VERSOR DE UM VETOR; VETORES PARALELOS;
ÂNGULOS DIRETORES E COSSENOS DIRETORES DE
UM VETOR.
AULA 5
VERSOR DE UM VETOR
Se o vetor 𝑣 não é nulo, o seu versor é um vetor unitário, isto é, de comprimento
igual a unidade, e que apresenta a mesma direção e o mesmo sentido de 𝑣.
O versor de um vetor 𝑣 é escrito:
𝑣
𝑣
.
VETORES PARALELOS
Se os vetores 𝑢 = (x1, y1, z1) e 𝑣 = (x2, y2, z2) são paralelos, então
𝑢 = α𝑣
ou
𝑢//𝑣 ⇔
𝑥1
𝑥2
=
𝑦1
𝑦2
=
𝑧1
𝑧2
Exemplo
Verificar se os vetores 𝑢 = (4, −2, 3) e 𝑣 = (−12, 6, −9) são paralelos.
ÂNGULOS DIRETORES E COSSENOS DIRETORES DE UM VETOR
Seja o vetor 𝑣 = x𝑖 + y𝑗 + z𝑘 não-nulo.
z
Ângulos diretores de 𝑣 são os ângulos 𝛼, 𝛽 e
𝛾 que 𝑣 forma com os vetores 𝑖, 𝑗 e 𝑘,
respectivamente.
𝑣
𝛾
𝑘
Cossenos diretores de 𝑣 são os cossenos de
seus ângulos diretores, isto é, cos 𝛼, cos 𝛽 e
cos 𝛾.
𝛽
𝑖
𝑗
𝛼
x
y
ÂNGULOS DIRETORES E COSSENOS DIRETORES DE UM VETOR
Para o cálculo destes valores utilizaremos a fórmula:
cos 𝛼 =
𝑣∙𝑖
𝑣 𝑖
=
𝑥,𝑦,𝑧 ∙ 1,0,0
𝑣 (1)
=
𝑥
𝑣
cos 𝛽 =
𝑣∙𝑗
𝑣 𝑗
=
𝑥,𝑦,𝑧 ∙ 0,1,0
𝑣 (1)
=
𝑦
𝑣
cos 𝛾 =
𝑣∙𝑘
=
𝑥,𝑦,𝑧 ∙ 0,0,1
𝑣 (1)
=
𝑧
𝑣
𝑣 𝑘
Observação: Os cossenos diretores de 𝑣 são precisamente as componentes do
versor de 𝑣.
ÂNGULOS DIRETORES E COSSENOS DIRETORES DE UM VETOR
Exemplo
Calcular os cossenos diretores e os ângulos diretores de 𝑢 = 2𝑖 – 2𝑗 + 𝑘.
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA
Considere um ponto A(x1, y1, z1) no ℝ3 e uma direção 𝑣=(a, b, c). Quer-se
descrever os pontos da reta r que possui a direção 𝑣 e passa pelo ponto A. Só
existe uma reta que passa por A e tem a direção de 𝑣.
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA
ℝ3
z
Um ponto P pertence a r se o vetor 𝐴𝑃
(determinado pelos pontos A(x1, y1, z1) e P(x, y,
z) é paralelo a 𝑣 = (a, b, c).
Sendo 𝐴𝑃 // 𝑣, então:
𝐴𝑃= t𝑣
(t é algum número real)
P – A = t𝑣
(𝐴𝑃 = P – A)
P = A + t𝑣
Escrevendo-se P = A + t𝑣 em coordenadas, vem:
P
A
𝑣
r
O
r: (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c)
𝑣 é chamado de vetor diretor da reta r e t de
parâmetro.
x
y
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA
Exemplo 1
Qual a equação vetorial da reta r que passa por A(1, –1, 4) e tem a direção de 𝑣 = (2,
3, 2)?
Exemplo 2
Sabe-se que o ponto P(5, 5, 8) pertence à reta r: (x, y, z) = (1, –1, 4) + t(2, 3, 2),
determinar o parâmetro t.
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA
A partir da equação vetorial da reta (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c), obtêm-se as
equações paramétricas.
