Testes de Comparações de
Médias
Exemplo das variedades de milho
No experimento com variedades de milho
(A, B, C e D) instalado segundo um
Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC)
com 5 repetições, vimos:
Hipóteses
H 0 : t1  t2  t3  t4
H a : pelo m enosduas variedadesdiferem entre si.
Exemplo das variedades de milho
Modelo Estatístico (DIC):
y ji    t i  eij com i = 1, 2, 3, 4 e j = 1, 2, 3, 4, 5.
y ji

ti
eij
é o valor da produção da variedade i na repetição j;
é uma constante inerente a todas as observações;
é o efeito da variedade i;
é o erro experimental associado à parcela, independente,
identicamente distribuído de uma Normal com média zero
e variância constante  2;
Em aula prática vimos que as pressuposições em
relação ao modelo foram atendidas e que, para
esse exemplo, não é necessário fazer a
transformação dos dados.
Exemplo das variedades de milho
Tabela da ANAVA
Fonte de
Variação
Graus de
liberdade
Somas de
quadrados (SQ)
Quadrados
Médios (QM)
Variedade
3
163,75
45,58
Erro
16
112,00
7,00
Total
19
275,75
---
Fcalc.
Ftab.
6,511 >
3,14
Como Fcalc > Ftab rejeita-se a hipótese H0, ou seja, pelo menos
duas variedades de milho diferem entre si em relação à
produção em kg/m².
Pelo menos duas?? Quais diferem??
Testes de
comparações
múltiplas
Exemplo das variedades de milho
Contraste de médias: combinação linear das médias
de tratamentos.
Yˆ  c1 y1  c2 y2  ... cI yI
I
c
em que:
i 1
i
0
Variância de um contraste de médias
Tratamentos com o mesmo número de repetições:

I
QMErro
2
Vˆ Yˆ 
c

i
r
i 1
Tratamentos com diferentes número de repetições:

2
c
Vˆ Yˆ  QMErro i
i 1 ri
I
Teste de Tukey
Qualquer contraste entre duas médias (todas as combinações)
  qt ,v 

