MATEMÁTICA NA MESOPOTÂMIA
OBJETIVOS
- Desmitificar a idéia de que a matemática é uma
ciência pautada numa estrutura única.
- Realizar breve contextualização histórica e como
isso afetou o modo dos babilônicos produzirem
matemática.
- Apresentar o sistema de numeração sexagesimal e
especificar as diferenças para o sistema de
numeração decimal.
OBJETIVOS
- Capacitar, através de recursos computacionais,
os alunos a realizarem operações com o sistema
de numeração babilônico.
- Apresentar uma nova interpretação para
problemas babilônicos e resolvê-los na prática
com procedimentos de “cortar” e “colar” figuras
geométricas.
INTRODUÇÃO
Um dos mitos concebidos pela historiografia
tradicional é o de que a matemática é uma
ciência universal. Na verdade, diversas práticas
matemáticas coexistiram desde os tempos
primórdios, levando sempre em conta o contexto
social dos povos - que influenciava diretamente
em sua aplicação.
INTRODUÇÃO
A primeira forma de matemática que tem-se
registro trata da matemática mesopotâmica. A
palavra “Mesopotâmia”, em grego, significa
“Entre Rios” e designa uma extensão geográfica.
Dentre os povos que habitaram a Mesopotâmia,
estão os sumérios e os acadianos.
MAPA DA MESOPOTÂMIA
ESCRITA E NÚMEROS
O surgimento dos números é geralmente
associado à necessidade de contagem,
relacionado a problemas de subsistência. O
frequente exemplo utilizado é o do pastor de
ovelhas. Ele controla seu rebanho associando
uma pedra para cada animal. Além de rebanhos,
eram registrados insumos relacionados à
sobrevivência e à organização da sociedade.
ESCRITA E NÚMEROS
ESCRITA E NÚMEROS
As primeiras formas de escrita que temos
registro datam do final do quarto milênio a.E.C.
A pesquisadora Denise Schmandt-Besserat,
propôs, nos anos 1990, a tese de que a forma
mais antiga de escrita teria origem num
dispositivo de contagem. Nas suas escavações,
foram encontrados pequenos tokens – objetos
de argila com diversos formatos.
ESCRITA E NÚMEROS
Eis os tokens:
ESCRITA E NÚMEROS
Esses objetos serviam à economia, na
manutenção do controle de produtos agrícolas e,
posteriormente, na fase urbana, controle de bens
manufaturados. Com o desenvolvimento social,
os métodos para armazenamento dos tolkens
foram aperfeiçoados. Eles passaram, então a
serem guardados em invólucros de argila e
marcados na superfície.
ESCRITA E NÚMEROS
ESCRITA E NÚMEROS
Posteriormente, os contadores perceberam que o
conteúdo do invólucro se fazia desnecessário
tendo em vista as marcas nas superfícies – que
passaram a incluir sinais traçados com estilete. A
substituição de tokens por sinais foi o primeiro
passo para a escrita. Aos poucos, as impressões
nos invólucros foram transportadas para
tabletes.
ESCRITA E NÚMEROS
ESCRITA E NÚMEROS
Atividade 1: Criação de tabletes de
argila em sala de aula.
ESCRITA E NÚMEROS
Os primeiros numerais não eram símbolos
criados para a representação de números
abstratos, mas sim utilizados para a contagem
de grãos. Os tabletes daquele período apontam
que eram utilizados diferentes sistemas de
medidas e bases, em função do assunto tratado
nos balanços.
ESCRITA E NÚMEROS
A escrita protocuneiforme, isto é, que antecede a
escrita cuneiforme - “em forma de cunha”. Esse
desenvolvimento deu-se ao longo do terceiro
milênio. Com a sua estabilização, ocorreram
duas mudanças: a função de contagem de
objetos discretos deu lugar aos cálculos e um
mesmo sinal passou a ser usado para
representar valores distintos.
