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Conhecimentos geométricos II - Triângulos e Quadriláteros
Gabaritos Comentados dos Questionários
Lista de Exercícios 1
01) (ENEM 2000) Um marceneiro deseja construir uma escada trapezoidal com 5 degraus, de
forma que o mais baixo e o mais alto tenham larguras respectivamente iguais a 60 cm e a 30
cm, conforme a figura:
Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear de madeira cujo comprimento mínimo,
em cm, deve ser:
a) 144.
b) 180.
c) 210.
d) 225.
e) 240.
Resolução:
Utilizando os conceitos de base média, concluímos que:
B = (30 + 60) / 2
B = 90/2
B = 45
A = (30 + B) / 2
A = (30 + 45) / 2
A = 75/2
A = 37,5
C = (60 + B) / 2
C = (60 + 45) / 2
C = 105/2
C = 52,5
A soma dos valores dos degraus resulta no comprimento mínimo de madeira a ser cortado.
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30 + 37,5 + 45 + 52,5 + 60 = 225.
ALTERNATIVA D
02) (OBMEP 2008) Na figura o ângulo ADC mede 48° e os triângulos ACD, DBE e EAF são
isósceles de bases AD, DE e EF, respectivamente. Quanto mede o ângulo DEF?
a) 36°.
b) 40°.
c) 42°.
d) 48°.
e) 58°.
Resolução:
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Como o triângulo ACD é isósceles de base AD o ângulo CAD = 48°. Pela soma dos ângulos
internos do triângulo temos que o ângulo ACD = 84°. Este ângulo forma um ângulo raso com o
ângulo ACB, portanto ACB = 180° - 84° = 96°.
Prolongando o segmento DA, temos que o ângulo FAG é o oposto pelo vértice do ângulo CAD,
ou seja, FAG = 48°.
Chamando-se o ângulo DEB de h, e sabendo que o triângulo DEB é isósceles com base DE,
temos que o ângulo BDE é h também, de modo que o ângulo externo ABC é igual à soma dos
ângulos internos não adjacentes do triângulo DEB (ABC = 2h).
Chamando os suplementares do ângulo FAG de x e y, respectivamente, temos que:
(1) x + y = 132°.
Considerando-se o triângulo FAE, temos que:
(2) f + f + 48° + x = 180° → 2f + x = 132° → 2f = 132° - x
Considerando-se o triângulo ABC, temos que:
(3) 96° + y + 2h = 180° → y + 2h = 84°
Substituindo (1) em (2), temos que:
2f = 132 – x → 2f = y
Substituindo (2) em (3), temos que:
2f + 2h = 84° → f + h = 42°
Como f + h = Ê, temos que Ê = 42°.
ALTERNATIVA C
03) (OBMEP 2009) A figura mostra dois trechos de 300 km cada um percorridos por um avião.
O primeiro trecho faz um ângulo de 18º com a direção norte e o segundo, um ângulo de 44º,
também com a direção norte. Se o avião tivesse percorrido o trecho assinalado em pontilhado,
qual seria o ângulo desse trecho com a direção norte?
a) 12º.
b) 13º.
c) 14º.
d) 15º.
e) 16º.
Resolução:
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Como os segmentos AF e ED apontam para o norte, eles são paralelos. Assim o ângulo FAB =
DBA = 18°. Assim o ângulo:
CBA + 44° + DBA = 180° → CBA = 180° - 44° - 18° → CBA = 118°.
Como os trechos CB = AB, pois medem 300 km cada um, temos que ACB = 18° + CAF e:
ACB + (18° + CAF) + CBA = 180° → (18° + CAF). 2 + 118° = 180°
2CAF = 180° - 118° - 36°→ CAF = 26°/2 → CAF = 13°.
ALTERNATIVA B
04) (FUVEST 1998)
As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo x, em graus, é:
a) 30.
b) 40.
c) 50.
d) 60.
e) 70.
Resolução:
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Ao traçar as linhas paralelas t e s temos que o ângulo suplementar de 140° (a) é alterno interno
de b, portanto:
a = b = 40°
Vemos um ângulo raso formados pelos ângulos b, y e 120°. Assim:
40° + y + 120° = 180° → y = 180° - 160° → y = 20°
Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, temos que:
90° + 20° + x = 180° → x = 180° - 110° → x = 70°.
ALTERNATIVA E
o
05) (OBMEP 2005) O triângulo ABC é isósceles de base BC e o ângulo BAC mede 30 . O
triângulo BCD é isósceles de base BD. Determine a medida do ângulo DCA.
a) 45°.
b) 50°.
d) 60°.
d) 75°.
e) 90°.
Resolução: Como o triângulo ABC é isósceles, os ângulos dos vértices B e C são iguais.
Considerando os ângulos CBA e BCA iguais e iguais a x e BAC = 30°, temos:
2x + 30° = 180° → 2x = 150° → x = 75°
Como o triângulo BCD também é isósceles e temos que o ângulo DBC = BDC = 75° e que o
ângulo BCD = 30°
BCD + DCA = BCA → 30° + DCA = 75° → DCA = 45°.
ALTERNATIVA E
o
o
06) (OMM 2007) Na estrela ABCDE da figura sabemos que GBF = 20 , GHI = 130 e GFJ =
o
100 . O valor do ângulo GCH é:
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o
a) 30 .
o
b) 40 .
o
c) 50 .
o
d) 60 .
Resolução:
°
°
°
Considerando os ângulos GBF = 20 , GHI = 130 e GFJ = 100 . Temos que o triângulo BHE tem
a soma de seus ângulos internos 20° + 130° + a = 180°, ou seja, a = 30°.
Agora, observando o triângulo CFE temos que: a + 100° + x = 180° → 30° + 100° + x = 180°
x = 180° - 130° → x = 50°.
ALTERNATIVA C
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07) (OBM 2009) Na figura abaixo, α =18º e AB = AC = AD = AE. O valor do ângulo β é:
a) 18°.
b) 36°.
c) 15°.
d) 20°.
e) 30°.
Resolução:
No triângulo isósceles ABE, temos:
ângulo ABE + ângulo AEB + 3x18° = 180°
x + x + 54° = 180°
2x = 126°
x = 63°
No triângulo isósceles ABC, temos
ângulo ABC + ângulo ACB + 18° = 180°
y + y + 18° = 180°
2y = 162°
y = 81°
ângulo ABC = 63° + β
81° = 63° + β
β = 81° - 63°
β = 18°
ALTERNATIVA A
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08) (UFJF 2002) Na figura abaixo, as retas r e s são perpendiculares e as retas m e n são
paralelas.
Então, a medida do ângulo α, em graus, é igual a:
a) 70.
b) 60.
c) 45.
d) 40.
e) 30.
Resolução:
Como o ângulo x e o de 20° são opostos pelo vértice temos que x = 20°. O ângulo α possui seu
correspondente no pequeno triângulo. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é
igual a 180° e as retas r e s são perpendiculares (formam um ângulo de 90°), temos:
α + x + 90° = 180º → α + 20° + 90° = 180° → α = 180° - 110° → α = 70°.
ALTERNATIVA A
09) (OBM 1998) Um viajante deveria caminhar durante uma hora num sentido entre o norte e o
0
leste, fazendo 30 com o norte. Atrapalhou-se e caminhou uma hora num sentido entre o norte
0
e o oeste, formando 30 com o norte. Para chegar ao seu destino, ele deve agora tomar um
rumo que faça com o norte um ângulo de:
a) 0º.
b) 30º.
c) 45º.
d) 60º.
e) 90º.
Resolução:
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Observando o desenho temos:
Ponto i é o ponto inicial do viajante. Ele deveria caminhar durante uma hora para o sentido da
reta pontilhada verde, formando um ângulo de 30° com o sentido norte. Porém, ele caminhou
durante uma hora no sentido oposto (linha vermelha), formando também um ângulo de 30° com
o sentido norte também. No final ele chegou ao ponto a e, para retomar a direção certa e
chegar ao lugar que quer, ele deve seguir pra leste. Como ele andou durante o mesmo tempo
que andaria para o sentido certo e com o mesmo ângulo de distância par ao sentido norte notase que ele precisa apenas caminhar para o leste, formando um triângulo isósceles em que o
sentido norte é a bissetriz e altura relativa do triângulo formado. Assim o ângulo entre o sentido
que ele deve seguir e o sentido norte deve ser de 90°.
