APLICAÇÕES DE FT
Prof. Marcelo de Oliveira Rosa
Aplicações de FT

Resposta em Freqüência
 Analisar o comportamento de
um sistema no
domínio da freqüência
 Convolução no tempo 
 Propriedades
usadas
 Comutação/cascata
 Distribuição/paralelismo
Modulação em freqüência
Aplicações de FT

Resposta em freqüência
 Filtros
 Conseqüência natural da convolução temporal

Modulação espectral
 Conceitualmente

Dispositivo que amplifica a potência de algumas faixas de
freqüência e atenua a potência de outras faixas de
freqüência para um sinal de entrada
Aplicações de FT

Filtros
 Classificação padrão
 Passa-baixas
(low-pass)
 Passa-altas (high-pass)
 Passa-bandas (band-pass)
 Rejeita-bandas (band-stop)
 Outros
 Passa-tudo (all-pass)
 Notch
(notch)
 Equalizador (equalizer)
Aplicações de FT

Filtros ideais
 Elementos de
um filtro
 Banda passante
 Banda de rejeição
 Filtro
ideal
 Componentes da banda passante não sofrem distorção


|H(jΩ)| = 1 na banda passante
<H(jΩ) = –Ω t0
 Fase linear
Aplicações de FT

Filtros ideais
 Filtros passa-baixa
(LP) e passa-alta (HP)
 Com fase linear
Ωc
Ωc
Aplicações de FT

Filtros ideais
 Filtros passa-banda e rejeita
banda
 Com fase linear
ΩL
ΩH
ΩL
ΩH
Aplicações de FT

Filtros ideais
O
mais desejado  Fase zero
 Não causal
 Segundo
mais desejado Fase linear
 Segundo mais desejado
 Não causal

Pode ser aproximado por truncamento
 Filtro
ideal = filtro irrealizável
Aplicações de FT

Filtros ideais
 Resposta ao
impulso  h(t)
 Fase zero e fase linear
Aplicações de FT

Filtros ideais
 Resposta ao
impulso  h(t)
 Fase zero e fase linear
Aplicações de FT

Filtros
 Passa-baixa
(LP)
 Mantém as componentes espectrais (sem distorção) do
sinal até Ωc e elimina as demais componentes
 Exemplo de primeira ordem
x(t)
+
–
∫
Ωc
Ωc
y(t)
Aplicações de FT

Filtros
 Passa-alta
(HP)
 Mantém as componentes espectrais (sem distorção) do
sinal acima de Ωc e elimina as demais componentes
 Exemplo de primeira ordem
x(t)
+
y(t)
–
∫
Ωc
Aplicações de FT

Filtros
 Passa-banda
 Mantém as componentes espectrais (sem distorção) do
sinal entre Ωca e Ωcb , e elimina as demais componentes
 Exemplo de combinando HPLP
x(t)
+
+
–
–
∫
Ωca

Ωca > Ωcb
∫
Ωcb
Ωcb
y(t)
Aplicações de FT

Filtros
 Rejeita-banda
 Elimina as componentes espectrais (sem distorção) do
sinal entre Ωca e Ωcb , e mantém as demais
 Exemplo de combinando HP e LP em paralelo
+
–
∫
Ωc
+
x(t)
+
–
∫
Ωc
Ωc
y(t)
Aplicações de FT

Filtros
 Passa-baixa
H( j) 
c
 c  j
(LP)
Aplicações de FT

Filtros
 Passa-alta
H( j) 
j
 c  j
(HP)
Aplicações de FT

Filtros
 Passa-banda
H( j) 
c  j
 j  ca  cb  j  cacb 
cb  ca
2
Aplicações de FT

Filtros
 Rejeita-banda
2

j   2 cb  j    ca  cb 
H ( j ) 
 j 2   ca   cb  j    ca cb 
 ca   cb
Aplicações de FT

Filtros
 Equalizador via
Biquadrática
 A equalização compreende a manipulação diversos
blocos de freqüência em um intervalo total específico.


Manipulação  atenuação ou amplificação
Seleção dos blocos  seletividade dos filtro
Aplicações de FT

Filtros
 Equalizador via
Biquadrática
2
2

j  2 10  0  j  0 
H( j) 
 j2  210  0  j  0 2
A
função biquadrática possui dois parâmetros

