Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Discreta
TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA
 Transformada de Fourier de sinais discretos não periódicos
 Transformada e série de Fourier de sinais discretos periódicos
 Propriedades da transformada e da série de Fourier de sinais discretos
 Função resposta de frequência e resposta impulsional
 Amostragem de sinais
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Discreta
Motivação
y n   hn   xn 


 hk xn  k 
k  

SLIT
xn  e jn
hn
 
xn  e jn  yn  H e j e jn

j  n  k 


h
k
e

k  


   hk  e  jk  e jn
 k  


 
 H e j
 T Fhn
DEEC/ IST
yn  ?
Espectro de
frequência
    xne
X e

j
 jn
n  
xn 
1
2
 
jn
jn
X
e
e
d

2
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Discreta
xn  
Definição
    xne
X e

j
jn
n  
Exponencial direita
xn  a u1 n;
a 1
n
xn
1
0
 N 1
r
n
r

 1 r

n N

 
DEEC/ IST

n
n  

1

  ae j
n 0
r

n
 jn


  a n e  jn
n 0
1
1  ae  j
n
a nu1 n ; a  1 
Série geométrica:

    a u ne
X e
j
;
r 1
;
r 1
1
1  ae  j
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Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Discreta
Espectro de frequência da exponencial real
a nu1 n ; a  1 
 
X e j 

DEEC/ IST
1

1  ae j
1
1

1  ae j 1  a cos  ja sin 
1
1  a cos 
2
 a sin 
2
2
 
arg X e j   arctan
a sin 
1  a cos 
1
1  a 2  2a cos
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Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Discreta
Transformada de Fourier Discreta
 
X e j é sempre periódica em  com período 2
Demonstração

  xne
X e j  2 k  

n  


 j   2 k n


 xne
1
 jn  j 2 kn
e
n  
 
 jn
j


x
n
e

X
e

n  
Exponenciais complexas discretas com frequências separadas de um múltiplo de 2
representam a mesma exponencial
DEEC/ IST
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Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Discreta
 
X e j  xn 
Definição
 
Xe


2
1
xn  
2

 2

 2

j

2
arg X e j

2
 
e
 1
2
2
j 



2

1
e jn d  
2
 2

 2
e
 2
j  n  
 
 j 2  n 2   j 2  n 2  

e    e   
 2

j 2  n   
    2 j sin   n  2  
2
 
d 
j
 
j arg X e j


   : X e j   1
2
2
 
arg X e j 

2
1
DEEC/ IST
2
X e   X e e
1
 2
 
j
j n
X
e
e
d

j
1
 2
1
2
 2
2


 2
j  n  
 
1 e
2
2 
j n  
    2


sin  n  1
2

xn   
n2
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Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Discreta
Convergência da Transformada de Fourier Discreta
Condição suficiente para a existência de transformada de Fourier:
xn é absolutamente somável, i.e.,

 xn  
n  
ou
xn é de energia finita, i.e.,

 xn  
2
n  
Vários sinais não periódicos, como o escalão unitário, e os sinais
periódicos, não satisfazem estas condições.
DEEC/ IST
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Transformada de Fourier Discreta
Sistemas e Sinais
Sinais periódicos
Qual é o sinal xn cuja transformada de Fourier é periódica de
período 2 e que para       é X e j  2   0  ?
 
 
X e j
2
0  2  
0  4
1
xn 
2
 e
X e
j
j n
2
e
j0 n
TF

1
d 
2



0  2
0  4 
2   0 e j n d   e j0n

 2   
  
DEEC/ IST

0
0
 2 
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Transformada de Fourier Discreta
Sistemas e Sinais
Sinais periódicos
e
j0 n
TF


 2   
  
Ex. 1
0
 2 
   T Fe    2   2 
xn  1 n  X e

j
j 0n
  
 
X e j
2
 4
DEEC/ IST
 2

0

2
4

Isabel Lourtie
Transformada de Fourier Discreta
Sistemas e Sinais
Sinais periódicos
j0 n
e
TF


 2   
  
Ex. 2

    
  

DEEC/ IST
 2 
 e j  0 n  e  j 0 n 
T Fcos 0 n   T F

2



1  





   2    0  2    2    0  2  
2  
  


 4
0
 2

0
 2        0  2  
 
X e j
 0  0

2
4

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Sistemas e Sinais
Sinais periódicos
xn  
 ak e
j
2
kn
N
Série de Fourier do sinal
periódico xn
k  N 
TF
Combinação linear
de N exponenciais
complexas de
frequências k  2 k
   2 a     2N k 


X e j 
k  N 
N
xn é periódico com período
fundamental N e,
portanto, com frequência
fundamental 2 N
DEEC/ IST
k
Coeficientes da série de Fourier:
2
 j kn
1
N


ak 
x
n
e

N n N 
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Transformada de Fourier Discreta
Sistemas e Sinais
Série de Fourier
xn  
a e
k  N 
 2
 3

 3
n   cos

 2
 01 
2
3
Ex. 1 xn   sin 
 01
 02 

n

3
2

1
  N 01  3 

2 3
  N  mmc 3,4   12
 02 3
  N 0 2  4


2 4

2 

N 6
j
j
2
kn
N
2
 j kn
1
N


ak 
x
n
e

N n N 
k
2
n
3
2
n
3
j
3
n
2
j
3
n
2
e
2
2
2
3
3
1 j 2 n 1 j 3 n 1 j 3 n 1 j 2 n
 e
 e
 e
 e
2
j2
j2
2

e
e
j2
j
a9

e
a 4
Mas
...  e
j
7
n
2
a9
a4
e
j
3
n
2
e

j n
2
e
j
5
n
2
 ...
pelo que ...  a21  a9  a3  a15  ...
ak periódico com período N  12
1
1
 5  k  6 : a3  a3  ; a4  a 4   j
2
2
DEEC/ IST
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Transformada de Fourier Discreta
Sistemas e Sinais
Série de Fourier
xn  
a e
k  N 
j
2
kn
N
2
 j kn
1
N


ak 
x
n
e

N n N 
k
Ex. 2
…
xn
…
1
8
 12
4
0
n
8
4
2
1  j 2 k
 e
4


 j kn
j k
 j k2 
1 2
 j 2 k
1
4
N  4  ak   xne
  0e  0  1e 2  0e 2 
4 n1
4




1  j 2 k j 2 kn 1 2 j 2 n1k
xn   e e
 e
4
4 k 1
k  1
2



j  n 1

1   j 2 n1
  e
 1  e 2  e j n1 
4


1 j k
1 
 1
n 1
ak  e 2  xn  cos n  1  1   1
4
2 2
 4
DEEC/ IST

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Transformada de Fourier Discreta
Sistemas e Sinais
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P1. Linearidade
SF,
ax1 n   bx2 n 
P2. Translação no Tempo
2
N
 
aX1 k   bX 2 k 

 
xn  n0   e  j n0 X e j
TF
xn  n0 
P3. Translação na Frequência
e
e
DEEC/ IST
 
ax1 n  bx2 n   aX1 e j  bX 2 e j
TF
j0 n
2
jk0 n
N
SF,
2
N

e
j
2
kn0
N

X k 
xn   X e j 0 
xn
TF
SF,
2
N


X k  k0 
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Transformada de Fourier Discreta
Sistemas e Sinais
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P4. Inversão Temporal
x n 
P5. Convolução
SF,
2
N

x1 n   x2 n  
TF
x1 n   x2 n 
Convolução circular:
P6. Diferenciação na Frequência
DEEC/ IST
 
x n   X e  j
TF
2
SF,
N
X  k 
 
 
X 1 e j  X 2 e j
NX 1 k X 2 k 

x1 n  x2 n 
nxn  
TF
 x x n  
  N 
1
2
 
dX e j
j
d
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Transformada de Fourier Discreta
Sistemas e Sinais
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P7. Soma no Tempo
n
 x
  
P8. Simetria
xn
Se
TF:
P9. Modulação
     2 k 

k  
é uma função real, então
 

X * e j  X e j

SF: X * k   X  k 
 
r n   sn  pn   R e j 
TF
r n   sn  pn 
DEEC/ IST
 
1

X e j   X e j 0
 j
1 e
TF
SF,
2
N

    
1
S e j  P e j
2
Rk   S k   Pk 
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Transformada de Fourier Discreta
Sistemas e Sinais
Exemplo
Tabela:
xn  u1 n  N   u1 n  N  1
1
…
…
N
j

1

      2 
 j
1 e
  
Linearidade + Translação no Tempo
n
N
 
 
u1 n   U 1 e
TF
 
  
  
X e j  e jNU 1 e j  e j N 1U 1 e j  e jN  e jN e j U 1 e j
e
j

2
 
1 
 2 j sin   N   
2 
 
1
1



 j  N   
 j  j  N  
 jN j 2  jN  j 2 
 e e  e e U 1 e j  e 2  e  2   e  2  U 1 e j









 
 
j
 
 
1  e 2
1   
 2 j sin   N   
 2 j sin   N       2 
 j
2  1 e
2  
 
 
 
1 
 2 j sin   N   
2 
 
 2 j sin  2 
DEEC/ IST
1
e
j

2
e
j

2
 
X e j
Para   2  é  0
 
1 
sin   N   
2 

 

sin  
2
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Transformada de Fourier Discreta
Sistemas e Sinais
Resposta Impulsional
Resposta em Frequência
 
hn   H e j
TF
xn
hn
H e j
…

0
2
H e j
…
DEEC/ IST


0

 
He
j
 
   
Y e j  H e j X e j
…
 
Filtro passa-alto
 2
X e j
 
Filtro passa-baixo
 2
 
yn  hn xn
Baixa Frequência:

  0,  2 ,  4 ...
Alta Frequência:
…
2
   ,  3 ,  5 ...

