EXAME
Análise Avançada de Estruturas
2007-01-19
Parte Teórica (sem consulta)
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Duração: 45m
SECÇÃO DE ESTRUTURAS
1 - (3.0 val.) No âmbito da modelação de um problema axissimétrico, considere um
elemento finito com um nó. Ao ser rodado em torno do eixo vertical de axissimetria o
ponto correspondente ao único nó gera um toro cuja secção transversal é designada por A.
O módulo de Young do material que constitui o toro é designado por E. O eixo de
axissimetria é x2, sendo o eixo x1 perpendicular a x2. O referido toro está sujeito a uma
carga circunferencial uniformemente distribuída, de valor p, contida num plano horizontal,
sempre normal ao eixo do toro e que é positiva no sentido do afastamento em relação a x2.
Supondo que não é efectuada nenhuma substituição de variável, faça a dedução que conduz
à relação de rigidez do elemento ( K a = F ), partindo da equação do PTV
(∫ δε σ dV =
T
V
∫ δu
L
T
p d L ). Determine as expressões genéricas da matriz de rigidez do
elemento com um nó (K) e do correspondente vector solicitação (F).
Formulário: ε = L u ; u = N a ; ε = B a ; B = L N ; σ = D ε
2 - (2.0 val.) No âmbito do método dos elementos finitos, diga o que entende por:
a) elemento finito isoparamétrico;
b) modo de deformação espúrio.
3 - (2.0 val.) Na formulação do elemento de viga de Timoshenko considera-se que as tensões
normais dependem da variação, ao longo do eixo, da rotação da secção transversal, que por
sua vez depende da rotação do eixo da barra e da rotação associada à deformação por
esforço transverso. Faça um esquema gráfico que mostre a localização e a relação entre
estes ângulos (apresente também a correspondente equação).
EXAME
Análise Avançada de Estruturas
2007-01-19
Parte Prática (sem consulta)
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Duração: 2h15m
SECÇÃO DE ESTRUTURAS
1 - (3.0 val.) Considere a parede de espessura constante representada na figura. A parede tem
três aberturas e está apoiada em três locais por intermédio de juntas de neoprene. As acções
sobre a parede são o peso próprio e as duas cargas concentradas indicadas.
Considerando que apenas se vão utilizar elementos finitos destinados a um estado plano de
tensão e que a análise vai ser feita pelo método dos deslocamentos:
a) proponha uma malha de elementos finitos quadriláteros que permita a obtenção de
resultados suficientemente rigorosos;
b) relativamente a um dos apoios, descreva o modo como ele deve ser tratado no
âmbito da análise da estrutura pelo método dos elementos finitos.
Nota: desenhe a malha na folha anexa.
2007-01-19
2 - (1.5 val.) Considere uma barra vertical de secção rectangular BxH (0.3x0.6m2). Suponha
que o nó 1 é o nó inferior (coincidente com a origem do referencial geral) e o nó 2 é o nó
superior. O referencial geral é designado (g1,g2,g3) e o referencial local principal central de
inércia é designado (l1,l2,l3). Os eixos g3 e l1 são verticais e estão orientados para cima. O
eixo l2 é paralelo à dimensão B da secção rectangular. O semi-eixo positivo l2 faz 60o com
o semi-eixo positivo g1 e 30o com o semi-eixo positivo g2. Considerando que a
transformação do referencial g para o referencial l é feita com xl = T xg, calcule a matriz de
transformação T.
3 - (3.0 val.) Considere o elemento finito de 5 nós representado na figura. Este elemento
destina-se à discretização de um estado plano de tensão. A sua espessura é constante e
igual a 1.0 m.
x2
5
4
E = 32 GPa
ν=0
2.0 m
2
1
3
x1
1.0 m 1.0 m
Sem efectuar qualquer substituição de variáveis, calcule o elemento K78 da respectiva
matriz de rigidez.
4 - (3.0 val.) Considere o elemento finito de 4 nós representado na figura. Este elemento
destina-se à discretização de um estado plano de deformação, sendo a sua espessura
constante e igual a 1.0 m. No ponto P do elemento finito actua uma força vertical de 60 kN
dirigida para cima.
x2
4
2.0 m
2.0 m
60 kN
3
P
1
3.0 m
2
5.0 m
x1
3.0 m
Calcule as forças nodais equivalentes à acção indicada na figura, considerando a mudança
de variáveis para (s1,s2) com si ∈ [-1,1].
2007-01-19
5 - (2.5 val.) Considere um elemento finito com 3 nós destinado à modelação de vigas
contínuas recorrendo à formulação de Euler-Bernoulli (ver a figura). O comprimento total
do elemento finito é 2.0 m, tendo os nós 1, 2 e 3 coordenadas -1, 0 e 1 respectivamente. De
acordo com a figura, nos nós de extremidade existem 2 graus de liberdade (deslocamento e
rotação), enquanto que no nó intermédio existe um único grau de liberdade
(deslocamento).
a3
a1
a4
a2
1
1.0 m
a5
2
1.0 m
3
x
a) Sem considerar qualquer mudança de variável, determine as 5 funções de forma
Hermitianas correspondentes a este elemento de viga.
b) Esboce o gráfico da função de forma N2(x) e comente as suas características mais
importantes.
2007-01-19
NOME: