Raciocínio Lógico
Prof. Christiano Lima Santos
Conteúdo do Curso

Lógica proposicional

Operações com conjuntos

Cálculos com porcentagens
Lógica Proposicional
Parte 01
Sumário
 Proposição
 Tipos
de proposições
 Princípios
fundamentais da lógica
 Conectivos
ou operadores lógicos
 Operações
lógicas
 Tautologia,
 Leis
contradição e indeterminação
de equivalência
Proposição

É uma frase declarativa a qual pode ser atribuída o valor
verdadeiro (V) ou falso (F);

Exemplos de frases que são proposições:


O Japão fica na África

3+4=7
Exemplos de frases que não são proposições:

3+4

Onde você vai?
Pergunta

Considerando que uma proposição corresponde a uma sentença
bem definida, isto é, que pode ser classificada como verdadeira
ou falsa, excluindo-se qualquer outro julgamento, assinale a
alternativa em que a sentença apresentada corresponde a uma
proposição.
1.
Ele foi detido sem ter cometido crime algum?
2.
Aquela penitenciária não oferece segurança para o trabalho dos agentes
prisionais.
3.
Os agentes prisionais da penitenciária de Goiânia foram muito bem
treinados.
4.
Fique alerta a qualquer movimentação estranha no pátio do presídio.
5.
Houve fuga de presidiários, que tragédia!
Resposta

Considerando que uma proposição corresponde a uma sentença
bem definida, isto é, que pode ser classificada como verdadeira
ou falsa, excluindo-se qualquer outro julgamento, assinale a
alternativa em que a sentença apresentada corresponde a uma
proposição.
1.
Ele foi detido sem ter cometido crime algum?
2.
Aquela penitenciária não oferece segurança para o trabalho dos agentes
prisionais.
3.
Os agentes prisionais da penitenciária de Goiânia foram muito bem
treinados.
4.
Fique alerta a qualquer movimentação estranha no pátio do presídio.
5.
Houve fuga de presidiários, que tragédia!
Tipos de proposições


Proposição simples (ou atômica)

Não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de
si mesma;

É designada por uma letra minúscula;

Ex: Carlos é careca = q
Proposição composta

Formada pela combinação de duas ou mais proposições (ligadas
por um conectivo);

É designada por uma letra maiúscula;

Ex: Carlos é careca e Pedro é estudante = Q
Pergunta

A proposição “No Brasil, 20% dos acidentes de
trânsito ocorrem com indivíduos que consumiram
bebida alcoólica” é uma proposição simples.
 Certo
 Errado
Resposta

A proposição “No Brasil, 20% dos acidentes de
trânsito ocorrem com indivíduos que consumiram
bebida alcoólica” é uma proposição simples.
 Certo
 Errado
Princípios fundamentais da lógica

Princípio da não-contradição:


Princípio do terceiro excluído:


Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo;
Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, nunca ocorrendo um
terceiro caso;
O valor lógico de uma proposição simples p é sempre
indicado por V(p).Exemplo:
p: O Sol é verde
V(p) = F
Pergunta

Se não corro, pulo. Se estou tranquilo, corro. Se corro,
não estou tranquilo. Se não estou tranquilo, não pulo.
Logo, é correto afirmar que:
1.
Não corro, não estou tranquilo e pulo.
2.
Corro, não estou tranquilo e não pulo.
3.
Não corro, estou tranquilo e não pulo.
4.
Corro, estou tranquilo e não pulo.
5.
Corro, estou tranquilo e pulo.
Resposta

Se não corro, pulo. Se estou tranquilo, corro. Se corro,
não estou tranquilo. Se não estou tranquilo, não pulo.
Logo, é correto afirmar que:
1.
Não corro, não estou tranquilo e pulo.
2.
Corro, não estou tranquilo e não pulo.
3.
Não corro, estou tranquilo e não pulo.
4.
Corro, estou tranquilo e não pulo.
5.
Corro, estou tranquilo e pulo.
Conectivos ou Operadores lógicos

São usados para formar novas proposições a partir
de outras:
~
ou ¬ (não);

(e);

(ou exclusivo)

(ou);

(se então);

(se e somente se).
Tabela verdade

É uma estrutura tabular, isto é, formada por linhas e
colunas, que lista os possíveis valores para cada
proposição simples e valores resultantes para as
proposições compostas pelas mesmas.