ESCRITA E NÚMEROS
Evolução da escrita cuneiforme:
O SISTEMA SEXAGESIMAL POSICIONAL
A maioria dos tabletes cuneiformes são do
período em torno do ano 1700 a.E.C. Os
babilônios passaram a empregar um sistema em
que um mesmo algarismo poderia assumir
valores diferentes, dependendo da posição que
ocupasse no numeral. Assim como o nosso
sistema, esse era um sistema de numeração
posicional.
O SISTEMA SEXAGESIMAL POSICIONAL
Esse sistema era construído a partir de dois
símbolos básicos: um com valor absoluto 1 e
outro com valor absoluto 10. Esses símbolos
eram combinados por meio de um processo
aditivo simples para formar os numerais de 1 a
59. A partir daí, o algarismo de valor absoluto 1
era novamente utilizado para representar o
primeiro grupo de 60.
O SISTEMA SEXAGESIMAL POSICIONAL
Em sequência, os algarismos “a” de valores
absolutos entre 1 a 59 eram usados para
representar, respectivamente, os valores “a x
60”. Em suma, os símbolos de 1 a 59 eram
formados a partir de um princípio aditivo e os
símbolos a partir de 60 eram formados a partir
de um princípio posicional. Portanto, é um
sistema misto de numeração.
O SISTEMA SEXAGESIMAL POSICIONAL
O SISTEMA SEXAGESIMAL POSICIONAL
Diferenças entre o Sistema Sexagesimal e o
Sistema Decimal:
- No sistema sexagesimal, algarismos de 1 a 59
são representados pela combinação dos
símbolos 1 e 10, ao contrário do sistema
decimal, em que os algarismos de 0 a 9 são
representados por símbolos diferentes.
O SISTEMA SEXAGESIMAL POSICIONAL
- No sistema sexagesimal, não havia um símbolo
para representar o algarismo zero.
Tais diferenças eram responsáveis por sérias
ambiguidades!
OPERAÇÕES COM O SISTEMA SEXAGESIMAL
Os babilônios resolviam operações de soma,
subtração, multiplicação, divisão, potências e
raízes quadradas e registravam todos os
resultados em tabletes.
Atividade 2: Realizar operações através do
software “Cuneiform Calculator”.
OPERAÇÕES COM O SISTEMA SEXAGESIMAL
A “ÁLGEBRA” BABILÔNICA E NOVAS TRADUÇÕES
Além dos tabletes contendo resultados de
operações, os babilônios possuiam tabletes de
procedimentos, como se fossem exercícios
resolvidos. Veremos, a seguir, um exemplo de
procedimento descrito em um dos tabletes:
Procedimento: “Adicionei a área e o lado de um
quadrado: obtive 0,45. Qual o lado?”
A “ÁLGEBRA” BABILÔNICA E NOVAS TRADUÇÕES
Atualmente, podemos resolver esse exemplo por
uma equação do tipo Ax² + Bx = C, com A, B e C
coeficientes. Contudo, essa técnica de resolução
demanda a utilização de símbolos que não
faziam parte da matemática antiga. As
quantidades desconhecidas representavam
comprimentos, larguras e áreas dadas por
números, e não letras. Nesse caso, como evitar o
anacronismo?
A “ÁLGEBRA” BABILÔNICA E NOVAS TRADUÇÕES
Recentemente, O historiador J. Hoyrup realizou
novas traduções, que motivam uma
interpretação geométrica desses procedimentos.
Tradução do exemplo:
Procedimento: “A supefície e a minha
confrontação acumulei: obtive 0,45”
A “ÁLGEBRA” BABILÔNICA E NOVAS TRADUÇÕES
Atividade 3: Através de operações de “cortar e
colar” figuras geométricas, encontrar a
confrontação (lado da superfície, que é um
quadrado).
Consideração final: Tal prática não pode ser
descrita como álgebra, sendo a expressão
“cálculo com grandezas” a mais apropriada.
BIBLIOGRAFIA
ROQUE, Tatiana. História da matemática: uma
visão crítica, desfazendo mitos e lendas. 2°
Reimpressão. Rio de Janeiro: Zahar, 2014.
Link do site:
http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/calcula
tor/scalc.html
UMA BOA ELEIÇÃO PARA TODOS!