depende da atividade molecular a qual é função da
temperatura, a pressão de vapor de um líquido depende da temperatura e aumenta com a
mesma.
Quando a pressão acima da superfície de um líquido iguala-se à pressão de vapor
do mesmo, ocorre a ebulição.
Em muitas situações, nos escoamentos de líquidos é possível que pressões
bastante baixas apareçam em certas regiões do sistema. Em tais circunstâncias, as
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pressões podem ser iguais ou menores que a pressão de vapor; quando isto ocorre, o
líquido se evapora muito rapidamente. Uma bolsa de vapor, ou “cavidade”, que se
expande rapidamente, é formada e normalmente se desloca de seu ponto de origem e
atinge regiões de escoamento onde a pressão é maior que a pressão de vapor, ocorrendo
o colapso da bolsa. Este é o fenômeno da CAVITAÇÃO.
Esta formação e extinção de bolhas de vapor afeta o desempenho das bombas e
turbinas hidráulicas e pode erodir partes metálicas na região de cavitação.
Tensão superficial:
σ
Da experiência pode ser observada a tendência que tem as superfícies livres e as
interfaces dos líquidos imiscíveis de se contraírem e formarem uma película ou camada
de líquido especial.
Exemplos:
1. formação de gotas esféricas de líquidos não sujeitos à ação de forças externas;
2. sustentação de uma pequena agulha na superfície da água em repouso.
O efeito da tensão superficial se manifesta em superfícies curvas, exigindo diferenças
de pressões entre os lados côncavo e convexo da superfície, para manter o equilíbrio de
forças, e conseqüentemente dando origem a uma série de fenômenos bastante
interessantes.
A força de tensão superficial (necessária para manter o citado equilíbrio) está
associada às interações entre as moléculas do fluido. Essa interação decresce com a
distância entre as moléculas e pode ser desprezada para os gases.
No interior dos líquidos as forças intermoleculares se compensam entre si mas,
para as moléculas da superfície existem forças que evitam que elas se separem.
Estas forças são responsáveis por manter, por exemplo, uma bolha de sabão sem
se arrebentar, bem como por manter a pressão da coluna de líquido de um capilar.
Tensão superficial é então a força de coesão necessária, obtida pela divisão da
“energia de superfície” pela unidade de comprimento da película em equilíbrio.
Energia de superfície – trabalho por unidade de área, necessário para trazer as
moléculas à superfície.
Tensão superficial – pode ser definida também como a força por unidade de
comprimento de qualquer linha na superfície livre, necessária para manter a superfície
junta através desta linha.
σ=
F
L
A tensão superficial
vizinhanças.
(σ )
depende da superfície livre do líquido e das suas
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Capilaridade:
A atração capilar é causada pela tensão superficial e pela relação entre a adesão
líquido-sólido e a coesão do líquido.
Um líquido que molha o sólido tem uma adesão maior que a coesão.
A ação da tensão superficial neste caso obriga o líquido a subir dentro de um
pequeno tubo vertical que esteja parcialmente imerso nesse líquido.
Calor específico:
É definido como a quantidade de calor necessária para elevar de 1o (um grau) a
temperatura de um corpo.
O calor específico é a capacidade térmica de um corpo por unidade de massa.
O calor específico é uma propriedade característica da substância que independe
do sistema de unidades utilizado mas depende da temperatura da substância e da água
de referência.
Em geral, a água a 15oC é tomada como referência.
Matematicamente a capacidade térmica é expressa por:
C=
dq
dT
onde
C – capacidade térmica
d q - o calor necessário para elevar a temperatura do corpo de d T
Pela termodinâmica sabe-se que:
dq=du +pdυ
onde
u é a energia interna por unidade de massa
p é a pressão
υ é o volume específico
Se a substância for aquecida a volume constante tem-se:
dυ=0
e
dq=du
Deste modo,
∂u
C V = 

 ∂ T υ
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ou seja, a capacidade térmica é dada pela variação da energia interna com a temperatura.
Se a substância é aquecida a pressão constante:
CP =
∂ q
∂ u
∂ υ
 =
 + p

∂ T p ∂ T p
∂ T  p
Como:
onde
h=u+pυ
h é a entalpia
Diferenciando a equação anterior, tem-se:
d h = d u + p d υ+ υd p
sendo
p = cons tan te
e tem-se:
→
dp=0
dh=d u+pd υ
Derivando em relação a T:
∂ h
∂ u
∂ υ
 =
 + p