Para uma proposição simples p, terá somente uma coluna
contendo os valores V e F.

Exemplo:
p
V
F
Tabela verdade


Para uma proposição composta P, teremos cada coluna
representando uma proposição atômica componente ou a
própria proposição P e cada linha representando os
possíveis valores para as proposições atômicas e o valor
resultante da proposição P;
Exemplo:
p
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Operações lógicas
 Negação
(~);
 Conjunção
();
 Disjunção
();
 Disjunção
exclusiva ();
 Condicional
();
 Bicondicional
().
Negação

Se p é uma proposição, a negação da proposição p é
denotada por ~p (p)

A negação apresenta valor lógico oposto ao da proposição
dada.

Tabela verdade:
p
~p
V
F
F
V
Exemplos de negação
p
~p
Nenhum homem é elegante
Algum homem é elegante
Todo homem é elegante
Algum homem não é elegante
Algum homem é elegante
Nenhum homem é elegante
Algum homem não é elegante
Todo homem é elegante
Conjunção

Chama-se conjunção de duas proposições p e q a
proposição representada por “p  q” (leia “p e q”) cujo
valor lógico é V quando ambas as proposições são
verdadeira e F nos demais casos.

V(p  q) = V(p)  V(q)

Tabela verdade:
p
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Disjunção

Chama-se disjunção de duas proposições p e q a
proposição representada por “p  q” (leia “p ou q”) cujo
valor lógico é V quando ao menos uma das proposições é
verdadeira e F se ambas são falsas.

V(p  q) = V(p)  V(q)

Tabela verdade:
p
q
pq
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Disjunção exclusiva

Chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q a
proposição representada por “p  q” (leia “p ou exclusivo
q”) cujo valor lógico é V quando uma proposição é
verdadeira e a outra falsa e F quando ambas são falsas ou
ambas são verdadeiras.

V(p  q) = V(p)  V(q)

Tabela verdade:
p
q
pq
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Condicional

Chama-se proposição condicional uma proposição
representada por “p  q” (leia “se p então q”) cujo valor
lógico é F quando p é verdadeira e q é falsa e V nos
demais casos.

V(p  q) = V(p)  V(q)

Tabela verdade:
p
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Pergunta

A proposição “Quando um indivíduo consome álcool ou
tabaco em excesso ao longo da vida, sua probabilidade de
infarto do miocárdio aumenta em 40%” pode ser
corretamente escrita na forma (P  Q) →R, em que P, Q e
R sejam proposições convenientemente escolhidas.
1.
Certo
2.
Errado
Resposta

A proposição “Quando um indivíduo consome álcool ou
tabaco em excesso ao longo da vida, sua probabilidade de
infarto do miocárdio aumenta em 40%” pode ser
corretamente escrita na forma (P  Q) →R, em que P, Q e
R sejam proposições convenientemente escolhidas.
1.
Certo
2.
Errado
Pergunta

Se P, Q e R forem proposições simples e se T for a
proposição composta falsa [P(¬Q)]  R, então,
necessariamente, P, Q e R serão proposições
verdadeiras.
1.
Certo
2.
Errado
Resposta

Se P, Q e R forem proposições simples e se T for a
proposição composta falsa [P(¬Q)]  R, então,
necessariamente, P, Q e R serão proposições
verdadeiras.
1.
Certo
2.
Errado
Pergunta

Considerando que P e Q sejam proposições simples, é possível
construir a tabela verdade da proposição [P  Q] [P  Q],
completando a tabela:
P
Q
V
V
F
V
V
F
F
F
PQ
PQ
[P  Q] [P  Q]
Nesse sentido, assinale a alternativa que apresenta os elementos da
coluna correspondente a [P  Q] [P  Q], na ordem em que
aparecem, de cima para baixo.
1.
VFVF
2.
VFFV
3.
FFVV
4.
VVVV
5.
FFFF
Resposta