1 ˆ ˆ
VY
2
No exemplo das variedades de milho (r = 5)
  qt,v 
QMErro
r
É a amplitude total estudentizada obtida na tabela de
Tukey com t tratamentos e v graus de liberdade do
erro (ou resíduo) para um nível alfa de significância.
Teste de Tukey
Quais os possíveis contrastes?
Médias ordenadas
Variedades
Médias
D
31
B
27
C
26
A
23
Yˆ1  y4  y2  31 27  4
Yˆ2  y4  y3  31 26  5
Yˆ  y  y  31 23  8
3
4
1
Yˆ4  y2  y3  27  26  1
Yˆ5  y2  y1  27  23  4
Yˆ  y  y  26  23  3
6
Se Yˆi   o teste é significativo ( yi  y j ) .
Se Yˆi   o teste é significativo ( yi  y j ) .
3
1
Teste de Tukey
Diferença mínima significativa
QMErro
  qt,v 
r
7,00
 5%  4,05
 4,8
5
7,00
1%  5,19
 6,1
5
α=5%
Yˆ1  y4  y2  31 27  4
Yˆ2  y4  y3  31 26  5 *
Yˆ  y  y  31 23  8 *
3
α=1%
4
1
Yˆ4  y2  y3  27  26  1
Yˆ5  y2  y1  27  23  4
Yˆ  y  y  26  23  3
6
Se Yˆi   o teste é significativo ( yi  y j ) .
Se Yˆi   o teste é significativo ( yi  y j ) .
3
1
Teste de Tukey
Tabela. Valores médios de produção,
kg/m², em função das variedades de
milho.
Variedades
Médias*
D
31 a
B
27 ab
C
26 b
A
23 b
* Médias seguidas de mesma letra minúscula
não diferem entre si pelo teste de Tukey para
um nível de significância de 5%.
Yˆ1  y4  y2  31 27  4
Yˆ2  y4  y3  31 26  5 *
Yˆ  y  y  31 23  8 *
3
4
1
Yˆ4  y2  y3  27  26  1
Yˆ5  y2  y1  27  23  4
Yˆ  y  y  26  23  3
6
3
1
Teste de Duncan
Contraste entre médias
Tukey: Utiliza o mesmo valor da amplitude estudentizada (q);
Duncan: A amplitude estudentizada varia em função do número
de médias abrangidas no contraste.
Diferença mínima significativa
  Z t ',v 
QMErro
r
É a amplitude total estudentizada obtida na tabela de
Duncan com t’ tratamentos abrangidos pelo
contraste e v graus de liberdade do erro (ou resíduo)
para um nível alfa de significância.
Teste de Duncan
Contraste com 4 médias ordenadas
“O teste inicia comparando a maior com a menor média”
D=31; B=27; C=26; A=23
4 médias ordenadas
Yˆ1  y4  y1  31 23  8
 4  Z 4,16 
7,00
5
Teste de Duncan
Contraste com 4 médias ordenadas
“O teste inicia comparando a maior com a menos média”
D=31; B=27; C=26; A=23
4 médias ordenadas
Yˆ1  y4  y1  31 23  8 *
 4  Z 4,16 
7,00
7,00
 3,23
 3,8
5
5
Como Yˆ1  
o teste é
significativo
( yi  y j ) .
Teste de Duncan
Contraste com 3 médias ordenadas
D=31; B=27; C=26; A=23
Yˆ3  y2  y1  27  23  4
Yˆ2  y4  y3  31 26  5
 3  Z 3,16 
7,00
5
Teste de Duncan
Contraste com 3 médias ordenadas
D=31; B=27; C=26; A=23
Yˆ3  y2  y1  27  23  4 *
Yˆ2  y4  y3  31 26  5 *
3  Z 3,16 
7,00
7,00
 3,15
 3,7
5
5
Como Yˆ2   e Yˆ3   o teste é significativo ( yi  y j ) .
Teste de Duncan
Contraste com 2 médias ordenadas
D=31; B=27; C=26; A=23
Yˆ4
Yˆ5
Yˆ6
Yˆ4  y4  y2  31 27  4
Yˆ  y  y  27  26  1
5
2
3
Yˆ6  y3  y1  26  23  3
 2  Z 2,16 
7,00
5
Teste de Duncan
Contraste com 2 médias ordenadas
D=31; B=27; C=26; A=23
Yˆ4
Yˆ5
Yˆ6
Yˆ4  y4  y2  31 27  4 * Como Yˆ4   o teste é significativo ( yi  y j ) .
Yˆ5  y2  y3  27  26  1ns Como Yˆ   e Yˆ   o teste é
6
5
Yˆ  y  y  26  23  3ns NÃO significativo ( yi  y j ) .
6
3
1
 2  Z 2,16 
7,00
7,00
 3,0
 3,5
5
5
Teste de Duncan
Reunindo as informações
Yˆ1  y4  y1  31 23  8 *  4  3,8
Yˆ2  y4  y3  31 26  5 *  3  3,7 
Tabela. Valores médios de produção,
kg/m², em função das variedades de
milho.
Variedades
Médias*
Yˆ3  y2  y1  27  23  4 *  3  3,7 
D
31 a
Yˆ4  y4  y2  31 27  4 *  2  3,5
B
27 b
C
26 bc
A
23 c
Yˆ5  y2  y3  27  26  1ns  2  3,5
Yˆ6  y3  y1  26  23  3ns  2  3,5
* Médias seguidas de mesma letra minúscula