ALTERNATIVA E
10) (OMM 2008) Na figura estão representados um triângulo equilátero e um retângulo. Qual é
o valor em graus do ângulo marcado com x?
a) 10º.
b) 15º.
c) 20º.
d) 25º.
Resolução:
Encontrando os valores dos ângulos a e b:
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65° + 90° + a = 180° → a = 180° - 155° → a = 25°
40° + 60° + b = 180° → b = 180° - 100° → b = 80°
Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, temos:
a + b + c = 180° → 25° + 80° + c = 180° → c = 180° - 105° → c = 75°
Como os ângulos c e d são opostos pelo vértice:
c = d → d = 75°
Usando novamente a soma dos ângulos internos temos:
d + 90° + x = 180° → 75° + 90° + x = 180° → x = 180° - 165° → x = 15°.
ALTERNATIVA B
Lista de Exercícios 2
01) (UEPB 2005) Os ângulos internos de um quadrilátero formam uma P.G. de modo que o
último ângulo é quatro vezes maior que o segundo ângulo. A medida do menor desses quatro
ângulos, em graus, é:
a) 18.
b) 26.
c) 22.
d) 20.
e) 24.
Resolução:
P.G. (x, 2x, 4x, 8x)
A soma dos ângulos internos de um quadrilátero equivale a 360°.
x + 2x + 4x + 8x = 360°
15x = 360°
x = 24°
ALTERNATIVA E
02) (OBM 2007) Na figura, o lado AB do triângulo equilátero ABC é paralelo ao lado DG do
quadrado DEFG. Qual é o valor do ângulo x?
a) 80°.
b) 90°.
c) 100°.
d) 110°.
e) 120°.
Resolução:
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Prolongando o lado AB temos duas retas paralelas. Assim vemos que o ângulo de 60° do
triângulo equilátero é alterno interno de y:
y = 60
Como os ângulos y e x são suplementares, temos:
x + y = 180° → 60° + x = 180° → x = 180° - 60° → x = 120°.
ALTERNATIVA E
03) (OBM 2006) Na figura, AB = AC, AE = AD e o ângulo BAD mede 30°. Então o ângulo x
mede:
a)10°.
b) 20°.
c) 15°.
d) 30°.
e) 5°.
Resolução:
A soma dos ângulos a + x é externo ao triângulo ABD. Com isso a + x = b + 30° (soma dos
ângulos internos não adjacentes).
Portanto:
a = b + 30° - x (1)
O triângulo ABC é isósceles de base BC e, portanto, b = d.
Como o triângulo ADE é isósceles de base DE, temos que a = c. Como c é ângulo externo do
triângulo EDC, temos que:
c = a = x + b (2)
Igualando as equações (1) e (2), temos:
b + 30° - x = x + b → x + x + b – b = 30° → 2x = 30° → x = 15°.
ALTERNATIVA C
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04) (UNIFENAS 2007) Na figura abaixo, tem-se r//s e t//u. Se os ângulos assinalados têm as
medidas indicadas em graus, calcule a medida do suplemento do complemento de x.
a) 160.
b) 140.
c) 110.
d) 70.
e) 50.
Resolução:
De acordo com as propriedades das retas paralelas, concluímos que:
Utilizando a propriedade de ângulo externo do triângulo, temos:
60° + 50° = 2x + 10°
110° = 2x + 10°
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2x = 100°
x = 50°
Complemento do ângulo x = y
y = 90° - 50°
y = 40°
Suplemento do ângulo y = z
z = 180° - 40°
z = 140°
ALTERNATIVA B
05) (OBM 2008) No desenho temos AE = BE = CE = CD. Além disso, α e β são medidas de
ângulos. Qual é o valor da razão α/β ?
a) 3/5.
b) 4/5.
c) 1.
d) 5/4.
e) 5/3.
Resolução: Considerando AE = BE = CE = CD, temos:
Como o triângulo ECD é isósceles, b = a e a + b + 20° = 180°, temos que a = b = 80°.
