ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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INTERVALO DE CONFIANÇA
Estima-se parâmetros da população utilizando
estimativas de ponto ou estimativas de intervalo. Uma
estimativa de ponto é o valor de uma única estatística de
amostra. Uma estimativa de intervalo de confiança
corresponde a uma extensão de valores, conhecida como
intervalo, construída em torno da estimativo de ponto.
O intervalo de confiança é construído de modo que seja
conhecida a probabilidade de que o parâmetro da população
esteja localizado em algum lugar dentro do intervalo.
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INTERVALO DE CONFIANÇA
Estimativa de Ponto
Corresponde ao valor de uma única estatística extraída
de uma amostra, o qual é utilizado para estimar o valor de um
parâmetro da população.
Por exemplo, a média aritmética de uma amostra de
históricos escolares de uma universidade é x = 7,4. Na falta de
informações adicionais, esse resultado pode ser usado como
estimativa do valor da média aritmética da população de
históricos escolares da universidade (µ = 7,4).
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INTERVALO DE CONFIANÇA
Estimativa do Intervalo de Confiança
Corresponde a uma faixa de valores (intervalo)
construída em torno de uma estimativa de ponto. Os cálculos
desse intervalo consideram um “grau de acerto” na estimativa
dos valores obtidos, denominado Nível de Confiança.
Por exemplo, a estimativa do intervalo de confiança de
95% da média aritmética de históricos escolares de todos os
alunos de uma universidade é 7,07 ≤ µ ≤ 7,73. Em outras
palavras, há uma “probabilidade de certeza” de 95% de que a
média aritmética µ de todos os históricos escolares ficará entre
esses dois valores.
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INTERVALO DE CONFIANÇA
Nível de Confiança
Nível de Confiança = (1 – α).100
Corresponde a um grau de acurácia/confiança de que
determinado resultado pode ser considerado válido.
Por exemplo, foi obtida uma estimativa do intervalo de
confiança de 95% da média aritmética de todos os históricos
escolares de uma universidade igual a 7,07 ≤ µ ≤ 7,73. Os
cálculos garantem um nível de confiança de 95% para essa
afirmativa. Todavia, existe uma chance de 5% de que a média
aritmética µ esteja fora desse intervalo.
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INTERVALO DE CONFIANÇA DA MÉDIA ARITMÉTICA
(σ CONHECIDO)
Estimativa do Intervalo de Confiança (σ Conhecido)
Equações:
σ
XZ
n
ou
σ
σ
X  Z
 μ  X  Z
n
n
Z é chamado de valor crítico ou Z crítico.
Premissas:
 O desvio-padrão da população σ é conhecido.
 A população é normalmente distribuída (se isso não ocorrer,
deve-se usar amostras grandes, de acordo com o Teorema do
Limite Central).
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INTERVALO DE CONFIANÇA
Exemplo
Obtenha os Z críticos para um intervalo de confiança de 95%.
1 α  0,95
α
 0,025
2
α
 0,025
2
Z= -1,96
0
Z= 1,96
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INTERVALO DE CONFIANÇA
Exemplo
Uma amostra de 11 circuitos elétricos extraída de uma
população normalmente distribuída apresenta uma resistência
média de 2,20 ohm (média aritmética da amostra). Sabe-se que
o desvio-padrão da população é 0,35 ohm. Determine qual é o
intervalo de confiança de 95% da verdadeira média aritmética
da população.
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Solução:
n = 11
x = 2,20 ohm
σ = 0,35 ohm
NC = 95%
INTERVALO DE CONFIANÇA
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INTERVALO DE CONFIANÇA
σ
X Z
n
 2,20  1,96 (0,35/ 11)
 2,20  0,2068
(1,9932 ; 2,4068)
1,9932 ≤ µ ≤ 2,4068
Há 95% de confiança de que a verdadeira resistência média de todos os
circuitos está entre 1,9932 e 2,4068 ohm
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INTERVALO DE CONFIANÇA
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INTERVALO DE CONFIANÇA
Exemplo: Case Oxford Cereals
A Oxford Cereals abastece milhares de caixas de cereais em sua
linha de produção, num processo normalmente distribuído que
tem desvio-padrão igual a 15 gramas. As especificações indicam
que todas as caixas devem conter, em média, 368 gramas de
cereal. Extrai-se uma amostra de 25 caixas.
 Qual é o intervalo de confiança que melhor garante que a
produção não precisará ser interrompida? (Use α = 0,05)
 Se a média aritmética da amostra for igual a 362,3 gramas, a
produção deve ser interrompida? (Use α = 0,05)
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INTERVALO DE CONFIANÇA
Pode-se afirmar com 95% de confiança que a média aritmética
da quantidade de cereal em todas as caixas está entre 356,42 e
368,18 gramas. O abastecimento não precisa ser interrompido.