não diferem entre si pelo teste de Duncan para
um nível de significância de 5%.
Teste de Dunnett
Comparação entre as médias de tratamentos e um tratamento
controle específico (Tratamento padrão)
Diferença mínima significativa
  Dt ,v 
2 xQMErro
r
Valor obtido na tabela de Dunnett com t tratamentos
(inclusive o controle) e v graus de liberdade do erro
(ou resíduo) para um nível alfa de significância.
Teste de Dunnett
Comparação entre as médias de tratamentos e um tratamento
controle específico (Tratamento padrão)
Diferença mínima significativa
  Dt ,v 
2 xQMErro
2 x7,00
 2,59
 4,3
r
5
Considerando a variedade “D” como um controle
Variedades
Médias*
D (controle)
31 a
B
27 a
C
26 b
A
23 b
Yˆ1  y4  y2  31 27  4
Yˆ2  y4  y3  31 26  5
Yˆ  y  y  31 23  8
3
4
1
Teste de Dunnett
Comparação entre as médias de tratamentos e um tratamento
controle específico (Tratamento padrão)
Diferença mínima significativa
  Dt ,v 
2 xQMErro
2 x7,00
 2,59
 4,3
r
5
Considerando a variedade “D” como um controle
Variedades
Médias*
D (controle)
31 a
B
27 a
C
26 b
A
23 b
Yˆ1  y4  y2  31 27  4
Yˆ2  y4  y3  31 26  5
Yˆ  y  y  31 23  8
3
4
1
Testes
Tabela. Valores médios de produção, kg/m², em função das variedades
de milho.
Variedades
Resultados
Tukey
Duncan
Dunnett
D
31 a
31 a
31 a
B
27 ab
27 b
27 a
C
26 b
26 bc
26 b
A
23 b
23 c
23 b
Contrastes Ortogonais
Recomendado para comparação de médias de
tratamentos estruturados
Exemplos: Adubação
Tratamento 1: Nitrato de Cálcio – Dose 1;
Tratamento 2: Nitrato de Cálcio – Dose 2;
Tratamento 3: Sulfato de Amônia;
Tratamento 4: Testemunha;
Contrastes Ortogonais
Recomendado para comparação de médias de
tratamentos estruturados
Exemplos: Hormônio
Tratamento 1: Controle;
Tratamento 2: 24mg de Dietilestilbestrol;
Tratamento 3: 10mg de Estradiol;
Tratamento 4: 20mg de Estradiol;
Contrastes Ortogonais
Exemplos: Preparo de amostras diagnose foliar em cana
A = folhas limpas com escova;
B = folhas lavadas em água corrente;
C = folhas lavadas em solução diluída de detergente;
D = folhas lavadas com água corrente e enxaguadas com
água destilada, depois com HCl 0,1 N e finalmente
com água desmineralizada;
E = folhas lavadas com água corrente e enxaguadas com
água destilada, depois com HCl 0,2 N e finalmente
com água desmineralizada;
Contrastes Ortogonais
Produções (kg/100m²) de repolho em função de diferentes fontes de
Nitrogênio
Fontes de N
Repetições
Totais
Médias
1
2
3
T1:Nitrato de Cálcio (D1)
70,3
64,3
79,0
213,6
71,2
T2:Nitrato de Cálcio (D2)
81,0
75,1
71,3
227,4
75,8
T3:Sulfato de Amônia
75,5
63,0
65,4
203,9
68,0
T4:Uréia
85,2
80,5
83,6
249,3
83,1
T5:Testemunha
35,7
39,6
45,5
120,8
40,3
Possíveis Contrastes
Testemunha (T5) versus os Demais (T1, T2, T3, T4);
Nitrato de Cálcio (T1 e T2) versus Demais fontes (T3 e T4);
Dose 1 de NC (T1) versus Dose 2 de NC (T2);
Sulfato de Amônia (T3) versus Uréia (T4).
Contrastes Ortogonais?
Dois contrastes
I
Yˆa  c1 y1  c2 y2  ... cI yI
c
i
0
Yˆb  d1 y1  d2 y2  ... d I yI
d
i
0
i 1
I
i 1
são ortogonais se
I
c d
i 1
i
i
0
I
rc d
i 1
i i
i
(mesmo número de repetições)
 0 (número de repetições diferentes)
Em um grupo de I tratamentos é possível construir I-1 (graus
de liberdade de tratamento) contrastes ortogonais.
Contrastes Ortogonais?
Contraste 1: Testemunha (T5) versus os Demais (T1, T2, T3, T4);
H 0 : 5 
1   2  3   4
4
H a : 5 
1   2  3   4
4
y  y2  y3  y4
Yˆ1  1
 y5
4
Contraste 2: Nitrato de Cálcio (T1 e T2) versus Demais fontes (T3 e
T4);
1   2 3   4
1   2 3   4
H0 :
2