∂ T p ∂ T p
∂ T  p
∂ h 
C p = 

∂
T

p
Logo
As dimensões de calor específico são as de energia por unidade de massa e
unidade de variação de temperatura.
Energia
[=] M L2 T − 2
Massa [= ] M
Temperatura [= ] θ
M L2 T − 2
CV [= ] C p [= ]
⇒ CV [= ] Cp [= ] L T − 2 θ−1
Mθ
Para gases perfeitos verifica-se que:
Cp − CV = R
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Exemplo:
Calor específico do benzeno entre 40 e 80oF
C = 0,4 BTU lbm o F
Tensão em um ponto:
Grandezas escalares, vetoriais e tensoriais:
Como já foi visto, as propriedades de um campo de escoamento podem ser de três
tipos:
a) Grandeza escalar – é aquela que requer apenas a especificação de seu valor
numérico para que seja perfeitamente determinada.
Exemplo: temperatura
b) Grandeza vetorial – é aquela que, em adição ao seu valor numérico, requer
também uma completa especificação da sua direção. As grandezas vetoriais
devem ser somadas de acordo com a regra do paralelogramo. Em geral, 3 valores
associados com as direções dos eixos coordenados são necessários para
especificar uma grandeza vetorial. Estes três valores são chamados componentes
escalares de um vetor.
Exemplo: velocidade
c) Grandeza tensorial – é de natureza física mais complexa e requer 9 ou mais
compone ntes escalares para a sua especificação. Precisa de 2 direções mais o
módulo.
Exemplo: tensão de cisalhamento
τ
Escalares e vetores são considerados um caso particular de tensores.
Escalar é um tensor de ordem zero.
Vetor é um tensor de ordem um.
O número de componentes escalares necessário para definir um tensor é dado
pela seguinte relação:
Número de componentes de um tensor de ordem
Assim:
Escalar:
i = 3i
Vetor:
ordem 0
ordem 1
30 = 1
31 = 3
Tensor de 2 a ordem:
ordem 2
32 = 9
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Campos escalares, vetoriais e tensoriais:
A palavra campo descreve a distribuição contínua de uma grandeza escalar,
vetorial ou tensorial que são, por sua vez, descritas por funções contínuas das
coordenadas espaciais e do tempo.
Assim, podemos descrever a temperatura de todos os pontos de um corpo em
qualquer tempo, por um campo escalar expresso matematicamente por:
T = T( x , y , z , t )
Um campo vetorial, como por exemplo um campo de velocidades é dado por:
V = V(x , y, z , t )
No entanto pode-se usar 3 campos escalares que descrevem o valor das
componentes do vetor velocidade na direção de cada eixo coordenado:
Vx = Vx ( x , y , z, t )
Vy = Vy (x, y, z, t )
Vz = Vz (x , y, z, t )
Esta mesma técnica pode ser estendida para os campos tensoriais onde 9 ou mais
campos escalares são usados para descrever os componentes do tensor.
Campo de velocidade:
Na secção anterior, vimos que a suposição do continuum conduziu à representação
de campo das propriedades do fluido. Analisamos especificamente o campo de massa
específica.
Sempre que trabalhamos com fluidos em movimento, estamos necessariamente
ligados à descrição de um campo de velocidades.
A velocidade em qualquer ponto de um campo de fluxo é definida da seguinte
forma: em um dado instante de tempo, o campo de velocidade V é uma função das
coordenadas do espaço x, y, z, ou seja:
V = V(x, y, z )
A velocidade em um dado ponto no campo de fluxo pode, no entanto, variar de um
instante de tempo para outro. Então a representação completa do campo de velocidade é
dada por:
V = V ( x, y, z, t )
Se as propriedades de um ponto no campo não variam com o tempo, o fluxo é
chamado de estacionário (regime permanente).
Matematicamente, esta definição é escrita:
∂η
=0
∂t
onde
η = η(x, y, z ) representa qualquer propriedade do fluido.
∂ρ
= 0 ou ρ = ρ( x, y, z )
∂t
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∂V
=0
∂t
ou
V = V(x, y, z )
No fluxo estacionário, as propriedades podem variar de ponto para ponto, porém
devem ´permanecer constantes com o tempo em um dado ponto.
Fluxos uni, bi e tridimensionais:
Vimos que a expressão geral para o campo de velocidade, indica que o referido
campo é uma função das três coordenadas e do tempo.
Tal campo de fluxo é chamado tridimensional (e é também não estacionário)
porque o valor da velocidade em qualquer ponto do fluxo depende das três coordenadas
requeridas para localizar o ponto no espaço.
Nem todos os fluxos são tridimensionais. Considerando por exemplo, o fluxo de
água através um longo tubo reto de seção transversal constante.
A um ponto distante da entrada do tubo, a distribuição de velocidade pode ser dada
por:
u = u max
para
  r 2 
1 −   
  R  
r=R→ u=0
r = 0 → u = umax
θ
u
r
r
R
X
COORDENADAS CILÍNDRICAS: (x, r, θ)
Como o campo de velocidade é uma função somente de r, ou seja é independente
das coordenadas x e θ, este é um fluxo unidimensional.
