ESTATÍSTICA Edite Manuela da G.P. Fernandes Universidade do Minho, Braga, 1999 ESTATÍSTICA Edite Manuela da G.P. Fernandes com a colaboração de A. Ismael F. Vaz na realização dos gráficos Universidade do Minho, Braga, 1999 Título: Estatística Autor: Edite Manuela da G.P. Fernandes Composição: Texto preparado em LATEX por A. Ismael F. Vaz Impressão da capa, fotocópias e montagem: Serviços de Reprografia e Publicações da Universidade do Minho Capa: A. Ismael F. Vaz TEX é uma marca registada da American Mathematical Society. 100 exemplares em Janeiro de 1999 Conteúdo Prefácio iv I Estatística descritiva 1 1 Introdução 1.1 O que é a Estatística . 1.2 Aplicações . . . . . . . 1.3 População e Amostras 1.4 Tipos de Estatística . . 2 2 2 3 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Descrição numérica dos dados 6 3 Descrição gráfica dos dados 12 4 ”Estatísticas” descritivas 4.1 Medidas de tendência central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Medidas de dispersão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Medidas de associação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 21 25 26 5 Distribuição normal 31 6 Análise de Regressão 6.1 Regressão Linear e Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Regressão não linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 34 35 II 36 Séries cronológicas 7 Componentes do estudo 7.1 Representação gráfica de uma série cronológica . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Estudo de uma série cronológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 37 37 8 Decomposição 39 i CONTEÚDO ii 9 Estudo da tendência 9.1 Métodos para estudo da tendência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Método das médias móveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2 Método analítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 40 41 42 10 Movimento sazonal 10.1 Método para determinar as flutuações sazonais . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.1 Método das médias mensais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 47 47 III 49 Estatística demográfica 11 Estruturas populacionais 11.1 Taxas de crescimento . . . . . . . . . 11.2 Cálculo das densidades populacionais 11.3 Estruturas demográficas . . . . . . . 11.3.1 Pirâmides de idades . . . . . . 11.3.2 Grupos funcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 50 54 55 55 58 12 Qualidade dos dados 12.1 Relação de masculinidade . . . . . . 12.2 Índice de Whipple . . . . . . . . . . . 12.3 Índice de irregularidade . . . . . . . . 12.4 Índice combinado das Nações Unidas 12.5 A equação da concordância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 60 61 62 62 63 13 Análise da mortalidade 13.1 Taxa bruta de mortalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Tipos particulares de mortalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Tábua de mortalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 65 67 69 14 Análise da natalidade e da fecundidade 74 15 Análise da nupcialidade 15.1 Taxas de nupcialidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2 Tábua de nupcialidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 79 82 16 Análise dos movimentos migratórios 16.1 Métodos directos de análise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2 Métodos indirectos de análise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 85 86 CONTEÚDO IV Exercícios Tabela de números aleatórios iii 88 105 Prefácio Este trabalho está dividido em quatro partes e tem como objectivo servir de apoio às aulas teóricas e teórico-práticas da disciplina anual de Estatística do mestrado em História das Populações. A primeira parte faz uma breve introdução à Estatística descritiva. Além de serem introduzidos conceitos relacionados com a descrição gráfica de dados, é também apresentado um capítulo sobre as medidas mais importantes de tendência central, de dispersão e de associação entre dados. Na segunda parte são introduzidos e estudados alguns aspectos importantes das séries cronológicas, designadamente a tendência e a sazonalidade. A terceira parte trata da Estatística demográfica. Não só são referidas medidas elementares para a análise da Qualidade dos dados, como também são apresentadas taxas e outras medidas de análise das variáveis microdemográficas mais importantes, nomeadamente a mortalidade, natalidade, fecundidade e nupcialidade. Na última parte são incluídos enunciados de trabalhos práticos de apoio às aulas teóricopráticas. Braga, Outubro de 1998 Edite Manuela da G.P. Fernandes iv Parte I Estatística descritiva 1 Capítulo 1 Introdução Embora a palavra estatística ainda não existisse no ano 3 000 A.C. há indícios de que nessa altura já se faziam censos na Babilónia e no Egipto. A palavra censo deriva de "censere", que em latim significa taxar. Na era romana o imperador César Augusto ordenou que se fizesse um censo em todo o império. A palavra estatística deriva de ”status”, que em latim significa estado. Sob esta palavra os Estados têm acumulado dados relativos ao seu povo. A estatística nas mãos dos governos tem sido uma ferramenta essencial para a definição das suas políticas. 1.1 O que é a Estatística O termo estatística tem várias interpretações. Para a maioria das pessoas estatística emprega-se para designar informação em termos de números. Não usaremos o termo estatística com este significado. A estas quantidades numéricas daremos o nome de observações ou dados. O termo estatística tem ainda outros significados. A Estatística é um ramo da área da matemática aplicada com os seus próprios simbolismos, terminologia, conteúdo, teoremas e técnicas. Quando estudamos Estatística estamos a tentar conhecer e dominar as suas técnicas. Assim, podemos definir a Estatística como uma ciência matemática que agrega um conjunto de técnicas apropriadas para a recolha, a classificação, a apresentação e a interpretação de dados numéricos. Um outro significado para a palavra é o da ”estatística” que está relacionada com quantidades que forem calculadas a partir de dados amostrais. Neste caso é costume colocar a palavra entre aspas. Por exemplo, se os dados obtidos forem: 12, 12, 14, 15, 12 e 13, a quantidade 12+12+14+15+12+13 , conhecida por média aritmética, é uma ”estatística”. 6 1.2 Aplicações As aplicações das técnicas estatísticas estão já tão difundidas e a sua influência tem sido tão marcante, que a importância da Estatística é já hoje em dia reconhecida em todos os 2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 3 domínios da investigação científica e do desenvolvimento tecnológico. Uma das áreas onde a Estatística começou a ser aplicada mais cedo foi no planeamento e na análise de experiências realizadas na agricultura. A metodologia da Estatística tem sido muito usada na investigação realizada pelas indústrias farmacêutica e médica. As próprias instituições governamentais usam a Estatística para estudar a situação económica do País e alterar as políticas de cobrança de impostos, de assistência social, de obras públicas, etc. A teoria das probabilidades juntamente com a Estatística, isto é, a teoria da decisão estatística, é usada como um meio para a tomada de decisões importantes ao mais alto nível. Usamos as técnicas estatísticas na indústria para o controlo da qualidade dos produtos, no ’marketing’, no estudo dos efeitos da publicidade, e também em todas as áreas onde é preciso tomar decisões tendo como base informação incompleta, tal como na Biologia, Geologia, Psicologia e Sociologia. Nas políticas educacionais a Estatística é uma ferramenta muito importante para ajudar a definir pedagogias e métodos de ensino. 1.3 População e Amostras Dois dos termos mais usados em Estatística são: população e amostra. População designa um conjunto de unidades com qualquer característica comum. Por exemplo, o conjunto das idades das crianças da Escola Preparatória XXX da cidade YYY constitui uma população; o conjunto de todas as classificações obtidas, na disciplina de Matemática, pelas crianças do 5o ano de escolaridade das Escolas Preparatórias do País ¯ constitui uma população. A Estatística ocupa-se fundamentalmente das propriedades das populações susceptíveis de representação numérica. A população pode ser finita ou infinita, consoante seja finito ou infinito o número de elementos que a compõem. Para conhecer bem as propriedades da população temos de analisar todos os elementos dessa população. Contudo, nem sempre é possível analisar todos os elementos. Esta impossibilidade pode dever-se ao facto de a população ser infinita. O estudo incidirá, assim, sobre um subconjunto finito de elementos que seja representativo da população. Este subconjunto chama-se amostra. A representatividade da amostra é uma das questões mais importante relacionada com a teoria da amostragem. A amostra deve conter qualitativa e quantitativamente em proporção tudo o que a população possui. A amostra tem de ser também imparcial, isto é, todos os elementos da população devem ter igual oportunidade de serem escolhidos para fazerem parte da amostra. Mesmo quando a população é finita podem surgir outras razões que levem à utilização de amostras para o estudo da população. Existem razões económicas - pode tornar-se caro a observação do comportamento de um número muito grande de elementos; razões de tempo - a observação de todos os elementos pode demorar tanto tempo que quando os resultados estiverem prontos para divulgação já se encontrem desactualizados. Existem, ainda, outras razões que nos levam a preferir recolher uma amostra em vez de usar a população. Nalguns casos, as unidades que constituem a amostra para inspecção, CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 4 são destruídas. Noutros casos, em virtude da escassez de pessoas treinadas (sem formação específica) para recolher amostras, é mais seguro confiar num número reduzido de informação. Haveria uma menor ocorrência de erros humanos. Parece, assim, ser mais vantajoso recolher amostras e basear o nosso estudo na análise dessas amostras. Este processo parece ser bastante simples, no entanto, pode dar origem a enganos. A selecção de elementos da população que são mais facilmente acessíveis ao experimentador, origina uma amostra conveniente. Este tipo de amostra não é representativa da população e pode levar a conclusões erradas sobre as propriedades da população. Uma alternativa à amostra conveniente, que é muitas vezes parcial, é a amostra aleatória simples. A ideia principal consiste em dar a cada elemento da população a mesma oportunidade de ser escolhido para fazer parte da amostra. Para abreviar usaremos, daqui para a frente, a.a.s. para designar amostra aleatória simples. Uma a.a.s. é obtida através de um método que dá a qualquer possível amostra de tamanho n (com n elementos) a mesma oportunidade de ser a amostra escolhida. Dos métodos existentes, o mais usado e simples para a obtenção de uma a.a.s. consiste em: • usar uma tabela de números aleatórios como a que está representada na tabela da figura 1.1. (ou um gerador de números aleatórios como têm algumas máquinas de calcular, normalmente designado pela função RND). Uma tabela de números aleatórios é uma lista dos 10 dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 que satisfaz as seguintes propriedades: 1. Um dígito em qualquer posição da lista tem a mesma oportunidade de ser o 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9. 2. Os dígitos nas diferentes posições são independentes no sentido de que o valor de um deles não influencia o valor de qualquer outro. A tabela apresenta uma divisão dos números por grupos de 5 dígitos e tem as linhas numeradas, com o objectivo de facilitar a consulta. Para usar a tabela devemos ter em atenção o seguinte: 1. Qualquer par de dígitos da tabela tem a mesma oportunidade de ser (qualquer) um dos 100 possíveis pares 00, 01, 02, 03, ..., 97, 98, 99. 2. Qualquer trio de dígitos na tabela tem a mesma oportunidade de ser um dos 1000 possíveis trios 000, 001, 002, 003, ..., 997, 998, 999. 3. E assim por adiante, para grupos de 4 ou mais dígitos da tabela. Os grupos de 4 dígitos seriam os seguintes: 0000, 0001, 0002, ..., 0997, 0998, ..., 9997, 9998, 9999. Para a selecção de uma a.a.s. usamos o seguinte processo: CAPÍTULO 1. linha 101 102 103 104 105 19223 73676 45467 52711 95592 INTRODUÇÃO 95034 47150 71709 38889 94007 05756 99400 77558 93074 69971 28713 01927 00095 60227 91481 5 96409 27754 32863 40011 60779 12531 42648 29485 85848 53791 42544 82425 82226 48767 17297 82853 36290 90056 52573 59335 Figura 1.1: Parte da tabela de números aleatórios (ver Anexo) 1. enumerar os elementos da população a partir do 0 (se existirem até 10 elementos na população), do 00 ( se existirem até 100 elementos na população), do 000 (se existirem até 1000 elementos na população) ou ..., até esgotar todos os elementos; 2. seleccionar o tamanho da amostra; 3. retirar da tabela da figura 1.1, a partir de qualquer linha, grupos de 1, 2, 3 ou ... dígitos (consoante o número de elementos da população), todos seguidos. Cada grupo selecciona o elemento da população com aquele número. Nota 1.3.1 : • Sempre que aparecerem grupos de 1, 2, 3 ou ... (conforme o caso) dígitos repetidos, devemos ignorá-los. • Sempre que aparecerem grupos de 1, 2, 3 ou ... dígitos que sejam quantidades maiores ou iguais que o número de elementos da amostra, devemos ignorá-los. 1.4 Tipos de Estatística Podemos dividir a Estatística em dois grupos: a Estatística Descritiva e a Estatística Inferencial. A primeira toma indistintamente a população e a amostra com o objectivo de as descrever. Esta descrição das observações pode ser feita gráfica ou numericamente. Será uma descrição gráfica se for feita a representação gráfica de certas quantidades calculadas a partir das observações. A descrição diz-se numérica se forem calculadas quantidades que dão informação, embora sumária, do comportamento das observações. A análise estatística feita no século passado e no príncipio deste século foi na maior parte do tipo descritivo. A Estatística tem sido definida como a ciência para a tomada de decisões baseadas em incertezas, isto é, baseadas num conjunto de informações incompletas. Para tomarmos decisões sobre a população, seleccionamos uma amostra aleatória simples retirada da população. Baseando-nos na informação obtida da amostra inferimos sobre as características da população. A Estatística Inferencial baseia-se no estudo das amostras para podermos tirar conclusões sobre a população donde retirámos essas amostras. Capítulo 2 Descrição numérica dos dados A ideia que muitas pessoas têm da Estatística é a de que ela está associada a tabelas enormes de números, por vezes documentadas com alguns gráficos à mistura! As tabelas repletas de informação são muitas vezes cansativas de ler, difíceis de interpretar e de se tirar conclusões e alguns gráficos mal dimensionados e legendados podem originar interpretações erradas. Mesmo assim, as tabelas são um dos meios mais usados para organizar e resumir um conjunto vasto e desordenado de dados (ou observações). É mais vantajoso contruir uma tabela pequena com algumas quantidades especiais ("estatísticas"da amostra ou parâmetros da população) que caracterizam e resumem a distribuição (o comportamento) dessas observações, do que uma tabela com um conjunto enorme de números. Os gráficos têm como objectivo dar uma visão resumida e rápida do comportamento dos dados. Consideremos o seguinte ficheiro de dados da Escola Preparatória XXX da cidade YYY. Para cada aluno, foram registados os seguintes valores das variáveis: SEXO (feminino ou masculino), IDADE (10, 11, 12, 13, 14 ou 15 anos), ALTURA (de 129 cm. a 145 cm.), PESO (de 27 kg. a 45 kg.), ANO (5o ou 6o ano de escolaridade) e TURMA (1, 2, 3, 4 ou 5). A maior parte das tabelas e gráficos apresentados nesta parte I dizem respeito aos valores deste ficheiro. Dado um conjunto de observações, é costume, em primeiro lugar, contar quantas vezes aparece cada valor, isto é, o número de ocorrências desse valor. Dos 318 alunos presentemente a frequentar a Escola Preparatória XXX da cidade YYY, • quantos são do sexo feminino? • quantos são do sexo masculino? • quantos frequentam, neste ano lectivo, o 5o ano de escolaridade? • quantos estão inscritos no 6o ano de escolaridade? • quantos alunos do 5o ano têm ainda 10 anos? • quantos alunos frequentam o 6o ano com 15 anos de idade? 