Como b e c são opostos pelo vértice, temos que c = 80°. Assim, no triângulo isósceles AEB,
temos que 2α + c = 180° → α = (180° - 80°)/2 → α = 50°.
A soma dos ângulos c + b + d + e = 360° e c = b = 80°, d = e, temos:
160° + 2e = 360° → e = (360° - 160°)/2 → e = 100°.
Como o triângulo BEC é isósceles temos que: 2β + 100° = 180° → β = (180° - 100°)/2 → β =
40°.
Assim, α/β = 50°/40° = 5/4.
ALTERNATIVA D
06) (UFLA 2001) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em B, e o ponto D é o centro da
circunferência inscrita. Sendo
Ĉ = 40º, o valor do ângulo X é:
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a) 230º.
b) 210º.
c) 130º.
d) 250º.
e) 300º.
Resolução:
As retas que determinam o centro da circunferência inscrita dividem os ângulos internos em
dois ângulos iguais (bissetriz). O ângulo CBA é igual a 90°, portanto sua bissetriz equivale a
45°. O ângulo CAB é igual a 180° - 90° - 40°, ou seja, 50°, e sua bissetriz equivale a 25°.
Desse modo, encontramos o triângulo ABD, sendo que o ângulo ADB equivale a 180° - 45° 25°, ou seja, 110°.
O valor de X equivale ao valor total da circunferência menos o valor do ângulo ADB.
X = 360° - 110°
X = 250°
ALTERNATIVA D
07) (OBM 2000) No triângulo ABC representado abaixo, a medida do ângulo C é 60° e a
bissetriz do ângulo B forma 70° com a altura relativa ao vértice A. A medida do ângulo A é:
B
A
C
a) 50°.
b) 30°.
c) 40°.
d) 80°.
e) 70°.
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Resolução:
De acordo com os dados do enunciado e da propriedade da soma dos ângulos internos do
triângulo, temos:
No triângulo AOC, temos:
60° + 90° + y = 180°
150° + y = 180°
y = 180° - 150°
y = 30°
No triângulo AOB, temos:
20° + 20° + x + 90° = 180°
130° + x = 180°
x = 180° - 130°
x = 50°
Ângulo A = x + y
Ângulo A = 30° + 50°
Ângulo A = 80°
ALTERNATIVA D
08) (OBMEP 2009) No triângulo ABC temos AB = AC e os cinco segmentos marcados têm
todos a mesma medida. Qual é a medida do ângulo BAC?
a) 10º.
b) 15º.
c) 20º.
d) 25º.
e) 30º.
Resolução: Utilizando o conceito de ângulo externo do triângulo e as informações dadas no
enunciado, chegamos aos seguintes valores.
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Portanto, no triângulo ABC:
4x + x + 3x + x = 180°
9x = 180°
x = 20°
09) (OBM 2006) Três quadrados são colados pelos seus vértices entre si e a dois bastões
verticais, como mostra a figura.
A medida do ângulo x é:
a) 39º.
b) 41º.
c) 43º.
d) 44º.
e) 46º.
Resolução:
O triângulo à esquerda possui ângulos de 90° e 30°, portanto o ângulo a = 60°. A soma dos
ângulos: a + b + 90° = 180° → 60° + b + 90° = 180° → b = 30°
A soma dos ângulos internos: b +126° + c = 180° → 30° + 126° + c = 180° → c = 24°
Os ângulos c e d são correspondentes, assim d = 24°.
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A soma dos ângulos: d + 90° + e = 180° → 24° + 90° + e = 180° → e = 66°
Os ângulos e e f são correspondentes, assim f = 66°. Já que os ângulos f e g também são
correspondentes, g = 66°.
A soma dos ângulos internos: g + 75° + h = 180° → 66° + 75° + h = 180° → h = 39°
A soma dos ângulos h + 90° + i = 180° → 39° + 90° + i = 180° → i = 51°
Somando os ângulos internos do triângulo à direita: i + x + 90° = 180° → 51° + x + 90° = 180°
x = 39°.
10) (UFT 2008) Na figura abaixo considere A = 30°, α = B/3 e β = C/3. No triângulo BDC o
ângulo D é:
a) 90°.
b) 130°.
c) 150°.
d) 120°.