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Transformada de Fourier Discreta
Sistemas e Sinais
Resposta em Frequência
SLITs em série
 
X e j
 
H1 e
H1 e
j
Y e j
j
j
j
2
 
 
Xe
   X e  H e H e  Y e 
H e 
j
j
j
 
1
j
2
SLITs em paralelo
Y e 
X e 


H e  H e 


Y e j
j
j
j
1
j
2
H 2 e j
 
Xe
j



 
H1 e
j
 
Y e j
Realimentação
 
He
 
j
 
   
H1 e j

1  H1 e j H 2 e j
H 2 e j
DEEC/ IST
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Transformada de Fourier Discreta
Sistemas e Sinais
Equação às Diferenças
xn
SLIT
yn
Resposta em Frequência
N
M
 a yn  k    b xn  k 
k
k 0
k 0
k
N

M

T F ak yn  k   T F bk xn  k 
 k 0

 k 0

N
M
 a T Fyn  k    b T Fxn  k 
Linearidade
k 0
k
 a e
N
Translação no tempo
M
be
Y e  
H e  

X e 
a e
j
j
j
k 0
N
k 0
DEEC/ IST
k 0
 jk
k
 jk
k
k 0
 jk
k
    b e
Ye
j
M
k 0
k
 jk
 
X e j
N
M
 jk 
j
 jk 
j
a
e
Y
e

b
e
X
e


k
k




 k 0

 k 0

 
 
k
Isabel Lourtie
Transformada de Fourier Discreta
Sistemas e Sinais
Amostragem de sinais
x(t)
-8T -7T-6T -5T-4T -3T -2T -T
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
DEEC/ IST
xd(n)=x(nT)
0 T 2T 3T 4T 5T
0 1 2 3 4 5
t
n
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Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Discreta
Amostragem de sinais
modelo matemático
x(t)
pt 
x p t 
xt 
pt  

  t  nT 
n  
0
t
p(t)
1
-2T
-T
0
T
2T
3T
4T
x p t   xt  pt 

xp(t)

 xnT  t  nT 
n  
DEEC/ IST
5T t
-2T
-T
0
T
2T 3T 4T
5T t
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Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Discreta
Relação entre os espectros de xt  e x p t 
TF
x p t   xt  pt  
X p  j  
1
X p  j  
2

1






P
j

X
j



d



2
1
X  j    P  j 
2
2
 T




   
k  
2 k 
X  j    d
T 
1   
2 k  
1   
2 k 

X

j



 
     
X  j    d



T k   
T 
T k   
T 
1 
X p  j    X  j   ks 
T k 
Tabela
2
P j  
T
DEEC/ IST



    k
k  
2 

T 
s  2 T - frequência de amostragem
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Discreta
Relação entre os espectros de xt  e x p t 
X  j 
1 
X p  j    X  j   ks 
T k 
1
 M
M

X p  j 
s 
1T
2
 2 M
T
…
…
 s

s
2
s
2
X p  j 
1T
…
s 
2
 2 M
T
…
 s
DEEC/ IST

s
s

Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Discreta
Teorema da Amostragem
Seja xt  um sinal contínuo de banda limitada tal que
  M , X  j  0
Então xt  é univocamente determinado pelas suas amostras sse
a frequência de amostragem
s 
2
 2 M
T
2M - ritmo de Nyquist
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Discreta
Relação entre os espectros do sinal contínuo x p t  e
do sinal discreto xd n  xnT 
    x n e
Xd e

j
n  
 jn
d


 jn


x
nT
e

n  
 
X p  j   X d e jT
x p t  

 xnT   t  nT 
n  
X p  j  
DEEC/ IST

 xnT T F t  nT  
n  

 jTn


x
nT
e

n  
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Discreta
Relação entre os espectros do sinal contínuo x p t  e
do sinal discreto xd n  xnT 
 
X p  j   X d e jT
Mudança de escala:
X p  j 
1T
…
 s
  T

s
2
…
s
2

s
X d e j 
1T
…
…
 2  
DEEC/ IST

2

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Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Discreta
X  j 
Amostragem e Reconstrução
1
pt 
x p t  
xt 

 xnT  t  nT 
n  
1T
 s
 M
X r  j 
M

s
2
…
s
2
T ;
H  j   
0 ;
xr t  




DEEC/ IST

 xnT    nT ht  d   xnT ht  nT 
n  

s
  s 2
sin  s t 2 
 ht  
  s 2
t

xr t   x p t  ht    x p  ht   d
  

M
T
…
1
X p  j 
 M

 xnT 
n  
sin s t  nT  2
t
fórmula de interpolação
n  
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Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Discreta
x(t )  cos50 t 
Amostragem de uma sinusoide

s  150  100  2M
X ( j )

50
 50

X p ( j)
T

T
…
 200
 150   100 
 50

T
50
…
100 
150 

200
xr (t )  cos50 t   xt 
DEEC/ IST
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Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Discreta
x(t )  cos50 t 
Amostragem de uma sinusoide
s  40  100  2M
T

T
…
 90
 80
DEEC/ IST
 50
X p ( j)
 10 10
 40
X ( j )

 50

T
50
40

50

…
90
80

xr (t )  cos10 t   xt 
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