6 CAPÍTULO 2. DESCRIÇÃO NUMÉRICA DOS DADOS 7 Depois de observados todos os registos e contadas as ocorrências dos seis acontecimentos descritos, obtivemos os seguintes valores, conhecidos por frequências absolutas : 124 alunos do sexo feminino, 194 do sexo masculino, 147 do 5o ano, 171 do 6o ano, como se SEXO feminino masculino Total Frequências 124 194 318 Percentagens 38.99 61.01 100.00 F.Acumulada 38.99 100.00 ANO 5o ano 6o ano Total Frequências 147 171 318 Percentagens 46.23 53.77 100.00 F.Acumulada 46.23 100.00 Figura 2.1: Tabelas de frequências do SEXO e do ANO de escolaridade pode ver na coluna indicada por ’Frequências’ da tabela da figura 2.1; 73 alunos estão no 5o com 10 anos e 9 no 6o com 15 anos. Confirme estes valores com os assinalados da coluna ’Frequências’ da tabela da figura 2.2. Verificando-se que 124 + 194 = 318 ou 147 + 171 = 318 conclui-se que foram consideradas todas as observações (consistência interna). A frequência absoluta de qualquer valor de uma variável é o número de vezes que esse valor ocorre nos dados. Isto é, esta frequência corresponde a uma contagem. Observando apenas o número 124 de alunos do sexo feminino e 194 do sexo masculino podemos dizer que há mais rapazes do que raparigas, no entanto, não se vê logo quantos mais. Se compararmos estes números com o número total de alunos, calculando o quociente entre o número total de alunos do sexo feminino (ou do sexo masculino) e o número total de alunos da escola, a que chamaremos frequência relativa, então já podemos dizer que 124 = 0.39 (ou 194 = 0.61) são do sexo feminino (ou masculino) o que é nitidamente menos 318 318 (ou mais) do que metade dos alunos. A frequência relativa de qualquer valor é a proporção ou fracção de todas as observações que têm aquele valor. Esta frequência pode ser expressa em termos de percentagem, multiplicando a fracção resultante por 100 e atribuindo o sinal de %. Das fracções anteriores tiramos 39% de alunos do sexo feminino e 61% do sexo masculino. A soma das frequências relativas deve ser igual a 1 (ou das percentagens igual a 100%). Veja as percentagens de alunos dos dois sexos na coluna indicada por ’Percentagens’ da tabela da figura 2.1. As frequências acumuladas absolutas (ou relativas) representam o número (ou a fracção/percentagem) de observações que são menores ou iguais a um valor especificado. Assim o número (ou fracção/percentagem) de alunos com idade inferior a 12, do 5o ano de escolaridade é de 118 (ou 0.8027/80.27%) e o número (ou fracção/percentagem) de alunos do 6o ano com idade igual ou inferior a 14 anos é de 162 (ou 0.9474/94.74%), como se pode confirmar pela coluna ’F.Acumuladas’ da tabela da figura 2.2. CAPÍTULO 2. DESCRIÇÃO NUMÉRICA DOS DADOS ANO=5o IDADE 10 11 12 13 14 Total Frequências 73 45 22 4 3 147 Percentagens 49.66 30.61 14.97 2.72 2.04 100.00 F.Acumuladas 49.66 80.27 95.24 97.96 100.00 ANO=6o IDADE 11 12 13 14 15 Total Frequências 91 46 20 5 9 171 Percentagens 53.22 26.90 11.70 2.92 5.26 100.00 F.Acumuladas 53.22 80.12 91.81 94.74 100.00 8 Figura 2.2: Tabela de frequências da IDADE, por ANO de escolaridade Da coluna ’F.Acumuladas’ da tabela da figura 2.3 podemos verificar que o número de alunos do 6o ano que têm um peso igual ou inferior a 40 Kg. é de 161, o que corresponde a 94.15% dos alunos desse ano. Da coluna ’F.Acumuladas’ da tabela da figura 2.4 podemos concluir que a percentagem de alunos do sexo feminino com altura igual ou inferior a 140 cm. é aproximadamente de 91%. As frequências absolutas e as relativas são um meio muito usado para classificar os dados quando a escala usada para medir as variáveis é nominal, isto é, a medição da variável apenas define a classe a que o elemento pertence. Por exemplo, a variável SEXO é nominal, uma vez que ela é definida pelas duas classes: feminino e masculino; a variável ANO de escolaridade é nominal e as classes definidas são o 5o e o 6o ano de escolaridade; a variável TURMA é também nominal, definida pelas classes 1, 2, 3, 4 e 5 para o 5o ano de escolaridade e 1, 2, 3, 4 e 5 para o 6o ano. Certas variáveis são medidas de acordo com uma escala ordinal. Neste caso a medição define classes e ordena-as de acordo com os valores atribuídos. Como exemplo, temos as pontuações (1, 2, 3, ... e 10) que hoje se usam para definirmos a nossa preferência relativa a qualquer acontecimento. A diferença entre o 2 e o 1 é a de que o 2 significa ter preferência em relação ao 1 mas não se sabe quanto. Mesmo quando a escala de medição da variável é intervalar/proporcional e a variável pode tomar uma quantidade enorme de valores, podemos classificar (resumir) os dados calculando as frequências de grupos de valores, chamados classes ou intervalos. Quando a medida de uma variável nos diz quanto ela é diferente da medida de outra, então a variável CAPÍTULO 2. DESCRIÇÃO NUMÉRICA DOS DADOS 9 ANO=5o Classes de pesos Frequências peso <=30 34 30 a 35 74 33 35 a 40 6 40 a 45 Total 147 Percentagens 23.13 50.34 22.45 4.08 100.00 F.Acumuladas 23.13 73.47 95.92 100.00 ANO=6o Classes de pesos Frequências peso <=30 46 77 30 a 35 35 a 40 38 10 40 a 45 Total 171 Percentagens 26.90 45.03 22.22 5.85 100.00 F.Acumuladas 26.90 71.93 94.15 100.00 Figura 2.3: Tabela de frequências dos PESOS, por ANO de escolaridade foi medida numa escala intervalar. Por exemplo, uma avaliação baseada na escala de 0 a 20 é intervalar; uma classificação de 14.4 valores é nitidamente superior a uma de 7.2, no entanto, 14.4 não significa um desempenho duas vezes melhor do que o 7.2. A medição duma variável numa escala proporcional diz-nos quanto ela tem a mais em relação a outra. Por exemplo, a ALTURA e o PESO dos alunos são exemplos de variáveis proporcionais. Um peso de 46 Kg. é duas vezes superior ao peso de 23 Kg. Quando temos este tipo de variáveis devemos decidir quantas classes/intervalos queremos formar. Quando temos poucas observações devemos definir um número pequeno de classes, 4, 5 ou 6. No entanto, quando o número de observações é elevado menos do que 10 classes origina uma perda significativa de informação. Tudo depende também da variação dos valores que a variável pode tomar. Assim como o número de intervalos e a amplitude desses intervalos são arbitrários, também o são os pontos que definem o início, limite inferior, e o fim, limite superior, de cada intervalo. Estes limites separam os intervalos uns dos outros. Eles devem ser escolhidos por forma a que, para cada observação, fique bem claro a que intervalo ela pertence. Por exemplo, relativamente à variável ALTURA, podemos usar um dos dois seguintes processos: 1. o primeiro intervalo, para a variável ALTURA, compreende os valores que vão desde 125 a 130 cm. inclusivé ( isto é, 125 < ALT URA ≤ 130); o segundo intervalo terá observações desde 130 cm. até 135 cm. inclusivé (130 < ALT URA ≤ 135), ...., até ao último intervalo que engloba ALTURAS que vão desde os 145 aos 150 cm. (145 < ALT URA ≤ 150); CAPÍTULO 2. DESCRIÇÃO NUMÉRICA DOS DADOS 10 SEXO=feminino Classes de alturas altura<=130 130 a 135 135 a 140 140 a 145 altura>145 Total Frequências 5 42 66 10 1 124 Percentagens 4.03 33.87 53.23 8.06 0.31 100.00 F.Acumuladas 4.03 37.90 91.13 99.19 100.00 SEXO=masculino Classes de alturas altura<=130 130 a 135 135 a 140 140 a 145 altura>145 Total Frequências 2 32 84 63 13 194 Percentagens 1.03 16.49 43.30 32.47 6.70 100.00 F.Acumuladas 1.03 17.53 60.82 93.30 100.00 Figura 2.4: Tabela das frequências das ALTURAS, por SEXO do aluno 2. (e como, para esta variável, todas as observações são quantidades inteiras) os limites dos intervalos são definidos usando valores com casas decimais, 0.5 unidades inferiores ao valor, para o limite inferior, e 0.5 unidades superiores ao valor, para o limite superior, de cada intervalo. Neste caso, ficamos com os seguintes intervalos fechados nos dois extremos: [124.5, 130.5], [130.5, 135.5], [135.5, 140.5], [140.5, 145.5] e [145.5, 150.5]. É também comum considerar os intervalos dos extremos como ’totalmente’ abertos, o primeiro à esquerda, e o último à direita, isto é, o primeiro intervalo pode ser do tipo ≤ 130cm. e o último do tipo > 145cm. Verifique o processo utilizado na definição dos intervalos para a variável ALTURA, na tabela da figura 2.4 e para a variável PESO na tabela da figura 2.3. A amplitude destas classes/intervalos é a diferença entre o limite superior e o inferior. Para a variável ALTURA a amplitude dos intervalos é de 5 cm. e para o PESO é de 5 Kg. Confirme estes valores nas tabelas das figura 2.4 e 2.3 respectivamente. Como estes intervalos são definidos por um conjunto, por vezes, vasto de valores, há necessidade de ter um valor que represente cada intervalo. Este valor é o ponto médio e calcula-se como a semi-soma dos limites superior e inferior do intervalo. No caso da variável ALTURA os pontos médios dos intervalos são respectivamente 127.5, 132.5, 137.5, 142.5 e 147.5 e para a classificação da variável PESO temos como pontos médios os valores: 27.5, CAPÍTULO 2. DESCRIÇÃO NUMÉRICA DOS DADOS 11 32.5, 37.5, 42.5. Repare que os intervalos dos extremos foram considerados como tendo amplitudes iguais aos restantes. O número de observações que pertencem a cada classe/intervalo é a sua frequência absoluta. Tudo o que já foi dito relativamente às frequências relativas e acumuladas é válido para estas classes/intervalos. Capítulo 3 Descrição gráfica dos dados Um gráfico serve para dar uma visão resumida dos dados. Um gráfico bem construído pode revelar factos (características) sobre os dados que, a retirar de uma tabela necessitariam de uma análise mais cuidada. 1. O gráfico de barras serve para comparar a frequência de ocorrência de certas observações. Na maior parte dos exemplos, os valores comparados são frequências absolutas ou relativas, em termos de percentagem, de variáveis medidas de acordo com as escalas nominal e ordinal. A figura 3.1 apresenta um gráfico de barras respeitante aos dados da tabela da figura 3.2. G rá fic o d e b a rra s 140 F re q u ê n cia 120 100 80 60 40 20 0 10 11 12 13 14 15 ID A D E Figura 3.1: Gráfico de barras das frequências das IDADES dos alunos 12 CAPÍTULO 3. DESCRIÇÃO GRÁFICA DOS DADOS IDADE 10 11 12 13 14 15 Total Frequências 73 136 68 24 8 9 318 Percentagens 22.96 42.77 21.38 7.55 2.52 2.83 100.00 13 F.Acumuladas 22.96 64.72 87.11 94.65 97.17 100.00 Figura 3.2: Tabela de frequências das IDADES dos alunos da Escola As barras aparecem normalmente verticais, separadas e devem ter todas a mesma largura. A altura da barra varia com a frequência, o que significa que a área do rectângulo também varia. A nossa percepção da quantidade representada, corresponde precisamente à área da barra. Um gráfico de barras pode ser representado através de figuras a que se pode dar o nome de gráfico ilustrativo ou pictograma. No entanto, essas figuras devem definir imagens todas com a mesma largura, variando a altura com o valor da frequência. Nas figuras 3.3 e 3.4 estam representados dois exemplos de gráficos de barras utilizando figuras. O primeiro não está correcto, pois pode levar a falsas interpretações em termos relativos; o segundo, que é tão atraente como o primeiro, está correcto. As áreas das figuras visualizam correctamente as proporções relativas entre as variáveis. Figura 3.3: Pictograma (errado) da variável SEXO (ver tabela da figura 2.1) CAPÍTULO 3. DESCRIÇÃO GRÁFICA DOS DADOS 14 Figura 3.4: Pictograma da variável SEXO (ver tabela da figura 2.1) 2. O gráfico de sectores ou circular serve para representar várias variáveis. O tamanho de cada sector é proporcional ao valor da variável, que representa, em relação à soma dos valores das variáveis lá representadas. Assim e tendo em conta os alunos do 5o ano de escolaridade, verificamos que há números diferentes de alunos dos sexos feminino e masculino nas diferentes turmas, como se pode ver na tabela da figura 3.5 e os gráficos de sectores correspondentes seriam os representados nas figuras 3.6 e 3.7. 3. Existe ainda outro gráfico de barras, para representar várias variáveis, só que desta vez elas apresentam-se sobrepostas. Dos mesmos valores da tabela da figura 3.5, o gráfico de barras sobrepostas é o que está representado na figura 3.8. 4. O gráfico de linha serve para representar os valores de uma variável e mostra a tendência (comportamento) dessa variável normalmente em relação ao tempo. Por exemplo, se fosse conhecido o número de alunos inscritos na Escola XXX durante os útimos dez anos, poderíamos representar esses valores ao longo do eixo vertical e ao longo do eixo horizontal, representaríamos o tempo de acordo com o que está na figura 3.9. As escalas podem ser iniciadas em qualquer valor, em vez de 0. Para chamar a atenção da omissão do 0, é frequente utilizar uma linha em ziguezague sobre o eixo. 5. Um gráfico de pontos serve para representar dados relativos a duas variáveis, quando elas são medidas em escalas intervalar/proporcional ou ordinal. Cada variável CAPÍTULO 3. DESCRIÇÃO GRÁFICA DOS DADOS 15 ANO=5o SEXO feminino masculino Total Turma 1 10 24 34 2 3 7 12 22 14 29 26 4 5 Total 7 14 50 21 16 97 28 30 147 Turma 1 17 20 37 2 3 16 15 18 18 34 33 4 5 11 15 24 17 35 32 ANO=6o SEXO feminino masculino Total Total 74 97 171 Figura 3.5: Frequências dos alunos do 5o ano por TURMA é representada num eixo. Cada ponto do gráfico corresponde a um par de valores (x, y); x diz respeito ao valor da 1a variável ( sobre o eixo das abcissas) e y diz respeito ao correspondente valor da 2a variável (sobre o eixo das ordenadas). Por exemplo, se quiséssemos representar os PESOS e as ALTURAS dos alunos do SEXO feminino da TURMA 2 do 5o ANO da Escola XXX teríamos o gráfico que está representado na figura 3.10. 6. O histograma das frequências é o gráfico mais importante na Estatística Inferencial. Quando os dados são valores de uma variável medida numa escala intervalar/proporcional, uma tabela de frequências para cada uma das classes mostra a distribuição de valores dessa variável. Considere o exemplo apresentado na tabela da figura 2.4 relativo às ALTURAS dos alunos da Escola XXX, distribuídos por SEXO. Esta distribuição pode ser representada graficamente num histograma. Este gráfico é desenhado tendo como base um par de eixos coordenados, com a medida da variável que foi observada colocada ao longo do eixo horizontal e o número ou a proporção de observações medidos ao longo do eixo vertical. O eixo vertical começa normalmente em 0 e o eixo horizontal pode começar num valor qualquer, desde que seja conveniente. A figura 3.11 mostra o exemplo em que as ALTURAS estão divididas por classes, também chamadas intervalos de amplitudes iguais a 5 cm. Cada barra representa uma dessas classes e a altura corresponde à frequência absoluta (número de valores que pertencem à classe). Também se usam as frequências relativas ou proporções na definição de histogramas. Os histogramas têm as barras verticais, umas a seguir às outras e devem ser todas da mesma largura. Assim, ao agrupar um conjunto de dados por classes para repre- CAPÍTULO 3. DESCRIÇÃO GRÁFICA DOS DADOS 16 fe m in in o 20 29 1 2 3 14 4 5 14 24 Figura 3.6: Gráfico de sectores dos alunos do 5o ano do sexo feminino, por TURMA ]../pictures/sectoresm.eps Figura 3.7: Gráfico de sectores dos alunos do 5o ano do sexo masculino, por TURMA sentar um histograma, devemos escolher intervalos (classes) com amplitudes iguais. Não existe nenhum valor ideal para a amplitude da classe (intervalo). O objectivo é conseguir obter uma distribuição de frequências equilibrada. Assim, tenta-se evitar colocar todos os valores num número muito reduzido de classes de amplitudes enormes ou distribuir poucos valores por muitas classes de amplitudes pequenas. As classes devem ser definidas de tal forma que não haja ambiguidades sobre a classe (ou intervalo) a que pertence cada observação. 7. A forma da distribuição de frequências de um conjunto de dados pode ser analisada através do histograma das frequências. A figura 3.12 mostra uma distribuição não simétrica e descaída para a direita. Por vezes, a análise é facilitada pelo polígono que se obtém unindo, por linhas, os pontos médios dos topos das barras no histograma, como se vê na figura 3.12. O polígono é terminado para a esquerda e para a direita, unindo os pontos que se colocam no eixo horizontal distanciados de metade da amplitude para a esquerda do primeiro intervalo e para a direita do último intervalo. Este polígono é conhecido por polígono de frequências. 8. Ao gráfico das frequências acumuladas chama-se ogiva. Este gráfico obtém-se colocando pontos na vertical dos limites inferiores das classes (ou intervalos) a uma distância do eixo horizontal que corresponde à percentagem das observações que são CAPÍTULO 3. DESCRIÇÃO GRÁFICA DOS DADOS 17 50 45 P e rce n ta g e m 40 35 30 16 25 14 23 25 fem inino 22 m as c ulino 20 15 10 20 5 28 24 14 14 0 1 2 3 4 5 T u rm a Figura 3.8: Gráfico de barras dos alunos do 5o ano, por turma e por SEXO menores ou iguais àquele valor (do limite inferior da classe) e unindo estes pontos por rectas. As ogivas têm um semelhança com um S aberto. Um exemplo de ogiva é o que se encontra na figura 3.14 e que corresponde às frequências da coluna ’F.Acumuladas’ da tabela da figura 3.13. CAPÍTULO 3. DESCRIÇÃO GRÁFICA DOS DADOS 18 N ú m e ro d e a lu n o s in scrito s 320 309 300 315 318 295 280 280 265 260 270 250 240 240 220 220 200 83/84 84/85 85/86 86/87 87/88 88/89 89/90 90/91 91/92 92/93 te m p o (a n o le ctivo ) Figura 3.9: Gráfico relativo ao número de alunos da Escola, nos últimos dez anos 144 A ltu ra (cm ) 142 140 138 136 134 132 25 30 35 40 45 P e so (kg ) Figura 3.10: Gráfico relativo aos PESOS e ALTURAS dos 7 alunos da TURMA 2 (5o ANO) CAPÍTULO 3. DESCRIÇÃO GRÁFICA DOS DADOS 19 66 70 60 F re q u ê n cia 50 42 40 30 20 10 10 5 0 125-130 130-135 135-140 140-145 A ltu ra (cm ) F re q u ê n cia Figura 3.11: Histograma relativo às ALTURAS dos alunos do SEXO feminino Figura 3.12: Polígono de frequências de uma distribuição definida por 8 intervalos CAPÍTULO 3. DESCRIÇÃO GRÁFICA DOS DADOS Classes de alturas Frequências altura<=130 2 130 a 135 32 84 135 a 140 140 a 145 63 altura>145 13 Total 194 Percentagens 1.03 16.49 43.30 32.47 6.70 100.00 20 F.Acumuladas 1.03 17.53 60.82 93.30 100.00 Figura 3.13: Frequências das ALTURAS dos alunos do SEXO masculino Figura 3.14: Ogiva das ALTURAS dos alunos do SEXO masculino da escola Capítulo 4 ”Estatísticas” descritivas Além das tabelas e dos gráficos, que têm com objectivo organizar e dar uma imagem visual dos dados, existem certas características de uma distribuição de valores, como o valor central e a sua dispersão, que podem ser resumidas por meio de certas quantidades. Exemplos destas quantidades, conhecidas por "estatísticas"descritivas, são: o ponto médio, a mediana, a moda, a média, a amplitude, o desvio padrão e a variância. 4.1 Medidas de tendência central 1. o ponto médio é o valor que se encontra a meio caminho entre a menor e a maior das observações de uma lista. Por definição Xm = menor obs. + maior obs. . 2 Considerando a tabela 4.1 relativa às ”estatísticas” das IDADES dos alunos da Escola XXX, o Xm é igual a 10+15 = 12.5. 2 2. A média (aritmética) de um conjunto de n observações obtém-se somando todas as observações e dividindo depois pelo seu número. Se X1 , X2 , X3 , ..., Xn forem as n observações, então a média deste conjunto é n Xi X̄ = i=1 . n Quando os dados estão agrupados por classes numa tabela de frequências, a soma de observações idênticas é equivalente a multiplicar o valor dessa observação, Xi , pela sua frequência fi . Assim, a média pode ser calculada através de X̄ = k 21 fi Xi , n i=1 CAPÍTULO 4. ”ESTATÍSTICAS” DESCRITIVAS Percentis 1% 10 5% 10 10% 10 25% 11 50% 75% 90% 95% 99% IDADE Menores 10 10 10 10 11 12 13 14 15 Maiores 15 15 15 15 22 Observações Soma dos pesos 313 313 Média Desvio padrão 11.3239 1.150557 Variância Assimetria Kurtose 1.32378 1.162583 4.48434 Figura 4.1: ”Estatísticas” das IDADES dos alunos da Escola em que n = ki=1 fi e k é o número de classes distintas. Quando cada classe é representada por um intervalo de valores, o Xi é o valor que representa esse intervalo e que anteriormente chamámos o ponto médio do intervalo. Se os intervalos dos extremos são caracterizados por ≤ e >, os pontos médios são calculados do mesmo modo, supondo que esses intervalos têm amplitudes iguais aos restantes. Da tabela da figura 4.1, vemos que a média das IDADES dos 318 alunos da Escola XXX é de 11.3239. 3. A mediana é o valor típico, isto é, é o ponto central das observações quando elas não estão agrupadas e já se encontram colocadas por ordem crescente. Quando o número de observações é impar, o valor do meio é a mediana; quando o número de observações é par, existe um par de valores no centro e a mediana passa a ser a média aritmética desse par. Para o cálculo da mediana de um conjunto de observações não agrupadas por classes ou intervalos, podemos usar a seguinte regra: Se n for o número de observações, calcule a quantidade (n + 1)/2. Coloque as observações por ordem crescente e conte a partir do início (n + 1)/2 observações. Se n for impar a última contabilizada será a mediana da lista; se n for par, a quantidade (n + 1)/2 não é inteira, e tomamos a semi-soma das duas observações contíguas a esta quantidade (a anterior e a posterior) da lista. Quando os n dados estão agrupados por k classes/intervalos, podemos usar o seguinte processo para o cálculo da mediana: • calcular n2 , • calcular as frequências absolutas acumuladas das classes, CAPÍTULO 4. ”ESTATÍSTICAS” DESCRITIVAS 23 • determinar o intervalo que contém a mediana. Seja M o número desse intervalo (M é um inteiro de 1 a k). A frequência acumulada dos intervalos anteriores ao do da mediana é FM −1 . A frequência absoluta do intervalo da mediana é fM e a acumulada é FM , e FM −1 < n2 < FM , • calcular o número de observações que devemos tomar do intervalo da mediana e que é igual a n2 − FM −1 , • como existem fM observações no intervalo da mediana e considerando-as uniforM −1 memente distribuídas, o valor da mediana está a n/2−F de distância do início fM do intervalo da mediana que tem amplitude igual a A e cujo limite inferior é liM . Assim, n − FM −1 mediana = liM + 2 A. fM Como num histograma as áreas dos rectângulos são proporcionais às frequências dos respectivos intervalos, a linha vertical traçada no valor da mediana divide o histograma em duas áreas iguais. 4. A moda é o valor mais frequente, isto é, o valor com maior frequência entre as observações de uma lista. Para o cálculo da moda convém colocar as observações por ordem crescente para se ver qual delas ocorre mais vezes. Essa observação é a moda. A lista, neste caso, diz-se unimodal. Pode até haver mais do que uma moda. Se duas ou mais observações ocorrem o mesmo número de vezes, então a lista diz-se respectivamente bimodal ou multimodal. Quando os dados se apresentam agrupados, a classe com maior frequência define a classe da moda. Se cada classe for definida por um só valor, esse é a moda; se a classe é definida por um intervalo de valores, o ponto que representa a classe, o ponto médio dessa classe, é a moda. Tal como foi dito no parágrafo anterior podemos também aqui ter mais do que uma moda ou mesmo não ter nenhuma. Destas medidas centrais, a média e a mediana são as mais usadas. A mediana utiliza informação relativa à ordem, não usando os valores numéricos das observações. A média, por sua vez, usa esses valores numéricos, sendo por isso a mais usada. As diferentes localizações da média, da mediana e da moda são mais facilmente visíveis usando a curva das frequências desse conjunto de dados, o polígono de frequências. A moda é o valor onde a curva é mais alta. A mediana é o valor que divide a área, compreendida entre o eixo e a curva, em duas partes iguais; metade fica à esquerda da mediana e a outra metade à direita. A média é o ponto central de uma distribuição simétrica. Numa distribuição simétrica a moda coincide com a mediana e também com a média. Veja a figura 4.2. A figura 4.3 apresenta dois exemplos de distribuições não simétricas. A primeira é assimétrica positiva e a segunda é assimétrica negativa. Repare na sequência de localização das três medidas: moda, mediana e média. CAPÍTULO 4. ”ESTATÍSTICAS” DESCRITIVAS Figura 4.2: Curva das frequências de uma distribuição simétrica Figura 4.3: Curvas de frequências de duas distribuições não simétricas 24 CAPÍTULO 4. ”ESTATÍSTICAS” DESCRITIVAS 25 Dos valores da tabela 4.1 podemos retirar a mediana, que é o percentil de ordem 50, e é igual a 11 e de acordo com a tabela que foi apresentada na figura 3.1, a moda é também 11, uma vez que é o valor que tem maior frequência (136). Assim, esta distribuição das IDADES dos alunos da Escola XXX da cidade YYY é assimétrica positiva. Confirme este facto com o gráfico de barras já anteriormente apresentado na figura 3.1. Da tabela da figura 4.1 o valor do parâmetro ’Assimetria’=1.162583, porque é positivo, significa que a distribuição é assimétrica positiva. Se este valor fosse negativo, teríamos uma distribuição assimétrica negativa. 4.2 Medidas de dispersão As medidas centrais são importantes mas não fornecem a informação completa sobre o conjunto das observações. Falta, pois, indicação sobre a dispersão desses valores. Quando se usa a mediana para medir o centro de uma distribuição, é conveniente fornecer elementos sobre a variação ou dispersão da distribuição, através dos percentis. As medidas de dispersão mais usadas são: a variância e o desvio padrão. Devem ser usadas quando a medida de tendência central usada for a média, pois elas medem a dispersão em relação à média, como centro da distribuição. 1. O percentil de ordem p de um conjunto de valores (observações de uma variável) é o valor abaixo do qual estão p por cento dos valores, estando os restantes acima dele. A mediana é o percentil de ordem 50, também conhecido por segundo quartil. O percentil de ordem 25 chama-se primeiro quartil. O percentil de ordem 75 chama-se terceiro quartil. Um quarto das observações são menores do que o 1o quartil, metade são menores do que o 2o e um quarto são maiores do que o 3o quartil. 2. A amplitude de um conjunto de valores é definida como a diferença entre a maior e a menor das observações e mede a dispersão total dos valores do conjunto. 3. A variância é a média aritmética dos quadrados dos desvios das observações em relação à média. Assim, se X1 , X2 , X3 , ..., Xn forem n observações e se X̄ for a sua média, a variância é calculada a partir de n (Xi − X̄)2 s2 = i=1 . n Quando os dados estão agrupados por k intervalos, a variância é definida por 2 s = k 2 i=1 (fi Xi ) n − X̄ 2 CAPÍTULO 4. ”ESTATÍSTICAS” DESCRITIVAS 26 em que n = ki=1 fi , k é o número de classes (ou intervalos), fi é a frequência da classe i e Xi o valor que representa a classe i. Quando as observações formam uma amostra aleatória simples de tamanho n, retirada de uma população, a variância da amostra deve ser calculada usando n − 1 no denominador do primeiro termo da expressão, em vez de n, e deve-se multiplicar o n . segundo termo por (n−1) Existem razões para esta escolha e têm a ver com o facto de esta ’estatística’ poder ser usada para estimar a variância da população. 4. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Utiliza-se s para designar o desvio padrão. A variância e o desvio padrão das IDADES são, retirados directamente da tabela da figura 4.1, respectivamente ’Variância’= 1.32378 e ’Desvio padrão’= 1.150557. Alguns comentários em relação a estas medidas: (i) A variância é uma quantidade positiva ou nula. Será nula se todos os desvios forem nulos e isto acontece quando todos os Xi forem iguais a X̄ (sendo todos iguais). Neste caso, não existe dispersão. (ii) Se as observações estão dispersas e existem de um e de outro lado da média, os desvios das observações à esquerda da média são negativos e os desvios das observações à direita são positivos. Estes desvios serão tanto maiores, em valor absoluto, quanto mais afastadas as observações estiverem da média. Os quadrados dos desvios são quantidades positivas e tanto maiores quanto maiores forem os desvios. Assim, se os valores estão juntos, a variância é pequena; se eles estão dispersos, a variância é grande. (iii) Quando as observações são medidas numa unidade (por exemplo, centímetros, segundos, gramas, ...), a variância vem nessa medida ao quadrado. No entanto, o desvio padrão vem medido na mesma unidade das observações. 4.3 Medidas de associação As medidas centrais e de dispersão fornecem informação básica relativa a dados univariados, embora não completa. No entanto, se tivermos duas variáveis, as medidas referidas atrás. não são suficientes para as descrever. Normalmente estamos interessados numa possível ligação entre as variáveis: - os valores das variáveis aumentam simultaneamente, como a altura e o peso das pessoas, ou variam em sentidos opostos, como o número de cigarros fumados por dia e a esperança de vida do fumador! Diz-se que duas variáveis estão associadas se existe uma ligação directa entre as suas variações, CAPÍTULO 4. ”ESTATÍSTICAS” DESCRITIVAS 27 • quando o aumento de uma variável tende a acompanhar o aumento de outra variável, diz-se que a associação é positiva; • quando o aumento de uma variável tende a acompanhar a diminuição de outra variável, então as variáveis dizem-se associadas negativamente. A associação é medida em termos médios. A associação faz sentido para variáveis medidas em qualquer tipo de escala. Associação positiva ou negativa já só faz sentido quando as variáveis forem medidas numa escala ordinal ou intervalar/proporcional. 1. Uma das medidas de associação é o coeficiente de correlação. Dadas n observações bivariadas nas variáveis X e Y , X1 , X2 , ..., Xn e Y1 , Y2 , ..., Yn , o coeficiente de correlação r é definido por n 1 i=1 (Xi − X̄)(Yi − Ȳ ) n r= sX sY em que X̄ e Ȳ são as médias dos valores de X e de Y respectivamente e sX e sY os desvios padrões das mesmas variáveis. O numerador da expressão é a média dos produtos dos desvios de X e de Y , em relação às correspondentes médias. O denominador é o produto dos desvios padrões de X e de Y . Interpretação de r: • o coeficiente de correlação r mede a associação entre duas variáveis; é positivo quando a associação é positiva e negativo quando a associação for negativa (o valor de r é tanto maior quanto mais forte for a associação); • o coeficiente de correlação toma sempre valores entre -1 e +1 (os desvios padrão no denominador estandardizam o r, as unidades no numerador e denominador são as mesmas, o que significa que r é adimensional); • os valores extremos r = −1 e r = 1 indicam uma associação perfeita (r = −1 significa que os pontos pertencem a uma linha recta de declive negativo, isto é, quando x aumenta, y diminui; r = 1 significa que os pontos pertencem a uma linha recta com declive positivo, isto é, quando x aumenta, y também aumenta; • o coeficiente de correlação mede a proximidade da mancha de pontos em relação a uma linha recta (r mede uma associação linear). A figura 4.4 mostra cinco casos com diferentes valores de r. O último caso refere-se a uma situação onde não existe uma relação linear, embora exista outro tipo de relação. 