Aula 21
O Tensor das Tensões. Navier Stokes em
coordenadas ciclíndricas. Equação de
Evolução da Energia Cinética.
Friction
dv
  
dy
• Shear stress is proportional to the velocity gradient and parallel to
the velocity (tangential force).
• In a generic case we do not know the direction of the velocity.
• This implies the consideration of a more complex relationship.
Newton viscosity law
• Shear is proportional to the velocity gradient;
• There is no pressure effect associated to shear
stresses,
• There is no momentum associated to the
shear stress distribution.
Shear stress components
Conditions to obtain shear stress law
• No pressure associated:
 ii  11   22   33  0
• No momentum:
 ij   ji
Viscosity Newton’s law
General case:
 ji
 vi v j  2

v
k


 

  ij 
 x
 3

x

x
j
i
k


Incompressible case:
 ji
 vi v j
  

 x
 j xi




Equação de Navier-Stokes
  v j
vi
vi

 v j
 vi 

 t
t
x j
x j


 ji
z
   p 
 g

xi x j
xi

The Navier-Stokes Equations
  v j
vi
vi

 v j
 vi 

 t
t
x j
x j


 ji
z
   p 
 g

xi x j
xi

vi
vi
p


 v j


t
x j
xi x j
dvi
p




dt
xi x j
 vi

 x
j

 vi

 x
j


  g z

xi


  g z

xi

Coordenadas Cilíndricas
BEST – IST, 2006
Equação de Transporte de Energia
Cinética
• Forma da Equação:
• Forma da Equação:
Termo de Conversão de
energia Mecânica em
Energia interna (Calor)
Como actua a Dissipação de Energia
Mecânica?
• A tensão de corte dos dois lados da superfície é igual, mas o trabalho é
maior do lado onde a velocidade é superior. Então o trabalho negativo em
cima é maior do que o trabalho positivo em baixo. A diferença é energia
mecânica dissipada.
• Poderemos por isso dizer que a energia mecânica dissipa-se em todas as
zonas do escoamento onde há maiores gradientes de velocidade.
Frequentemente é junto à parede, mas não tem que ser.
Bomba de injector
A
B
•
•
•
•
•
•
•
A figura 2 representa esquematicamente o escoamento de ar numa bomba de injector, onde o jacto que
sai do injector arrasta o ar circundante, criando uma depressão que faz o ar atmosférico entrar no tubo. O
ar atmosférico entra com uma velocidade de 5 m/s e o ar do jacto com 30 m/s. Os diâmetros dos tubos são
respectivamente 20 e 40 mm.
Diga onde é que a tensão de corte é máxima no perfil da secção de entrada. Se o perfil fosse o
representado na figura (com troços de velocidade uniforme e uma descontinuidade na velocidade) quanto
valeria essa tensão de corte? Na realidade o perfil não é composto por troços de velocidade uniforme,
desenhe um perfil mais realista e represente (qualitativamente) a tensão de corte consistente com esse
perfil. (2 val)
Calcule o fluxo (i) volúmico, (ii) de quantidade de movimento e (iii) de energia cinética na secção de
entrada e na secção onde o perfil está completamente desenvolvido (admitindo que a velocidade é
uniforme nessa secção). (2 val)
Calcule a pressão na secção de entrada (desprezando os efeitos viscosos) (1. val)
Calcule a pressão no ponto onde o escoamento fica completamente desenvolvido (1 metro a jusante),
admitindo que a tensão de corte na parede é uniforme e igual a 0.05N/m2. (2 val)
Represente as linhas de corrente que passam nos pontos “A” (eixo do tubo) e “B”, prestando atenção às
distâncias à parede e à linha central. (1 val)
Diga como varia o termo convectivo da equação ao longo de cada uma das linhas. (2 val)