Considerando que P e Q sejam proposições simples, é possível
construir a tabela verdade da proposição [P  Q] [P  Q],
completando a tabela:
P
Q
PQ
PQ
[P  Q] [P  Q]
V
V
V
V
V
F
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
F
F
V
Nesse sentido, assinale a alternativa que apresenta os elementos da
coluna correspondente a [P  Q] [P  Q], na ordem em que
aparecem, de cima para baixo.
1.
VFVF
2.
VFFV
3.
FFVV
4.
VVVV
5.
FFFF
Bicondicional

Chama-se proposição bicondicional uma proposição
representada por “p  q” (leia “p se e somente se q”)
cujo valor lógico é V quando p e q são ambos verdadeiros
ou falsos e F nos demais casos.

V(p  q) = V(p)  V(q)

Tabela verdade:
p
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Pergunta

Considerando que P e Q são proposições simples, a partir da tabela
abaixo, é possível construir a tabela-verdade da proposição P  Q:
P
Q
V
V
V
F
F
V
F
F
PQ
QP
PQ
Dessa forma, assinale a alternativa que apresenta os elementos da
coluna correspondente a P  Q, na ordem em que aparecem, de cima
para baixo.
1.
VFVF
2.
FVFV
3.
VVFF
4.
VFFV
5.
FFVV
Resposta

Considerando que P e Q são proposições simples, a partir da tabela
abaixo, é possível construir a tabela-verdade da proposição P  Q:
P
Q
PQ
QP
PQ
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
Dessa forma, assinale a alternativa que apresenta os elementos da
coluna correspondente a P  Q, na ordem em que aparecem, de cima
para baixo.
1.
VFVF
2.
FVFV
3.
VVFF
4.
VFFV
5.
FFVV
Tautologia

É toda proposição composta cujo valor lógico é sempre
verdadeiro (V) quaisquer que sejam os valores lógicos das
proposições simples componentes;

Exemplo: p  ~p
p
~p
p  ~p
V
F
V
F
V
V
Pergunta

Considerando que P, Q e R sejam proposições simples, a partir do
preenchimento da tabela-verdade abaixo, é correto concluir que a
proposição P  Q  R  P  Q é uma tautologia.
P
Q
R
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
1.
Certo
2.
Errado
PQR
PQ
PQRPQ
Resposta

Considerando que P, Q e R sejam proposições simples, a partir do
preenchimento da tabela-verdade abaixo, é correto concluir que a
proposição P  Q  R  P  Q é uma tautologia.
P
Q
R
PQR
PQ
PQRPQ
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
V
F
V
V
F
V
F
F
V
V
F
F
V
F
F
V
F
F
F
F
F
V
1.
Certo
2.
Errado
Contradição

É toda proposição composta cujo valor lógico é sempre
falso (F) quaisquer que sejam os valores lógicos das
proposições simples componentes. É a negação da
tautologia;

Exemplo: p  ~p
p
~p
p  ~p
V
F
F
F
V
F
Indeterminação

Uma proposição é indeterminada (ou logicamente
contingente) quando não é tautologia nem contradição;

Exemplo: p  q
p
q
pq
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Leis de equivalência
Dadas as proposições compostas P e Q, diz-se que
ocorreu uma equivalência entre P e Q quando
suas tabelas-verdade forem idênticas. (P  Q)
 Exemplo:

p
q
~(p  q)
p
q
~p  ~q
V
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
F
F
V
F
F
V
F
F
F
V
F
F
V
Leis de equivalência
É
possível simplificar as proposições,
utilizando as seguintes leis de equivalência:
(1) Negação da negação
~ (~ p)  p
(2) Negação da Conjunção
~ (p  q)  ~p  ~q
(3) Negação da Disjunção
~ (p  q)  ~p  ~q
Leis de Morgan
Leis de equivalência
(4) Leis Idempotentes
ppp
ppp
(5) Leis complementares
p  ~p   (tautologia) (V)
p  ~p   (contradição) (F)
(6) Leis de Identidade
pp p
p pp
Leis de equivalência
(7) Leis Comutativas
pqqp
pqqp
(8) Leis Associativas
p  (q  r)  (p  q)  r
p  (q  r)  (p  q)  r
(9) Leis Distributivas
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
Leis de equivalência
(10) Condicional
p  q  ~(p  ~q)  ~p  q
~ (p  q)  p  ~q
p  q  ~q  ~p
A condicional não satisfaz as leis:
* idempotente: p  p  p
* comutativa: p  q  q  p
* associativa: (p  q)  r  p  (q  r)
Leis de equivalência
(11) Bicondicional
p  q  (p  q)  (q  p)
~ (p  q)  p  ~q  ~p  q
p  q  (p  q)  (~p  ~q)
~ (p  q)  (p  ~q)  (~p  q)
Operações com
Conjuntos
Parte 02
Sumário
 Teoria
dos conjuntos
 Representação
de um conjunto
 Subconjuntos
 Conjunto
das partes
 Operações
entre conjuntos
 Cardinalidade
de um conjunto
Teoria dos conjuntos
 Surgiu
dos trabalhos de Georg Ferdinand
Ludwig Phillip Cantor;
 Baseia-se
em três noções primitivas:
 Conjuntos;
 Elementos;
 Relação
de pertinência.
Conjuntos

São coleções/agrupamentos de objetos nãoordenados;
 Indica-se
um conjunto por uma letra maiúscula do
alfabeto.

Exemplos:
 Conjuntos
de pessoas;
 Conjuntos
dos números naturais;
 Conjuntos
de resultados da Mega Sena.
Elementos

São os objetos de um conjunto (coleção);
 Indica-se
um elemento por meio de uma letra
minúscula.

Exemplos:
 João
e Maria podem ser elementos de um conjunto de
pessoas;
 1,
3 e 7 são elementos do conjunto dos números
naturais;
O
conjunto dos números {16, 32, 38, 45, 58, 63} podem
ser elementos de um conjunto de resultados da Mega
Sena.
Relação de pertinência

Um elemento pode pertencer ou não a um
conjunto;

Obs: A relação de pertinência é sempre entre um
elemento e um conjunto!


(Pertence)
(Não pertence)
Representação de um conjunto

Forma tabular ou enumerativa:
 Escrevem-se
os elementos do conjunto entre chaves e
separados por vírgulas.
 Exemplos:
 Vogais:
V = {a, e, i, o, u} (conj. finito)
 Pares:
P = {0, 2, 4, 6, ...} (conj. infinito)
 Pares
primos: S = {2} (conj. unitário)
 Pares
primos maiores que 3: T = {} ou Ø (conj. vazio)
Representação de um conjunto
 Diagrama
de Venn:
 Escrevem-se
os elementos dentro de uma forma
geométrica (geralmente uma elipse);
 Exemplo:
 Conjunto
das vogais:
V
a e
o
i
u
Representação de um conjunto

Propriedade característica:
 Descreve-se
o conjunto através de uma propriedade
característica de seus elementos;
 Exemplos:
 Vogais:
 Pares:
 Pares
V = { x | x é vogal }
P = { x | x é par }
primos maiores que três: T = { x | x é par e x é primo e x > 3 }
Subconjuntos

Dados dois conjuntos A e B, dizemos que A é subconjunto
de B se, e somente se, todo elemento que pertence a A
também pertence a B;

Isso pode ser dito de várias maneiras:
A é subconjunto de B
A B
A é parte de B
A está contido em B
BA
B contém A
“Pertence” x “Está contido”

Cuidado para não confundir o uso dos símbolos de
“pertence” e “está contido”!
elemento conjunto
conjunto  conjunto

Exemplo:
V
a e
o
i
u
A
c d
b
e x
a g f
h zi j k l
m n
st
p
q o
y r v wu
a V
a A
VA
VA
A V
V V
Conjunto das Partes

Dado um conjunto A, indica-se por P(A) o conjunto formado por todas
as partes (isto é, possíveis subconjuntos) de A.

