Estatística Aplicada
(Aula 3)
Estatística
Aplicada
Prof. Afonso Chebib
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Distribuição Uniforme de Probabilidade
Situação: O departamento de vendas de uma empresa está aberto ao
público durante 4 horas por dia. As vendas são feitas ao longo deste
período sem que haja momentos de maior ou menor volume de vendas.
Sabe-se que ocorre pelo menos uma venda por dia. Qual é a
probabilidade de venda:
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• Ao longo da primeira hora de trabalho no dia;
• Entre a segunda e a terceira hora de
atendimento;
• Exatamente 3,5 horas após a abertura.
tempo de atendimento: variável aleatória contínua.
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Distribuição Uniforme de Probabilidade
 Sabendo que a probabilidade de venda é igual para qualquer hora
do dia, qual é a probabilidade de venda em cada hora?
– Probabilidade de venda em uma hora = 0,25
P (x=3,5) = 0
Área = 0
P( 2 <= x <= 3) = 0,25
Área = 0,25
f(x)
P(x<=1) = 0,25 0,25
Área = 0,25
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3
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Horas por dia
3
Distribuição Uniforme de Probabilidade
 A área do gráfico indica a probabilidade de ocorrência!
 A função que descreve o gráfico sob o qual queremos calcular a
área se chama: função densidade de probabilidade (f.d.p)
 Ao tratar as variáveis aleatórias contínuas, é importante lembrar
que:
1.
2.
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A probabilidade não se refere a um valor em particular, mas sim de
um intervalo.
A probabilidade de uma variável aleatória contínua assumir um valor
de determinado intervalo é definida pela área do gráfico da função
densidade de probabilidade. Uma vez que um ponto simples é um
intervalor que tem largura igual a zero, isso implica que a
probabilidade de uma variável aleatória contínua assumir um valor
em particular é igual a zero.
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Distribuição de Probabilidade
 A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória
descreve como as probabilidades estão distribuídas sobre os
valores de uma variável aleatória
 Vantagem de definir a distribuição de probabilidade de uma variável
aleatória é que, uma vez conhecida a distribuição, torna-se fácil
determinar a probabilidade de ocorrência de uma série de eventos
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Distribuição Normal de Probabilidade
 Distribuições contínuas de probabilidade
– A mais importante distribuição de probabilidade para descrever
uma variável aleatória contínua é a distribuição normal de
probabilidade
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Distribuição Normal de Probabilidade
 A distribuição normal de probabilidade tem formato de sino
 A f.d.p é definida por:
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Distribuição Normal de Probabilidade
 Distribuição normal
– Curva normal
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Distribuição Normal de Probabilidade
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 Características da Distribuição Normal
– A família inteira das distribuições de probabilidade é diferenciada
por dois parâmetros, a média e o desvio padrão
– O ponto máximo da curva normal encontra-se na média, que é
também a mediana e a moda da distribuição
– A média da distribuição pode ser qualquer valor numérico:
negativo, zero ou positivo.
– A distribuição Normal é simétrica, sendo a forma da curva à
esquerda da média uma imagem espelhada da forma da curva a
direita da média
– O desvio padrão determina o quanto a curva é achatada ou larga
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Distribuição Normal de Probabilidade
 Características da Distribuição Normal
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Distribuição Normal de Probabilidade
 Características da Distribuição Normal
– As probabilidades da variável aleatória normal são dadas por
áreas sob a curva. A área total sob a curva é 1. Já que a
distribuição é simétrica, a área sob a curva, à direita da média,
é 0,5 e à direita também.
