Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Contínua
TRANSFORMADA DE FOURIER
 Transformada de Fourier de sinais contínuos não periódicos
 Transformada e série de Fourier de sinais contínuos periódicos
 Propriedades da transformada e da série de Fourier de sinais contínuos
 Função resposta em frequência e resposta impulsional
 Funçao resposta em frequência e equação diferencial
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Contínua
Motivação
SLIT
xt   e j t
y t   ht   xt 

  h  xt   d
yt   ?
ht 
xt   e j t  yt   H  j e j t


  h  e j t  d



  h  e  j d  e jt
 

 H  j 
 T Fht 
 Particularização da transformada de Laplace ao
eixo imaginário do plano s
Espectro de
frequência

X  j    xt  e  jt dt

1
xt  
2
DEEC/ IST



X  j  e jt d
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Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Contínua

xt   X  j    xt e j t dt
Definição

Exponencial direita
xt   e u1 t ;   0
t
xt 


1

X  j    e t u1 t  e  jt dt   e   j t dt

  j t

0


e
1

lim e   j t  1
   j  0
   j  t 
 0 para
 0
0
t
1
e u1 t ;   0 
  j
t
Alternativa
  0  j  RC
1
1
TL e u1 t  
; Res   




X j  X s s  j 
s 
  j

t
DEEC/ IST

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Transformada de Fourier Contínua
Espectro de frequência da exponencial real
e t u1 t  ;   0 
X  j  
DEEC/ IST
1
1

  j
 2  2
1
  j
 
arg X  j    arg  j    arctan 
 
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Transformada de Fourier Contínua
1
X  j   xt  
2
Definição
X  j 
1
1 
1
arg X  j 

2
1

1 
2
X  j  X  j e
DEEC/ IST



X  j  e j t d
1 
j arg X  j  j t


xt  
X
j

e
e d



2
1
1  0  j  2 j t
j

2 j t

e
e
d


e
e
d

0

2  1

j
j
0
1
j 
j t

  e d   e j t d 

0
2  1
j t 0
j t 1 

1
j
e
e

 1  e  jt  e jt  1




2  jt 1
jt 0  2 t


 2 cost 
j arg X  j 


1
xt   cost   1
t
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Transformada de Fourier Contínua
Condições de Dirichlet
Condições suficientes para a existência de transformada de Fourier:

 xt dt  
1. xt  é absolutamente integrável, i.e.,

2. xt  possui um nº finito de máximos e mínimos e um nº finito de
descontinuidades finitas em qualquer intervalo de tempo finito.
Estas condições incluem os sinais de energia finita, i.e., sinais tais que
E  lim

T 2
T   T 2
2
xt  dt  


xt  dt  
2
mas não os de potência média finita, i.e, sinais tais que
1
P  lim
T   T
DEEC/ IST

T 2
T 2
2
xt  dt  
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Transformada de Fourier Contínua
Exemplos
1.

E   e t u1 t  dt  
xt   et u1 t 
2


0
e  2t
 2t
e dt 
2


0
1
2
sinal de energia finita
xt   u1 t 
2.
E  lim 
T 2
T  T 2
u1 t  dt  lim 
2
T 2
T  0
T

T  2
1 dt  lim
sinal de energia infinita
1
T  T
P  lim
3.

T 2
T 2
xt   sin 0t 
sinal de potência
média finita
DEEC/ IST
u1 t  dt  lim
2
1T 1

T  T 2
2
sinal de potência média finita
1 T 2
1  t sin 0t  cos0t 
2
P  lim  sin 0t  dt  lim  

T  T T 2
T  T 2
2

0

 T 2
1  T sin 0T 2 cos0T 2 1
 lim  

T  T
0
2
 2
T 2
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Transformada de Fourier Contínua
Sinais periódicos
Qual é o sinal xt  cuja transformada de Fourier é X  j   2   0  ?
1
xt  
2
Ex. 1

1


X
j

e
d



2
jt



2   0  e jt d  e j0t
   2 
xt   1 t  X  j   TF e
j 0t
2
X  j 

Ex. 2

 0
DEEC/ IST
 e j0t  e  j0t  1
T Fcos0t   T F
  2   0   2   0 
2

 2
X  j 
     0      0 

0 
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Transformada de Fourier Contínua
Sinais periódicos
xt  

jk0t
a
e
 k
Série de Fourier do sinal
periódico xt 
k  
TF
Combinação linear de
exponenciais complexas de
período Tk  2 k0
X  j  