Resolução:
ângulo B + ângulo C + 30° = 180°
B + C = 150°
α = (150° - C) / 3
β = (150° - B) / 3
α + β + ângulo D = 180°
(150° - C) / 3 + (150° - B) / 3 + D = 180°
150° - C + 150° - B + 3D = 540°
300° - C – B + 3D = 540°
3D = 540° - 300° + C + B
3D = 540° - 300° + 150°
3D = 390°
D = 130°
Lista de Exercícios 3
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01) (OBM 2005) Na figura, os dois triângulos são eqüiláteros. Qual é o valor do ângulo x?
a) 30º.
b) 40 º.
c) 50 º.
d) 60 º.
e) 70 º.
Resolução:
As somas dos ângulos:
75° + 60° + b = 180°
65° + 60° + a = 180°
Temos que: b = 45° e a = 55°
A soma dos ângulos a, b e c deve ser igual à 180° (Soma dos ângulos internos de um
triângulo):
55° + 45° + c = 180°  c = 180° - 100°  c = 80°
Como os ângulos c e d são opostos pelo vértice, d = 80°
Considerando a soma dos ângulos internos igual a 180°, temo:
x + d + 60° = 180°  x + 80° + 60° = 180°  x = 180° - 140°  x = 40°.
02) (OBM 2004) Na figura, quanto vale x?
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a) 6°.
b) 12°.
c) 18°.
d) 20°.
e) 24°.
Resolução:
O ângulo z é externo ao triângulo com os ângulos 3x e 4x, assim:
3x + 4x = z  z = 7x
Como z é externo do triângulo com ângulo 5x, temos:
z = 5x + y  y = 7x – 5x  y = 2x.
Como y e z são opostos pelo vértice, temos que z = 2x.
A soma dos ângulos internos:
z + 2x + 6x = 180°  2x + 2x + 6x = 180°  x = 18°.
03) (FGV-SP 2005) Na figura ao lado, o triângulo AHC é retângulo em H e s é a reta suporte da
bissetriz do ângulo CAH. Se c = 30º e b = 110º, então:
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a) x = 15º.
b) x = 30º.
c) x = 20º.
d) x = 10º.
e) x = 5º.
Resolução:
Como o triângulo CAH é um triângulo retângulo e c = 30°, temos que o ângulo do vértice A é
igual a 60°. Como a linha tracejada s é a bissetriz do ângulo do vértice A, temos que z = 30°.
Como y é ângulo externo do triângulo formado por ACD, temos que ele é a soma dos ângulos
internos opostos, ou seja:
y = c + z  y = 30° + 30  y = 60°
No triângulo DBA, sabendo que a soma dos ângulos internos é igual a 180° e que b = 110°,
temos:
y + x + b = 180°  60° + x + 110° = 180°  x = 180° - 170°  x = 10°.
04) (UFRRJ 1999/2) Na figura abaixo r // s, t // u, v // w e m  v. O valor de x é:
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a) 60.
b) 30.
c) 20.
d) 10.
e) 50.
Resolução:
Os ângulos 120° e a são suplementares, assim: a = 60°. Como a soma dos ângulos internos de
um triângulo é igual a 180° temos que:
a + b + 90° = 180°  60° + b + 90° = 180°  b = 180° - 150°  b = 30°
Nota-se que os ângulos b e c correspondentes, assim: c = b = 30°. Como os ângulos c e d são
opostos pelos vértices, eles são correspondentes, ou seja, d = 30°.
O ângulo x é alterno interno do ângulo e, já que a reta r corta as retas paralelas v e w.
O ângulo e é externo ao triângulo formado pelo encontro das retas r, t e w e é igual à soma dos
ângulos internos opostos ao suplemento do ângulo e, assim:
x = 20° + d  x = 20° + 30°  x = 50°
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05) (ITA 2008) Considere o triângulo ABC isósceles em que o ângulo distinto dos demais, BAC;
mede 40°: Sobre o lado AB, tome o ponto E tal que ACE = 15°: Sobre o lado AC, tome o ponto
D tal que DBC = 35°. Então, o ângulo EDB vale:
a) 35°.
b) 45°.
c) 55°.
d) 75°.
e) 85°.