“Um fluxo é classificado em uni, bi ou tridimensional, dependendo do número de
coordenadas no espaço, requeridas para especificar o campo de velocidade”
Exemplo de um fluxo bidimensional – fluxo entre duas paredes retas divergentes e
infinitas em extensão (direção z).
Se o canal é considerado infinito na direção z, o campo de velocidades deverá ser
idêntico em todos os planos perpendiculares ao eixo z. Conseqüentemente, o campo de
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velocidade é uma função somente das coordenadas x e y e por isto o fluxo é considerado
bidimensional.
y
x
z
A complexidade da análise aumenta consideravelmente com o número de
dimensões do escoamento. O caso mais simples é o fluxo unidimensional.
Exemplo: (página 20, Fox)
Um campo de velocidade é dado por:
V=2yi + j
As unidades de velocidade são ft/s e y é dado em ft.
a) Dizer se o escoamento é uni, bi ou tridimensional.
b) Determinar as componentes da velocidade u, v, w no ponto (1,2,0)
Resposta:
a) Como o campo de velocidade é função de somente uma coordenada do espaço ele
é UNIDIMENSIONAL.
b) O campo de velocidade é V = u i + v j + w k
Como V = 2 y i + j
u=2y
v=1
w=0
No ponto (1,2,0):
U = 2(2) ft/s → u = 4 ft/s
V = 1 ft/s
W=0
Campo de tensões:
Tensões em um meio resultam de forças atuando em alguma porção do meio.
O conceito de tensões fornece uma maneira conveniente de descrever os modos
pelos quais as forças agindo sobre os limites (fronteiras) do meio são transmitidas através
do meio.
Desde que força e área são ambas quantidades vetoriais, o campo de tensões não
será um campo vetorial.
Em geral, nove quantidades são requeridas para especificar o estado da tensão em
um fluido e portanto a tensão é uma quantidade tensorial de segunda ordem.
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Forças de superfície e de campo:
Forças de superfície e de campo são encontradas no estudo da mecânica dos
fluidos do CONTINUUM.
Forças de superfície incluem todas as forças agindo sobre a periferia de um meio
através de contato direto.
Forças desenvolvidas sem contato físico e distribuídas sobre o volume do fluido
são denominadas forças de campo. As forças gravitacional e eletromagnética são
exemplos de forças de campo que ocorrem em um fluido.
A força de campo gravitacional agindo sobre um elemento de volume, dυ , é dada
por ρ g dυ , onde ρ é a massa específica e g é a aceleração gravitacional local.
Assim, a força de campo gravitacional por unidade de volume é
campo gravitacional por unidade de massa é
ρg
e a força de
g.
Exemplo 2.2: (página 22, Fox)
A distribuição de uma força de campo é dada como:
B=a xi+b j
lbf por unidade de massa (slug) de material e atuando sobre este. A massa específica do
material é dada por:
ρ = c x + e z3
z
2’
y
3’
2’
x
2’
onde x, y e z são dados em ft; a = 10 lbf/slug ft, b = 15 lbf/slug, c = 1 slug/ft4 e e = 1
slug/ft6.
Qual é a força de campo resultante sobre o material na região mostrada acima?
Resposta:
A força de campo por unidade de massa é B.
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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
ESCOLA POLITÉCNICA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
ENG 008 – Fenômenos de Transporte I A – Profª Fátima Lopes
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Multiplicando-a pela massa por unidade de volume (ρ ) , resulta na força por
unidade de volume = ρ B .
Assim, a força de corpo, d FB , sobre um elemento de volume dυ é:
d FB = ρ B d υ
x1
FB = ∫ ρ B dυ = ∫
υ
y1
∫
z1
∫ ρ B dz dy dx
x =0 y =0 z =0
onde x1 = 3 ft; y1 = 2 ft; z1 = 2ft
(
)
FB = ∫ ∫ ∫ c x + e z 3 (a x i + b j ) dz dy dx
x 1 y1 z1
0
x 1 y1 z 1
0
{ (
0
)
(
)}
FB = ∫ ∫ ∫ a c x 2 + e x z 3 i + b c x + e z 3 j dz dy dx
0
0
0
Integrando inicialmente em relação a z e substituindo os limites, temos:
1
1
 



FB = ∫ ∫  a  c x 2 z1 + e x z14  i + b  c x z1 + e z14 
4
4



0 0  
x1 y1

j  dy dx

Integrando em seguida em relação a y e substituindo os limites, vem:
1
1





FB = ∫  a y1  c x 2 z1 + e x z14  i + b y1  c x z1 + e z14 
4
4




0 
x1

j  dx

Finalmente, integrando em relação a x e substituindo os limites, resulta:
1
1
1

1

FB = a y1  c x13 z1 + e x 12 z14  i + b y1  c x12 z1 + e x1 z14  j
8
4
3

2

Substituindo os valores numéricos, temos:
FB = 10
15
lbf
1 1 slug
 1 1 slug
3
2 ft 
(
3
ft
)
2
ft
+
(3 ft )2 (2 ft )4 i +
4
6
slug ft
8 ft
 3 ft

lbf
2 ft
slug
1 1 slug
 1 1 slug ( )2
4
3 ft 2 ft +
3 ft (2 ft )  j

4
6
4 ft
 2 ft

FB = 720 i + 630 j lbf
Embora reconhecidamente artificial este problema é incluído para:
1. ilustrar o cálculo de uma força de campo, e
2. revisar o procedimento para calcular integrais triplas sobre um volume.
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