 2 a    k 
k  
k
0
xt  é periódico com período
T0  mmcTk  
2
0
e, portanto, com frequência
fundamental 0
DEEC/ IST
Coeficientes da série de Fourier:
1
ak 
T0
 xt e
T0
 jk0t
dt
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Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Contínua
Série de Fourier
xt  

a e
xt   sin2 t   cos3 t 
0  2
1
0  mdc(0 , 0 )  
1




ak  




DEEC/ IST
1
2
1
j
2
1
2
0
j
2
; k 2
; k  2
0  3
2
1
T0
xt  e

T0
 jk0t
dt
e j 2 t  e  j 2 t e j 3 t  e  j 3 t


j2
2
1
1
1
1
 e  j 3 t  e  j 2 t  e j 2 t  e j 3 t
2
j2
j2
2
a 3
a2
a 2
1
a3
ak
2
2
4

; k  3
; k  2,3
ak 
k
k  
Ex. 1
jk0t
0
2
k
4
argak
2
2
4
2
0

4
k
2
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Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Contínua
Série de Fourier vs.Transformada de Fourier
X  j  
Ex. 1 (cont.)

 2 a    k 
k
k  
0
1
1
1
 1

X  j   2  j    2   j    2      3      3 
2
2
2
 2

  j   2   j   2      3      3 
0  




ak  




DEEC/ IST

1
2
1
j
2
1
2
0
j
j
; k 2
; k  2
; k  3
; k  2,3
X  j 

2
3
 3  2

 j
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Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Contínua
Série de Fourier
xt  

a e
k  
Ex. 2
jk0t
k
ak 
1
T0

T0
xt  e
 jk0t
dt
Onda quadrada
1
ak 
T0
1 e  jk0t
 jk0t
T1e dt  T0  jk0
T1
T1
T1
2 j sin k0T1 
1 e  jk0T1  e jk0T1


2
 jk 2
T0
 jk
T0

sin k0T1 
sin k0T1  jk0t
ak 
 xt   
e
k
k
k  
DEEC/ IST
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Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Contínua
Série de Fourier vs.Transformada de Fourier
Ex. 2
Onda quadrada (cont.)
X  j  

 2 a    k 
k  
k
0
T1 
sin k0T1  jk0t
xt   
e
k
k  

DEEC/ IST
T0
4
sin k0T1 
X  j    2
   k0 
k
k  

Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Contínua

xt  
Série de Fourier
jk0t
a
e
 k
k  
Ex. 3
 j
 j
ak  j k 1  j k  1   k  3   k  3   1

0  3
 0
;
;
;
;
k 1
k  1
k  3
outrosk
j 3 t
 e  j 3 t   e j 9 t  e  j 9 t 
xt   je j 3 t  je j 3 t  1e j 9 t  1e j 9 t  j e
k 1
k  1
k 3
k  3
 j2 j sin 3 t   2 cos9 t 
 2 sin 3 t   2 cos9 t 
DEEC/ IST
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Transformada de Fourier Contínua
Série de Fourier
xt  

jk0t
a
e
 k
k  
k
Ex. 4
 1
ak     ; 0  1
 2
k
k

k
1


 1  jk t
 1  jk t   1   j t
 1  jk t
 1  jk t 

e

1


e


e

1

xt       e






  e




2
2
2
2
2



k  
k 1 
 1 
k 1 
k   


k


 1  jt 
 1 
   e  1   e jt 
2
2 

 1 
k 1 
série geométrica
DEEC/ IST
k
1
1
1
1
  e  jt
 1  e jt
1
2
2 1  1 e jt
1  e  jt
2
2
1
1  e jt  e  jt
1 1  2 cost 
 1
 1 
2  1  jt  1 jt 
2 5  cost 
1

e
1

e



4
 2
 2 
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Transformada de Fourier Contínua
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P1. Linearidade
ax1 t   bx2 t   aX1  j   bX 2  j 
TF
ax1 t   bx2 t 
xt   sin2 t   cos3 t 
Ex.
1
2
4

0
2
argak
2
DEEC/ IST
2
0

4
aX1 k   bX 2 k 
e j 2t  e  j 2t
x1 t   sin 2 t  
j2
e j 3t  e  j 3t
x2 t   cos3 t  
2
 1 j2 ; k  2