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + (at, bt, ct)
(propriedade da multiplicação de escalar por vetor)
ou ainda
(x, y, z) = (x1 + at, y1 + bt, z1 + ct)
(propriedade da soma)
ou então
𝑥 = 𝑥1 + 𝑎𝑡
r: 𝑦 = 𝑦1 + 𝑏𝑡
𝑧 = 𝑧1 + 𝑐𝑡
igualdade)
(condição de
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA
Exemplo
Dado o ponto A(2, 3, –4) e o vetor 𝑣 = (1, –2, 3), pede-se:
a) Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A e tem a direção de 𝑣.
b) Encontrar os dois pontos B e C de r de parâmetros t = 1 e t = 4, respectivamente.
c) Determinar o ponto de r cuja abscissa é 4.
d) Verificar se os pontos D(4, –1, 2) e E(5, –4, 3) pertencem a r.
e) Determinar para que valores de m e n o ponto F(m, 5, n) pertence a r.
EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA
Das equações paramétricas
x = x1 + at,
y = y1 + bt,
z = z1 + ct
Supondo abc ≠ 0, vem
t=
𝑥 − 𝑥1
,
𝑎
t=
𝑦 − 𝑦1
,
𝑏
t=
𝑧 − 𝑧1
𝑐
Como para cada ponto da reta corresponde um só valor para t, obtemos as
igualdades
𝑥 − 𝑥1
𝑎
=
𝑦 − 𝑦1
𝑏
=
𝑧 − 𝑧1
𝑐
EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA
Exemplo
Quais as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(3, 0, –5) e tem a
direção do vetor 𝑣 = (2, 2, –1)?
ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS
z
r1
Considere duas retas r1 e r2 nas direções dos
vetores 𝑣1 e 𝑣2 , respectivamente.
𝜃
Chama-se ângulo de duas retas r1 e r2 o
menor ângulo formado pelos vetores
𝑣1 (vetor diretor de r1) e 𝑣2 (vetor diretor de
r2). Chamando 𝜃 o referido ângulo, então:
cos θ =
𝑣1 • 𝑣2
𝑣1 𝑣2
, com 0 ≤ θ ≤
r2
𝑣1
𝜃
𝜋
2
x
𝑣2
y
ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS
Exemplo
Calcular o ângulo entre as retas
x=3+t
r1: y = t
z = –1 – 2t
e
r2:
𝑥+2
−2
=
𝑦−3
1
=
𝑧
1
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
Seja um ponto P no ℝ3 e uma reta r, cuja
distância entre eles quer-se calcular.
Considere um ponto A e um vetor diretor 𝑣
pertencentes à reta.
ℝ3
Os pontos A e P determinam o vetor 𝐴𝑃. Os
vetores 𝐴𝑃 e 𝑣 formam um paralelogramo,
cuja altura d é também a distância de P até r,
denota-se por d(P,r).
O cálculo da área desse paralelogramo pode
ser obtido por duas maneiras já conhecidas:
a) A = (base)(altura) = 𝑣 d
b) A = AP x 𝑣
Comparando a) e b), tem-se:
d = d(P,r) =
|AP x 𝑣|
|𝑣|
P
d
A
⊡
𝑣
r
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
Exemplo
x = −1 + 2t
Calcular a distância do ponto P(2, 1, 4) à reta r1: y = 2 – t
z = 3 – 2t
DISTÂNCIA ENTRE RETAS
r1
Sejam duas retas coplanares r1 e r2, tem-se
três posições possíveis entre elas.
a) r1 e r2 são concorrentes:
Neste caso: d(r1, r2) = 0
r2
b) r1 e r2 são coincidentes:
Neste caso: d(r1, r2) = 0
r1 = r2
c)
r1 e r2 são paralelas:
Neste caso: d(r1, r2) = d(P, r1) com P ∈ r2
ou d(P, r2) com P ∈ r1.
P
d
⊡
r1
r2
DISTÂNCIA ENTRE RETAS
Sejam duas retas não-coplanares r1 e r2 (retas reversas). Quer-se calcular a
distância entre elas.