Ω0 e β
 Amplifica/atenua um conjunto de componentes
espectrais ao redor de Ω0

β controla a largura de banda e a amplificação/atenuação
Aplicações de FT

Filtros
 Equalizador via
Biquadrática
Aplicações de FT

Filtros
 Equalizador via
Biquadrática
Aplicações de FT

Filtros
 Equalizador via
Biquadrática
 Ω em escala log e linear
Aplicações de FT

Filtros
 Equalizador via
Biquadrática
 Q-constante


Q = F0 / ΔF = Ω0 / ΔΩ
No caso, aumentando-se Ω0, aumenta-se ΔΩ
 Notações


F0  freqüência central
ΔΩ  largura de banda
Aplicações de FT

Filtros
 Largura de
banda
 Bandwidth
(BW)
 Modo para representar um intervalo de freqüências
 Restringe-se a freqüências positivas

Razões históricas
Aplicações de FT

Filtros
 Largura de
banda
 Tipos:



Largura de banda absoluta
 Intervalo de freqüências com magnitude não-nula
Largura de banda nula
 Intervalo de freqüências com magnitude não-nula
máximo
Largura de banda em meia potência
 Intervalo de freqüências com magnitude superior a
metade da potência máxima
Aplicações de FT

Filtros reais teóricos
 Filtro
passa-baixa realizável
Aplicações de FT

Filtros reais teóricos
 Filtro
passa-alta realizável
Aplicações de FT

Filtros reais teóricos
 Filtro
passa-banda realizável
Aplicações de FT

Filtros reais teóricos
 Filtro
rejeita-banda realizável
Aplicações de FT

Exemplos
 Usando componentes
RLC
 Usando componentes mecânicos
Aplicações de FT

Diagrama de Bode
 Considere os seguintes
filtros
1
H1 ( j) 
j  1
1
H 2 ( j ) 
31( j)  30   2
 Qual a sua resposta em
freqüência?
Aplicações de FT

Diagrama de Bode
 Resposta em
freqüência obtida
Aplicações de FT

Diagrama de Bode
 Resposta em
freqüência obtida
Aplicações de FT

Diagrama de Bode
 Resposta em
freqüência obtida
 Sistemas distintos podem apresentar similaridade
gráfica em suas respostas em freqüência
 Alterando escala (Linear 



logarítmica)
Melhorar distinção entre sistemas
Análise rápida de sistemas
Diagrama de Bode
Aplicações de FT

Diagrama de Bode
 Decibel
(dB)
 Razão entre potências de sinais

Um dos sinais serve de referência
 potência de um sinal qualquer
 Preferência  potência de referência
 Psinal
 Psinal 

PdB  10 log10 
 Preferência 
 Se
não conhecida, assumimo Preferência = 1
Aplicações de FT

Diagrama de Bode
 Decibel
(dB)
= 2 Preferência PdB = +3 dB
 Psinal = 0,5 Preferência PdB = -3 dB
 Psinal
= 10 Preferência PdB = +10 dB
 Psinal = 0,1 Preferência PdB = –10 dB
 Psinal
= 100 Preferência PdB = +20 dB
 Psinal = 0,01 Preferência PdB = –20 dB
 Psinal
Aplicações de FT

Diagrama de Bode
 Oitava
 Freqüência atual
= 2  Freqüência de referência
 Década
 Freqüência atual
= 10  Freqüência de referência
Aplicações de FT

Diagrama de Bode
 Do
teorema de Parseval
Psinal  X( j)
 Então,
2
a magnitude de X(jΩ) em dB é
PdB  10log10 Psinal 

 10log10 X( j)
2

X( j) dB  20log10  X( j) 
Aplicações de FT

Diagrama de Bode
 Como utilizar em
sistemas contínuos?
 Equações diferenciais lineares com
coeficientes constantes
Aplicações de FT

Diagrama de Bode
 Equações diferenciais
lineares com
coeficientes constantes
 Após a aplicação da FT
M
H( j) 
 b  j
l 0
N

l
 a  j
k 0

l
k
k
zl  zeros de H(jΩ)
pk  pólos de H(jΩ)

1 

l 1
A N 

1 

k 1 
M
j 

zl 
j 

pk 
Aplicações de FT

Diagrama de Bode
 Análise de
 Pólo real
H(jΩ) = (1 – jΩ/pk)-1
negativo único (sem repetição)
Aplicações de FT

Diagrama de Bode
 Análise de
 Pólo real
H(jΩ) = (1 – jΩ/pk)-1
positivo único (sem repetição) – se existisse
Aplicações de FT

Diagrama de Bode
 Análise de
 Zero real
H(jΩ) = (1 – jΩ/zl)
negativo único (sem repetição)
Aplicações de FT

Diagrama de Bode
 Análise de
 Zero real
H(jΩ) = (1 – jΩ/zl)
positivo único (sem repetição)
Aplicações de FT

Diagrama de Bode
 Características:
 Pólo e Zero definem freqüência de quebra
 Curva de


magnitude
Encontro de duas assíntotas na freqüência de quebra
Uma das assíntotas possui inclinações (“roll-off”)
 ±6 dB/oitava
 ±20 dB/década
 Curva de fase

