O que você deve saber sobre
PROBABILIDADE
Pierre-Simon Laplace (1749-1827), no livro Teoria analítica das
probabilidades, demonstra admiração por esse campo da
matemática por meio da afirmação: “Uma ciência que começou pelo
estudo dos jogos de azar tem se transformado no mais importante
objeto do conhecimento humano”.
Probabilidade
É a razão entre o número de possibilidades de certo evento ocorrer
e o número total de eventos possíveis numa dada situação.
Na contagem das possibilidades, podemos usar resultados de
análise combinatória, além de conceitos originados nas operações
entre conjuntos.
Exemplos atuais de aplicação no estudo das probabilidades:
a análise dos riscos presentes nas coberturas de seguros,
ferramenta de escolha em investimentos no mercado financeiro.
PROBABILIDADE
I. Algumas definições
• Experimento aleatório: experimento que, se repetido
indefinidamente, gera resultados imprevisíveis. Ex.: o lançamento
de um dado honesto, o sorteio de um número de roleta etc.
• Espaço amostral: conjunto de todos os resultados possíveis de
um experimento. É indicado pela letra S.
• Evento: conjunto de resultados desejados do espaço amostral, ou
seja, um subconjunto de S. É indicado pela letra E.
• Evento simples: todo subconjunto do espaço amostral com
apenas um elemento.
• Espaço amostral equiprovável: todo aquele em que cada
evento simples nele contido tem a mesma chance de ocorrer.
PROBABILIDADE
II. Definição de probabilidade
A probabilidade de ocorrer um evento E em um espaço amostral
equiprovável S, denotada por P(E), é dada pela razão entre o
número de elementos do conjunto que representa o evento
– n(E) – e o número de elementos do espaço amostral – n(S):
PROBABILIDADE
III. Consequências da definição
Seja E um evento simples de certo espaço amostral S.
• Se o conjunto de resultados de E for vazio,
então n(E) = 0 e P(E) = 0 (evento impossível).
• Se o conjunto de resultados de E coincidir com S,
então n(E) = n(S) e P(E) = 1 (evento certo).
Assim, a probabilidade P(E) será sempre tal que:
PROBABILIDADE
IV. Eventos: tipos e operações
a) União de dois eventos: pode se dar de duas maneiras.
•AB
Nesse caso, número de elementos
da união entre A e B:
Probabilidade da união entre os eventos A e B:
PROBABILIDADE
IV. Eventos: tipos e operações
•AB=
Nesse caso, os eventos A e B são mutuamente exclusivos.
Probabilidade da união de dois eventos mutuamente exclusivos:
PROBABILIDADE
IV. Eventos: tipos e operações
b) Eventos complementares: se A  B = Ø e se A  B = S.
Como consequência, teremos:
PROBABILIDADE
IV. Eventos: tipos e operações
c) Eventos independentes:
a ocorrência de um evento não afeta a ocorrência do outro.
A probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos é dada por:
PROBABILIDADE
V. Probabilidade condicional
No cálculo de probabilidades é comum o estudo de situações que
envolvem a ocorrência de eventos subsequentes. Em alguns casos,
os resultados dos primeiros eventos podem interferir nos
resultados dos posteriores: em geral, o espaço amostral posterior é
reduzido pela ocorrência do evento anterior. Dizemos que se trata
de uma probabilidade condicional, ou seja, de um caso em que
se deve fazer o cálculo da probabilidade de um evento sabendo-se
que outro já ocorreu. Indicação:
P(A|B) é a probabilidade de o evento A ocorrer, sabendo-se que o
evento B já ocorreu, ou ainda, é a probabilidade de A condicionada a B.
PROBABILIDADE
VI. O método binomial
As probabilidades envolvidas na repetição de um experimento têm
relação com os coeficientes do desenvolvimento do binômio (a + b)n.
Ex.: análise das probabilidades de ocorrência de dois eventos A e B num
determinado experimento, realizado três vezes seguidas.
Consideremos as probabilidades
P(A)= a e P(B) = b, sendo A e B
eventos mutuamente exclusivos.
Usando uma árvore
de possibilidades:
PROBABILIDADE
VI. O método binomial
Observando a árvore, concluímos que:
• existe uma possibilidade de o evento A ocorrer três vezes
seguidas, representada por a3;
• existem três possibilidades de o evento A ocorrer duas vezes, e o
evento B, uma vez, representadas por a2 . b;
• existem três possibilidades de o evento A ocorrer uma vez, e o
evento B, duas vezes, representadas por a . b2;
• existe uma possibilidade de o evento B ocorrer três vezes
seguidas, representada por b3.
Os resultados obtidos são exatamente iguais aos termos do
desenvolvimento do binômio (a + b)3:
PROBABILIDADE
VI. O método binomial
A: sucesso
B: fracasso.
Se desejarmos calcular a probabilidade de ocorrerem, por exemplo,
dois sucessos e um fracasso, independentemente da ordem, teremos:
3
2
em que   é o número de combinações possíveis de dois sucessos em
três repetições do lançamento.