DISTÂNCIA ENTRE RETAS
Seja r1 a reta determinada pelo ponto A1 e o
vetor diretor 𝑣 1 e r2, determinada pelo ponto
A2 e o vetor diretor 𝑣 2.
Os pontos A1 e A2 formam um terceiro vetor
𝐴1𝐴2. Esses três vetores não-coplanares 𝑣 1, 𝑣 2,
𝐴1𝐴2 determinam um paralelepípedo, cuja
altura é a distância entre r1 e r2.
O volume desse paralelepípedo pode ser
calculado por :
a) V = (área da base)(altura) = | 𝑣 1 x 𝑣 2|d
b) V = |(𝑣 1, 𝑣 2, 𝐴1𝐴2)|
Comparando a) e b), tem-se:
d(r1, r2) =
|(𝑣1 ,𝑣2 ,𝐴1𝐴2)|
|𝑣1 x 𝑣2 |
𝑣2
A2
r2
d
⊡
r1
A1
𝑣1
DISTÂNCIA ENTRE RETAS
Exemplo
x = −1 + t
Calcular a distância entre as retas r1: y = 3 – 2t
z = −1 – t
e
y=x–3
r2: z = −x + 1
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO
Seja um plano 𝛼 contendo um ponto
A(x1, y1, z1), ortogonal a um vetor 𝑛 = (a,
b, c), 𝑛 ≠ 0, chamado de vetor normal
ao plano.
𝑛
O ponto P(x, y, z) representa qualquer
ponto pertencente ao plano, enquanto
que A representa um ponto conhecido.
Com o ponto A e o ponto P, podemos montar
um vetor ortogonal a 𝑢. O produto escalar
entre eles é igual a zero, isto é,
𝐴𝑃 • 𝑛 = 0
ou
(P – A) • 𝑛 = 0
A equação se transforma em:
ax + by + cz + d = 0
P
𝛼
A
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO
Exemplo 1
Determine uma equação do plano que passa pelo ponto (2, 4, –1) e tem como vetor
normal 𝑛 = (2, 3, 4). Encontre também suas intersecções com os eixos coordenados
e faça um esboço do plano.
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO
Exemplo 2
Determine a equação do plano que passa pelos pontos P(1, 3, 2), Q(3, –1, 6) e R(5,
2, 0)
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO
ÂNGULO DE DOIS PLANOS
Sejam os planos 𝜋1 e 𝜋2 com vetores normais 𝑛1 e 𝑛2 , respectivamente
𝑛1
𝜋2
𝑛2
𝜃
𝜃
𝜋1
Chama-se ângulo de dois planos 𝜋1 e 𝜋2 o menor ângulo que um vetor normal a 𝜋1
forma com um vetor normal a 𝜋2 . Sendo 𝜃 este ângulo, tem-se
cos 𝜃 =
𝑛1 ∙ 𝑛2
𝑛1 𝑛2
com 0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
ÂNGULO DE DOIS PLANOS
Exemplo
Determinar o ângulo entre os planos 𝜋1 : 2x + y – z + 3 = 0 e 𝜋2 : x + y – 4 = 0.
PARALELISMO E PERPENDICULARISMO ENTRE RETA E PLANO
Sejam uma reta r com a direção do vetor 𝑣 e um plano 𝜋, sendo 𝑛 um vetor normal a
𝜋.
I) r // 𝜋 ⇔ 𝑣 ⊥ 𝑛 ⇔ 𝑣 ∙ 𝑛 = 0
II) r ⊥ 𝜋 ⇔ 𝑣 // 𝑛 ⇔ 𝑣 = α𝑛
𝑣
r
r
𝑛
𝑛
𝑣
𝜋
𝜋
INTERSEÇÃO DE DOIS PLANOS
A interseção de dois planos não-paralelos é uma reta r cujas equações se deseja
determinar.
𝜋1
r
𝑛1
𝑛2
∙
𝜋2
INTERSEÇÃO DE DOIS PLANOS
Exemplo
Sejam os planos não-paralelos 𝜋1 : 5x – y + z – 5 = 0 e 𝜋2 : x + y + 2z – 7 = 0
REFERÊNCIA
WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. São Paulo: Pearson Makron Books,
2000.