ME623A
Planejamento e Pesquisa
Comparações Múltiplas

Na Análise de Variância, realizamos o teste F para
verificar a igualdade de todas as médias dos
tratamentos

Suponha que H0 é rejeitada, ou seja, existe diferença
entre as médias. Mas a partir desse teste não
sabemos dizer exatamente quais médias diferem

Para isso, utilizamos os chamados Métodos de
Comparações Múltiplas

Estes fazem comparações entre pares médias de
tratamentos ou combinações lineares das médias
2
Comparações de Pares de Médias

Suponha que queremos testar todas as possíveis
combinações de pares de médias:

E por que não devemos usar testes t individuais de
nível para fazer tais comparações?

Existem procedimentos para fazer tais
comparações controlando o nível de significância
geral, que discutiremos nessa aula
3
Teste de Tukey

Tukey (1953) propôs um
procedimento para comparar todos
os a(a – 1)/2 possíveis pares de
médias

Nível de significância geral:
 exatamente α (balanceado)
 no máximo α (não balanceado)

Quando pode ser aplicado, esse procedimento
produz intervalos de confiança mais estreitos que
qualquer outro teste de comparação das médias
4
Teste de Tukey

Baseado na distribuição da amplitude studentizada
onde
e
são a maior e menor média dos
tratamentos, respectivamente
 Regra de decisão: duas médias μi e μj são significativamente diferentes se
sendo

Tabela VIII do Apêndice do livro contém os valores
de
5
Teste de Tukey (Exemplo da fibra sintética)
 Temos
a = 5 tratamentos. Para α=0.05, temos
 Então, a
diferença é significativa se excede 5.37
6
Teste de Tukey (Exemplo da fibra sintética)
No R
> tTukey <- TukeyHSD(aov(Obs ~ factor(Algodao), data=dados))
diff
lwr
upr
p adj
20-15
5.6
0.2270417 10.9729583 0.0385024
25-15
7.8
2.4270417 13.1729583 0.0025948
30-15
11.8
6.4270417 17.1729583 0.0000190
35-15
1.0
-4.3729583
6.3729583 0.9797709
25-20
2.2
-3.1729583
7.5729583 0.7372438
30-20
6.2
0.8270417 11.5729583 0.0188936
35-30 -10.8 -16.1729583 -5.4270417 0.0000624
7
Teste de Tukey (Exemplo da fibra sintética)
No R
> plot(tTukey, sub="Tukey’s Test", las=1)
8
Least Significance Difference (LSD) de Fisher
Se o teste F da ANOVA é significante a um nível α,
cada par de média é então testado por um teste t de
nível α
 Desvantagem: controla apenas o nível α de cada teste,
mas não controla o nível de significância geral
 Regra de decisão: duas médias μi e μj são significativamente diferentes se

sendo
9
Teste LSD (Exemplo da fibra sintética)
 Com
a = 5 tratamentos e α=0.05, temos
 Então, a
diferença é significativa se excede 3.75
 Representação
gráfica dos resultados
10
Teste de Dunnett
Comparando Médias a um Controle

Suponha que o tratamento a é o controle e então
iremos testar

Para cada hipótese, calculamos a diferença:

Rejeitamos H0 se
em que
é dado pela Tabela IX
 α é o nível de significância conjunto dos a – 1 testes
11
Teste de Dunnett (Exemplo Ansiedade)
 Nesse
exemplo temos a=3 tratamentos, sendo um
placebo (0mg) e duas dosagens (50mg e 100mg)
 Lembrem-se que:
 Calculamos
e
 Ambas
dosagens diferem significativamente do placebo
12
Contrastes

Muitos métodos de comparações múltiplas usam a
idéia de contrastes

No exemplo da fibra sintética, a engenheira suspeita
que a resistência aumenta com a % de algodão.
Então podemos, por exemplo, comparar os níveis
extremos:
ou de forma equivalente,
13
Contrastes

Contraste é uma combinação linear de parâmetros:
onde a soma das constantes

é 0, ou seja,
As hipóteses a serem testadas são expressas em
termos dos contrastes:
ou
14
Contrastes

No exemplo da fibra sintética para testar se
as constantes do contraste são

Testar hipóteses envolvendo contrastes pode ser
feito de duas maneiras:
1. Teste t
2. Teste F
15
Contrastes

Suponha que o contraste de interesse seja

Substituindo a média populacional dos tratamentos
pelas médias amostrais, temos

A média e variância de C são:
16
Testando Contrastes – Test t

Hipóteses:

Se H0 é verdadeira e usando MSE para estimar σ2
Calcula-se o p-valor =
 Rejeita-se H0 se p-valor < α ou, de forma equivalente,
se
17

Intervalo de Confiança para o Contraste

Assim como construímos IC para a diferença entre
duas médias, temos também IC para o contraste

Um IC de nível 100(1 – α)% para o contraste Γ é

Relação com o teste de hipótese: Se o IC contém
zero, então não temos evidência para rejeitar H0
18
Testando Contrastes – Test F

Hipóteses:

Tomando-se o quadrado da estatística t0 anterior,
temos a estatística F0
Calcula-se o p-valor =
 Rejeita-se H0 se p-valor < α ou, de forma equivalente,
se
19

Testando Contrastes – Test F

Defina a Soma de Quadrados do Contraste (SSC):
com um grau de liberdade

Então, podemos reescrever a estatística F0 como
20
Contrastes no Caso Não Balanceado

Quando o número de replicações é diferente para
cada tratamento, pequenas modificações são feitas
nos resultados anteriores

A definição de contraste para esse caso requer que

Por exemplo, a estatística t0 e a SSC tornam-se:
21
Contrastes Ortogonais

Dois contrastes com coeficientes {ci} e {di} são
ortogonais se

Quando temos a tratamentos, sempre existe um
conjunto de a – 1 contrastes ortogonais que
particiona SSA em componentes com 1 gl

Então, testes em contrastes ortogonais são
independentes

Existem várias formas para escolher os coeficientes
destes contrastes. A natureza do experimento
sugere quais comparações devem ser de interesse
22
Testando Contrastes (Exemplo Ansiedade)

Voltando ao exemplo da ansiedade
Tratamento
Dosagem (mg)
0 (placebo)
50 (nível 1)
100 (nível 2)
Coeficientes para
Contrastes
Ortogonais
−2
1
1
0
−1
1
Veja que os contrastes com ci = −2, 1, 1 e di = 0, −1,
1 são ortogonais
 Contraste 1 com coeficientes ci = −2, 1, 1


Contraste 2 com coeficientes di = 0, −1, 1
23
Testando Contrastes (Exemplo Ansiedade)
Vamos calcular as SSC
 Faça o teste F para cada contraste
 Escreva os resultados na tabela ANOVA

24
Testando Contrastes (Exemplo Ansiedade)
Calculando o valor dos contrastes e suas SS:
Na Tabela ANOVA
Contrastes
C1 e C2 são
significativos
25