X 1 k    1 j 2 ; k  2
 0
; k  2

1 2 ; k  3
X 2 k   
 0 ; k  3
k
4
2
4

0  
ak
2
SF, 0
k
2
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Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Contínua
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
xt  t0   e  jt0 X  j 
TF
P2. Translação no Tempo
xt  t0 
Ex.
  1  e
yt   sin   t    
  2 
0  
e
j2
 e  j 2 j 2

Y k    e j 2 j 2
 0

 1
yt   x t  
 2
DEEC/ IST
 1
j  t  
 2
0 

 1
 j  t  
 2

e
j
SF, 0

j
2
j2
e jk0t 0 X k 

e
j t
; k 1
; k  1
; k  1

e 2  j t

e
j2
xt   sin t 
0  
 1 j2 ; k  1

X k    1 j 2 ; k  1
 0
; k  1

Y k   e  jk 2 X k 
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Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Contínua
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P3. Translação na Frequência
e
e
j0t
jk00t
xt  
TF
xt 
SF, 0

X  j   0 
X k  k0 
Ex.
yt   e
j 5 t
sin t 
0  
yt   e
DEEC/ IST
e
j 5 t
e j t  e  j t
1 j 6 t 1 j 4 t

e
 e
j2
j2
j2
 1 j2 ; k  6

Y k    1 j 2 ; k  4
 0
; k  4, 6

j 5 t
xt 
0 

Y k   X k  5
xt   sin t 
0  
 1 j2 ; k  1

X k    1 j 2 ; k  1
 0
; k  1

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Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Contínua
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
xat 
TF
P4. Mudança de Escala
xat
SF, a0

1  j 
X

a  a 
X k  , a  0
Ex.
xt   sin t 
yt   sin2 t 
0  
x
 1 j2 ; k  1

X k    1 j 2 ; k  1
 0
; k  1

yt   x2t 
DEEC/ IST
0  2
y
 1 j2 ; k  1

Y k    1 j 2 ; k  1
 0
; k  1

0 y 20x

Y k   X k 
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Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Contínua
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P5. Convolução
x1 t   x2 t  
TF
SF, 0
x1 t   x2 t 

Convolução circular:
Ex.
x1 t  periódico com período T01  3
x2 t 
T02  3
1
2
X 1  j X 2  j 
T0 X 1 k X 2 k  , T0 
2
0
x1 t   x2 t    x1  x2 t   d
T0
2
 jk t
1 2
1
X 2 k     t    t  3 2e 3 dt  1  e  jk 
3 1
3
Propriedade da convolução
6  9 3  3
2
2
0
3
2
3
9
2
t
6
T0  mmc( T01 , T02 )  3 , 0 
2
3

T0 X1 k X 2 k   X1 k  1  e jk

Propriedades da linearidade e da
translação no tempo
x1 t   x2 t    x1   t      t    3 2d  x1 t   x1 t  3 2
2
1
DEEC/ IST
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Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Contínua
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P6. Diferenciação no Tempo
Ex.
xt   sint 
 1 j2 ; k  1

X k    1 j 2 ; k  1
 0
; k  1

DEEC/ IST
jX  j 
dxt 
dt
jk0 X k 
SF, 0

yt   cost 
0  1
dxt 
y t  
dt
dx t  TF

dt
0  1
1 2 ; k  1
 0 ; k  1

Y k   
0 1
 Y k   jkX k 
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Contínua
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P7. Diferenciação na Frequência
P8. Integração no Tempo

t

txt  
TF
x  d
TF

j
dX  j 
d
1
X  j    X  j 0  
j
Ex.
u1 t      d
t

1
12
12
t
DEEC/ IST
 t   1
TF
1
 U 1  j  
    
j
TF
1 2
t
t
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Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Contínua
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P9. Simetria
Se
TF:
xt 
é uma função real, então
X *  j   X  j 
X  j   X *  j   X  j 
Espectro de frequência de
DEEC/ IST
SF:
X * k   X  k 
 arg X  j   arg X
*
 j   arg X  j 
xt   et u1 t 
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Contínua
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P9. Modulação
r t   st  pt   R j  
TF
SF, 0
r t   st  pt 
Ex.
st   e j 2 t
pt   e j 3 t
1
S  j  P j 
2
Rk   S k  Pk 

r t   st  pt   e j 2 t e j 3 t
0  2
1
1 ; k  2
S k   
  k  2
0 ; k  2
1 ; k  3
Pk   
  k  3
0 ; k  3
r t   e j 5 t
0  3
2
0  mdc2 ,3   