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INTERVALO DE CONFIANÇA
2. Uma grande loja de departamentos passou por uma forte expansão no último
ano. Em particular, a quantidade de funcionários do departamento de pisos
passou de dois especialistas em instalação para um supervisor, um medidor e
quinze especialistas em instalação. No ano passado, houve muita reclamação
com relação à instalação de carpetes e, por isso, foi coletada uma amostra de 50
reclamações para a elaboração de um estudo. Foram tratados estatisticamente os
tempos que cada uma dessas 50 reclamações levou para ser atendida
(quantidade de dias entre o recebimento de cada reclamação e a respectiva
solução do problema), obtendo-se uma média aritmética de 43,04 dias e um
desvio-padrão de 41,9261 dias.
Pedidos:
 Construa uma estimativa para um intervalo de confiança de 95% para a média
aritmética dos tempos que as reclamações levaram para ser atendidas.
 A loja pretendia adotar uma demora média de 30 dias como tempo que as
reclamações de todos os seus clientes levariam para ser atendidas. Em função
do resultado obtido no item anterior, pode-se considerar que o atendimento
de reclamações no ano passado atingiu essa meta? Justifique sua resposta.
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Intervalo de confiança da média aritmética (σ desconhecido)
Equações:
X  t n-1
S
n
ou
X  t n1 
S
S
 μ  X  t n1 
n
n
tn-1 é o valor crítico da Distribuição t de
Student com n-1 graus de liberdade.
Premissas:
 O desvio-padrão da população σ é desconhecido.
 A população é normalmente distribuída (caso contrário, recorre-se novamente ao
Teorema do Limite Central em busca de um tamanho de amostra adequado).
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Intervalo de confiança da média aritmética (σ desconhecido)
Distribuição t de Student
Geralmente, a média aritmética µ e o desvio-padrão da população σ não
são conhecidos. Quando isso acontece, utiliza-se somente as estatísticas da
amostra (x e S) para construir uma estimativa do intervalo de confiança.
Porém, substituir o desvio-padrão da população σ pelo desvio-padrão da
amostra S introduz uma incerteza extra, pois o valor de S também varia de amostra
para amostra. Para contornar esse problema, usa-se a Distribuição t de Student(*).
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Intervalo de confiança da média aritmética (σ desconhecido)
Distribuição t de Student
É simétrica e tem forma de sino, mas possui maior área nas caudas e menor área no
centro do que a distribuição normal padronizada. A distribuição t possui maior
dispersão porque σ é desconhecido.
Normal padronizada
(t com g.l. = ∞)
t com g.l. = 13
t com g.l. = 5
0
t
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Intervalo de confiança da média aritmética (σ desconhecido)
Uma distribuição t com grau de liberdade maior (isto é, maior tamanho da
amostra) tem menor variabilidade e se assemelha mais à distribuição normal
padronizada: quando n ≥ 120, pode-se utilizar a tabela da distribuição normal
padronizada Z no lugar da tabela da distribuição t.
Normal padronizada
(t com g.l. = ∞)
t com g.l. = 13
t com g.l. = 5
0
t
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Intervalo de confiança da média aritmética (σ desconhecido)
Exemplo
Uma construtora não tem certeza quanto à verdadeira quantidade
de cimento que está sendo entregue por um de seus fornecedores e
resolveu fazer um teste. Assim que chegou uma remessa de sacos de
cimento, foi extraída uma amostra aleatória de 25 sacos, a qual apresentou
média aritmética igual a 47 kg e desvio-padrão igual a 8kg. Pede-se
construir uma estimativa do intervalo de confiança de 95% para a média
aritmética da população de sacos de cimento.
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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Intervalo de confiança da média aritmética (σ desconhecido)
Solução:
g.l. = n-1 = 25-1 = 24
NC = 95% = (1-α).100
α = 0,05 → α/2 = 0,025
α/2 =0,025
0
2,0639
t
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Intervalo de confiança da média aritmética (σ desconhecido)
Solução:
X  t α/2, n-1
S
8
 47  (2,0639)
n
25
43,698 ≤ µ ≤ 50,302
Há 95% de confiança de que a verdadeira média aritmética da população de sacos de
cimento está entre 43,698 e 50,302.
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Intervalo de confiança da média aritmética (σ desconhecido)
Exercício
2. Suponha que uma amostra aleatória de 100 faturas de vendas seja
selecionada a partir de todas as faturas de vendas mensais de uma
empresa. A média aritmética da amostra foi igual a $ 110,27 e o desviopadrão da mesma foi $ 28,95.
 Construa uma estimativa do intervalo de confiança de 99% do total de
faturas de vendas mensais da empresa.
 O fato de não ter sido informado se a população de faturas se comporta
ou não como uma distribuição normal faz alguma diferença para a
resolução do problema?
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Intervalo de confiança da média aritmética (σ desconhecido)
Exercício
3. Uma amostra aleatória de 40 contas de pessoas físicas da
filial de um banco apresentou saldo médio de $ 1.400 e um
desvio-padrão de $ 300.
 Estime a média da população com intervalo de confiança de
95%.
 Estime a média da população com intervalo de confiança de
99%.
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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