Assíntota passa por ±π/4 em freqüência de quebra
Aplicações de FT

Diagrama de Bode
 Diferenciador e
 Zero e
Integrador
Pólo em jΩ = zero
Aplicações de FT

Diagrama de Bode
 Ganho constante
 H(jΩ)



= +A
Magnitude  A
Fase  zero
 H(jΩ)

(em freqüência)
= –A
Magnitude  A
Fase  +π (ou –π)
Aplicações de FT

Diagrama de Bode
 Pares complexos de
 p1 e p1*,
pólos
naturalmente conjugados complexos
Aplicações de FT

Diagrama de Bode
 Pares complexos de
 z1 e z1*,
zeros
naturalmente conjugados complexos
Aplicações de FT

Diagrama de Bode
 Pares complexos de
pólos e zeros
 Transformação em ζ e ωn


“Overshoot”
Amortecimento e tempo de decaimento
Aplicações de FT

Exemplos
Aplicações de FT

Exemplos
 Usando amplificadores operacionais
Aplicações de FT

Exemplos
 Sistemas de comunicação
 Processo para transmissão de múltiplos sinais de banda
base em vários canais de comunicação
 Sinal de banda base

Ineficiência para transmissão direta
 Comunicação

Caminhos distintos para sinais distintos
Aplicações de FT

Exemplos
 Sistemas de comunicação
 Modulação DSB-SC

y(t) = x(t) cos(Ωp t)
 y(t)  sinal modulado
 Mensagem ou sinal banda-base
 cos(Ωp t)  sinal cuja envoltória carrega a mensagem

x(t)  sinal a ser transmitido
Ωp  freqüência da portadora
 Ωp > 2  maior freqüência com amplitude não nula

Aplicações de FT

Exemplos
 Sistemas de comunicação
 Modulação DSB-SC

Aplicando a TF, temos
 Modulação no tempo  convolução na freqüência
Y( j)  X( j)  FT 1 cos( p t )


1
 Xj(   p )   X j(   p ) 
2
Aplicações de FT

Exemplos
 Sistemas de comunicação
 Modulação DSB-SC
Aplicações de FT

Exemplos
 Sistemas de comunicação
– Modulação
 Demodulação DSB-SC

x’(t) = [y(t) cos(Ωp t)] * [filtro passa-baixa]
 x’(t)  sinal reconstruído
 x’(t) = m(t)

Largura de banda de m(t) deve ser restrita
 Permitir que o filtro passa-baixa isole a mensagem
desejada.
Sinal da portadora não é transmitido

Aplicações de FT

Exemplos
 Sistemas de comunicação
 Demodulação DSB-SC
Aplicações de FT

Exemplos
 Sistemas de comunicação
 Modulação DSB-TC

Transmissão de informação relativa à portadora
y( t )  K  m  x ( t )cos( p t )


m

Xj(   )   X j(   ) 
2
Y( j)  K    p      p  
p

p
Permite o uso de circuitos detectores de envoltória
 m/K < 1
Aplicações de FT

Exemplos
 Amostragem
por Impulso
y( t )  x ( t )  Ts ( t )  x ( t ) 
 x (kTs ) 
 Corresponde a um

 (t  kT )
k  
s

 (t  kT )
k  
s
trem de impulsos isolando
amostras de x(t) a cada kTs segundos.
Aplicações de FT

Exemplos
 Amostragem
por Impulso

s
s
Y( j) 
X ( j )    s (  ) 
X( j)   (  s )
2
2
k  
s 

X (   s )

2 k 
 Sua FT é a repetição de réplicas
Ωs radianos/seg.
de X(Ω) a intervalos de
Aplicações de FT

Exemplo
 Amostragem
por Impulso
 Teorema da amostragem (Teorema de

Nyquist)
Para que haja reconstrução correta do sinal original com
freqüência máxima com amplitude não-nula Ωm (= 2π
fm), a amostragem deve ser de no mínimo Ωs (= 2π fs) igual a
2 Ωm (ou 2 fm)
s  2m
Aplicações de FT

Exemplo
 Amostragem
por Impulso
 Aliasing

Espalhamento de informações de alta-freqüência sobre
informações de baixa-freqüência devido a problemas de
amostragem
Aplicações de FT

Exemplos
 Amostragem
por Impulso
 A reconstrução se dá a partir de um
filtro passa-baixas
com ganho Ts e freqüência de corte Ωs/2
 c  
 c



x ( t )  2    x (nTs ) sinc2
( t  nTs )
 2

 s  k 


Reconstrução ideal
 Impraticável
Na prática, filtros passa-baixas aproximados