Rk  
 S Pk  
  


    2Pk    Pk  2   k  5
  
DEEC/ IST
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Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Contínua
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P10. Dualidade
xt   X  j 
TF
Se
X  jt   2 x  
TF
então
Propriedades:
 Translação no Tempo vs. Translação na Frequência
 Convolução vs. Modulação
 Diferenciação no Tempo vs. Diferenciação na Frequência
Pares sinal no tempo/transformada:  t   1
TF
1  2  
TF
DEEC/ IST
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Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Contínua
Propriedades da Transformada e da Série de Fourier
P10. Dualidade
DEEC/ IST
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Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Contínua
Exemplos
Tabela:
u1 t   U 1  j  
TF
Ex. 1: Transformada de Fourier
1
T
xt   u1 t  T   u1 t  T 
1
    
j
Linearidade + Translação no Tempo
 2 j sinT 

jT
 jT
jT
 jT  1
X  j   e U 1  j   e U 1  j   e  e
 j     


T
t


 1
 2 sin T 
 2 j sin T 
     
 2 j sin T   

 j

0
X  j  
DEEC/ IST
2 sin T 

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Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Contínua
Exemplos
Tabela:
u1 t   U 1  j  
TF
Ex. 2: Transformada de Fourier
1
    
j
1 j 0 t
1  j 0 t
u1 t 
xt   cos0t u1 t   e u1 t   e
2
2
Linearidade + Translação na Frequência
1
1
X  j   U 1  j   0   U 1  j   0 
2
2
 1

1
1
1
 
    0   
    0 
2  j   0 
 2  j   0 

 
1
1
1
 

     0      0 
2  j   0  j   0  2
j


    0      0 
2
2
 j   0 2
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Contínua
Exemplos
yt  periódico: T0  2  0  
yt  sin( t)
Ex. 3: Série de Fourier
f(t)
Linearidade
+
Translação na Frequência
1
4
3
2
1
y t   sin  t  f t  
 1
f t   x t  
 2
DEEC/ IST
3

2
3
2
1
1 jt
1
e f t   e  jt f t 
j2
j2
t
 Y k  
1

2
1
1
F (k  1) 
F k  1
j2
j2
F k   e
Translação no Tempo
1
5

2
0
 jk

2
X k   e
 jk

2
 
sin  k 
 2
k
xt 
1
2
3
2
5
2
7
2
9
2
t
0   ,
 
sin  k 
 2
X k  
k
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Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Contínua
Exemplos
yt  periódico: T0  2  0  
Ex. 3: Série de Fourier (cont.)
yt  sin( t)
Y k  
f(t)
1
4
3
2
1
0
1
3
2
t
1
1
F (k  1) 
F k  1
j2
j2
F k   e
 jk

2
X k   e
 jk

2
 
sin  k 
 2
k


 






sin
k

1
sin
k

1






 j  k 1
1
1
1   j k 1 2
2
2 


2
e

Y k  
F (k  1) 
F k  1 
e
k  1
k  1 
j2
j2
j2 
  jk  j 



 jk
j
2
2
e
e
 e 2e 2
 je
 jk

2
  je
 jk

2
 

 





sin
k

1
sin
k

1




1 j2k  
2
2 



0   , Y k   e





2
k

1

k

1






DEEC/ IST
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Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Contínua
Resposta Impulsional
Resposta em Frequência
ht   H  j 
TF
xt 
ht 
yt   ht  xt 
X  j 
H  j 
Y  j   H  j X  j 
A resposta em frequência de um SLIT estável corresponde à particularização da função de
transferência sobre o eixo imaginário do plano complexo.
Ex 1.
Espectro do sinal de entrada
Filtro passa-baixo ideal
2 X  j 
Espectro do sinal de saída
2 Y  j 
H  j 
1
 2c
DEEC/ IST
2c 
 c
c 
 c
c 
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Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Contínua
Resposta no Tempo
Exemplo
Tabela
xt   u1 t 
Y  j  

H  j 
yt   ?
2
4  j
1
   
j
e t u 1 t , Re   0 
1
  j

2  1
2
1
2
2














  

4  j  j
4

j

j

4

j



j

4

j

2

 1
1 1 1
1

1 1
1

 
     