Exemplos:

A = {1}
P(A) = { Ø, {1} }

B = {1, 2}
P(B) = { Ø, {1}, {2}, {1,2} }

C = {a,b,c}
P(C) = { Ø, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} }

Z = {}
P(Z) = { Ø }
Conjunto das Partes
 Sendo
n o número de elementos presentes
em A, então o total de elementos presentes
em P(A) é 2n;
 Exemplo:
O total de subconjuntos das
vogais é 32 (25).
Operações entre conjuntos
 União;
 Interseção;
 Diferença;
 Complementar.
União

Dados dois conjuntos A e B, chama-se união entre
A e B ao conjunto formado pelos elementos de A
ou B.
A  B  {x x  A ou x  B}
Interseção

Dados dois conjuntos A e B, chama-se interseção
entre A e B ao conjunto formado por todos os
elementos comuns entre A e B.
A  B  {x x  A e x  B}
Diferença

Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e
B o conjunto formado pelos elementos do conjunto A que
não pertencem ao conjunto B.
A  B  {x x  A e x  B}
A  B, então A  B  
Complementar

Sejam dois conjuntos A e B tais que B está contido em A,
chama-se complementar de B em relação a A ao conjunto
A – B.
C  A  B, se B  A
B
A
Se B  A, dizem os que o com plem ent
ar C AB não existe.
Se A  B, o com plem ent
ar é vazio : C AB  CBA  { }.
Se B  A, podem osindicar o com plem ent
ar de B em relação a A por B.
C AB  B.
Cardinalidade de um conjunto

Dado um conjunto A, a cardinalidade de A referese à quantidade de elementos pertencentes ao
mesmo e é designada por n(A);

A cardinalidade da união de dois conjuntos pode
ser calculada pela fórmula:
n( A  B)  n( A)  n( B)  n( A  B)
Pergunta

Um paciente é diagnosticado com uma determinada
doença, se e somente se, apresentar os sintomas A e B.
Entre 324 pessoas examinadas, verificou-se que:
- 157 pessoas apresentaram o sintoma A;
- 201 apresentaram o sintoma B;
- 49 não apresentaram nenhum desses dois sintomas.
O número de pessoas examinadas que efetivamente
contraíram a doença foi igual a:
1.
83
2.
85
3.
87
4.
89
Resposta

Um paciente é diagnosticado com uma determinada
doença, se e somente se, apresentar os sintomas A e B.
Entre 324 pessoas examinadas, verificou-se que:
- 157 pessoas apresentaram o sintoma A;
- 201 apresentaram o sintoma B;
- 49 não apresentaram nenhum desses dois sintomas.
O número de pessoas examinadas que efetivamente
contraíram a doença foi igual a:
1.
83
2.
85
3.
87
4.
89
Pergunta

Dos 200 papiloscopistas aprovados no concurso, 120 são
homens e 80 são mulheres. Dos 200, sabe-se que 130 são
bacharéis em química, 100 são bacharéis em física e 60
têm as duas formações. Das mulheres, 40 são bacharéis
em química, 30 são bacharéis em física e 15 têm as duas
formações. Nesse caso, é correto afirmar que a
quantidade de papiloscopistas homens que não têm
nenhuma dessas duas formações é igual a:
1.
1
2.
2
3.
3
4.
4
5.
5
Resposta

Dos 200 papiloscopistas aprovados no concurso, 120 são
homens e 80 são mulheres. Dos 200, sabe-se que 130 são
bacharéis em química, 100 são bacharéis em física e 60
têm as duas formações. Das mulheres, 40 são bacharéis
em química, 30 são bacharéis em física e 15 têm as duas
formações. Nesse caso, é correto afirmar que a
quantidade de papiloscopistas homens que não têm
nenhuma dessas duas formações é igual a:
1.
1
2.
2
3.
3
4.
4
5.
5
Pergunta

Em uma empresa de porte médio, 217 funcionários têm
casa própria ou carro ou as duas coisas. Se 189 têm carro
e 63 têm casa própria, o número de funcionários que têm
carro mas não têm casa própria é:
1.
124
2.
138
3.
144
4.
148
5.
154
Resposta

Em uma empresa de porte médio, 217 funcionários têm
casa própria ou carro ou as duas coisas. Se 189 têm carro
e 63 têm casa própria, o número de funcionários que têm
carro mas não têm casa própria é:
1.
124
2.
138
3.
144
4.
148
5.
154
Pergunta

