A pirâmide e suas formas
Definição
 Observe a figura:
V

O conjunto de todos esses segmentos com extremos
no ponto V e um dos pontos do polígono é um
poliedro chamado pirâmide.
Elementos principais da pirâmide
V
A pirâmide tem dois
tipos de faces
 A base
(polígono ABCDEF).
F
E
A
D
B
 faces laterais
(triângulos).
C
 Superfície total da pirâmide é a união da base
com a superfície lateral.
Elementos principais da pirâmide
V
A pirâmide tem dois tipos
de arestas
 arestas da base
(AB, BC, CD, DE, EF e FA).
F
E
A
D
B
C
 arestas laterais
(VA, VB, VC, VD, VE e VF ).
Elementos principais da pirâmide
V
h
F
E
A

D
B
C
 A distância h do vértice ao plano da base é a
altura da pirâmide.
Classificação
 Uma pirâmide é classificado pelo tipo de polígono
que constitui sua base.
Polígono da base
Pirâmide
triângulo
P. triangular
quadrado
P. quadrangular
pentágono
P. pentagonal
hexágono
P. hexagonal
Veja algumas dessas pirâmides
Pirâmide triangular
Pirâmide Pentagonal
Pirâmide regular
 Pirâmide regular é aquela em que
 A base é um polígono regular;
 A projeção do vértice sobre o plano da base é o
centro dessa base.
 As arestas laterais são congruentes.
 Como conseqüência as faces laterais são
triângulos isósceles, congruentes entre si.
Pirâmides regulares
V
h
O
A base da pirâmide é um
quadrado
h
O
A base da pirâmide é um
hexágono regular
⇒
⇒
Pirâmide quadrangular
regular
V
Pirâmide hexagonal
regular
Apótema da pirâmide
V
VM é o apótema (p)
da pirâmide
p
C
M
A
B
⇒
D
BM = MC
Segmentos notáveis na pirâmide regular
V
 VO = h, altura;
 VA = a, aresta lateral;
 AB = b, aresta da base;
h
p
a
B
m
O
r
A
M
b
Segmentos notáveis na pirâmide regular
V
 OM = m, apótema da base;
 OA = r, raio da base;
 VM = p, apótema pirâmide;
h
p
a
B
m
O
r
A
M
b
A pirâmide e o
teorema de Pitágoras
A pirâmide e o teorema de Pitágoras
V
p2 = h2 + m2
p
h
B
O
m
A
M
A pirâmide e o teorema de Pitágoras
V
a2 = h 2 + r2
h
a
O
r
A
A pirâmide e o teorema de Pitágoras
V
a2 = p2 + (b/2)2
p
a
B
M
A
b/2
Exemplos
 Numa pirâmide triangular regular, a aresta lateral
mede 10 cm e o apótema da base mede 3 cm.
Calcular o raio da base, a aresta da base, a altura e
o apótema da pirâmide.
V
O
M
A
Exemplos
 Numa pirâmide quadrangular regular, a aresta
lateral mede 10 cm e a área da base 144 cm2.
Achar sua área lateral.
V
p
a
B
A
b
M
Volume da pirâmide
Volume da pirâmide
 A figura a seguir mostra um prisma e uma pirâmide
regulares de mesma base e mesma altura.
 Qual dos dois tem maior volume? Qual a relação
entre os dois volumes?
Pode-se provar que a razão entre os dois volumes
é exatamente igual a 3.
Volume da pirâmide
 Se um prisma e uma pirâmide têm alturas iguais e
suas bases têm a mesma área, então o volume da
pirâmide é a terça parte do volume do prisma.
V=
1
AB.h
3
Exemplo
 Numa pirâmide quadrangular regular, a aresta da
base mede 2, e a área lateral é o dobro da área da
base. Obter a área total e o volume da pirâmide.
V
p
h
B
m
b
M
A
Tronco de pirâmide
Tronco de Pirâmide
R
h’
h
h’
C’
B’
C
Tronco de
pirâmide
B
D’
D’
A’
A’
D
A
R
D’
C’
B’
A’
h – h’
C’
B’
D
A
C
B
Razão de semelhança - Comprimentos
R
R
h’
h
D
A
C
D’
A’
B’
Razão de
semelhança
B
RA
AB
=
=... =
RA’
A’B’
C’
h
=k
h’
Razão de semelhança - Áreas
R
R
h’
h
D
A’
C
A
B
AB
A’B
=
AL
A’L
=
D’
AT
A’T
= k2
C’
B’
Razão de semelhança - Volumes
R
R
h’
h
D
A
C
B
V
V’
= k3
D’
A’
C’
B’
Exemplos
 A superfície de um recipiente tem forma de
pirâmide regular de altura x, conforme figura.
Colocam-se, dentro dele, 100 mL de água. Com
isso, ela atinge o nível x/3. Achar a capacidade do
recipiente.
x
x/3
Exemplos
 Num tronco de pirâmide quadrangular regular, a
altura mede 6 m. Suas bases têm 16 m2 e 64 m2 de
área. Calcular o volume desse tronco.
V
h
16 m2
h+6
6
64 m2