2. Existe uma maneira de medir a associação linear através de uma quantidade r 2 , chamada coeficiente de determinação. Este coeficiente é a proporção da variância de uma variável, que pode ser explicada pela dependência linear na outra variável. CAPÍTULO 4. ”ESTATÍSTICAS” DESCRITIVAS Figura 4.4: Cinco casos de associação 28 CAPÍTULO 4. ”ESTATÍSTICAS” DESCRITIVAS 29 Para compreender melhor o seu significado, considere os dois gráficos da figura 4.5. No primeiro, existe uma associação perfeita linear com r = −1. A variável Y está totalmente ligada à variável X; quando X varia, Y também varia e o ponto (X, Y ) move-se ao longo da linha. O conjunto dos 8 valores de Y tem uma grande variância; mas esta variância é devida (explicada) à ocorrência dos diferentes valores de X, levando consigo os valores de Y . A dependência linear em X explica toda a variação em Y e r 2 = 1. Figura 4.5: Duas associações diferentes entre duas variáveis No segundo gráfico, o conjunto dos 21 valores de Y também tem uma grande variância. Alguma desta variância pode ser explicada pelo facto de a variação em X levar consigo uma variação (em média) em Y . O gráfico apresenta esta situação, mostrando os diferentes valores de Y que acompanham os dois valores de X. Neste caso, r 2 = +1 pois a associação entre X e Y explica apenas parte da variação em Y . Esta parte é a fracção r 2 da variância dos valores de Y Neste exemplo, r 2 = 0.49 e diz-se que 49 por cento da variância de Y é explicada pela dependência linear de Y em relação a X. O coeficiente r 2 mede apenas a intensidade da associação e não nos diz nada sobre se ela é positiva ou negativa. A associação entre duas variáveis pode ser devida a três factores: • ao factor causa, isto é, uma das variáveis origina (causa) variações na outra; • à existência de outra(s) variável(eis) que origina(m) o aparecimento das duas (ou, cuja variação causa variações nas duas) variáveis em estudo; • a uma terceira variável, que não se encontra em estudo, mas que, juntamente com uma das variáveis causa variações na outra. CAPÍTULO 4. ”ESTATÍSTICAS” DESCRITIVAS 30 Para concluir que a associação entre duas variáveis é devido à causa, é necessário que: • a associação se repita em diferentes circunstâncias, reduzindo a probabilidade de ser consequência da mistura entre variáveis; • se conheca uma explicação plausível, mostrando como uma variável pode causar variações noutra variável; • não pareçam existir terceiros factores que possam causar variações nas duas variáveis. A associação que se deve a razões comuns, pode ser utilizada para predizer uma das variáveis, como função da outra. Figura 4.6: Recta de regressão Correlação e predição estão muito relacionadas. Por exemplo, se uma variável independente X e uma variável dependente Y têm um r 2 = 1, isto significa que as observações em X e Y estão sobre uma linha recta. Este modelo pode ser usado para predizer Y a partir de um valor de X - ler na recta o correspondente valor de Y , Yx . Se o valor de r 2 é pequeno, a predição é menos precisa porque os pontos não estão sobre uma linha recta e Y varia muito, para um valor fixo de X. A linha que deve ser usada para predizer Y a partir de X, baseada numa mancha de pontos é a recta de regressão. Veja o exemplo da figura 4.6. Capítulo 5 Distribuição normal Quando um conjunto de dados tem uma distribuição descrita por uma das curvas normais, a média é facilmente detectada. Esta distribuição é simétrica, a média coincide com a mediana e também com a moda. É o valor que corresponde ao pico. Veja o gráfico da figura 4.2. O desvio padrão também é facilmente detectável da curva normal. Os pontos onde a curvatura muda, de ambos os lados em relação ao centro, estão localizados a um desvio padrão de cada lado da média. O gráfico da figura 5.1. apresenta três exemplos de distribuições normais com a mesma média mas com diferentes desvios padrão. Figura 5.1: Distribuições normais com diferentes desvios A média fixa o centro da curva, enquanto que o desvio padrão determina a forma. Alterando a média de uma distribuição normal não altera a forma, apenas altera a sua localização nos eixos. No entanto, alterando o desvio padrão, a forma da curva é alterada. 31 CAPÍTULO 5. DISTRIBUIÇÃO NORMAL 32 Em todos os casos, temos a curva normal das frequências com uma amplitude igual a seis desvios padrão. Considere a figura 5.2. Em qualquer distribuição normal, Figura 5.2: Distribuição normal 1. metade das observações são menores do que a média e a outra metade maiores; 2. 68 por cento das observações pertencem ao intervalo limitado por um desvio padrão para cada lado da média; destas, metade (34 por cento) estão entre a média e um desvio padrão para além da média; 3. 95 por cento das observações pertencem ao intervalo limitado por dois desvios para cada lado da média; 4. 99.7 por cento das observações pertencem ao intervalo limitado por três desvios em relação à média. Em qualquer distribuição normal, o percentil de ordem 84 de uma distribuição normal está localizado a um desvio padrão acima da média. Do mesmo modo o percentil de ordem 16 é o ponto localizado a menos um desvio padrão em relação à média. As observações retiradas de diferentes distribuições normais podem ser comparadas, colocando-as em unidades de desvio padrão acima ou abaixo da média. Observações expressas em unidades de desvio padrão em relação à média, chamam-se pontuações estandardizadas (’standard’). Esta pontuação é calculada da seguinte maneira: pontuação estandardizada = observação − média . desvio padrão CAPÍTULO 5. DISTRIBUIÇÃO NORMAL 33 Por exemplo, uma pontuação de 24 unidades num teste, cuja média foi de 18 e o desvio padrão de 6, é equivalente a ( 24−18 =)1 unidade de pontuação estandardizada. Uma 6 pontuação estandardizada de 1 corresponde sempre ao percentil de ordem 84, qualquer que seja a distribuição normal original. Capítulo 6 Análise de Regressão Seja Y uma variável aleatória dependente cuja variação é afectada pela variação da variável independente X. Sejam X1 , X2 , ..., Xn os valores escolhidos arbitrariamente para X e Yi (i = 1, ..., n) os correspondentes valores de Y . 6.1 Regressão Linear e Simples A partir dos valores observados, podemos estimar a recta de regressão linear e simples (com uma só variável independente). A forma da recta é: Yx = α + β(X − X) em que X é a média aritmética dos n valores de X, X1 , X2 ,... ,Xn e α e β são calculados através de n Yi α = i=1 n n n (X − X)(Y − Y ) (Xi − X)Yi i i = i=1 . β = i=1 n n 2 2 i=1 (Xi − X) i=1 (Xi − X) Embora seja possível fazer interpolação, isto é, calcular o valor de Y que corresponde a um dado valor de X = X0 , se este pertencer ao intervalo definido pelos valores X1 , X2 , ..., Xn usados nos cálculos, a extrapolação deve ser implementada com cuidado pois, 1. embora existindo uma relação linear entre X e Y (esta pode ser adequada na região definida pelo conjunto de valores usados), o modelo pode deixar de ser válido fora da região definida por esse conjunto, 2. quanto mais afastado X0 estiver de X, maior será o erro de extrapolação. 34 CAPÍTULO 6. ANÁLISE DE REGRESSÃO 6.2 35 Regressão não linear Além do modelo de regressão linear, existem outros modelos que podem descrever a dependência de Y em relação a X. Mesmo assim, a análise de regressão já definida pode ser aplicada, desde que seja possível para isso redefinir as variáveis ou transformar a equação, de modo a conseguir-se um modelo linear nos parâmetros. Como primeiro exemplo, considere o caso em que Y = α + βX 2 . A equação é já linear nos parâmetros α e β e a única não linearidade está na variável independente X. No segundo exemplo, Yx = X β , mais complicado, a não linearidade envolve directamente o parâmetro β a ser calculado. Esta equação exige uma transformação de variáveis que a torne linear em β. Para o primeiro caso, o modelo matemático, no caso geral, é Yx = α + βw + γw 2 com w = W − W . Se fizermos x = w e z = w 2 , este modelo reduz-se a um modelo linear e múltiplo. Para o segundo caso, se aplicarmos logaritmos, obtemos o modelo ln Yx = β ln X ou yx = βx que já é linear no parâmetro β, sendo, neste caso, x = ln X e y = ln Y . Este modelo é agora linear e simples, sem constante α. Parte II Séries cronológicas 36 Capítulo 7 Componentes do estudo Comecemos pela definição: Definição 7.0.1 Uma série cronológica é um conjunto de observações feitas em períodos sucessivos de tempo, durante um certo intervalo. Exemplo 7.0.1 Valores da taxa bruta de natalidade, em anos sucessivos. Exemplo 7.0.2 Percentagem da população com idade inferior a 7 anos, em anos sucessivos. Vamos designar o conjunto dessas observações por X1 , X2 , ..., Xn e vamos supor que foram feitas nos períodos de tempo t1 , t2 , ..., tn contados a partir de uma origem fixada. As observações são normalmente feitas em períodos de tempo igualmente espaçados. 7.1 Representação gráfica de uma série cronológica Para iniciar a análise de uma série cronológica deve representar-se graficamente as observações. Esta representação gráfica chama-se cronograma. Nos eixos das ordenadas marca-se o valor da série. No eixo das abcissas marca-se o tempo (ver figura 7.1) 7.2 Estudo de uma série cronológica Duas das questões mais importantes a ter em conta no estudo de uma série cronológica são: • A comparação entre valores da série se o intervalo entre tempos não é constante. Pode ser ultrapassada fazendo uma correcção aos valores da série. • A variação da população a que se refere o fenómeno. As variações sofridas ao longo do tempo que sejam devidas à variação no número de elementos da população não interessam. A análise das variações deve ser feita em termos relativos. 37 CAPÍTULO 7. COMPONENTES DO ESTUDO 38 6 va lor da s é r ie 5 4 3 2 1 0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 te m po cro n o g ra m a Figura 7.1: Gráfico de uma série cronológica Constata-se que na maior parte das séries cronológicas as sucessivas observações não são independentes. Por exemplo, o valor da observação no instante t3 depende dos valores nos instantes t1 e t2 . Quando se verifica dependência é possível prever valores futuros tendo como base valores da série já observados. O estudo de uma série cronológica consiste na descrição, na explicação, na previsão e no controlo dessa série. Assim, • a descrição consiste na caracterização do comportamento através da identificação de pontos altos e baixos, distância entre eles, valores aberrantes e pontos de viragem; • a explicação compreende a formulação de hipóteses e a tentativa de construir um modelo matemático que permita descrever o comportamento da série até ao presente; • a previsão estabelece uma relação entre o comportamento observado da série e o comportamento futuro; • o controlo é um fenómeno que tenta modificar o comportamento futuro da série. Capítulo 8 Decomposição Algumas séries cronológicas são influenciadas por uma ou duas causas dominantes. Outras são influenciadas por uma infinidade de causas. É conveniente decompor as séries cronológicas em componentes que se agrupam em: tendência (’trend’) movimentos sistemáticos movimento sazonal movimento oscilatório movimentos não sistemáticos movimento aleatório • A tendência é a variação em média, ao longo do tempo (compreende os movimentos que se manifestam suave e consistentemente ao longo de um período grande de tempo). • Os movimentos sazonais são variações em relação à tendência que ocorrem, em geral, dentro de um ano. Os movimentos sazonais podem ter causas naturais e causas sociais. – As causa naturais estão associadas (quase sempre) com as estações do ano. – As causa sociais estão associadas com usos, costumes e tradições sociais. • Os movimentos oscilatórios ocorrem mais em séries económicas e associam-se a ciclos económicos de expansão e depressão. Não apresentam periodicidade definida. Estes são difíceis de separar da tendência. • Os movimentos aleatórios são de carácter fortuito, irregulares e de origem desconhecida. Exemplos: guerras, epidemias, greves, secas, ... Para o estudo da série é aconcelhável identificar e limitar primeiro a tendência, depois os movimentos sazonais e finalmente as oscilações. 39 Capítulo 9 Estudo da tendência A tendência é um movimento suave e consistente ao longo de um período grande de tempo (o termo grande é relativo pois o que é grande para uma série pode ser pequeno para outra). O número de anos em que se deve considerar a tendência varia de série para série. Algumas causas da presença da tendência numa série cronológica são: • causas relacionadas com variações na população; • causas relacionadas com idade, saúde, educação, constituição, conhecimentos teóricos da população; • causas relacionadas com a qualidade e quantidade de recursos. Estas causas estão relacionadas entre si. Os objectivos a atingir com a determinação da tendência são: 1. Estudá-la para extrapolar como forma de prever o comportamento da série no futuro; 2. Eliminá-la para estudar as outras componentes (sazonalidade, oscilação e aleatoriedade). Quando se elimina a tendência, a série diz-se estacionária. 9.1 Métodos para estudo da tendência Os dois métodos mais importantes para estudar a tendência são: 1. Método das médias móveis 2. Método analítico 40 CAPÍTULO 9. ESTUDO DA TENDÊNCIA 9.1.1 41 Método das médias móveis O método das médias móveis consiste em calcular a média aritmética de observações contidas em escalões, tomando-a como estimativa do valor local da tendência. Assim, as etapas a seguir são: 1. começa-se por dividir a série em escalões, com igual número de termos sobrepostos; • o número de observações em cada escalão chama-se período da média móvel, (ver figura 9.1) x x x x x x x x x x Figura 9.1: Escalões de período igual a 3 • Se tem k observações em cada escalão, existem k − 1 observações em comum com os escalões seguintes (e anteriores). 2. Calculam-se as estimativas locais da tendência; • Se k é impar (k = 2m + 1): as estimativas da tendência são (exemplo com k = 3, m = 1) X1 + X2 + X3 t2 = 3 X2 + X3 + X4 t3 = 3 X3 + X4 + X5 t4 = 3 ... Xn−2 + Xn−1 + Xn tn−1 = 3 e a tendência não é estimada para os primeiros e últimos m pontos do tempo. • Se k é par (k = 2m) CAPÍTULO 9. ESTUDO DA TENDÊNCIA 42 i) as estimativas da tendência calculam-se em pontos médios de um intervalo (exemplo com k = 4, m = 2) ponto médio de [2, 3] = X 1 + X2 + X3 + X4 4 X 2 + X3 + X4 + X5 4 X 3 + X4 + X5 + X6 ponto médio de [4, 5] = 4 ... ponto médio de [3, 4] = ii) para centrar estas médias, calcula-se uma 2a média móvel de período 2 3 +X4 [2, 3] = X1 +X2 +X 4 ⇒ 4 +X5 [3, 4] = X2 +X3 +X 4 t3 = X1 +X2 +X3 +X4 4 + 2 X2 +X3 +X4 +X5 4 . Do mesmo modo t4 = X2 +X3 +X4 +X5 4 + 2 X3 +X4 +X5 +X6 4 , ... O método das médias móveis é um caso particular dos filtros lineares, filtros esses que transformam uma série X noutra Y , por meio de uma operação linear. 9.1.2 Método analítico Com o método analítico a determinação da tendência é feita ajustando uma função da variável tempo (t) ao cronograma da série cronológica. Este ajuste é feito, em geral, pelo método dos mínimos quadrados. De acordo com o tipo de função assim podemos ter tendências lineares, parabólicas, exponenciais, ... A função vai traduzir uma lei matemática que se admite ser seguida pela tendência. A escolha do tipo de função a ajustar não é fácil e este processo deve ser iniciado com a representação gráfica da série e inspecção cuidada do cronograma. Tendência linear O modelo mais simples que é possível representar é o modelo linear com a seguinte forma: Xt = α + βt. Como Xt = α + β(t − t) = α + βt − βt = α − βt + βt, (9.1) CAPÍTULO 9. ESTUDO DA TENDÊNCIA 43 tem-se α = α − βt (9.2) em que t é a média aritmética dos tempos, t1 , t2 , ..., tn , e os valores de α e β são calculados da seguinte maneira: X1 + X2 + ... + Xn n (9.3) (t1 − t)X1 + (t2 − t)X2 + ... + (tn − t)Xn . (t1 − t)2 + (t2 − t)2 + ... + (tn − t)2 (9.4) α= e β= + βt chama-se ordenada na origem, isto é, quando O valor de α da equação Xt = α , e β representa o declive da recta. Este declive dá a variação verificada t = 0, Xt = α em Xt quando t varia de um período de tempo (constante). O quadrado do coeficiente de correlação das duas variáveis X e t, r 2 (coeficiente de determinação) dá a percentagem da variação da série original explicada pela tendência linear. A diferença 100% − r 2 % é a variação explicada pelos outros movimentos. Além da tendência linear, descrita por um polinómio linear, existem outros tipos, tais como: tendências quadráticas (polinómio quadrático), tendências cúbicas (polinómio cúbico), exponenciais, etc. Exemplo 9.1.1 Considere a seguinte tabela de valores [2]: Ano 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 t 1 2 3 4 5 6 7 8 X desvios:X − Xt 233 41.258 250.3 39.884 158 -71.09 178.3 -69.464 293.5 27.062 309.5 24.388 279 -24.786 355.2 32.74 O cronograma está representado na figura 9.2. No ajuste de uma tendência linear, usando as equações (9.3), (9.4), (9.2) e finalmente (9.1), obtêm-se Xt = 173.068 + 18.674 t. A representação desta recta está na figura 9.2. A interpretação é a seguinte - A partir de uma valor de 173.068 verificado para t = 0 (1972), a tendência (Xt ) aumenta (β > 0), em média, por ano (ver 1a coluna da tabela) 18.67. Se calcularmos o coeficiente de determinação, r 2 , teremos r 2 = 0.475, ou seja, 47.5% da variação da série original é explicada pela tendência, ficando 52.5% à conta dos outros CAPÍTULO 9. ESTUDO DA TENDÊNCIA 44 450 400 X 350 300 250 200 150 1 2 3 4 5 6 7 t X Linear Q uadrátic a Exponenc ial Figura 9.2: Cronograma da série e modelos ajustados 8 CAPÍTULO 9. ESTUDO DA TENDÊNCIA 45 movimentos. Na figura 9.2 estão também representadas duas funções. Uma quadrática e outra exponencial , que corresponderiam a ajustes de modelos quadráticos e exponenciais, respectivamente. Os desvios, X − Xt , calculados pela diferença entre os valores observados, X, e os valores da tendência linear, Xt , representam a série corrigida da tendência. Para a série do exemplo 9.1.1, os desvios estão representados na figura 9.3. 