ENERGIA MECÂNICA
Energia Cinética
m. v
E 
2
2
c
Energia Potencial Gravitacional
E  m.g.h
g
F
RESULTANTE
= Ec
P = -Eg
Energia Potencial Elástica
k. x
E 
2
el
2
Fel = Eel
CONSERVAÇÃO DA ENERGIA
MECÂNICA
Se desprezarmos os atritos:
E mec = E mec
0
f
E  E E  E  E E
c
el
g
0
0
c
0
el
g
f
f
f
A disponibilidade de água é essencial para a agricultura. Um projeto do governo brasileiro, que
pretende aumentar a irrigação na região Nordeste, planeja a transposição das águas do Rio São
Francisco. O projeto é dividido em duas partes: Eixo Norte e Eixo Leste. Em seu Eixo Norte, serão
bombeados cerca de 50m³/s de água do rio até uma altura de 160m, para posterior utilização
pelas populações locais. Considere g = 10m/s² e a densidade da água 1,0g/cm³.
a) Qual será a massa de água bombeada em cada segundo no Eixo Norte?
b) Qual será o aumento de energia potencial gravitacional dessa massa?
c) Conhecendo a quantidade de água bombeada em cada segundo e o correspondente aumento
da energia potencial gravitacional, o engenheiro pode determinar a potência do sistema de
bombeamento, que é um dado crucial do projeto dos Eixos. No Eixo Leste, planeja-se gastar
cerca de 4,2 ×10ªJ em um minuto de bombeamento da água. Determine a potência do sistema do
Eixo Leste.
resposta:
a) M = 5 × 104kg
b) O aumento de energia potencial
gravitacional será de Eg = 8 × 107J.
c) P = 7 × 107W.
Montanha Russa
Carro de massa 200 kg, deslizando em Montanha Ruusa, Freado por uma mola com K = 3.200 N/m:
a) Tabela:
Posição Emec (J)
Epg (J)
Epel (J)
Ec (J)
|V| (m/s)
A
10.000
10.000
0
0
0
B
10.000
3.600
0
6.400
8
C
10.000
8.400
0
1.600
4
D
10.000
0
0
10.000
10
E
10.000
0
6.400
3.600
6
F
10.000
0
14.400
-4.400 Não Existe!
Obs: No ponto F o caro teria Energia Cinética Negativa (Impossível) e não há solução para a sua velocidade!
b)
No ponto de deformação máxima, temos Ec = 0, ou seja Em = Epel = 10.000
K.X²/2 = 10.000 => X = 2,5 m
Montanha Russa
Real
12.000
12.000
10.000
10.000
8.000
8.000
Emec (J)
6.000
Epg (J)
Epel (J)
4.000
Ec (J)
Energia (J)
Energia (J)
Montanha Russa
Ideal
Emec (J)
6.000
Epg (J)
Epel (J)
4.000
Ec (J)
2.000
2.000
-
A
B
C
D
E
A
F
B
C
D
(2.000)
(2.000)
Posição
Posição
E
F
Bungee Jump
Curso de Física - 2ª Série-E.M.
No ponto mais alto, só
existe Energia Potencial
Gravitacional:
EM = Eg = m.g.h
EM = 24.000 J
Como estamos desprezando os
atritos, temos que a energia
mecânica deste sistema é sempre
a mesma.
Bungee Jump
Curso de Física - 2ª Série-E.M.
Nesse caso, X = X0 e X = 0
X0 = 15m
(tamanho da
corda )
a) Na altura 25 m temos:
EM = Eg +Ec = 24.000 J
60.10.25 + 60 v²/2 = 24.000 J
h1=25m
V = 300 m/s
V= 17,32 m/s
Bungee Jump
Curso de Física - 2ª Série-E.M.
Nesse caso, X = 20m e X0 = 15m.
Então X = 5m
X0 = 15m
(tamanho da
corda )
X = 5m
(deformação da
corda )
h2=20m
b) Na altura 20 m temos:
EM = Eg + Eel+Ec = 24.000 J
60.10.20+ 100.5²/2+60v²/2=24.000 J
V = 358,3 m/s
V= 18,93 m/s
Curso de Física - 2ª Série-E.M.
Bungee Jump
c) Para acharmos a aceleração,
usamos a 2ª Lei de Newton:
Fel
P
R = m.a
R = P – Fel = m.g – k. x
R = 600 – 500 = 100 N
100 = m . a = 60.a
a = 1,67 m/s² (para baixo)
Curso de Física - 2ª Série-E.M.