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Distribuição Normal de Probabilidade
 Características da Distribuição Normal
 As porcentagens dos valores de alguns intervalos comumente
usados são: 68,27% , 95,44% , 99,73%
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1
  x  x  / 2s 2
f ( x) 
e
s 2
Distribioção de probabilidade
1%
5%

x  x
z
m
m - 2,33s
s
m - 1,65s
10%
m - 1,28s
90%
m + 1,28s
95%
m + 1,65s
99%
m + 2,33s
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Distribuição Normal de Probabilidade
 Importância da distribuição Normal
– Assume grande importância na avaliação de investimentos
• Aproximação à curva normal dos retornos esperados e
outros eventos financeiros
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Distribuição Normal de Probabilidade
 Situação: Sabendo eu uma série de retornos de um ativo possui
distribuição normal (com média e desvio padrão conhecidos),
podemos calcular a probabilidade do retorno deste estar dentro de
um intervalo de interesse.
Como calcular a área da distribuição normal?
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1
  x  x  / 2s 2
f ( x) 
e
s 2
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Usar a tabela estatística!
Determinar a variável padrão!
(distribuição normal padrão)
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Distribuição Normal de Probabilidade
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 Para encontrar a probabilidade de uma variável aleatória estar
dentro de um intervalo específico, devemos calcular a área sob a
curva normal ao longo desse intervalo.
 Para a distribuição normal padrão, as áreas sob a curva normal
foram calculadas e estão disponíveis em tabelas que podem ser
usadas no cálculo das probabilidades.
 Dizemos que a variável aleatória que tem uma distribuição Normal
cuja a média é zero e desvio padrão 1 tem uma distribuição normal
padrão de probabilidade
 Usaremos a letra z representar uma variável aleatória com
distribuição normal
 A tabela apresenta a probabilidade acumulada entre 0 e z1, para
uma distribuição normal padronizada (média 0 e desvio padrão 1)
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 Colocar a Tabela estatística de distribuição
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Distribuição Normal de Probabilidade
 Como usar a tabela estatística:
– Passo 1: calcular o valor z
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Distribuição Normal de Probabilidade
 Como usar a tabela estatística:
– Passo 2: encontrar o valor z na tabela
– Passo 3: encontrar a probabilidade desejada
Normalmente a primeira coluna apresenta a parte inteira e o
primeiro decimal, e a linha apresenta o segundo decimal.
Exemplo: Ache e interprete os seguintes valores na tabela:
a) 1,73
b) 0,59
c) 5
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Distribuição de probabilidade
 Como calcular a área da distribuição
– Calcular a probabilidade de z estar entre 0,00 e 1,00
– Calcular a probabilidade para z maior igual e 1 a menor igual a
1,25
– Calcular a probabilidade de z estar entre -1 e +1
– Calcular a probabilidade de z ser no mínimo 1,58
– Calcular a probabilidade de z ser maior do que -0,5
– Calcular a probabilidade de Z estar entre 1 e 1,58
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Distribuição Normal de Probabilidade
 Exemplos de uso da tabela.
1- As pontuações de um teste de QI em adultos são normalmente
distribuídas com média 100 e desvio padrão 15. Calcule a
probabilidade de um adulto escolhido ao acaso ter QI entre 70 e 115.
Primeiro passo: Calcular z para cada valor de interesse.
z1=(70-100)/15=-2 e z2=(115-100)/15=1, portanto devemos calcular a
probabilidade de z estar entre -2 e 1.
P(-2<z<1)=0,47725+0,34134 = 0,82
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 2- O pesos de coelhos criados em uma granja pode ser
representada por uma distribuição normal com média 5kg e desvio
padrão de 0,8 kg. Um abatedouro comprará 5000 coelhos e
pretende classificá-los de acordo com o peso, do seguinte modo: os
20% mais leves como pequenos, os 55% seguintes como médios,
os 15% seguintes como grandes e os 10% restantes como extras.
Quais os limites de peso para cada classificação?
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Distribuição Normal de Probabilidade
 A média de preço das ações das empresas que compõe o índice
S&P é US$ 30,00 e o desvio padrão é US$ 8,20. Suponha que o
preço das ações se distribua normalmente.
a) Qual é aprobabilidade de uma empresa ter um preço de, no
mínimo, US$ 40,00 para as suas ações?
b) Qual deve ser o preço das ações para que a empresa seja
incluída entre as 10% maiores?
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