Resolução: Desenhando o triângulo isósceles ABC de acordo com o enunciado:
Como o triângulo ABC é isósceles de base BC temos que os ângulos ABC e ACB são iguais e
iguais a 70°. Como ACE = 15°, temos que BCF = 70° - 15° = 55°. Assim, como DBC = 35°, EBF
= 70° - 35° = 35°.
Considerando o ângulo pedido como , o ângulo de 90° no ponto F é externo ao triângulo EDF
temos que 90° =  + (90° - ).
Observa-se que os triângulos BEF e BCF são congruentes, pois possuem seus três ângulos
iguais e compartilham de lados iguais. Assim EF = CF, e como os triângulos compartilham do
lado DF e possuem ângulos de 90° entre esses lados, temos que são triângulos congruentes
também, ou seja:
Pelos ângulos DEF e DCF: 90° -  = 15°   = 75°.
Ou,
Pelos ângulos EDF e CDF:  = 75°.
06) (MACKENZIE 2003) Na figura, AB = AC e CE = CF. A medida de β é:
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a) 190°.
b) 120°.
c) 110°.
d) 130°.
e) 140°.
Resolução:
Como os lados CF = CE temos que a = 40° e pela soma dos ângulos internos de um triângulo:
a + b + 40° = 180°  40° + b + 40° = 180°  b = 180° - 80°  b = 100°.
Como os ângulos b e c formam um ângulo raso, temos: b + c = 180°  c = 180° – 100°  c =
80°.
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Os ângulos a e d são opostos pelo vértice, portanto d = 40°.
Como o triângulo ABC é isósceles com base BC, o ângulo e = c  e = 80°.
Assim, se β é ângulo externo do triângulo DEB, temos que ele é a soma dos ângulos não
adjacentes a ele, ou seja:
β = d + e  β = 40° + 80°  β = 120°.
07) (UEG 2006/2) Na figura, para quaisquer que sejam x e y, as medidas dos ângulos
satisfazem a relação:
a) y = 90° − x.
b) y = 180° − x.
c) y = 2x.
d) y = 3x.
Resolução:
De acordo com as propriedades de ângulos opostos pelo vértice e ângulo raso, concluímos
que:
De acordo com as propriedades geométricas dos quadriláteros, a soma dos seus ângulos
internos é igual a 360°. Logo:
x + 90° + y + 90° = 360°
x + y + 180° = 360°
x + y = 180°
y = 180° - x
08) (UNIMONTES 2009) Na figura abaixo, MNPQ é um quadrado, e NPR é um triângulo
equilátero. O ângulo α mede:
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a) 30°.
b) 15°.
c) 75°.
d) 25°.
Resolução:
De acordo com o enunciado e com as propriedades das figuras geométricas, concluímos que:
α + 75° = 90°
α = 15°
09) (UNIMONTES 2007/2) Na figura, BM é bissetriz de B. O valor do ângulo y é:
a) 114º.
b) 32º.
c) 66º.
d) 124º.
Resolução:
Ângulo ABM = MBC, logo, no triângulo ABC:
2x + 16° + x + 2(3/4x + 10°) = 180°
2x + 16° + x + 3/2x + 20° = 180°
4x + 32° + 2x + 3x + 40° = 360°
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9x + 72° = 360°
9x = 288°
x = 32°
No triângulo BMC:
34° + 32° + y = 180°
66° + y = 180°
y = 114°
10) (UNIMONTES 2006/2) Se, na figura abaixo, α é o triplo de β e γ o sêxtuplo de β , então o
ângulo x tem medida igual a:
a) 25º.
b) 50º.
c) 100º.
d) 75º.
Resolução: Se α = 3β, a soma dos ângulos internos do triângulo ABC:
β + 3β + 80° = 180°  4β = 180° - 80°  4β = 100°  β = 25°.
Como γ = 6β  γ = 6 . 25°  γ = 150°
Agora, observando o triângulo ECD temos que o suplemento de γ é o ângulo CDE = 30°.
Como o ângulo de 80° é externo ao triângulo, temos que:
80° = x + 30°  x = 80° - 30°  x = 50°.
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