Ciclos Anuais Complexos
Angie Topp Paredes
Eduardo Marcos de Jesús
Fernando J. Méndez
Francisco das Chagas V. Júnior
Tópicos
• Introdução e background sobre análise harmônica;
• Introdução de ciclo anuais complexos (complicados);
• Análise de ciclo anual simples (Prática);
• Análise de ciclo anual complexo (Prática).
Introdução
Por que se faz análises harmônicas?
Porque os ciclos anuais de algumas quantidades
climatológicas não são claramente definidos apenas por
um máximo e um mínimo apenas, mas apresenta dois
máximos e dois mínimos.
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O que você pretende com tal ferramenta?
●Você vai conhecer o comportamento anual da sua
variável.
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Introdução
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Quais problemas você pensa em resolver?
Aqueles problemas que podem ser representados como
flutuações ou variações numa série de tempo como sejam
derivados da soma de funções seno e cosseno;
Como seria um exemplo de aplicação?
Ciclo anual e remoção de ciclo anual para variáveis como
temperatura, ROL, precipitação, etc. Dial Harmônica
Introdução
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Dificuldades:
1) O argumento de uma função trigonométrica é um ângulo,
enquanto que o conjunto de dados é FUNÇÃO DO TEMPO
2) O argumento das funções seno e cosseno flutua entre 1 e -1,
enquanto os limites de dados geralmente variam de diferentes
3) A função de cosseno está no seu valor máximo para a = 0 e
um 2p =, e a função seno está no seu valor médio para a = 0 e
um 2p =. Tanto o seno e cosseno pode ser colocada de forma
arbitrária na direção horizontal em relação aos dados.
Introdução
Resolução
1) Freqüência fundamental:
2π
𝜔1 =
𝑛
Tem dimensão física de radianos por unidade de tempo (rad / s ou
rad / ho rad / dia, etc ...). O índice 1 indica uma onda que é
executado um ciclo completo com o conjunto de dados
completo.
Introdução
Resolução
2) deslocamento de um seno cosseno acima ou abaixo do nível geral
de dados e, em seguida, expandir ou comprimir verticalmente até
que corresponde ao intervalo de dados. Esticar ou encolher é
obtida multiplicando a função cosseno de um C1 constante,
conhecida como a amplitude (note que 1 é a de representar a
harmónica fundamental ou primeiro). Uma vez que o valor
máximo e mínimo de uma função de cosseno são ± 1, os valores
máximo e mínimo dos C1cos função (α) = ± C1
Resolução
3)deslocamento lateral da função harmónica é combinar os picos e
vales da série de dados.
O Ф1 ângulo chamado ângulo de fase ou mudança de fase.
Nós sabemos o que é o tempo máximo de encontrar a função
harmônica quando o argumento é zero cos. Portanto, a equação
acima é maximizada no momento t = Ф1n/2p.
Introdução aos ciclos anuais Complexos
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Existem ciclos anuais, os quais não estão bem definidos;
Neste caso, serão apresentados como usar um pequeno
número de harmônicos para representar um ciclo anual
complicado;
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O ciclo na figura 1 é bastante evidente, mas não é uma onda
cosseno, mas a curva regular é representada com 3
harmônicos
n/2


 2kt

 2kt 
 2kt  
yt  y   Ck cos
 k    y    Ak cos

B
sin
k
 n  
 n

 n 
k 1 
k 1 

n/2
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Onde
Cálculo do ângulo de fase:
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Os máximos dos harmônicos
Soma dos harmônicos
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O segundo harmonico faiz 2 ciclos em 365 dias, depois
tem 2 tempos de maximo em
[Ф2/2] e [Ф2/2 + 2π/2 ou Ф2/2+ π]
O tercero harmonico faiz 3 harmonicos em 365 dias e tem
3 tempos maximos em
[Ф3/3], [2π/3] + [Ф3/3], [2(2π/3) + Ф3/3]
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O quarto harmônico ele faz 4 ciclos em 365 dias os tempo do
máximo são
[Ф4/4], [ 2π/4 + Ф4/4], [2(2π/4) + Ф4/4], [3(2π/4) + Ф4/4]
Análise Harmônica de ciclo anual simples
Considere o ciclo annual médio de temperatura (oF)
durante 1943-1989, em Ithaca, New York.
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Análise harmônica
Primeiro passo: Plotando a série de dados.
Segundo passo: Encontrando a frequência
fundamental e plotando o dado.
Terceiro passo: Adicionando a média à y(t) =
cos(w1*t) e a Amplitude C1.
Quarto passo: Adicionando o ângulo de fase Ф1
Para encontrar o máximo da função definimos: Ф1 = 2*pi*t/n, onde a t é
o mês com a temperatura máxima. Assim, Ф1 = 0.583*pi/2.
𝑅2
=
𝑦−𝑦 𝑥−𝑥 2
𝑦−𝑦 2
𝑥−𝑥 2
x100
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Análise harmônica
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Análise harmônica
●
Análise harmônica
frequencia
amplitude
fase
1 harmonico
0,52
23,40
3,80
2 harmonico
1,05
1,04
4,69
3 harmonico
1,57
0,65
-0,95
Análise harmônica de ciclo anual complexo
Dados de Umidade Relativa oriundos da estação do IAG;
Período: 1930-2011
Passos realizados:
1) Removeu-se a tendência linear da série;
2) Calculou-se o ciclo anual médio (média de todos os 1 jan, 2 jan etc.), restando 365
valores;
3) Com o ciclo anual da série fizemos análise harmônica para esta série.
Ciclo Anual Complexo - Exemplo
Ciclo anual – sem tendência
90
Umidade Relativa
88
%
86
84
umidade
82
80
78
0
50
100
150
Dias
200
250
300
350
Ciclo Anual Complexo - Exemplo
1 harmônico – 47,2% de variância explicada
90
Dados e Primeiro harmônico
88
86
84
82
80
umidade
Primeiro Harmonico
78
0
50
100
150
Dias
200
250
300
350
Ciclo Anual Complexo - Exemplo
2 harmônico – 17,44% de variância explicada
90
88
86
umidade
84
Primeiro Harmonico
Segundo harmonico
82
80
78
0
50
100
150
200
250
300
350
Ciclo Anual Complexo - Exemplo
Somas dos dois primeiros harmônicos - 69,64 % variância explicada
89
87
85
83
81
umidade
79
Primeiro Harmonico
Segundo harmonico
1 + 2 harmonico
77
-35
15
65
115
165
215
265
315
365