ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI
UNITAU
APOSTILA
PIRÂMIDES
PROF. CARLINHOS
NOME DO ALUNO:
Nº
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TURMA:
1
PIRÂMIDES
Pirâmide é o poliedro convexo tal que uma face é um polígono convexo e as demais faces são triângulos
que têm um vértice comum. Numa pirâmide devemos destacar os seguintes elementos:
h
PIRAMIDE OBLÍQUA: projeção
ortogonal do vértice não
coincide com o centro da base.
PIRAMIDE RETA: projeção
ortogonal do vértice coincide
com o centro da base.
Nomenclatura
O nome de uma pirâmide, é de acordo com o número de lados do polígono da sua base. Se for triângulo,
chama-se triangular, se for quadrilátero, quadrangular e assim sucessivamente.
Pirâmide Regular
Para uma pirâmide ser regular, é necessário que ela satisfaça duas condições:
1ª) A base deve ser um polígono regular;
2ª) A projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base coincide com o centro da base.
Numa pirâmide regular devemos destacar os seguintes elementos:
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Em uma pirâmide regular, as arestas laterais são iguais, logo, as faces laterais são triângulos isósceles
congruentes.
Área total de uma pirâmide (At ) : At = Ab + Al , onde Ab ( área da base ) e Al ( área lateral ou seja soma das
áreas das faces ).
Volume de uma pirâmide ( V ) : V =
1
. Ab . h, onde Ab ( área da base ) e h ( sua altura).
3
Tetraedro Regular
É a pirâmide que possui quatro faces que são triângulos equiláteros.
apótema da base ( m ) : m =
a 3
6
apótema do tetraedro ( g ) : g =
a 3
2
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3
altura de um tetraedro regular ( h ) : h =
a 6
3
área total ( At ) : At = a 2 3
volume ( V ) : V =
a3. 2
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Exemplos:
1) Calcule a área total e o volume de uma pirâmide quadrangular regular cuja a aresta da base mede 8 cm e
a sua altura 3 cm.
Resolução:
2) O volume de uma pirâmide triangular regular é igual a 24 3 cm3 e sua altura igual a 6cm. Calcule a
medida da aresta da sua base.
Resolução:
3) A soma de todas as arestas de um tetraedro regular é igual a 36 cm. Calcule a sua área total e o seu
volume.
Resolução:
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM
1) Dada uma pirâmide quadrangular regular cuja a altura mede 12cm e o apótema da base mede
9cm. Calcule:
a) O apótema da pirâmide. Resp: 15 cm
b) A aresta da base. Resp: 18 cm
c) A aresta lateral. Resp: 3 34 cm
d) A área lateral. Resp: 540 cm2
e) O volume. Resp: 1296 cm3
2) Dada uma pirâmide triangular regular cuja a aresta lateral mede 15cm e a aresta da base mede
18cm. Calcule:
a) O apótema da pirâmide. Resp: 12 cm
b) A apótema da base. Resp: 3 3 cm
c) A altura da pirâmide. Resp: 3 13 cm
d) A área lateral. Resp: 324 cm2
e) A área total. Resp: 81( 3 + 4) cm2
3) O perímetro da base de uma pirâmide hexagonal regular mede 36cm e o apótema da pirâmide 20cm.
Calcule:
a) O apótema da base. Resp: 3 3 cm
b) A altura da pirâmide. Resp:
373 cm
c) A área lateral. Resp: 360 cm2
d) A área total. Resp: 18(3 3 + 20) cm2
4) Uma pirâmide regular tem por base um quadrado de 12cm de lado. Ache o volume, sabendo que a
aresta lateral mede 15cm. Resp: 48 153 cm3
5) A base de uma pirâmide regular é um triângulo de lados 8cm, 10cm e 10cm. Ache o volume, sabendo
que a altura da pirâmide mede 27cm. Resp: 72 21 cm
6) A aresta de um tetraedro regular mede
12 cm. Ache a sua altura e sua área total.
Resp: h = 2 2 cm At = 12 3 cm2
7) A área total
Resp:
de um tetraedro
regular
é
81 3 cm2. Ache
o
apótema
do tetraedro.
9 3
cm
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8) Considerando um tetraedro regular, Calcule:
a) Seu volume, sabendo que aresta mede 3 2 cm. Resp: 9cm3
b) Seu volume, sabendo que a área total dele é 24 3 cm2. Resp: 8 3 cm3
c) Sua altura, sabendo que o seu volume é 36 2 cm3. Resp: 2 6 864 cm
9) Calcule a área total e o volume de um octaedro regular cuja aresta mede 3 cm.
Resp: A = 18 3 cm2 V = 9 cm3
10) (Unifesp) Quatro dos oito vértices de um cubo de aresta unitária são vértices de um tetraedro regular.
As arestas do tetraedro são diagonais das faces do cubo, conforme mostra a figura.
a) Obtenha a altura do tetraedro e verifique que ela é igual a dois terços da diagonal do cubo. Resp:
2 3
3
b) Obtenha a razão entre o volume do cubo e o volume do tetraedro. Resp: 3
11) (Fuvest) Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma pirâmide regular, de base quadrada. O
lado da base mede 8m e a altura da pirâmide 3m. As telhas para cobrir esse telhado são vendidas em lotes
que cobrem 1m2. Supondo que possa haver 10 lotes de telhas desperdiçadas (quebras e emendas), o
número mínimo de lotes de telhas a ser comprado é:
a) 90
b) 100
c) 110
d) 120
e) 130 Resp: a
12) (Uff) A grande pirâmide de Quéops, antiga construção localizada no Egito, é uma pirâmide regular de
base quadrada, com 137 m de altura. Cada face dessa pirâmide é um triângulo isósceles cuja altura relativa
à base mede 179 m.
A área da base dessa pirâmide, em m2, é:
a) 13.272 b) 26.544 c) 39.816 d) 53.088 e) 79.432 Resp: a
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13) Calcule o volume de uma pirâmide quadrangular inscrita num cubo de aresta 3cm. Resp: 9 cm2
14) Numa pirâmide regular de base quadrada, sabe-se que a área da base é 32 cm2 e que o apótema da
pirâmide mede 8 cm. Calcule a medida da altura dessa pirâmide. Resp: 2 14 cm
15) Uma pirâmide regular hexagonal têm aresta da base igual a 5 cm e aresta lateral igual a 7 cm. Qual o
volume dessa pirâmide? Resp: 75 2 cm3
Bibliografia:
Curso de Matemática – Volume Único
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna
Matemática Fundamental - Volume Único
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD
Contexto&Aplicações – Volume Único
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática
http://www.educacional.com.br/
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