2
Ha :
y1  y2 ( y3  y4 )
ˆ
Y2 

2
2
2

2
Contrastes Ortogonais?
Contraste 3: Dose 1 de NC (T1) versus Dose 2 de NC (T2);
H a : 1  2
H 0 : 1  2
Yˆ3  y1  y2
Contraste 4: Sulfato de Amônia (T3) versus Uréia (T4);
H a : 3  4
H 0 : 3  4
Yˆ4  y3  y4
Contrastes Ortogonais?
Contraste 1
y1  y2  y3  y4
ˆ
Y1 
 y5
4
Contraste 2
y1  y2 ( y3  y4 )
ˆ
Y2 

2
2
1 1 1 1 1 1 1 1
c
d

 x    x    x -    x -   (-1x0)  0

i i
 4 2  4 2  4 2 4 2
i 1
I
Contraste 1
y1  y2  y3  y4
ˆ
Y1 
 y5
4
Contraste 3
Yˆ3  y1  y2
1  1
 1  1 
c
d

x
1

x
1

 
   x0    x0   (-1x0)  0

i i
4  4
 4  4 
i 1
I
Contrastes Ortogonais?
Contraste 1
y1  y2  y3  y4
ˆ
Y1 
 y5
4
Contraste 4
Yˆ4  y3  y4
1  1
 1  1 
c
d

x
1

x
1

 
   x0    x0   (-1x0)  0

i i
4  4
 4  4 
i 1
I
Contraste 2
Contraste 3
y1  y2 ( y3  y4 )
ˆ
Y2 

2
2
Yˆ3  y1  y2
1  1
  1   1 
c
d

x
1

x
1

 
    x 0     x 0   (0x0)  0

i i
2  2
  2   2 
i 1
I
Contrastes Ortogonais?
Contraste 2
Contraste 4
y1  y2 ( y3  y4 )
ˆ
Y2 

2
2
Yˆ4  y3  y4
1  1   1   1

c
d

x
0

x0


x
1


x
1

 
 
 
  (0x0)  0

i i
2  2   2   2

i 1
I
Contraste 3
Contraste 4
Yˆ3  y1  y2
Yˆ4  y3  y4
I
 c d  1x0  1x0  0x1  0x 1  (0x0)  0
i 1
i i
Contrastes Ortogonais
Tabela de Análise de Variância
Fontes de
Variação (FV)
Graus de
liberdade
(gl)
Somas de
Quadrados
(SQ)
Quadrados
Médios
(QM)
Fcalc.
Ftab.
(5%)
Tratamentos
4
3.203,02
800,76
26,24*
3,48
Erro
10
305,15
30,52
Total
14
3.508,17
---
Como são contrastes mutuamente ortogonais, pode-se usar o F
da análise de variância para testá-los. Esta técnica é
comumente designada como decomposição da Soma de
Quadrados de Tratamentos.
Contrastes Ortogonais
Tabela de Análise de Variância
Fontes de
Variação (FV)
Graus de
liberdade
(gl)
Somas de
Quadrados
(SQ)
Quadrados
Médios
(QM)
Fcalc.
Ftab.
(5%)
Tratamentos
(4)
(3.203,02)
800,76
26,24*
3,48
Contraste 1
1
SQC1
QMC1
Fcalc.C1
Contraste 2
1
SQC2
QMC2
Fcalc.C2
Contraste 3
1
SQC3
QMC3
Fcalc.C3
Contraste 4
1
SQC4
QMC4
Fcalc.C4
Erro
10
305,15
30,52
Total
14
3.508,17
---
Ft(1,10)
Contrastes Ortogonais
Produções (kg/100m²) de repolho em função de diferentes fontes de
Nitrogênio
Fontes de N
Repetições
Totais
Médias
1
2
3
T1:Nitrato de Cálcio (D1)
70,3
64,3
79,0
213,6
71,2
T2:Nitrato de Cálcio (D2)
81,0
75,1
71,3
227,4
75,8
T3:Sulfato de Amônia
75,5
63,0
65,4
203,9
68,0
T4:Uréia
85,2
80,5
83,6
249,3
83,1
T5:Testemunha
35,7
39,6
45,5
120,8
40,3
Soma de quadrado do Contraste 1
y  y2  y3  y4
Yˆ1  1
 y5
4
 213,6  227,4  203,9  249,32 120,82  10152
SQC1  

 2.815,3500

12
3 
15

Contrastes Ortogonais
Produções (kg/100m²) de repolho em função de diferentes fontes de
Nitrogênio
Fontes de N
Repetições
Totais
Médias
1
2
3
T1:Nitrato de Cálcio (D1)
70,3
64,3
79,0
213,6
71,2
T2:Nitrato de Cálcio (D2)
81,0
75,1
71,3
227,4
75,8
T3:Sulfato de Amônia
75,5
63,0
65,4
203,9
68,0
T4:Uréia
85,2
80,5
83,6
249,3
83,1
T5:Testemunha
35,7
39,6
45,5
120,8
40,3
y1  y2 ( y3  y4 )
ˆ
Y