100 80 60 40 20 0 -20 1 2 3 4 5 6 7 8 -40 -60 -80 -100 t Figura 9.3: Desvios. Série corrigida da tendência A diferença entre o método das médias móveis e o método analítico é considerável. No primeiro, não se considera a tendência como definida por qualquer lei e obtém-se apenas uma curva ”suave”, sem outros movimentos. Com o segundo método, determina-se uma função que traduz uma certa lei matemática que se admite ser seguida pela tendência. Capítulo 10 Movimento sazonal Os movimentos sazonais são variações que ocorrem dentro de um ano e de acordo com um certo modelo (mais ou menos rígido) que se repete de ano para ano. São todos os movimentos periódicos de período igual ou inferior a um ano. Exemplo 10.0.2 Sazonalidade de casamentos[1] (índices) Mês Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Paróquias Sul do Pico Transmontanas Guimarães 122 126 117 164 172 160 29 91 64 52 111 118 140 131 127 105 98 111 73 64 64 69 68 76 93 83 78 154 75 96 161 78 110 39 104 94 Deste exemplo é visível que a marcação de casamentos, nalgumas regiões, é afectada por: • razões sociais: respeito pelas interdições da Quaresma, Advento • razões económicas: fainas agrícolas, preparação das vinhas (fim de inverno), vindimas, pastagens no verão. 46 CAPÍTULO 10. MOVIMENTO SAZONAL 10.1 10.1.1 47 Método para determinar as flutuações sazonais Método das médias mensais O termo mensal está relacionado com o facto do período sazonal ser de um ano e estar dividido em meses. Neste caso deve-se trabalhar com médias mensais. Se o ciclo for outro, por exemplo, o ano dividido em trimestre deve-se trabalhar com médias trimestrais. O método das médias mensais só deve aplicar-se a uma série quando os dados não apresentarem tendência ou quando esta não for muito pronunciada. Existindo tendência, esta viciará os índices. Assim, o método das médias mensais só deve ser aplicado depois de se ter eliminado a tendência. Se a tendência foi estimada através do ajuste de uma recta, Xt = α + βt (ver (9.1)), os desvios em relação à tendência traduzem a série corrigida da tendência e é a partir destes valores corrigidos que se calculam os índices sazonais. As etapas do método são as seguintes: 1. Dispôr as observações num quadro da seguinte maneira: mês\ano Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Total 1900 1901 1902 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Total Média Índice (este exemplo refere-se a um período dividido em meses) 2. Calcular os totais (somas) referentes aos meses e colocá-los na coluna referenciada com Total; 3. Calcular as médias para cada mês e colocá-las na coluna referenciada por Média; 4. Calcular a média das médias (média geral) e colocá-la na última célula da coluna ”Média”; CAPÍTULO 10. MOVIMENTO SAZONAL 48 5. Os índices sazonais são calculados como a percentagem da média de cada mês em relação à média geral. Nota 10.1.1 A soma dos índices é 1200. Nota 10.1.2 O nível que traduz ausência de sazonalidade é igual a 100. Assim, os índices são interpretados da seguinte maneira: • Um valor menor que 100 indica que nesse mês a flutuação sazonal se traduz numa quebra em relação ao nível ’normal’ (100); • Um valor maior que 100 indica um aumento em relação ao nível normal. Nota 10.1.3 Também existe o método das médias móveis para estudar a sazonalidade [2]. Parte III Estatística demográfica 49 Capítulo 11 Estruturas populacionais Iremos estudar alguns dos aspectos globais da população através do seu volume, ritmo de crescimento e densidade. 11.1 Taxas de crescimento Quando temos, ao longo do tempo, informação variada sobre o volume de uma população queremos numa primeira análise calcular o ritmo de crescimento. O valor do ritmo de crescimento deve corresponder a um resultado anual médio para ser possível fazer comparações em períodos de amplitudes diferentes. O ritmo de crescimento de uma população pode ser i) Contínuo: com Pn = P0 ean onde: e = 2.718282 (exponencial) Pn =população num momento n P0 =população num momento 0 a =taxa de crescimento. Aplicando logaritmos neperianos (ln) a (11.1) temos ln Pn = ln P0 + ln ean ln Pn − ln P0 = an Pn = an ln P0 50 (11.1) CAPÍTULO 11. ESTRUTURAS POPULACIONAIS e a= 51 ln PPn0 n onde a corresponde à taxa de crescimento contínuo. (11.2) ii) Aritmético: com Pn = P0 (1 + an) ou seja Pn = P0 + P0 an Pn − P0 = P0 an e Pn − P0 P0 n onde a corresponde à taxa de crescimento aritmético. a= (11.3) iii) Geométrico: com Pn = P0 (1 + a)n (11.4) Pn = (1 + a)n P0 (11.5) ou seja e aplicando logaritmo na base 10 a (11.5) temos log Pn = n log(1 + a) P0 log PPn0 log(1 + a) = n ou seja 1 + a = 10 e a = 10 , Pn P0 n log log Pn P0 n −1 (11.6) onde a corresponde à taxa de crescimento geométrico. Exemplo 11.1.1 Se em 1821 a população de uma região era de 3276203 habitantes, e se a taxa de crescimento, a, é de 0.25%, qual a população ao fim de 5, 25 e 100 anos? CAPÍTULO 11. ESTRUTURAS POPULACIONAIS 52 i) Se for crescimento contínuo P5 = 3276203e0.0025×5 = 3317412 P25 = 3276203e0.0025×25 = 3487500 P100 = 3276203e0.0025×100 = 4206728 ii) Se for crescimento aritmético P5 = 3276203(1 + 0.0025 × 5) = 3317156 P25 = 3276203(1 + 0.0025 × 25) = 3480966 P100 = 3276203(1 + 0.0025 × 100) = 4095254 iii) Se for crescimento geométrico P5 = 3276203(1 + 0.0025)5 = 3317361 P25 = 3276203(1 + 0.0025)25 = 3487228 P100 = 3276203(1 + 0.0025)100 = 4205416 (ver figura 11.1) Exemplo 11.1.2 Análise prospectiva: Se a taxa de crescimento geométrico for a = 0.0021 (0.21%), ao fim de quantos anos (n?) duplicará a população? Crescimento geométrico: Pn = P0 (1 + a)n 2P0 = P0 (1 + a)n 2P0 = (1 + a)n P0 2 = (1 + a)n . Aplicando logaritmos, log 2 = n log(1 + a) 0.30103 = n log(1.0021) 0.30103 = n × 0.0009111 0.30103 n= 0.0009111 e n = 330, 4... R: ao fim de 330 anos CAPÍTULO 11. ESTRUTURAS POPULACIONAIS c ontínuo aritm étic o 53 geom étric o 4176000 4076000 3976000 p o p u la çã o 3876000 3776000 3676000 3576000 3476000 3376000 3276000 5 25 a no Figura 11.1: Variações da população 100 CAPÍTULO 11. ESTRUTURAS POPULACIONAIS 54 Exemplo 11.1.3 Análise regressiva: A população em 1821 era de 3276203 habitantes. Se admitirmos que o ritmo de crescimento na primeira metade do sec XIX era de 0.0021 (a = 0.21%) qual teria sido a população em 1801? Sabe-se que em 1821, n = 20, Pn = P20 = 3276203. Considerando 1801 como o ano 0, queremos saber P0 (com crescimento geométrico). Pn = P0 (1 + a)n 3276203 = P0 (1 + 0.0021)20 3276203 = (1 + 0.0021)20. P0 Aplicando logaritmos, 3276203 = 20 log(1.0021) P0 3276203 log = 0.01822. P0 Aplicando agora a função inversa, potência de 10, log 3276203 = 100.01822 P0 3276203 = 1.04285 P0 e P0 = 11.2 3276203 = 3141586. 1.04285 Cálculo das densidades populacionais Para calcular a densidade populacional de uma certa região usa-se: dens. pop.= Total de habitantes existentes nessa região superficie (em km2 ) dessa região Exemplo 11.2.1 Se a superfície de um lugar é de 9 milhares de km2 e a população desse lugar é de 414 milhares de habitantes, a densidade populacional é: dens. pop. = 414 milhares de habitantes = 46 habitantes por km2 9 milhares por km2 CAPÍTULO 11. ESTRUTURAS POPULACIONAIS 11.3 55 Estruturas demográficas A análise de alguns aspectos globais da população também compreende o conhecimento das estruturas demográficas. Uma estrutura demográfica consiste na subdivisão da população em grupos homogéneos a partir de determinadas características. Existem diversos tipos de estruturas: por sexos e idades, por estado civil, por actividade económica, por níveis de instrução, ... Exemplo 11.3.1 Analisemos a repartição por sexos e idades: a) a repartição por sexos justifica-se pelo facto das populações masculina e feminina desempenharem funções diferentes na sociedade, com incidências demográficas devido a um complexo de factores biológicos, sociais e culturais. b) a repartição por idades justifica-se pela necessidade: • de se analisar os efeitos específicos de cada idade (com o aumento da idade os comportamentos e as capacidades vão-se modificando)1 ; • de se comparar determinados aspectos das fases da vida (início da socialização, instrução primária, primeiro casamento,...) em pessoas com diferentes idades2 . 11.3.1 Pirâmides de idades A pirâmide de idades é uma representação gráfica da distribuição de uma população por sexos e idades, que permite ter uma visão de conjunto das estruturas de idades de uma população. • As idades são representadas num eixo vertical. Os efectivos (população existente) são representados em dois semi-eixos horizontais; o da esquerda é reservado aos efectivos masculinos; o da direita aos femininos. As figuras 11.2 e 11.3 apresentam dois exemplos de pirâmides de idades. • Podemos construir pirâmides por idades e por grupos de idades. • Representando os efectivos em números absolutos, a população em cada idade (ou grupo de idades) é representada por rectângulos, cuja área é proporcional ao efectivo (a ’largura’ é constante e o ’comprimento’ é proporcional ao efectivo ou volume da população (número de habitantes)). 1 2 Efeito idade Efeito geração CAPÍTULO 11. ESTRUTURAS POPULACIONAIS Figura 11.2: Exemplo de pirâmide de idade [1] 56 CAPÍTULO 11. ESTRUTURAS POPULACIONAIS Figura 11.3: Exemplo de pirâmide de idade [1] 57 CAPÍTULO 11. ESTRUTURAS POPULACIONAIS • A escala utilizada deve ser tal que a pirâmide terá uma altura igual (≈) a total. 58 2 3 da largura • Podem aparecer vários tipos de pirâmides, embora a mais vulgar seja a ’triangular’. Assim, existem as pirâmides com forma de 1. acento circunflexo que é típica dos países não desenvolvidos com mortalidade e natalidade muito elevadas e caracteriza-se por ter uma base larga e topo muito reduzido; 2. urna que é típica dos países desenvolvidos com baixos níveis de mortalidade e natalidade e tem uma base muito reduzida e um topo bastante empolado; 3. ás de espadas, típica dos países desenvolvidos com aumento de fecundidade num certo período de tempo. • Quando trabalhamos com grupos de idades, a largura do rectângulo é proporcional ao número de anos existentes em cada grupo. Se os grupos forem quinquerais (muito vulgar) basta fixar uma largura, que será constante. O comprimento é proporcional ao total dos efectivos das diversas idades (que compõem o grupo) dividido pelo número de anos do grupo (quinquenal→5). • Se interessar fazer comparações no tempo ou no espaço, é mais conveniente representar os efectivos relativos. A comparação passa a ser feita em termos de percentagens entre os diferentes grupos de idades. 11.3.2 Grupos funcionais Quando temos que comparar muitas estruturas populacionais, ao longo do tempo, para verificar a sua evolução, ou comparar estruturas de um número vasto de localidades, surgem vulgarmente muitos gráficos a partir dos quais é difícil tirar conclusões. Para uma visão mais rápida da evolução ou da diversidade de estruturas é mais conveniente compactar a informação disponível, de acordo com determinados critérios. O mais importante é a idade. É possível concentrar a análise num número reduzido de subgrupos, chamados grupos funcionais. Por exemplo, dividir a população em três grandes grupos: 0-14 anos que define a população jovem, 15-64 anos que define a população activa e 65 e +anos que define a população velha. Uma outra divisão consiste nos seguintes grupos: 0-19, 20-59 e 60 e + anos. É possível ainda pegar num destes grupos e dividi-lo. Por exemplo, o grupo 20-59 pode dividir-se em 20-39, população activa jovem, e 40-59, população activa velha. Se o critério para a definição de grupos funcionais for o da escolaridade, teríamos os seguintes grupos: 0-5 (população em idade pré-escolar), 5-18 (população em idade escolar) e 18-24 (população em idade universitária). CAPÍTULO 11. ESTRUTURAS POPULACIONAIS 59 Definidos os grupos funcionais deve proceder-se à manipulação dos dados, transformandoos em índices-resumos que se constroem a partir dos grupos funcionais. Os índices-resumos mais importantes são: • percentagem de jovens população com 0-14 (ou 0-19) anos × 100% população total • percentagem de activos população com 15-64 (ou 20-59) anos × 100% população total • percentagem de velhos população com 65 e + (ou 60 e +) anos × 100% população total • índice de vitalidade (’racio’ entre velhos e jovens) população com 65 e + anos × 100% população com 0-14 • ’racio’ de dependência dos jovens população com 0-14 × 100% população com 15-64 • ’racio’ de dependência dos velhos população com 65 e + anos × 100% população com 15-64 • ’racio’ de dependência total população com 0-14 e 65 e + anos × 100% população com 15-64 Capítulo 12 Qualidade dos dados 12.1 Relação de masculinidade As pirâmides de idades nunca são simétricas pois nascem mais rapazes do que raparigas. Por cada 100 raparigas nascem 105 rapazes. No entanto a mortalidade (factor fundamental na análise da redução dos diversos efectivos) é mais intensa nos homens do que nas mulheres. Factores como as migrações, guerras, ... podem modificar ainda mais a assimetria ’natural’. A relação de masculinidade é dada pelo quociente, para cada idade (ou grupo de idades), efectivos masculinos × 100. efectivos femininos Como a relação de masculinidade dos nascimentos ronda os 105, a relação de masculinidade do primeiro grupo de idades é muito próxima de 105. À medida que se avança na idade, devido ao facto de que a mortalidade masculina é superior à mortalidade feminina, as relações de masculinidade diminuem. É o efeito idade. O índice, relação de masculinidade dos nascimentos, é frequentemente utilizado para apreciar a qualidade do registo de nascimentos, por sexos. Normalmente existem omissões mais acentuadas num sexo do que noutro. Quando o número de nascimentos não é suficientemente grande, alguns desvios podem ser consequência directa de flutuações aleatórias mesmo estando em presença de observações perfeitas. No entanto, é possível calcular um intervalo de variação deste erro, em função do número de nascimentos observados: 1. Para uma relação de masculinidade de 105, em 1000 nascimentos teríamos 512 mas512 culinos e 488 femininos. A proporção de rapazes é de 0.512 = 1000 . A proporção de raparigas é então de 0.488. 2. Os limites do intervalo de confiança a 95% (0.95 de probabilidade de conter o valor) para a proporção são 60 CAPÍTULO 12. QUALIDADE DOS DADOS 61 0.512 × 0.488 0.512 × 0.488 0.512 + 1.96 0.512 − 1.96 n n , i s em que n representa o número total de nascimentos. 3. Os limites de confiança da relação de masculinidade são s i × 100, × 100 1−i 1−s em que i e s são respectivamente os limites inferior e superior do intervalo do passo anterior. 4. Se o valor da relação de masculinidade observado está fora do intervalo (do passo anterior) é de admitir uma má qualidade no registo dos nascimentos. Se for superior existe provavelmente um sobre-registo dos nascimentos masculinos (menos provável) ou um sub-registo dos femininos (mais provável). 12.2 Índice de Whipple O método baseado no cálculo da relação de masculinidade dos nascimentos e, quando o número de nascimentos é pequeno, do intervalo de variação (limites de confiança da relação de masculinidade) serve para analisar a qualidade dos dados das estatísticas demográficas. O método baseado no índice de Whipple serve para analisar determinado tipo de distorção existente nos recenseamentos. O tipo de distorção referida é a atracção pelos números (idades) terminados em 0 e 5. Sabe-se que em demografia e em países não desenvolvidos e há muitos anos atrás as pessoas tinham dificuldade em declarar com exactidão a sua idade. Por exemplo, pessoas com 48, 49, 51 e 52 anos de idade tinham a tendência em declarar que tinham 50 anos. Esta idade aparecia com muitos registos e os valores adjacentes tinham poucos efectivos. O índice de Whipple constrói-se da seguinte maneira: 1. calcula-se o número de pessoas entre 23 e 62 anos (inclusivé); 2. calcula-se o número de pessoas que, no intervalo de idades de 23 a 62 anos, têm idades registadas que terminam em 0 e 5; 3. calcula-se o índice IW = no de pessoas na alínea 2 × 5 × 100. no de pessoas na alínea 1 CAPÍTULO 12. QUALIDADE DOS DADOS 62 O IW pode variar entre 100 (ausência de concentração) e 500 (caso limite em que todas as pessoas declaram idades terminadas em 0 e 5) Para facilitar a análise usa-se a escala de valores do anuário demográfico das Nações Unidas de 1963. Assim 105 ≤ 110 ≤ 125 ≤ 12.3 se IW IW IW IW IW < 105 < 110 < 125 ≤ 175 > 175 pode concluir-se que dados muito exactos dados relativamente exactos dados aproximados dados grosseiros dados muito grosseiros Índice de irregularidade Este índice serve para medir qualquer tipo de atracção, por exemplo, pelos números pares e impares, pelo número 0, pelo número 5, pelos números terminados em 1,2,3, ... O índice de irregularidade constrói-se da seguinte forma: 1. calcula-se o número de pessoas com a idade cuja atracção se pretende medir; 2. calcula-se a média aritmética do número de pessoas com as 5 idades que enquadram a idade que se pretende analisar; 3. calcula-se o índice II = no de pessoas da alínea 1 × 100 no de pessoas da alínea 2 Quanto mais o II se afasta de 100 mais demonstra a força da atracção. 