Sistemas de Equações Lineares e
Matrizes
Introdução
• Um dos problemas mais importante na
matemática – resolver um sistema de
equações lineares
• Informações organizadas em linhas e colunas
• Tabelas
• Dados numéricos – observações em
laboratórios
Introdução
• Mais de 75% de todos os problemas
matemáticos aplicados envolvem a resolução
de um sistema de equações lineares
• Áreas de aplicações:
– Administração, economia, sociologia, ecologia,
demografia, genética, eletrônica, engenharia e
física.
Exemplo
Sistema de Equações lineares:
5𝑥 + 𝑦 = 3
2𝑥 − 𝑦 = 4
Forma matricial:
5 1 3
2 −1 4
A solução pode ser obtida efetuando operações
apropriadas na matriz.
Equação Linear
• Reta no plano 𝑥𝑦
• Variáveis: 𝑥 e 𝑦
• Constantes: 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑏 → 𝑎1 , 𝑎2 ≠ 0
𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑦 = 𝑏
Equação Linear
• 𝑛 variáveis: 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛
– Variáveis de decisão ou incógnitas
• Constantes: 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑛 e 𝑏
– Números reais
– 𝑏 é o termo independente
𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏
Exemplos – equação linear
5𝑥 + 𝑦 = 3
2𝑥 − 𝑦 = 4
1
𝑦 = 𝑥 + 3𝑧 + 1
2
𝑥1 − 2𝑥2 − 3𝑥3 + 𝑥4 = 7
Exemplos – equação não-linear
5𝑥 + 𝑦 = 3
2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑦 = 4
1
𝑦= 𝑧+1
2
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Solução
• Solução de uma equação linear
𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏
• Sequência de números que satisfazem a
igualdade
𝑥1 = 𝑠1
𝑥2 = 𝑠2
⋮
𝑥𝑛 = 𝑠𝑛
Conjunto solução
4𝑥 − 2𝑦 = 1
• Atribuir um valor arbitrário a 𝑥 e resolve em 𝑦
– Se 𝑥 = 𝑡 → 𝑦 = 2𝑡 −
• 𝑆=
𝑡, 2𝑡
1
2
1
−
2
– Estas fórmulas descrevem o conjunto solução em
termos de do parâmetro 𝑡 ∈ 𝑅
– Se 𝑡 = 1 → 𝑥 = 1 e 𝑦 =
3
2
Conjunto solução
𝑥1 − 4𝑥2 + 7𝑥3 = 5
• Atribuir valores arbitrários a quaisquer duas
variáveis e resolver na terceira
– Se 𝑥1 = 𝑡 e 𝑥2 = 𝑠 → 𝑥3 =
• 𝑆=
𝑡, 𝑠,
5−𝑡+4𝑠
7
– Se t = 0 e s = 0 → 𝑥3 =
5
7
5−𝑡+4𝑠
7
Exercícios
1. Encontre o conjunto solução de cada uma
das seguintes equações:
a) 7𝑥 − 5𝑦 = 3
b) 3𝑣 − 8𝑤 + 2𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 0
Sistemas lineares
• Um conjunto finito de equações lineares nas
variáveis 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛 é chamado de
sistema de equações lineares ou um sistema
linear.
• Uma sequência de números 𝑠1 , 𝑠2 , 𝑠3 , … , 𝑠𝑛 é
chamada uma solução do sistema se 𝑥1 =
𝑠1 , 𝑥2 = 𝑠2 , 𝑥3 = 𝑠3 , … , 𝑥𝑛 = 𝑠𝑛 é uma
solução de cada equação do sistema.
Exemplo
4𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = −1
3𝑥1 + 𝑥2 + 9𝑥3 = −4
• 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 2, 𝑥3 = −1
– Estes valores satisfazem ambas equações –
solução do sistema linear
• 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 8, 𝑥3 = 1
– Estes valores satisfazem apenas a 1ª equação –
não é solução do sistema linear
Sistema linear
• Um sistema arbitrário de 𝑚 equações lineares
e 𝑛 incógnitas pode ser escrito como:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2
⋮
⋮
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2
+ ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
+ ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
⋮
+ ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
Exemplo
• 𝑚 = 3 equações lineares (números de linhas)
• 𝑛 = 3 incógnitas (números de colunas):
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + 𝑎13 𝑥3 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + 𝑎23 𝑥3 = 𝑏2
𝑎31 𝑥1 + 𝑎32 𝑥2 + 𝑎33 𝑥3 = 𝑏3
Classificação de um sistema linear
Sistema linear
Consistente:
Quando admite solução
Determinado:
Admite uma única solução
Inconsistente:
Quando não admite solução
Indeterminado:
Admite infinitas soluções
Geometricamente
Nenhuma solução
Uma solução
Infinitas soluções
Exemplo
Numa lanchonete os pastéis têm preço único e
os refrigerantes também. Nesse lugar, paguei
R$5,80 por 5 pastéis e 3 copos de refrigerante, e
meu amigo pagou R$3,60 por 3 pastéis e 2
copos de refrigerante. Qual o preço do pastel e
do refrigerante?