     
2 j 2 4  j 2
2  j
 2 4  j
2
A
B
4 A  j  A  B 



j 4  j  j 4  j
j 4  j 
4 A  2  A  1 ; B   1
A  B  0

2
2
DEEC/ IST
H  j  
u1 t  
y t  
1
1
u1 t   e  4t u1 t 
2
2
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Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Contínua
Resposta Impulsional
Resposta em Frequência
SLITs em série – propriedade da convolução
xt 
X  j 
DEEC/ IST
h1 t 
H1  j 
h2 t 
yt 
H 2  j 

Y  j 

xt 
X  j 
yt 
h1 t   h2 t 
H1  j H 2  j 
Y  j 
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Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Contínua
Resposta Impulsional
Resposta em Frequência
SLITs em paralelo– propriedade da linearidade
xt 
h1 t 
h2 t 
X  j 
H1  j 
H 2  j 
DEEC/ IST

yt 


Y  j 

xt 
X  j 
yt 
h1 t   h2 t 
H1  j   H 2  j 
Y  j 
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Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Contínua
Resposta em Frequência
X  j 

E  j 

H1  j 
Y  j 

Z  j 
H 2  j 
Realimentação
Analisar o SLIT no domínio do tempo
não é simples;
Obter a resposta em frequência do
do sistema é imediato.
Z  j   H 2  j Y  j 
E j   X  j   Z  j   X  j   H 2  j Y  j 
Y  j   H1  j  E j   H1  j X  j   H 2  j Y  j 
1  H1  j H 2  j Y  j   H1  j X  j 
DEEC/ IST
H  j  
Y  j 
H1  j 

X  j  1 H1  j H 2  j 
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Contínua
Resposta em Frequência
Exemplo
H  j  
X  j 


H1  j 
Y  j 

H1  j  
H 2  j 
Y  j 
H1  j 

X  j  1 H1  j H 2  j 
1
1  j
; H 2  j  
2  j
7  j 5
1
7  j 5
7  j 5
2  j
H  j  


2
1
1  j



2

j

7

j

5

1

j



14

j

16

j

5
1

2  j 7  j 5
H  j  
DEEC/ IST
7  j 5
14  5 2  j 16
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Contínua
Equação Diferencial
xt 
SLIT
Resposta em Frequência
yt 
M
dk
dk
ak k yt    bk k xt 

dt
dt
k 0
k 0
N
N

M

dk
dk
T F ak k yt   T F bk k xt 
 k 0 dt

 k 0 dt

N
 dk
 M
 dk





a
T
F
y
t

b
T
F
x
t
 k
  k  k


k
dt
dt
k 0

 k 0


Linearidade
N
Diferenciação no tempo
M
b  j 
Y  j  
H  j  

X  j 
 a  j 
k 0
N
k 0
DEEC/ IST
k
k
k


M


 ak  j  Y  j    bk  j  X  j 
k 0
k
k 0
k
N
M
k
k






a
j

Y
j


b
j

 k

 k
 X  j 
 k 0

 k 0

k
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Contínua
Equação Diferencial
H  j  
Exemplo
Y  j 
7  j 5

X  j  14  j 16   j 2 5
H  j  
7  j 5
14  5 2  j 16
14 j16  j 5Y  j  7  j 5X  j
2
5 j  Y  j  16 jY  j  14Y  j   5 j X  j   7 X  j 
2
d 2 yt 
dyt 
dxt 


5

16

14
y
t

5
 7 xt 
2
dt
dt
dt
d 2 yt  16 dyt  14
dxt  7




y
t

 xt 
2
dt
5 dt
5
dt
5
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Contínua
Modulação de Amplitude
cos0t 
xt 
X  j 

1
yt   xt cos0t 
Sistema linear mas variante no tempo

1
1 j 0 t
1  j 0 t
y t   e xt   e
xt   Y  j   X  j   0   X  j   0 
2
2
2
Y  j 
12
 0
DEEC/ IST
0

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Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Contínua
cos5t 
Multiplexagem na Frequência
x1 t 
1
X1  j 
X 2  j 
1
2 
2
x2 t 
2 
2


y1 t 

yt 
y2 t 
cos15t 
Y1  j 
12
5
5
Y2  j 

12
 15
5
5
15

15

Y  j 
12
 15
DEEC/ IST
5
5
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Transformada de Fourier Contínua
Multiplexagem na Frequência
H  j 
yt 
2
2
cos5t 

wt 
H  j 
2 
X1  j 
Y  j 
1
12
 15
zt   x1 t 
5
5
2
1
Y  j   5
2
15
W  j 
2 
2

1
Y  j   5
2
12
 20
DEEC/ IST
 10
2
2
10
20

Isabel Lourtie