Dos 253 candidatos aprovados, em determinado concurso
público, nas diversas áreas do cargo de assistente de
gestão administrativa, 140 já fizeram algum curso de
informática, 120 já fizeram algum curso de inglês e 80 não
fizeram nenhum curso de informática nem de inglês.
Assim, a quantidade desses candidatos aprovados que
fizeram os dois cursos, isto é, curso de informática e curso
de inglês, é
1.
inferior a 80
2.
superior a 80 e inferior a 85
3.
superior a 85 e inferior a 90
4.
superior a 90 e inferior a 95
5.
superior a 95
Resposta

Dos 253 candidatos aprovados, em determinado concurso
público, nas diversas áreas do cargo de assistente de
gestão administrativa, 140 já fizeram algum curso de
informática, 120 já fizeram algum curso de inglês e 80 não
fizeram nenhum curso de informática nem de inglês.
Assim, a quantidade desses candidatos aprovados que
fizeram os dois cursos, isto é, curso de informática e curso
de inglês, é
1.
inferior a 80
2.
superior a 80 e inferior a 85
3.
superior a 85 e inferior a 90
4.
superior a 90 e inferior a 95
5.
superior a 95
Pergunta

Em um grupo de 32 homens, 18 são altos, 22 são barbados e 16 são
carecas. Homens altos e barbados que não são carecas são seis. Todos
homens altos que são carecas, são também barbados. Sabe-se que
existem 5 homens que são altos e não são barbados nem carecas.
Sabe-se que existem 5 homens que são barbados e não são altos nem
carecas. Sabe-se que existem 5 homens que são carecas e não são
altos e nem barbados. Dentre todos esses homens, o número de
barbados que não são altos, mas são carecas é igual a:
1.
4
2.
7
3.
13
4.
5
5.
8
Resposta

Em um grupo de 32 homens, 18 são altos, 22 são barbados e 16 são
carecas. Homens altos e barbados que não são carecas são seis. Todos
homens altos que são carecas, são também barbados. Sabe-se que
existem 5 homens que são altos e não são barbados nem carecas.
Sabe-se que existem 5 homens que são barbados e não são altos nem
carecas. Sabe-se que existem 5 homens que são carecas e não são
altos e nem barbados. Dentre todos esses homens, o número de
barbados que não são altos, mas são carecas é igual a:
1.
4
2.
7
3.
13
4.
5
5.
8
Cálculos com
Porcentagens
Parte 03
Sumário

Porcentagem

Fator de multiplicação

Aumentos e/ou descontos sucessivos
Pergunta

Um homem recebe um salário de R$ 100,00. Ele recebe
um aumento de 10% num determinado mês e no seguinte
um desconto de 10%. Quanto ele passará a receber após
esses dois meses?
1.
R$ 100,00
2.
R$ 110,00
3.
R$ 99,00
4.
R$ 101,00
Resposta

Um homem recebe um salário de R$ 100,00. Ele recebe
um aumento de 10% num determinado mês e no seguinte
um desconto de 10%. Quanto ele passará a receber após
esses dois meses?
1.
R$ 100,00
2.
R$ 110,00
3.
R$ 99,00
4.
R$ 101,00
Pergunta

Um homem recebe um salário de R$ 100,00. Ele recebe
um desconto de 10% num determinado mês e no seguinte
um aumento de 10%. Quanto ele passará a receber após
esses dois meses?
1.
R$ 100,00
2.
R$ 110,00
3.
R$ 99,00
4.
R$ 101,00
Resposta

Um homem recebe um salário de R$ 100,00. Ele recebe
um desconto de 10% num determinado mês e no seguinte
um aumento de 10%. Quanto ele passará a receber após
esses dois meses?
1.
R$ 100,00
2.
R$ 110,00
3.
R$ 99,00
4.
R$ 101,00
Porcentagem

A expressão X% (leia-se “por cento”) representa a fração
correspondente a X / 100 de um dado valor;

Tal valor pode ser representado de três formas:


Forma percentual: 20%;

Forma fracionária: 20/100;

Forma unitária: 0,2.
Podemos calcular o valor da porcentagem por meio da
fórmula:

P=C*i

Onde C é o principal (total) e i é a taxa percentual.
Exemplo

Existem 120 pessoas em uma sala, sendo que 30%
são mulheres. Quantas mulheres existem na sala?
Solução

Existem 120 pessoas em uma sala, sendo que 30%
são mulheres. Quantas mulheres existem na sala?
C = 120
i = 0,3
P=C*i
P = 120 * 0,3 = 36
Resposta: Existem 36 mulheres
Pergunta

A passagem de ônibus teve um reajuste, passando de R$
1,15 para R$ 1,40. O aumento em porcentagem foi de,
aproximadamente:
1.
28%
2.
25%
3.
22%
4.
20%
5.
18%
Resposta

A passagem de ônibus teve um reajuste, passando de R$
1,15 para R$ 1,40. O aumento em porcentagem foi de,
aproximadamente:
1.
28%
2.
25%
3.
22%
4.
20%
5.
18%
Fator de multiplicação


O fator de multiplicação é um valor f, correspondendo a “1 + i”, de
forma que ao multiplicar o principal (C) por tal fator, já se encontra o
novo valor principal já acrescido do aumento ou deduzido o desconto
da taxa percentual i. Podemos simplificar seu uso da seguinte forma:

CF = C * (1 + i)

Onde CF é o principal acrescido ou decrescido do valor da
porcentagem.
O valor de i será positivo caso represente um acréscimo ao principal
(palavras como “aumento”, “juros”, “lucro” etc.) e negativo se
representar um decréscimo (palavras como “desconto”, “prejuízo”
etc.).
Exemplo

Imagine uma pessoa que recebe um salário de R$ 800,00 e
recebe um aumento de 20%. Quanto ela receberá após o
aumento?
Solução

Imagine uma pessoa que recebe um salário de R$ 800,00 e
recebe um aumento de 20%. Quanto ela receberá após o
aumento?
Solução 1
P = C * i = 800 * 0,2 = 160
CF = C + P = 800 + 160 = 960
Solução 2
CF = C * (1 + i) = 800 * 1,2 = 960
Aumentos e/ou descontos sucessivos

Quando temos aumentos ou descontos sucessivos basta
multiplicarmos o valor da grandeza inicial por cada fator
de multiplicação obtidos a partir de cada taxa de aumento
ou redução, isto é:

CF = C * (1 + i1) * (1 + i2) * (1 + i3) ...
Pergunta

Um homem recebe um salário de R$ 100,00. Ele recebe
um aumento de 10% num determinado mês e no seguinte
um desconto de 10%. Quanto ele passará a receber após
esses dois meses?
1.
R$ 100,00
2.
R$ 110,00
3.
R$ 99,00
4.
R$ 101,00
Resposta

Um homem recebe um salário de R$ 100,00. Ele recebe
um aumento de 10% num determinado mês e no seguinte
um desconto de 10%. Quanto ele passará a receber após
esses dois meses?
1.
R$ 100,00
2.
R$ 110,00
3.
R$ 99,00
4.
R$ 101,00
Aumento (ou desconto) resultante


Em uma situação envolvendo aumentos e/ou descontos
sucessivos, podemos calcular o aumento (ou desconto)
resultante (iR) da seguinte forma:

(1 + iR) = (1 + i1) * (1 + i2) * (1 + i3) ...

Se iR for positivo teremos um aumento, se for negativo teremos um
desconto.
CF = C * (1 + i1) * (1 + i2) * (1 + i3) ... = C * (1 + iR)
Exemplo

Durante o mês de novembro, uma loja aumentou o preço
de seus produtos em 20% e, no mês de dezembro,
ofereceu um desconto de 10% sobre os mesmos. Qual foi o
aumento/desconto real praticado?
Solução

Durante o mês de novembro, uma loja aumentou o preço
de seus produtos em 20% e, no mês de dezembro,
ofereceu um desconto de 10% sobre os mesmos. Qual foi o
aumento/desconto real praticado?
(1 + iR) = (1 + i1) * (1 + i2)
(1 + iR) = (1 + 0,20) * (1 – 0,10)
(1 + iR) = 1,08
iR = 0,08
Houve um aumento de 8%