Exemplo
• O preço do pastel é de R$0,80 e o preço do
refrigerante é de R$0,60
– Sistema linear consistente e admite uma única
solução.
Exemplo
2𝑎 − 𝑏 = 5
Resolva o sistema:
4𝑎 − 2𝑏 = 10
Exemplo
Observe que qualquer número real colocado no
lugar de “𝑎” torna a sentença verdadeira.
Isto significa que o sistema tem infinitas
soluções, ou seja, ele é possível e
indeterminado. Cada uma das infinitas soluções
é um par ordenado cujo o 1º elemento é um
número real qualquer e o 2º elemento é igual
2𝑎 − 5, ou seja, S = {𝑎, 2𝑎 − 5}.
Sistemas equivalentes
• Dois sistemas de equações envolvendo as
mesmas variáveis são ditos equivalentes se
têm o mesmo conjunto solução
Exemplos
Considere os dois sistemas:
3𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = −2
𝑥2 = 3
1.
2𝑥3 = 4
3𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = −2
2. −3𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 5
3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 2
𝑆 = {−2,3,2}
Definição
O termo matriz, é utilizado para denotar uma
coleção retangular de números.
Matriz aumentada
• Podemos abreviar a escrita de um sistema de
𝑚 equações e 𝑛 incógnitas para:
𝑎11
𝑎21
⋮
𝑎𝑚1
𝑎12
𝑎22
⋮
𝑎𝑚2
… 𝑎1𝑛
… 𝑎2𝑛
⋮
… 𝑎𝑚𝑛
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑚
Exemplo
A matriz aumentada do sistema de equações
𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 9
2𝑥1 + 4𝑥2 − 3𝑥3 = 1
3𝑥1 + 6𝑥2 − 5𝑥3 = 0
É
1 1 2 9
2 4 −3 1
3 6 −5 0
Exercícios
• Livro: ANTON H. RORRES, C., Álgebra linear
com aplicações. 8a Edição. Bookman
• página: 30
• Exercícios: 4 e 5
Observação
• Quando construímos a matriz aumentada, as
incógnitas devem estar escritas na mesma
ordem em cada equação e as constantes que
não multiplicam incógnitas devem estar à
direita.
Operações elementares sobre linhas
• O método básico de resolver um sistema de
equações lineares é substituir o sistema dado
por um sistema novo que tem o mesmo
conjunto solução mas que é mais simples de
resolver.
• Forma triangular
Operações elementares sobre linhas
1. Multiplicar uma linha inteira por uma
constante não-nula.
2. Trocar duas linhas entre si.
3. Somar um múltiplo de uma linha a uma outra
linha.
Processo
𝑋
𝑋
𝑋
𝑋
𝑋
𝑋
𝑋
𝑋
𝑋
𝑋
𝑋
𝑋
𝑋
→ 0
0
𝑋 𝑋
→ 0 𝑋
0 𝑋
𝑋 𝑋 𝑋
𝑋 𝑋 𝑋
0 𝑋 𝑋
𝑋:pivô
𝑋: elementos a serem eliminados
𝑋
𝑋
𝑋
𝑋
𝑋
𝑋
Exemplo
Resolver o sistema linear
𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 9
2𝑥1 + 4𝑥2 − 3𝑥3 = 1
3𝑥1 + 6𝑥2 − 5𝑥3 = 0
Usando as operações elementares sobre linhas.
Resposta: 𝑆 = {(1,2,3)}
Exemplo
Resolver o sistema linear
𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 = 5
2𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 8
3𝑥1 − 3𝑥2 − 𝑥3 = 7
Usando as operações elementares sobre linhas.
Resposta: 𝑆 = {(1, −2,2)}
Exemplo
Resolver o sistema linear
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 12
3𝑎 − 𝑏 + 2𝑐 = 14
2𝑎 − 2𝑏 + 𝑐 = −3
Usando as operações elementares sobre linhas.
Resposta: 𝑆 = ∅, sistema impossível
Operações elementares sobre linhas
• Esse método falha se, em qualquer etapa do
processo de redução, todas as escolhas
possíveis para o elemento pivô em uma da
coluna são nulas.
Forma escada
Uma matriz está em forma escada se:
1. O primeiro elemento não-nulo de cada linha é 1.
2. Se a linha 𝑘 não consiste apenas de zeros, o
número de zeros no início da linha 𝑘 + 1 é
maior do que o número de zeros no início da
linha 𝑘.
3. Se existirem linhas com todos os elementos
iguais a zero, elas ficam abaixo de todas a linhas
não-nulas.