12.4 Índice combinado das Nações Unidas Este índice serve para medir a qualidade global de um recenseamento. Este índice combina três indicadores: indicador de regularidade das idades das pessoas do sexo masculino indicador de regularidade das idades das pessoas do sexo feminino indicador de masculinidade O índice combinado das Nações Unidas calcula-se da seguinte maneira: 1. calcula-se o índice de regularidade dos sexos (i.r.s.) da seguinte forma: CAPÍTULO 12. QUALIDADE DOS DADOS 63 i.r.s. = média aritmética das diferenças, em valor absoluto, entre as relações de masculinidade dos grupos sucessivos 2. calcula-se o índice de regularidade das idades do sexo masculino (i.r.i.(M)) e do sexo feminino (i.r.i.(F)) da seguinte maneira: i.r.i.(M) = média aritmética das diferenças, em valor absoluto, entre as relações de regularidade (r.r.) e o 100 com r.r.= efectivos do grupo × 100 média aritmética dos efectivos dos 2 grupos adjacentes (com fórmulas idênticas para o i.r.i.(F)) 3. calcula-se o índice ICNU=3 × (i.r.s.)+i.r.i.(M)+i.r.i(F) Para faciliar a interpretação existe uma grelha (das Nações Unidas) classificativa: se pode concluir-se que ICNU < 20 a validade do recenseamento é boa 20 ≤ ICNU < 40 a qualidade é má ICNU ≥ 40 a qualidade é muito má 12.5 A equação da concordância A equação da concordância tem como objectivo verificar se existe ou não uma concordância entre os diversos dados disponíveis. Estes dados estão relacionados com os dois tipos de movimentos: natural migratório que se verificam num determinado período de tempo. Considerem-se dois instantes x e x + n (n anos após o instante x), i.e., dois períodos com n anos de diferença. Se conhecermos a população nos dois instantes: CAPÍTULO 12. QUALIDADE DOS DADOS 64 Px ← população no momento x Px+n ← população no momento x + n e se N é o número de nascimentos verificados naquele período, O, o número de óbitos ocorridos naquele período, E, o número de emigrantes naquele período, e I, o número de imigrantes no mesmo período, então a equação da concordância (se todos os elementos nela intervenientes tiverem sido correctamente apurados) é: Px+n = Px + N − O + I − E em que N − O representa o crescimento natural e I − E representa o crescimento migratório. A Px + N − O + I − E chama-se população esperada. Quando a população esperada não coincide com a população recenseada, Px+n , deve-se tentar explicar essa diferença. Três hipóteses podem ser formuladas: 1. as parcelas N e I (+) estão subavaliadas; 2. as parcelas O e E (-) estão sobreavaliadas; 3. os recenseamentos não são de boa qualidade. Face à realidade do país em estudo (na época em estudo) assim se podem tirar as conclusões mais acertadas. Algumas recomendações: 1. Face à diferença observada entre população esperada e população recenseada ter em atenção o sinal dessa diferença; 2. Verificar a qualidade dos dados pelos índices de irregularidade e Whipple e ICNU e pela relação de masculinidade dos nascimentos. Se a qualidade for boa, afasta-se a hipótese de recenseamento de má qualidade. 3. Resta uma análise dos movimentos migratórios; 4. Resta ainda uma análise dos registos de nascimento e dos óbitos. Nos registos de nascimento, a relação de masculinidade dos nascimentos ajuda a concluir sobre o subregisto (ou sobreregisto). 5. Notar que é mais frequente um subregisto do que um sobreregisto. Capítulo 13 Análise da mortalidade O estudo da mortalidade, enquanto fenómeno social, gira em torno das três vertentes: 1. caracterização do declínio observado na época em estudo; 2. estudo dos factores responsáveis por esse declínio; 3. estudo das diferenças observadas entre determinados grupos (mortalidade diferencial) 13.1 Taxa bruta de mortalidade A taxa bruta enquanto medida elementar de análise da mortalidade geral é dada por total de óbitos num período × 1000 população média existente nesse período t.b.m. significa taxa bruta de mortalidade. A taxa bruta de mortalidade pode ser calculada como resultante da interacção entre o modelo do fenómeno e a estrutura por idades. A t.b.m. é a soma dos produtos das estruturas relativas em cada idade (ou grupo de idades) pelas taxas nessas idades (ou grupo de idades): Px tx t.b.m.= x=0 em que Px representa a estrutura relativa em cada grupo de idades (proporção) e é igual a população do grupo de idades população total e tx é a taxa de mortalidade do grupo que é igual a total de óbitos no grupo × 1000. população no grupo Ao conjunto de taxas por idades (ou grupo de idades) chama-se modelo do fenómeno. 65 CAPÍTULO 13. ANÁLISE DA MORTALIDADE 66 Exemplo 13.1.1 [3] Completar e Grupos de idades 1 1-4 5-9 10-14 15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70+ Total total de óbitos 1848 1087 318 171 198 197 185 182 200 247 251 346 398 483 502 2463 9076 população tx × 1000 46514 39,73 184916 5,88 215461 1,48 173563 0,99 145227 1,36 125339 1,57 101699 82518 73395 60945 53330 46561 37816 27889 20397 32502 1428082 Px Px tx 0,0326 1,30 0,1295 0,76 0,1509 0,22 0,1215 0,12 0,1017 0,14 0,0878 0,14 1,0000 6,37 • calcular a taxa bruta de mortalidade (geral); • calcular a taxa bruta de mortalidade como resultante da interacção entre modelo e estrutura. Por este processo ficam visíveis os factores intervenientes - o modelo e as estruturas. Quando surgem diferenças nos valores da t.b.m., elas podem vir dos tx (modelos) ou dos Px (estruturas) e têm significados diferentes: • Variações entre modelos (tx ) significam a existência de diferentes riscos de mortalidade (diferenças nas condições gerais de saúde e higiene); • Variações entre estruturas (Px ; maior ou menor envelhecimento) são alheias ao fenómeno em análise. As taxas brutas são muito sensíveis aos efeitos da estrutura. Basta as proporções da população serem diferentes nos grupos em que a mortalidade é mais intensa para termos importantes efeitos de estrutura que nos impossibilitam a comparação entre países, regiões ou épocas. A validade de uma análise feita através das taxas brutas é tanto menor quanto mais diversificadas forem as estruturas das regiões ou épocas que se querem comparar. A validade aumenta com a homogeneização das estruturas populacionais. CAPÍTULO 13. ANÁLISE DA MORTALIDADE 13.2 67 Tipos particulares de mortalidade 1. A taxa de mortalidade por idades e por grupos de idades é dada por total de óbitos entre as idades exactas × 1000 população média existente entre essas idades 2. A taxa de mortalidade infantil (t.m.i) calcula-se da seguinte maneira: total de óbitos entre 0 e 1 anos exactos × 1000 população média existente entre 0 e 1 anos exactos Exemplo 13.2.1 Se numa região houve 11751 nascimentos em 1961, 11730 em 1962, 385 óbitos com menos de 1 ano de vida em 1962, então a t.m.i. em 1962 é: t.m.i. = 385 × 1000 = 32.8 por mil 11740.5 3. A taxa de mortalidade infantil clássica (t.m.i.c.) é dada por total de óbitos com menos de 1 ano × 1000. total de nascimentos nesse ano Tradicionalmente esta medida da taxa de mortalidade infantil relacionava o número de óbitos com menos de um ano e o efectivo dos nascimentos nesse ano (noção de quociente - proporção). Exemplo 13.2.2 Tomando os valores do exemplo 13.2.1: t.m.i.c.= 385 × 1000 = 32.8 por mil 11730 Esta definição não é totalmente satisfatória pois os óbitos ocorridos num ano não resultam apenas de nascimentos desse ano. Sem informação relativa ao ano de nascimento do óbito ocorrido num certo ano, podemos imputar os óbitos a uma média ponderada dos dois efectivos de nascimentos em causa (do ano em questão e do anterior). Este novo processo para calcular a mortalidade infantil chama-se método da média ponderada (m.m.p.). Os coeficientes de ponderação que se devem usar são os da tabela: CAPÍTULO 13. ANÁLISE DA MORTALIDADE t.m.i.c. 200 150 100 50 25 15 68 Ponderação da mortalidade infantil (método de Shryock e Siegel) k k 0.6 0.4 0.67 0.33 0.75 0.25 0.8 0.2 0.85 0.15 0.95 0.05 Os coeficientes de ponderação a usar têm em conta os seis tipos de população, de acordo com o nível de mortalidade infantil esperado e que é determinado pela taxa de mortalidade infantil clássica. Assim t.m.i.(m.m.p.)= total de óbitos com menos de 1 ano × 1000 k N0 + k N1 sendo N0 o total de nascimentos do ano anterior, N1 o total de nascimentos daquele ano e k e k os coeficientes da tabela que correspondem à t.m.i.c. calculada. Exemplo 13.2.3 Do exemplo 13.2.1: t.m.i.(m.m.p.) = 385 × 1000 = 32.8 por mil 0.15(11751) + 0.85(11730) uma vez que a t.m.i.c.=32.8 e da tabela, o valor mais próximo, corresponde à 2a linha a contar do fim. 4. Taxas de mortalidade endógena e exógena As causas que originam a mortalidade infantil são endógenas e exógenas. As endógenas são consequência de deformações congénitas, doenças hereditárias ou traumatismos causados pelo parto. Estes óbitos ocorrem normalmente durante o primeiro mês (menos de 28 dias). Os óbitos exógenos estão relacionados com doenças infecciosas, alimentação e cuidados hospitalares insuficientes ou acidentes. Estes óbitos ocorrem nos restantes meses (de 28 dias até 11 meses). Não havendo registo de óbitos por causas de morte pode usar-se um método (J. Bourgeois-Pichat) que não exige senão o conhecimento dos óbitos por dias e idades. Assim, para se calcular o total de óbitos exógenos, soma-se ao total de óbitos observados no intervalo 28-365 dias, 22.8% destes (ou 25% para uma divisão de 31 a CAPÍTULO 13. ANÁLISE DA MORTALIDADE 69 365 dias). O total de óbitos endógenos é então a diferença entre o total dos óbitos registados e os óbitos exógenos calculados. A taxa de mortalidade infantil clássica é igual à taxa de mortalidade endógena (t.m.end.) mais a taxa de mortalidade exógena (t.m.exo.) sendo total de óbitos endógenos × 1000 total de nascimentos do ano total de óbitos exógenos × 1000. t.m.exo.= total de nascimentos do ano t.m.end.= 13.3 Tábua de mortalidade É possível fazer uma análise da mortalidade de uma população calculando outros índices. O princípio da estandardização [3], que separa o impacte das estruturas do das frequências (modelos), tem como objectivo manter o efeito das estruturas constante, calculando os índices comparativos. Não é contudo o método mais usado. É comum usar o princípio da translação. Com este princípio procura-se estimar a intensidade e o calendário a partir das frequências calculadas em transversal. Aplica-se, assim, o método da coorte fictícia que consiste em transpôr os fenómenos que se observam num determinado momento do tempo, para uma coorte imaginária. No caso da mortalidade, a intensidade mede o número médio de acontecimentos por pessoa e o calendário mede a sua repartição no tempo. O calendário, ao ser resumido pelo índice da tendência central, a média, dá-nos a possibilidade de conhecer a duração de vida média das pessoas. No cômputo dos efectivos de uma população podem surgir efectivos de idade ignorada. Havendo um número significativo de pessoas de idade ignorada, pode usar-se um critério de repartição dessas pessoas. Calcula-se o factor (Coale e Demeny) de correcção: população total população total - população de idade desconhecida e os efectivos de cada idade (ou grupo de idades) são multiplicados por este factor. Existem tábuas de mortalidade por idades que se chamam completas, e tábuas de mortalidade por grupos de idades, chamadas tábuas abreviadas. Nota 13.3.1 No caso da tábua de mortalidade abreviada, as diversas funções são calculadas por grupos de idades quinquenais (n=5), excepto no primeiro grupo, que devido à importância da mortalidade infantil, se divide em dois grupos: • menos de 1 ano (n=1) • 1-4 anos completos (n=4). As diversas funções que integram uma tábua de mortalidade são: CAPÍTULO 13. ANÁLISE DA MORTALIDADE 70 1. Taxa de mortalidade entre a idade exacta x e a idade exacta x + n: n mx = total de óbitos com idade entre x e x + n habitantes com idade entre x e x + n 2. Quociente de mortalidade que é equivalente à probabilidade de morrer entre a idade (exacta) x e a idade (exacta) x + n: n qx 2n n mx . 2 + n n mx = Os casos mais usados são: • n=1 = 2 1 mx 2 + 1 mx 4 qx = 8 4 mx 2 + 4 4 mx 5 qx = 10 5 mx 2 + 5 5 mx 1 qx • n=4 • n=5 Nota 13.3.2 1 q0 é a taxa de mortalidade infantil e n qx do último grupo de idades =1 (todas as pessoas terão de desaparecer) 3. Probabilidade de sobrevivência entre as idades (exactas) x e x + n: n px = 1 −n qx Nota 13.3.3 No último grupo de idades n px = 0 (ninguém irá sobreviver) 4. Sobreviventes em cada idade exacta x: Para tornar possível as comparações temporais e espaciais, aplica-se a um mesmo efectivo à nascença - a raiz da tábua, s0 = 100000 - a lei da mortalidade definida pelos n qx (quociente de mortalidade) ou da sobrevivência definida pelos n px (probabilidade de sobrevivência). Os sobreviventes em cada idade x + n: CAPÍTULO 13. ANÁLISE DA MORTALIDADE 71 sx+n = sx n px ou sx+n = sx (1 −n qx ) = sx − sx n qx 5. Distribuição dos óbitos (tendo em conta o efectivo inicial de 100000) por idades ou grupos de idade n dx = sx − sx+n ou n dx = sx n qx 6. Número de anos vividos pelos sobreviventes sx entre as idades x e x + n: [O número de anos vividos obtém-se multiplicando a média dos efectivos entre idades exactas pelo número de anos] (a) numa tábua de mortalidade completa 1 Nx = (sx + sx+1 ) 2 (b) numa tábua de mortalidade abreviada n Nx = n (sx + sx+n ) 2 Nota 13.3.4 Devido à não linearidade da função de sobrevivência nos primeiros anos de vida, é mais conveniente (aproximação mais exacta) usar: = k s0 + k s1 N = 4 k s + k s 4 1 1 5 1 N0 em que k e k são os coeficientes de ponderação usados no cálculo da mortalidade infantil (pelo método das médias ponderadas), em 13.2. Nota 13.3.5 Para o último grupo (70 e + anos) tem-se: Nk+ = Tk ↔ N70+ = T70+ (ver nota 13.3.8) 7. Probabilidade de sobrevivência entre dois anos completos ou entre dois grupos de anos completos: CAPÍTULO 13. ANÁLISE DA MORTALIDADE 72 (a) numa tábua de mortalidade completa Px = Nx+1 Nx (b) numa tábua de mortalidade abreviada n Px = n Nx+n n Nx Nota 13.3.6 No primeiro grupo de idades, tem-se +4 N1 5s0 500000 5 N5 . 5 P1 = 1 N0 +4 N1 P0 = 5 N0 1 N0 = Nota 13.3.7 O último n Px calcula-se dividindo o último Tx pelo penúltimo (ver nota 13.3.8). 8. Total de anos vividos pela coorte depois da idade x: Como n Nx é o número de anos vividos entre as idades x e x + n, o total de anos vividos pela coorte obtém-se somando os n Nx . Assim, (a) numa tábua de mortalidade completa: Tx = w Nx x (b) numa tábua de mortalidade abreviada Tx = w n Nx . x Nota 13.3.8 O último Tx (ou Tk ), que é igual a Nk+ ,é: Tk = sk mk+ com mk+ a mortalidade do último grupo de idades. CAPÍTULO 13. ANÁLISE DA MORTALIDADE 73 9. Esperança de vida na idade x, i.e., o número médio de anos que resta para viver às pessoas que atingiram a idade x. Quando x = 0, é a esperança de vida à nascença (é o número total de anos vividos desde o nascimento dividido pelo efectivo inicial) e0 = T0 , s0 ou seja, o número médio de anos vividos desde o nascimento (ou o calendário). Do mesmo modo, ex = . Tx . sx Capítulo 14 Análise da natalidade e da fecundidade A característica principal da natalidade no século XX é o declínio (embora posterior ao da mortalidade). Em muitos países não desenvolvidos esse declínio ainda não começou ou está no início. Existe uma grande diversidade de situações no tempo e no espaço. Os estudos sobre a natalidade giram à volta de três eixos fundamentais: 1. caracterização do declínio observado na época contemporânea; 2. estudo dos factores responsáveis por esse declínio; 3. estudo das diferenças observadas entre determinados grupos. Relativamente à caracterização do declínio, passou-se de valores entre os 30 por mil e os 40 por mil, no início do século, para os 10 por mil ou 15 por mil, nos países desenvolvidos. A diversidade de situações é maior na natalidade do que na mortalidade. Esta diversidade levou à procura das causas do declínio da natalidade. Algumas dessas causas são: factores biológicos, relações sexuais, leis e costumes, divórcios, viuvez e abstinência, contracepção e aborto, que por sua vez estão dependentes de diversos factores económios, sociais e culturais (demografia histórica e social). As taxas brutas como medidas elementares da análise da natalidade e fecundidade são as seguintes: 1. a taxa bruta de natalidade: t.b.n.