Soma de quadrado do Contraste 2 2
2
2
 213,6  227,42 203,9  249,32  894,22
SQC2  

 12,4033

6
6
12


Contrastes Ortogonais
Produções (kg/100m²) de repolho em função de diferentes fontes de
Nitrogênio
Repetições
Fontes de N
Totais
Médias
1
2
3
T1:Nitrato de Cálcio (D1)
70,3
64,3
79,0
213,6
71,2
T2:Nitrato de Cálcio (D2)
81,0
75,1
71,3
227,4
75,8
T3:Sulfato de Amônia
75,5
63,0
65,4
203,9
68,0
T4:Uréia
85,2
80,5
83,6
249,3
83,1
T5:Testemunha
35,7
39,6
45,5
120,8
40,3
Soma de quadrado do Contraste 3 Yˆ3  y1  y2
 213,6 2 227,42  441,02
SQC3  

 31,7400

3
6
 3

Contrastes Ortogonais
Produções (kg/100m²) de repolho em função de diferentes fontes de
Nitrogênio
Fontes de N
Repetições
Totais
Médias
1
2
3
T1:Nitrato de Cálcio (D1)
70,3
64,3
79,0
213,6
71,2
T2:Nitrato de Cálcio (D2)
81,0
75,1
71,3
227,4
75,8
T3:Sulfato de Amônia
75,5
63,0
65,4
203,9
68,0
T4:Uréia
85,2
80,5
83,6
249,3
83,1
T5:Testemunha
35,7
39,6
45,5
120,8
40,3
Soma de quadrado do Contraste 4
Yˆ4  y3  y4
 203,92 249,32  453,22
SQC4  

 343,5267

3 
6
 3
Contrastes Ortogonais
Tabela de Análise de Variância
Fontes de
Variação (FV)
Graus de
liberdade
(gl)
Somas de
Quadrados
(SQ)
Quadrados
Médios
(QM)
Fcalc.
Ftab.
(5%)
Tratamentos
(4)
(3.203,02)
800,76
26,24*
3,48
Contraste 1
1
2.815,35
2.815,35
92,25*
Contraste 2
1
12,40
12,40
0,40
Contraste 3
1
31,74
31,74
1,04
Contraste 4
1
343,53
343,53
11,26*
Erro
10
305,15
30,52
Total
14
3.508,17
---
4,96
Contrastes Ortogonais
Contraste 1:
y1  y2  y3  y4
71,2  75,8  68,0  83,1
ˆ
Y1 
 y5 
 40,3  34,225
4
4
As parcelas que receberam algum tipo de fonte de Nitrogênio
(T1, T2, T3 e T4) produziram em média 34,23 kg/100m² de
repolho a mais (estimativa do contraste positiva) do que as
parcelas que não receberam nenhuma fonte de Nitrogênio
(T5).
Contrastes Ortogonais
Contraste 2:
y1  y2 ( y3  y4 ) 71,2  75,8 (68,0  83,1)
ˆ
Y2 



 2,05
2
2
2
2
As parcelas que receberam Nitrato de Cálcio como fonte de
Nitrogênio (T1 e T2) produziram em média a mesma
quantidade (o contraste foi não significativo) de repolho que
as parcelas que receberam alguma outra fonte de Nitrogênio
(T3 e T4).
Contrastes Ortogonais
Contraste 3:
Yˆ3  y1  y2  71,2  75,8  4,6
As parcelas que receberam a Dose 1 de Nitrato de Cálcio (T1)
produziram em média a mesma quantidade (o contraste foi
não significativo) de repolho que as parcelas que receberam a
Dose 2 de Nitrato de Cálcio (T2).
Contrastes Ortogonais
Contraste 4:
Yˆ4  y3  y4  68,0  83,1  15,1
As parcelas que receberam Sulfato de Amônia como fonte de
Nitrogênio (T3) produziram em média 15,1 kg/100m² de
repolho a menos (estimativa do contraste negativa) do que as
parcelas que receberam Uréia como fonte de Nitrogênio (T4).
Contrastes Ortogonais
No exemplo das variedades de milho (aula prática)
4 tratamentos (A, B, C e D) –> 3 contrastes ortogonais
entre si
Contraste 1: A+B versus C+D
Contraste 2: A versus B
Contraste 3: C versus D