Profa. Andréa Cardoso
UNIFAL-MG
MATEMÁTICA-LICENCIATURA
2015/1
Aula 17:

O Problema da Medida
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Contagem e medida

 A Aritmética auxiliou o Homem a fazer calendários,
mas também a medir campos.
 Contar é falar a linguagem dos números inteiros.
 Medir é comparar duas grandezas da mesma
espécie: comprimento com comprimento, área com
área, volume com volume, velocidade com
velocidade.
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A Medida
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 Para medir é necessário:
1. Estabelecer um único termo de comparação para
todas as medidas da mesma espécie, a unidade.
2. Procurar responder à pergunta: quantas vezes?
Afim de obter um número que é a medida da
grandeza dada na unidade adotada.
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O número fracionário
Egito (3.000 a.C.)

 Aparecem as primeiras formas
de fração como resultado do
sistema de medir com cordas.
 Fração vem do árabe “al kasr”,
significa quebrar.
 Unidade de medida: o cúbito
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O Problema da Medida
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 Medir CD com a unidade de medida u.
 Como AB não cabe um número inteiro de vezes em
CD, deve-se subdividir a unidade em partes
menores.
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O Problema da Medida
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Não é
inteiro
 Os Egípcios concluem que nem sempre é possível
expressar o resultado de uma medição!
 Os números até então conhecidos são insuficientes e
foi necessário completar e aperfeiçoar.
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O Problema da Medida: um exemplo

pedaços
 Para repartir dois
de terras para cinco
pessoas, os antigos egípcios faziam a distribuição de
terra em forma de fração unitária.
1
1
𝑑𝑒
5
3
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Extensão para os Números Racionais
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 Cada grandeza é identificada ao número inteiro de
unidades de mediada que a compõem.
 Torna possível a correspondência entre qualquer
grandeza e um número natural ou a uma relação
entre eles.
 Tais relações entre números inteiros chamamos
atualmente de racionais, por estarem associados a
uma razão como comparações de grandezas do
mesmo tipo.
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Problema da Incomensurabilidade
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 Comparação entre o lado e o diâmetro de um
quadrado.
 Autores como Platão e Aristóteles citam:
 Teodoro de Cirene (425 a.C.)
 Teeteto de Atenas (410-368 a.C.)
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Aristóteles
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 Ano de 384 a.C. em Estagira na
Macedônia.
 Aos 17 anos foi estudar medicina na
Academia de Platão em Atenas.
 Foi tutor de Alexandre, o grande.
 Funda uma escola em Atenas, o Liceu em
homenagem ao Deus Apolo.
 Seus escritos abrangem diversos assuntos: lógica,
retórica, governo, ética, poesia, drama, música,
biologia e física.
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A Escola de
Aristóteles
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 Platão via o mundo ao nosso redor como mera
aparência sob a ótica religiosa, enquanto a visão
científica de Aristóteles não rejeitava o mundo ao
nosso redor como irreal.
 Inverteu a filosofia de Platão, apresentando
argumentos que devastaram as ideias do antigo
mestre.
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Antifairese
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 Toda grandeza pode ser expressa por um número
natural ou pela relação entre números naturais.
 Subtrações recíprocas para encontrar uma medida
comum, sem necessidade do conceito de número
racional ou de fração.
 Exemplo: Ant(60,26)=[2,3,4]
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Antifairese

 Exemplo: Ant(60,26)=[2,3,4]
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Reação Crítica – século V a.C.

 Origina-se com os pitagóricos com a irracionalidade
de 2.
 Investigações lógicas iniciadas por Parmênides e
expressas por Zenão de Eléia, em seus paradoxos
famosos.
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Os Incomensuráveis
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 Hipasus
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 Um esboço da demonstração clássica da
irracionalidade de 2 encontra-se em trabalhos de
Aristóteles
𝑎
 O problema é mostrar que não há fração cujo
𝑏
quadrado seja 2, é uma demonstração é indireta
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Demonstração em linguagem atual
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 Os babilônios ficaram satisfeitos com as
aproximações sexagesimais excelentes que
encontraram para 2.
 Enquanto os gregos levaram o assunto até seu ponto
lógico final amargo e aparentemente sem interesse
prático.
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
 A descoberta das grandezas incomensuráveis mostra
que nossa intuição pode nos enganar quando
admitimos que sempre haverá uma grandeza
suficientemente pequena que caiba um número
inteiro de vezes em outra grandeza.
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Estágios de Desenvolvimento das
Teorias Matemáticas

Desenvol
vimento
• Rápido
• Inspirado
• Acrítico
Críticas e
Dúvidas
• Trabalho
meticuloso
sobre os
fundamentos
Forma
Final
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• Apresentação,
disposição e polimento
cuidadoso das partes da
teoria
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O grande feito de Euclides
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 Os Elementos de Euclides representam um esforço
bem sucedido da última fase de desenvolvimento da
matemática grega antiga.
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Bibliografia
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 ROQUE, T.; CARVALHO, J.B.P. Tópicos de história da
matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2012.
 AABOE, A. Episódios da história antiga da matemática.
Rio de Janeiro: SBM, 2013.
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