= total de nascimentos num período × 1000. população média existente no mesmo período O período usado é normalmente de um ano. Embora seja um instrumento de análise muito grosseiro (que isola os efeitos de estrutura) é possível introduzir uma correcção. Esta correcção relaciona os nascimentos directamente com a parte da população onde eles ocorrem, ou seja, com a população feminina no período fértil (por convenção, dos 15 aos 50 anos). Assim, 74 CAPÍTULO 14. ANÁLISE DA NATALIDADE E DA FECUNDIDADE 75 2. taxa de fecundidade geral: t.f.g.= total de nascimentos num período × 1000 população feminina no período fértil no mesmo período 3. taxa de fecundidade geral como resultante da interacção entre o modelo do fenómeno e a estrutura por idades. É possivel decompor a t.b.n. nos seus elementos constitutivos, mas como não ocorrem nascimentos em todos os grupos populacionais, é mais interessante analisar a t.f.g. A t.f.g. é a soma dos produtos das estruturas relativas em cada idade (ou grupo de idades), do período fértil das mulheres, pelas taxas nessas mesmas idades (ou grupo de idades), t.f.g.= 50 px tx x=15 com px = população feminina do grupo de idades população feminina do período fértil e tx = total de nascimentos no grupo de idades × 1000 população feminina no grupo Apesar das diferenças existentes entre as curvas de fecundidade dos diversos países, estas têm um modelo único: partem do 0 no grupo 0-15 anos; a partir dos 15 anos a fecundidade é crescente até atingir um máximo entre os 20 e os 30 anos; a partir deste máximo a fecundidade diminui até atingir de novo 0 por volta dos 50 anos. Tipos particulares de natalidade e de fecundidade: 1. A fecundidade por idades ou por grupos de idades: Como os nascimentos ocorrem numa determinada parte da população, não é vulgar calcular taxas de natalidades por idades ou grupos, mas sim taxas de fecundidade por idades ou grupos. 2. A fecundidade legítima Relaciona os nascimentos legítimos com as mulheres casadas no período fértil. t.f.l.= total de nascimentos legítimos × 1000 mulheres casadas 15-49 anos A fecundidade legítima também pode ser medida por idades ou por grupos de idades. Neste caso aplicam-se as regras já referidas nos casos anteriores. CAPÍTULO 14. ANÁLISE DA NATALIDADE E DA FECUNDIDADE 76 3. A fecundidade ilegítima Relaciona os nascimentos ilegítimos com as mulheres não casadas no período fértil t.f.i.= total de nascimentos ilegítimos × 1000 mulheres não casadas 15-49 anos 4. Descendência média O fenómeno em análise é a intensidade da fecundidade e é dada por d.m.=amplitude do intervalo × 49 taxas de fecundidade geral x=15 em que as taxas de fecundidade geral são calculadas por idades ou grupos de idades. 5. Taxa bruta de reprodução Esta correponde à descendência média feminina por mulher na ausência de mortalidade e calcula-se a partir de: t.b.r.=descendência média × 0.488 em que o valor 0.488 resulta da aplicação da relação de masculinidade no nascimento: 100 . 100+105 6. Taxa líquida de reprodução Esta taxa tem em conta a mortalidade. Assim, multiplicando a amplitude do intervalo por 0.488 e pelo somatório dos produtos das taxas de fecundidade geral pelas )(por idades ou grupos de idades), obtémprobabilidades de sobrevivência (n px = sx+n sx se t.l.r.=amplitude do intervalo × 0.488 × 49 t.f.g. n px x=15 7. Idade média da fecundidade É a idade média da população feminina no período fértil considerando a taxa de fecundidade geral como ’frequência relativa’ de cada grupo de idades: 49 t.f.g.Ix . M I = x=15 49 x=15 t.f.g. Os somatórios são relativos aos 7 grupos de idades de amplitudes iguais a 5, do período fértil, se as taxas de fecundidade geral forem calculadas por grupos de idade. A taxa de fecundidade geral de cada grupo de idades, t.f.g., é dada por CAPÍTULO 14. ANÁLISE DA NATALIDADE E DA FECUNDIDADE t.f.g. = 77 total de nascimentos no grupo x . população feminina (no período fértil) no grupo x O Ix é o ponto médio, do grupo x, das idades. Por exemplo, no grupo 15-19, I15 = 17.5; no grupo 20-24, I20 = 22.5; no grupo 25-29, I25 = 27.5; no grupo 30-34, I30 = 32.5; no grupo 35-39, I35 = 37.5; no grupo 40-44, I40 = 42.5; e no grupo 45-49, I45 = 47.5. Nota 14.0.9 O valor de M I de referência no mundo varia entre os 26 e 33 anos. 8. Variância da fecundidade 2 σ = e o desvio padrão σ é √ 49 t.f.g.(Ix − M I )2 49 x=15 t.f.g. x=15 σ2 . Nota 14.0.10 Um valor baixo de M I pode ser consequência de um casamento precoce. Observando a curva das proporções de mulheres casadas, poder-se-á concluir se se trata de casamento precoce ou se o valor baixo é devido à contracepção (curva de fecundidade geral desce rapidamente depois de uma certa idade). Exemplo 14.0.1 No exemplo da figura 14.1, o casamento é relativamente tardio. Um casamento tardio associado à contracepção origina uma variância baixa. As duas curvas foram ajustadas a 100. As colunas 3 e 5 da tabela da figura 14.2 apresentam os valores já ajustados. CAPÍTULO 14. ANÁLISE DA NATALIDADE E DA FECUNDIDADE 78 C u rv a s d e p ro p o rç õ e s d e m u lh e re s c a s a d a s e fe c u n d id a d e 100 50 0 1 5 -1 9 2 0 -2 4 2 5 -2 9 3 0 -3 4 C a sa d a s 3 5 -3 9 4 0 -4 4 4 5 -4 9 F e cu n d id a d e Figura 14.1: Gráfico das curvas Grupo de idades 15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49 taxa de fecundidade geral 0.02197 0.16807 0.18008 0.10730 0.05341 0.01880 0.00119 ajuste a 100 12 93 100 60 30 10 1 proporção de mulheres casadas 0.0406 0.4739 0.7891 0.8511 0.8550 0.8359 0.7973 ajuste a 100 5 55 92 100 100 98 90 Figura 14.2: Tabela das taxas de fecundidade geral [3] Capítulo 15 Análise da nupcialidade A nupcialidade não é considerada uma variável microdemográfica autêntica, uma vez que a sua variação - aumento ou diminuição - não afecta directamente a dinâmica populacional. Intervém na dinâmica populacional através da natalidade. Muitos autores consideram a nupcialidade como um aspecto particular do estudo da natalidade. A evolução verificada, a partir do fim da segunda guerra mundial, na nupcialidade dos países desenvolvidos é caracterizada por uma diminuição das taxas brutas e por um aumento do divórcio. 15.1 Taxas de nupcialidade As taxas brutas enquanto medidas elementares de análise são as seguintes: 1. Taxa bruta de nupcialidade Esta taxa mede o nível de nupcialidade e é dada por t.b.nup.= total de casamentos observados num período × 1000 população média desse período O período normalmente usado é de um ano. A taxa bruta de nupcialidade também pode ser considerada (tal como a mortalidade e a natalidade) como o resultado da interacção entre o modelo do fenómeno e a estrutura por idades. No entanto, aqui haveria que distinguir entre primeiro casamento, segundo casamento, casamento de solteiros, de viúvos e divorciados... A análise seria muito complexa! Tomemos em consideração apenas o seguinte: (a) o modelo da nupcialidade é muito semlhante ao da fecundidade - parte de 0 por volta dos 15 anos, atinge um máximo por volta dos 30 anos e diminui a partir daí. 79 CAPÍTULO 15. ANÁLISE DA NUPCIALIDADE 80 A grande diferença em relação à fecundidade é que não se reduz a 0 por volta dos 50 anos. (b) utilizando a lógica das taxas é possível calcular outros indicadores mais sofisticados. 2. Taxa de nupcialidade geral Esta taxa de nupcialidade geral relaciona os casamentos com as pessoas ”casáveis” e é dada por t.n.g.= número de casamentos × 1000. população com + de 15 anos 3. Taxa de nupcialidade geral dos solteiros Esta taxa relaciona os casamentos com as pessoas ”casáveis”, excluindo os viúvos e divorciados. Nota 15.1.1 Pode ser calculada por sexos. 4. Taxas de nupcialidade por idades ou grupo de idades, e por sexos. Nota 15.1.2 Relaciona o casamento numa determinada idade (ou grupo de idades) com a população dessa idade (ou desse grupo de idades). Exemplo 15.1.1 A taxa de nupcialidade do sexo masculino no grupo 25-29 é: t.n.grupo(masc.)= número de casamentos (25-29) masc. × 1000. população (25-29) masc. 5. Taxa de nupcialidade por ordem Tem em conta a ordem do casamento. Assim, (a) Taxa do primeiro casamento t.p.c.= número de casamentos de ordem 1 × 1000 solteiros com + de 15 anos Nota 15.1.3 É vulgar calcular esta taxa por grupos de idades e sexos separados. Exemplo 15.1.2 A taxa do primeiro casamento no grupo 20-24 é número de casamentos de ordem 1 no grupo 20-24 × 1000; solteiros no grupo 20-24 CAPÍTULO 15. ANÁLISE DA NUPCIALIDADE (b) Taxa do segundo casamento t.s.c.= número de casamentos de ordem 2 × 1000. viúvos + divorciados 6. Taxa bruta de divórcio Esta taxa relaciona o número de divórcios com o total da população, t.b.div.= número de divórcios × 1000 total da população (a) Taxa de divórcio geral t.d.geral= número de divórcios × 1000 população com + 15 anos Nota 15.1.4 É vulgar calcular esta taxa por sexos. (b) Taxa de divórcio dos casados t.d.casados= número de divórcios × 1000 população casada Nota 15.1.5 É vulgar calcular esta taxa por sexos. (c) Taxa de divórcio por idades ou grupo de idades Exemplo 15.1.3 A taxa de divórcio do grupo de 20-24 é t.d.(20-24)= número de divórcios no grupo 20-24 × 1000 população no grupo 20-24 Nota 15.1.6 É vulgar calcular esta taxa por sexos. (d) Taxa de divórcio por duração de casamento Exemplo 15.1.4 A taxa de divórcio com 10 anos de duração é dada por t.d.(10 anos)= número de divórcios com 10 anos × 1000 população casada há 10 anos Nota 15.1.7 É vulgar calcular esta taxa por sexos. 7. Taxa bruta de viuvez Esta taxa relaciona o número de viúvos com o total da população e é dada por t.b.viuvez= número de viúvos × 1000. população 81 CAPÍTULO 15. ANÁLISE DA NUPCIALIDADE 15.2 82 Tábua de nupcialidade A partir de uma tábua de nupcialidade, é possível estimar a intensidade e o calendário do fenómeno em análise. Para a construir teremos de ter informação relativa aos casamentos por grupos de idades e às estruturas populacionais por estado civil. Raciocinando em termos do primeiro casamento e aplicando o princípio da coorte fictícia, tudo se passa como na mortalidade, em que imaginamos uma geração que ao percorrer as idades da vida, é submetida em cada idade às condições reais de mortalidade observadas num determinado momento. No caso do fenómeno da nupcialidade, temos uma geração de solteiros que a partir dos 15 anos (idade minimamente significativa) e até aos 50 anos (idade a partir da qual o primeiro casamento é estatisticamente pouco relevante) irá ser ’submetida’ ao casamento. Assim, • os óbitos de uma tábua de mortalidade passam a ser os primeiros casamentos de uma tábua de nupcialidade; • os sobreviventes de uma tábua de mortalidade passam a ser os celibatários de uma tábua de nupcialidade. Nota 15.2.1 A diferença principal reside no facto de que na mortalidade, no fim da geração ninguém sobrevive (intensidade =1), enquanto que no caso da nupcialidade existem sempre ’sobreviventes’ ao casamento e que são os celibatários definitivos. Temos, assim: 5 nx 5 qx com = taxa de nupcialidade dos solteiros por grupos de idades quinquenais; = probabilidade do ’primeiro casamento’ quinquenal 10 5 nx ; 2 + 5 5 nx 5 px = probabilidade de sobreviver ao primeiro casamento 5 qx = com 5 px = 1 − 5 qx ou Cx+5 , Cx em que Cx são os celibatários na idade x e Cx+5 os celibatários na idade x + 5; 5 px 5 dx = = (distribuição de) casamentos entre idades exactas CAPÍTULO 15. ANÁLISE DA NUPCIALIDADE 83 com 5 dx = Cx 5 qx ou 5 dx = Cx − Cx+5 ; Cx = (sobreviventes) celibatários na idade exacta x com Cx+n = Cx − n dx = Cx − Cx n qx = Cx (1 −n qx ) Cx+n = Cx n px e C15 = 100000. A intensidade I é dada por C15 − C50 C15 C50 =1− C15 I= e I × 100% é a percentagem da população que casa entre os 15 e os 50 anos. O celibato definitivo é dado por: CD = C50 C15 ou CD = 1 − I e CD × 100% é a percentagem da população que fica celibatária. A idade média, X, no primeiro casamento: X= I15 5 d15 + I20 5 d20 + I25 5 d25 + ... + I45 5 d45 5 d15 + 5 d20 + 5 d25 + ... + 5 d45 com I15 = 17.5, I20 = 22.5, ..., I45 = 47.5 Quando não existe informação relativa ao estado civil, é possível estimar a idade média no primeiro casamento, X, a intensidade, I, e o celibato definitivo, CD, utilizando apenas as estruturas da população - só será preciso o estado civil das pessoas, por sexos e grupos de idades. Assim, CAPÍTULO 15. ANÁLISE DA NUPCIALIDADE 84 1. o celibato definitivo é estimado por: CD = T50 = 5 T45 +5 T50 2 em que 5 Tx é a proporção de celibatários no grupo x - x + 5; 2. a intensidade é estimada por: I = 1 − T50 ; 3. A idade média no casamento é estimada por: 5 45 x=15 5 Tx − 35 T50 X = 15 + 1 − T50 em que o somatório é calculado de grupo em grupo. Capítulo 16 Análise dos movimentos migratórios Além dos movimentos naturais existem outros movimentos de natureza diferente, conhecidos por movimentos migratórios e que abrangem as três situações seguintes: a emigração a imigração as migrações internas A variação destes movimentos no tempo e no espaço depende de factores socio-económicos complexos internos e externos. Existem métodos directos e indirectos para analisar os movimentos migratórios. 16.1 Métodos directos de análise Os métodos directos são aqueles que utilizam directamente os dados disponíveis e são baseados no cálculo das seguintes taxas: 1. Taxa bruta de emigração: t.b.emig.= número de emigrantes oficiais × 1000; população 2. Taxa bruta de imigração: t.b.imig.= número de imigrantes oficiais × 1000; população 3. Taxa bruta de migração total: t.b.mig.total= emigrantes oficiais + imigrantes oficiais × 1000. população O cálculo destas taxas é baseado normalmente no período de um ano. A população refere-se à população média num determinado período (ano). 85 CAPÍTULO 16. ANÁLISE DOS MOVIMENTOS MIGRATÓRIOS 16.2 86 Métodos indirectos de análise Os métodos indirectos são baseados na equação da concordância (ver no Capítulo 12 sobre a Qualidade dos dados). Só através da equação de concordância é possível conhecer valores (aproximados) das migrações internas e da emigração clandestina. Como Px+n = Px + N − O + I − E, tem-se Px+n − Px = N − O + I − E onde o Px+n − Px representa o crescimento entre recenseamentos, N − O o crescimentos natural e I − E o crescimentos (saldo) migratório total. Assim, crescimento migratório total = crescimento entre recenseamentos – - crescimento natural. Nota 16.2.1 Quando o movimento (crescimento) migratório total é muito superior (em termos absolutos) ao valor obtido pela diferença (imigrantes oficiais - emigrantes oficiais) estamos perante valores elevados de migração interna e clandestinidade. Para estimar o peso da clandestinidade é usual usar uma ponderação (que se aplica às diversas regiões num determinado período) que se calcula a nível do país, num determinado período. O período normalmente considerado é de 10 anos. O peso da clandestinidade varia mais no tempo do que no espaço. Assim, ponderação (a nível do país)= emigrantes clandestinos num período emigrantes oficiais no mesmo período Calcula-se então o número de emigrantes clandestinos multiplicando o número de emigrantes oficiais pela ponderação. O número real de emigrantes é: n.r.emig. = número de emigrantes oficiais + número de emigrantes clandestinos. Finalmente, o saldo migratório interno é: s.m.inter.=saldo migratório total - saldo migratório externo em que o saldo migratório total é obtido pela equação da concordância, e o saldo migratório externo pode ser visto como o número de imigrantes oficiais menos o número real de emigrantes. A partir do número real de emigrantes calcula-se CAPÍTULO 16. ANÁLISE DOS MOVIMENTOS MIGRATÓRIOS i) a taxa bruta de emigração real t.b.emig.(real)= número real de emigrantes × 1000 população ii) a taxa bruta de migração externa líquida t.b.mig.ext.liq.=t.b.imig. - t.b.emi.(real) com t.b.imig. = número de imigrantes oficiais × 1000 população iii) a taxa bruta de migração interna líquida t.b.mig.int.liq.= saldo migratório interno × 1000 população iv) a taxa bruta de migração total líquida t.b.mig.total liq.=t.b.mig.ext.liq. - t.b.mig.int.liq 87 Parte IV Exercícios 88 89 Abreviações Ao longo dos próximos exercícios foram usadas as seguintes abreviações: GI EM EF CF FM FF NM NF IME N O I Ef Id P V M PMIG C R NU Prob DI F Ma Prop r.m. r.r. Grupo de Idades Efectivos Masculinos Efectivos Femininos Casados Femininos Falecidos Masculinos Falecidos Femininos Nascimentos Masculinos Nascimentos Femininos Idade Média dos Efectivos Nascimentos Óbitos Imigrantes Efectivos Idade População Vivos Mortalidade Ponto Médio da Idade dos Grupos Casamentos Recenseamentos Nupcialidade Probabilidade Distribuição Femininos Masculinos Proporções Relação de Masculinidade Relação de Regularidade 90 1. A figura que se segue representa um mapa da freguesia do Forno da cidade de Âncora. Use a tabela de números aleatórios para seleccionar uma amostra aleatória de 10 blocos habitacionais desta freguesia. (Nota: cada bloco tem um número de identificação no mapa). 91 2. A seguinte tabela apresenta o número de casamentos ocorridos numa dada freguesia, ao longo de cinco anos Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez 1900 1901 1902 1903 1904 64 64 62 66 54 62 70 65 72 68 50 51 45 50 41 54 50 48 45 40 84 82 80 89 75 90 85 95 84 80 42 40 38 35 40 35 30 31 32 40 30 25 35 30 25 71 75 80 70 71 75 80 71 75 70 40 42 45 40 35 Calcule os índices sazonais pelo método das médias mensais. Interprete o resultado. 3. Os nascimentos registados numa freguesia de Trás-os-Montes, ao longo de quatro anos consecutivos foram os seguintes: Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho Julho Agosto Setembro Outubro Novembro Dezembro 1990 1991 1992 1993 7 8 6 7 17 15 17 14 11 10 12 10 10 9 8 7 19 20 17 15 15 12 11 10 8 6 6 5 5 5 4 5 6 7 7 5 6 6 7 7 7 8 7 8 8 7 9 9 Calcule os índices sazonais e interprete o movimento sazonal nos anos de 1990 a 1993. 4. Foram registados os valores das taxas brutas de mortalidade infantil de uma freguesia 92 ao longo de vinte décadas (1800 a 1990): 1800-09 1810-19 1820-29 1830-39 1840-49 72 77 71 59 62 1850-59 1860-69 1870-79 1880-89 1890-99 41 54 47 50 67 1900-09 1910-19 1920-29 1930-39 1940-49 52 46 55 47 40 1950-59 1960-69 1970-79 1980-89 1990-97 45 15 11 9 5 Estudar a tendência, usando o método das médias móveis baseado num período de cinco décadas. 5. As taxas brutas de mortalidade infantil masculina ao longo de seis décadas (1770 a 1820) de uma região do Alentejo são as seguintes: 1770-79 1780-89 1790-99 1800-09 1810-19 1820-29 73 81 75 61 70 35 Estudar a tendência usando o método analítico. Qual terá sido a taxa de mortalidade infantil masculina na década de 1760-1769? 6. Em meados do século XX, foram registados os seguintes valores da região da cidade de Marinhas: Freguesias EM EF NM NF IME Maró S. Pedro 31 40 45 51 7 8 7 6 30 31 Luz Nora Cruz Velha 35 51 36 41 42 52 7 10 9 8 8 9 33 31 35 (a) Calcule a idade média dos habitantes da cidade (b) Calcule a relação de masculinidade dos habitantes da cidade (c) Calcule a relação de masculinidade dos nascimentos. Aprecie a qualidade do registo dos nascimentos, calculando o intervalo (de variação) de confiança a 95% de probabilidade. 93 7. Numa freguesia da Beira Alta foram registados, em 1910, os seguintes efectivos GI EM 0 91 1-4 64 5-9 57 10-14 54 15-19 40 20-24 39 25-29 38 30-34 46 35-39 34 40-44 23 45-49 22 50-54 19 55-59 9 60-64 8 65-69 7 70-74 5 75-79 3 80-84 2 85-89 1 EF 95 67 59 56 44 42 44 40 37 34 39 29 17 15 12 9 6 3 1 CF FM FF 5 3 1 1 1 1 0 1 8 0 0 35 2 0 36 1 1 38 1 0 33 0 0 29 1 1 30 1 0 23 0 0 12 0 0 10 1 0 9 1 0 5 0 1 3 0 1 1 1 0 0 1 0 (a) Calcular a percentagem de mulheres não casadas com 40 ou mais anos. (b) Comparar a percentagem da alínea anterior com a percentagem de mulheres não casadas da freguesia. (c) Calcular a mediana das idades dos efectivos da freguesia. Interpretar. (d) Calcular a média das idades de todos os efectivos. (e) Qual é o tipo da distribuição das idades, relativamente à sua simetria? (f) Calcule a taxa de crescimento da população da freguesia, pressupondo um crescimento contínuo e sabendo que em 1990 havia 1553 efectivos. (g) Considerando a mesma taxa da alínea anterior qual terá sido a população da freguesia em 1810. (h) Considerando, agora, os seguintes grupos funcionais 0-14, 15-64 e 65 e + anos, calcule a percentagem de activos do sexo masculino da freguesia em 1910 e o índice de vitalidade masculina. (i) Considerando os mesmos grupos da alínea anterior calcule o racio de dependência total dos efectivos do sexo masculino e o ratio de dependência total dos efectivos do sexo feminino. Interprete. 94 (j) Calcule a taxa bruta de mortalidade geral. (k) Calcule a taxa bruta de mortalidade como resultante da interacção entre o modelo e a estrutura. (l) Aprecie a qualidade dos dados, calculando o índice combinado das Nações Unidas. (m) Calcule a taxa de mortalidade infantil clássica. (n) Do total de óbitos com menos de um ano, 4 ocorreram antes dos 28 dias. Calcule as taxas de mortalidade infantil endógena e exógena. (o) Calcule a taxa de fecundidade geral. 8. A população de um distrito era em 1900 de 723012 habitantes. Em 1990 foram recenseados 731050 habitantes. Qual é a taxa de crescimento verificada neste período de 90 anos, supondo um crescimento geométrico? Supondo que o ritmo de crescimento verificado no século XIX foi igual ao do século XX, qual teria sido a populaçao em 1850? 9. Observe os seguintes dados respeitantes aos nascimentos: Distrito Porto Lisboa Horta 1930 1949 1960 H M H M H M 13510 12881 16623 15453 18145 17082 10931 10392 10720 9500 12890 12095 581 546 643 606 475 432 Considerando os três distritos separadamente, e por anos, aprecie a qualidade dos dados através da relação de masculinidade, calculando também quando necessário intervalos de confiança. 95 10. No período de 1910 a 1990 numa certa região, verificaram-se movimentos naturais e migratórios, dos quais só existem os seguintes registos: N O I Ef 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 46 35 40 51 60 53 42 35 25 20 40 35 50 40 33 25 20 15 2 4 3 4 1 3 2 4 10 941 930 935 920 942 944 946 948 950 (a) Verifique se existe alguma correlação entre os nascimentos e os óbitos naquela região e ao longo do período registado. Se existe, de que tipo é? (b) Usando a equação da concordância estime o número de emigrantes desse período de 80 anos. 11. Aprecie a qualidade dos dados relativamente à atracção por valores terminados em 0 e 5 no registo das idades dos efectivos da freguesias de Botafogo, calculando o índice de Whipple. Id 0e1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 30 26 25 23 15 20 13 15 16 22 23 17 18 Id 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 16 12 12 14 16 18 23 19 15 13 12 25 13 Id 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 15 19 13 20 9 8 13 11 17 11 10 14 14 Id 40 15 41 7 42 8 43 7 44 6 45 16 46 8 47 6 48 5 49 6 50 10 51 5 52 4 Id 53 5 54 8 55 9 56 4 57 3 58 7 59 8 60 12 61 5 62 4 63 9 64 4 65 7 Id 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 e + 4 3 4 3 5 2 2 4 1 10 96 12. A repartição da população de um distrito por idade e por sexo é a seguinte: Id 0e1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 H 60 33 20 14 28 24 23 28 23 25 18 32 20 27 22 23 16 26 13 30 M 41 19 19 14 14 23 27 26 18 24 18 33 16 21 18 33 14 27 18 50 Id 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 H 7 23 10 23 14 25 11 19 2 45 6 12 12 10 13 26 4 12 7 66 M 14 16 11 27 15 15 5 16 5 53 7 15 12 17 13 16 4 12 3 59 Id 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 H 4 13 6 8 12 26 20 5 46 4 1 2 4 6 2 5 2 42 M Id 6 61 11 62 6 63 10 64 10 65 9 66 6 67 13 68 4 69 43 70 e + 3 3 8 9 4 4 4 1 41 Total: H 1 3 2 1 6 2 2 2 1 17 M 1 4 1 1 6 2 2 22 1097 1042 (a) Construa a pirâmide de idades usando grupos quinquenais. (b) Aprecie a qualidade dos dados relativamente à atracção por valores terminados em 0 e 5 nestes registos, calculando os índices de Whipple por sexo. (c) Estude a atracção por valores terminados em 0 usando o índice de irregularidade. 13. Num determinado recenseamento a população masculina de 23 a 62 anos é de 1774524 e a feminina é de 2024972. A população registada com 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55 e 60 anos é de 364498 para a população masculina e de 412637 para a população feminina. Calcule os índices de Whipple para os dois sexos e conclua sobre a qualidade dos dados. 97 14. Considere os seguintes dados por grupos de idades: GI EM EF r.m. |Dif.Suc.| r.r. |r.r.-100| r.r. |r.r.-100| – Ma – Ma – F – F – – – – – – – – – – – ×100 0-4 388898 380729 5-9 387764 374444 10-14 329901 316366 15-19 338290 344489 20-24 303461 322174 25-29 247252 287879 30-34 202688 239092 35-39 189979 220078 40-44 172401 204964 45-49 150846 181026 50-54 143997 173833 55-59 117213 141652 60-64 101940 128179 65-69 71878 94306 70 e + 109368 160796 Total 3255876 3570007 /12 – Calcule o índice combinado das Nações Unidas. Que conclusões tira sobre a qualidade dos dados? 15. No período 1951-1960, no nosso país, houve 2075500 nascimentos, 948705 óbitos, 353534 emigrantes oficiais e 15448 imigrantes. De França veio a seguinte informação: 9870 emigrantes clandestinos. A população em 1950 era de 8441312 e em 1960 de 8889392. Também se registou um saldo migratório com as colónias de I − E = −112482. Conclua sobre a qualidade dos dados através da equação da concordância. 16. Construa a tábua de mortalidade a partir da repartição da população indicada na figura 16.1, por grupos de idades. 0 1-4 5-9 10-14 15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70 e + Óbitos 174855 19277 714859 9426 798678 1528 799693 928 810964 1551 761703 2279 681286 2256 541099 1905 567333 2301 524737 2721 460041 3148 390566 3628 331777 4412 294439 5985 229976 7408 356539 34162 População Quociente de mortalidade n qx Taxa de mortalidade n mx n px sobrevivência de Probabilidade sx+n na idade x Sobreviventes n dx dos óbitos Distribuição Número de n Nx anos vividos n Px sobrevivência de Probabilidade Total de anos Tx depois da idade x ex vida Esperança de 98 Figura 16.1: Tábua de mortalidade 99 17. São conhecidos os seguintes dados, relativos a 1960, numa região da Europa: Id mãe N V PF média Total Legítimos Total Casada 15-19 736 564 29440 1178 20-24 4788 4750 23940 11970 25-29 5467 5356 27335 22779 30-34 3218 3101 22526 19252 35-39 1307 1290 23526 20007 40-44 546 540 27300 21050 45-49 123 119 24600 18223 Total 16185 15720 178667 114459 O F Taxa M 5 mx 490 414 498 435 485 607 601 A população média é de 720025. (a) Calcule a taxa bruta de natalidade; (b) Calcule a taxa de fecundidade geral; (c) Calcule a taxa de fecundidade legítima; (d) Calcule a taxa de fecundidade ilegítima; (e) Verifique se foram correctamente calculadas as taxas das duas primeiras alíneas; (f) Calcule as taxas de fecundidade geral e as taxas de fecundidade legítima por grupos de idades; (g) Calcule a descendência média e as taxas bruta e líquida de reprodução. Interprete os resultados obtidos; Id mãe t.f.g. t.f.l. Quociente M (5 qx ) Prob. sobrevivência t.f.g.× 5 px 5 px 15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49 Total (h) Calcule a idade média da fecundidade, M x , a variância, σ 2 , e as proporções de mulheres casadas. Ajuste estas proporções a 100 bem como as taxas de fecundidade geral. Represente graficamente e comente os resultados. 100 Id mãe x − ... 15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49 Total t.f.g. PMIG t.f.g.×Ix Ix 17.5 22.5 27.5 32.5 37.5 42.5 47.5 Id mãe 15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49 PF média Total Casada 29440 1178 23940 11970 27335 22779 22526 19252 23526 20007 27300 21050 24600 18223 Ix − M I Prop F casadas Ix − M I 2 t.f.g. × 2 Ix − M I Ajuste a 100 das Prop. Ajuste a 100 das t.f.g. 100 50 15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49 GI 18. Dispomos dos seguintes dados, relativos ao período de 1929-1932, numa região de 101 Portugal: GI 15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49 50 e + Total C solteiros R solteiros Taxas NU 1929-1932 de 1930 Ma Ma F Ma F 5 nx 149 797 32880 32530 1967 2050 25308 22667 1391 878 10872 11305 384 249 4848 6451 128 97 3136 4576 69 47 2135 3599 31 21 1667 3091 37 17 5343 10871 Taxas NU F 5 nx A população masculina total é de 326579. A população feminina total é de 357001. (a) Calcule a taxa bruta de nupcialidade; (b) Calcule a taxa de nupcialidade geral (dos solteiros); (c) Calcule as taxas de nupcialidade por grupos de idades e por sexos; (d) Calcule as tábuas de nupcialidade para ambos os sexos; GI Ma 15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-59 50 e + Prob Prob o do 1 C sobreviver ao 1o C 5 qx 5 px Sobreviventes na idade x DI de C entre idades Cx 100000 5 dx 102 GI F 15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-59 50 e + Prob Prob o do 1 C sobrevivier ao 1o C 5 qx 5 px Sobreviventes na idade x DI de C entre idades Cx 100000 5 dx 103 (e) Calcule o celibato definitivo (CD), a intensidade do casamento (I) e a idade média no primeiro casamento (X) para ambos os sexos. Grupo DI de C PMIG de entre idades idades 5 dx x − ... Ma Ix 15-19 17.5 20-24 22.5 25-29 27.5 30-34 32.5 35-39 27.5 40-44 42.5 45-49 47.5 Total - 5 dx × Ix DI de C PMIG 5 dx × Ix entre idades 5 dx Ma F Ix 17.5 22.5 27.5 32.5 37.5 32.5 47.5 - F 19. São conhecidos os seguintes dados numa determinada região de Portugal: População em 1960 População em 1970 Nascimentos entre 1961-1970 (10 anos) Óbitos entre 1961-1970 (10 anos) Emigrantes entre 1961-1970 (10 anos) Imigrnates entre 1961-1970 (10 anos) Emigrantes oficiais a nível do país entre 1961-1970 Emigrantes clandestinos a nível do país entre 1961-1970 276895 205197 41053 25760 9009 18 681004 517385 Os emigrantes clandestinos a nível do país foram calculados pela equação da concordância, uma vez que no país não existem migrações internas. (a) Calcule a taxa bruta de emigração; (b) Calcule a taxa bruta de imigração; (c) Calcule a taxa bruta de migração total; (d) Através da equação da concordância calcule o saldo (movimento) migratório total. Compare com os dados oficiais. Interprete os reultados; (e) Estime o número real de emigrantes (=oficiais+clandestinos); (f) Calcule o saldo migratório externo; (g) Calcule o saldo migratório interno; (h) Calcule a taxa bruta de emigração real; (i) Calcule a taxa bruta de migração externa líquida; (j) Calcule a taxa bruta de migração interna líquida. 104 Anexo Tabela de números aleatórios Linha 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 19223 73676 45467 52711 95592 68417 82739 60940 36009 38448 81486 59636 62568 45149 61041 14459 38167 73190 95857 35476 95034 47150 71709 38889 94007 35013 57890 72024 19365 48789 69487 88804 70206 32992 77684 26056 98532 32533 07118 55972 05756 99400 77558 93074 69971 15529 20807 17868 15412 18338 60513 04634 40325 75730 94322 31424 62183 04470 87664 39421 28713 01927 00095 60227 91481 72765 47511 24943 39638 24697 09297 71197 03699 66280 24709 80371 70632 29669 92099 65850 96409 27754 32863 40011 60779 85089 81676 61790 85453 39364 00412 19352 71080 03819 73698 65103 23417 84407 58806 04266 105 12531 42648 29485 85848 53791 57067 55300 90656 46816 42006 71238 73089 22553 56202 14526 62253 26185 90785 66979 35435 42544 82425 82226 48767 17297 50211 94383 87964 83485 76688 27649 84898 11486 02938 31893 50490 41448 65956 98624 43742 82853 36290 90056 52573 59335 47487 14893 18883 41979 08708 39950 45785 11776 70915 32592 61181 75532 86382 84826 11937 TABELA DE NÚMEROS ALEATÓRIOS Linha 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 71487 13873 54580 71035 96746 96927 43909 15689 36759 69051 05007 68732 45740 27816 66925 08421 53645 66831 55588 12975 96767 72829 88565 62964 19687 37609 54873 00694 71546 07511 0380. 77320 07886 87065 42090 55494 16698 16297 22897 98163 09984 81598 81507 09001 12149 19931 99477 14227 58984 64817 16632 55259 41807 78416 55658 44753 66812 68908 99404 13258 35964 50232 42628 88145 12633 59057 86278 05977 05233 88915 29341 35030 56866 74133 09628 67690 30406 07626 17467 45944 29077 95052 27102 43367 37823 36089 25330 06565 68288 87174 81194 84292 65561 18329 39100 77377 61421 40772 70708 13048 23822 97892 17797 83083 57857 66967 88737 19664 53946 41267 29264 77519 39648 21117 54035 88131 96587 68683 17638 34210 14863 90908 56027 49497 71868 74192 64359 14374 22913 09517 14873 08796 33302 21337 78458 28744 47836 21558 41098 45144 96012 63408 49376 69453 95806 83401 74351 65441 68743 16853 80198 41109 69290 70595 93879 81800 65985 45335 70043 64158 106 61683 73592 55892 72719 18442 77567 40085 13352 18638 84534 04197 43165 07051 35213 11206 75592 12609 47781 43563 72321 94591 77919 61762 46109 09931 60705 47500 20903 72460 84569 12371 98296 03600 22791 98441 11188 07165 34377 36243 76971 47052 75186 33063 96758 35119 88741 16925 49367 54303 06489 85576 93739 93623 37741 19876 08563 15373 33586 56934 81940 65194 44575 16953 59505 02150 02384 84552 62371 27601 79367 13121 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