Sendo p a probabilidade de sucesso
e q a probabilidade de fracasso,
a probabilidade de que ocorram
k sucessos em n repetições de um
experimento é dada por:
PROBABILIDADE
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
(UFPE)
Em uma pesquisa de opinião sobre o consumo dos produtos A, B e C constatou-se que: 30% dos entrevistados consomem A,
43% consomem B, 46% consomem C, 12% consomem A e B, 11% consomem A e C, 13% consomem B e C, 5% consomem A,
B e C.
Se escolhermos ao acaso um dentre os entrevistados, qual
a probabilidade percentual de ele não consumir nenhum
dos três produtos?
RESPOSTA:
PROBABILIDADE – NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
2
(UFRJ)
João criou uma senha de 4 algarismos para o segredo de seu cofre. Mais tarde, quando foi abrir o cofre, João percebeu que
não lembrava mais qual era a senha, mas sabia que os algarismos eram 1, 3, 8 e 9. Ele, então, resolveu escrever todos os
números possíveis formados pelos 4 algarismos e, em seguida, tentar abrir o cofre sorteando ao acaso, um a um, os números
de sua lista, sem repetir números já testados.
a) Determine quantos números João escreveu.
b) Calcule a probabilidade de que ele abra o cofre na 12a tentativa.
RESPOSTA:
PROBABILIDADE – NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
4
(PUC-RS)
Considere todas as permutações de cinco letras da sigla PUCRS. Uma dessas permutações foi escolhida ao acaso. A
probabilidade de a escolhida terminar com a letra C e começar com a letra P é:
1
5
2
b)
5
1
c)
12
1
d)
20
a)
RESPOSTA: D
e) 6
PROBABILIDADE – NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
7
(Fuvest-SP)
Um apreciador deseja adquirir, para sua adega, 10 garrafas de vinho de um lote constituído por 4 garrafas da Espanha, 5
garrafas da Itália e 6 garrafas da França, todas de diferentes marcas.
a) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas desse lote?
b) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas do lote,
sendo 2 garrafas da Espanha, 4 da Itália e 4 da França?
c) Qual é a probabilidade de que, escolhidas ao acaso 10 garrafas
do lote, haja exatamente 4 garrafas da Itália e, pelo menos, uma
garrafa de cada um dos outros dois países?
RESPOSTA:
PROBABILIDADE – NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
9
(UFRN)
Em um congresso sobre Matemática participaram 120 congressistas. Desses, 100 eram licenciados e 60 eram bacharéis em
Matemática. Responda, justificando:
a) Qual a probabilidade de, escolhendo-se ao acaso um congressista,
ele ser licenciado em Matemática?
b) Quantos congressistas possuíam as duas formações?
c) Qual a probabilidade de, escolhendo-se ao acaso um congressista,
ele possuir as duas formações acadêmicas?
RESPOSTA:
PROBABILIDADE – NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
11
(UFSCar-SP)
A probabilidade de que um componente eletrônico não quebre
é chamada de confiabilidade. Para aumentar a confiabilidade de
um sistema, é comum que se instalem dois componentes
eletrônicos de mesma confiabilidade em paralelo. Nesse caso,
o sistema só irá falhar se ambos os componentes instalados
falharem simultaneamente.
a) Calcule a probabilidade de que
um sistema com 2 componentes, RESPOSTA:
cada um de confiabilidade 90%,
não falhe.
b) Admita que um sistema
com n componentes em paralelo
só falhará se os n componentes
falharem simultaneamente.
Calcule o número de componentes
em paralelo que devem ser
instalados em um sistema
para que ele tenha confiabilidade
de 99,9%, sabendo-se que cada
componente tem confiabilidade
de 50%. (Adote log 2 = 0,3.)
PROBABILIDADE – NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
14
(UFPR)
Um grupo de pessoas foi classificado quanto ao peso e pressão
arterial, conforme mostrado no quadro ao lado:
Com base nesses dados, considere as seguintes afirmativas:
1. A probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nesse grupo
ter pressão alta é de 0,20.
2. Se se verifica que uma pessoa escolhida ao acaso, nesse grupo,
tem excesso de peso, a probabilidade de ela ter também pressão alta
é de 0,40.
3. Se se verifica que uma pessoa escolhida ao acaso, nesse grupo, tem
pressão alta, a probabilidade de ela ter também peso normal é de 0,08.
4. A probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nesse grupo ter
pressão normal e peso deficiente é de 0,20.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente as afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas 1, 2 e 4 são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas 2, 3 e 4 são verdadeiras.
e) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
PROBABILIDADE – NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
14
RESPOSTA: B
PROBABILIDADE – NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
16
(UFPR)
Em um jogo de cartas, os matemáticos Ricardo e Fernando apostaram
R$ 100,00 cada um e combinaram que o primeiro deles que obtivesse 5
vitórias ficaria com o dinheiro da aposta. Depois de 5 rodadas, o jogo
precisou ser interrompido, momento em que Fernando estava com três
vitórias e Ricardo com duas. Após muita discussão, os dois matemáticos
concordaram em dividir o dinheiro em partes diretamente proporcionais à
probabilidade de cada um deles ganhar o jogo.
a) Qual seria a probabilidade de esse jogo
terminar em apenas mais duas rodadas?
b) Levando em conta todas as diferentes
possibilidades de concluir o jogo, qual
seria a probabilidade de cada um deles
vencer o jogo? Quanto cada um deveria
receber?
RESPOSTA:
PROBABILIDADE – NO VESTIBULAR