Bungee Jump
15 m
d) Na altura mínima, Mariana pára
por um instante (Ec=0)
Em = Eg + Eel = 24.000 J
60.10.h + 100. x²/2 = 24.000 J
X
h
Observando a figura, vemos que:
x + h = 25 m
Substituindo h = 25 – x na
equação de 2º grau, temos:
 x = 20, 7 m ou  x = -8,7 m.
Considerando apenas a solução
positiva, temos h = 4,3 m.
Curso de Física - 2ª Série-E.M.
Bungee Jump
Socorro!
15 m
X
h
e) Força máxima exercida pela
corda: (na deformação máxima)
F = K.  x
F = 100.20,7
F = 2.070 N (207 kgf!)
Curso de Física - 2ª Série-E.M.
Bungee Jump
Tomara que a
corda não
arrebente!
Fel
P
f) Aceleração máxima:
R = m.a
Fel – P = m.a
2070 – 600 = 60.a
a = 24,5 m/s²
ou
a = 2,4.g (2,4 vêzes a aceleração da
gravidade!)
Curso de Física - 2ª Série-E.M.
Bungee Jump
g) Velocidade Máxima:
Ocorre quando o corpo
pára de acelerar, ou seja,
quando: Fel = P
Fel
K.  x = m.g
P
100.  x = 600
x=6m
h = 25 - 6 = 19 m
Curso de Física - 2ª Série-E.M.
Bungee Jump
Conservação de Energia:
EM = Eg + Eel + Ec = 24.000 J
24.000 = 60.10.19 + 100.62/2 + 60.V2/2
Fel
P
V = 19,0 m/s
Bungee Jump
35,000
30,000
25,000
Energia (J)
EM (J)
20,000
Epg (J)
Epel (J)
15,000
Ec (J)
10,000
Velocidade Máxima
5,000
40
38
36
34
32
30
28
26
24
22
20
Altura (m)
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Velocidade
020
018
016
014
012
010
008
006
004
002
-
Velocidade Máxima
h = 19m
Aceleração
015
010
005
000
40
-005
-010
-015
-020
-025
35
30
25
20
15
10
5
Eg = 400x10x8 = 32.000J
Ec = 400x52/2 = 5.000J
Ec = 400x102/2 = 20.000J
Eg = 400x10x3 = 12.000J
Ex. 23
Exercício 24
Exercício 24
Resultante Centrípeta:
Resultante das Forças na Direção Perpendicular ao Movimento
Rcp = m . V2
R
Rcp = m . acp
Resultante Centrípeta:
N
P
P>N
P - N = Rcp
Ex. 25
P - N = m . V2 / R
Resultante Centrípeta:
N
P
N>P
N - P = Rcp
Ex. 25
N - P = m . V2 / R
Resultante Centrípeta:
N
P
N + P = Rcp
N + P = m . V2 / R
Ex. 25
Resultante Centrípeta:
N
P
N = Rcp
N = m . V2 / R
Ex. 25
No ponto A, toda energia mecânica da
bolinha de massa 200g (0,2kg) esta na
forma de energia gravitacional (Eg=m.g.h)
Eg = 0,2.10.3,2 = 6,4 J
No
massa
200g
No ponto
ponto B,
C, aa bolinha
D,
bolinha de
possui
energia
2 energia cinética
(0,2kg)(Ec=m.v
só possui
cinética
C /2) e Gravitacional
D
2
(Ec=m.v
(Eg=m.g.2.R)
(Eg=m.g.R)
B /2)
No ponto A, toda energia mecânica
da bolinha de massa m esta na forma
de energia gravitacional (Eg=m.g.h0)
No ponto D, a bolinha possui
energia cinética (Ec=m.vD2/2) e
Gravitacional (Eg=m.g.2.R)
A menor altura
corresponde, então, à
menor velocidade!
Ex. 34
Resultante Centrípeta:
N
P
N + P = Rcp
N + P = m . V2 / R
Ex. 25
Se N = 0, então
m.g = m. V2 / R
V2 = g.R
• Livro
Cap. 22
(ler e resumir):
Transformações de energia
pg. 405 a 412
Propostas 3, 6, 7 e 8
Apostila ex. 20 a 23