Exemplos
As matrizes estão em forma escada
1 4 2 1 2 3 1 3 1 0
0 1 3 , 0 0 1 , 0 0 1 3
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
Não estão na forma escada
2 4 2
0 0 0 0 1
,
0 4 3 ,
0 1 0 1 0
0 0 3
Método de Gauss
• Procedimento sistemático para resolver sistemas
de equações lineares
• Procedimento baseado na ideia de reduzir a
matriz aumentada de um sistema a outra matriz
aumentada que seja suficientemente simples a
ponto de permitir visualizar a solução
• O processo de usar as operações para deixar uma
matriz em forma de escada é chamado de
método de Gauss
Exemplo
Continuando com o sistema linear
𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 9
2𝑥1 + 4𝑥2 − 3𝑥3 = 1
3𝑥1 + 6𝑥2 − 5𝑥3 = 0
O última matriz encontrada foi
2
9
1 1
0 1 −7 2 −17 2
0 0 −1 2 −3 2
Exemplo
Continuando com o escalonamento
1
0
0
2
9
1
1 −7 2 −17 2
0 −1 2 −3 2
Exemplo
Dessa maneira tem-se a matriz
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
2
3
Essa matriz está em forma escada pelo método
de Gauss
Sistema compatível/incompatível
Se a matriz aumentada em forma de escada contém
uma linha da forma: 0 0 ⋯ 0 1 o sistema é
incompatível .
Caso contrário o sistema é compatível.
Se o sistema é compatível e as linhas não-nulas da
matriz em forma escada representam um sistema
triangular, então o sistema tem uma única solução.
Observações
• Nº de linhas = nº de equações = 𝑚
• Nº de colunas = nº de incógnitas = 𝑛
Sistemas com mais equações do que
incógnitas
• 𝑚 > 𝑛 → sistema impossível
𝑥+𝑦 =1
1
1
1
𝑥 − 𝑦 = 3 → 1 −1 3
−𝑥 + 2𝑦 = −2
−1 2 −2
𝑥+𝑦 =1
1 1 1
→ 0 1 −1 → 0𝑥 + 𝑦 = 1
0𝑥 + 0𝑦 = 1
0 0 1
Interpretação geométrica
Sistemas com menos equações do que
incógnitas
• 𝑚 < 𝑛 → sistema compatível e indeterminado
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = 2
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑥4 + 2𝑥5 = 3
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑥4 + 3𝑥5 = 2
1 1 1 1 1 2
→ 1 1 1 2 2 3
1 1 1 2 3 2
Sistemas com menos equações do que
incógnitas
1
→ 0
0
1 1
0 0
0 0
1 1
1 1
0 1
2
1
−1
𝑥1 = 1 − 𝑥2 − 𝑥3
𝑥4 = 2
→
𝑥5 = −1
𝑆 = {(1 − 𝑥2 𝑥3 , 𝑥2 , 𝑥3 , 2, −1)}
Exemplos
Resolva por eliminação de Gauss-Jordan
𝑥1 + 3𝑥2 − 2𝑥3 + 2𝑥5 = 0
2𝑥1 + 6𝑥2 − 5𝑥3 − 2𝑥4 + 4𝑥5 − 3𝑥6 = −1
5𝑥3 + 10𝑥4 + 15𝑥6 = 5
2𝑥1 + 6𝑥2 + 8𝑥4 + 4𝑥5 + 18𝑥6 = 6
Sistema homogêneos
• Um sistema de equações é dito homogêneo se
os termos constantes são todos zero; ou seja,
o sistema tem a forma:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2
⋮
⋮
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2
+ ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 0
+ ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 0
⋮
+ ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 0
Sistema homogêneos
• Sistema homogêneo de equações lineares é
consistente. (𝑥1 = 𝑥2 = ⋯ = 𝑥𝑛 = 0)
• Solução trivial ou nula
• Solução não-triviais (outras soluções)
Sistema homogêneos
• Como um sistema linear de homogêneo
sempre tem solução trivial, só existem duas
possibilidades para suas soluções:
– O sistema tem somente a solução trivial
– O sistema tem infinitas soluções além da solução
trivial
Sistema homogêneos
• Um sistema homogêneo de equações lineares
com mais incógnitas que equações tem
infinitas soluções.
Exemplo
Resolva o seguinte sistema homogêneo de
equações lineares usando eliminação de Gauss –
Jordan
2𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3
+ 𝑥5 = 0
−𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 − 3𝑥4 + 𝑥5 = 0
𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3
− 𝑥5 = 0
𝑥3 +𝑥4 + 𝑥5 = 0
Exercícios
• Livro: ANTON H. RORRES, C., Álgebra linear
com aplicações. 8a Edição. Bookman
• páginas: 37, 38 e 39
• Exercícios: 1 - 14