Microeconomia
Função Utilidade
Multiplicadores de Lagrange
Cobb Douglas
Saurater Faraday
Adaptação do vídeo Multiplicadores de
Lagrange. Disponível em <
http://www.wikifinancas.samfaraday.com/inde
x.php/Multiplicadores_de_Lagrange >. Acesso
em 18/mai/13.
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
Função Utilidade Cobb Douglas

u(x, y) = xy

Problema: Maximizar a Função Utilidade sujeito a uma certa restrição de
igualdade.

Técnica: Multiplicadores de Lagrange

Restrição: Encontrar as condições que satisfaçam a otimização.
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
Suponhamos que a Função Utilidade seja u(x, y) = xy

Nosso problema é escolher x e y que maximizem xy

Sujeito x + y ≤ 12
Max xy
s.a. x + y ≤ 12
Em outras palavras:
f(x,y) = xy
g(x,y) = 12
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O Método dos Multiplicadores de Lagrange

1. Reescreva a restrição de igualdade, igualando a zero.

Em nosso exemplo x + y – 12 = 0

2.
Criemos uma nova função L(x, y, λ) a qual depende das variáveis originais
, bem como da nova variável λ (lambda).

Lambda é, aqui, chamada de Multiplicador de Lagrange.

A Nova função é a soma dos dois temos:

O Primeiro termo é a função original a ser maximizada (ou minimizada em um
problema de minimização), em nosso exemplo, xy.

O Segundo termo é o produto da nova variável λ e restrição

Ficando:

L(x,y, λ) = xy+ λ(x + y -12)
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Derivadas Parciais e Sistemas de Equações

3. Fazemos, então, as Derivadas Parciais de L com relação a cada uma das
três variáveis:

Em Seguida igualamos a zero

Daí, criamos um sistema de equações com 3 variáveis: x, y, e λ.
Derivadas Parciais
L(x,y, λ) = xy+ λ(x + y -12)
𝜕𝐿

=y+λ=0
𝜕𝑥
𝜕𝐿

=x+λ=0
𝜕𝑦
𝜕𝐿

𝜕λ
= x + y - 12
Sistema de Equações com 3 Variáveis

y+λ
=0
(1)

x+λ
=0
(2)

x + y – 12 = 0
(3)
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Derivadas Parciais e Sistemas de Equações
Resolvendo as Equações


Primeiro, levamos os temos contendo λ para o outro lado das equações
respectivas.
y= -λ
(1’)
x= -λ
(2’)
Agora, substituímos x e y na 3ª. Equação:
x + y – 12 = 0
 -λ + -λ – 12 = 0
 -2 λ – 12 = 0
 -2 λ = 12


λ = -6
Agora que conhecemos λ, basta substituir nas equações 1 e 2
y = -(-6)  y = 6
x = -(-6)  x = 6
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Interpretando
Meu
, o valor de lambda significa o ”preço sombra”
ou a variação do valor objetivo da solução óptima de um
problema de otimização obtido através do relaxamento da
restrição por uma unidade - é a utilidade marginal de relaxar
a restrição ou, de forma equivalentemente, o custo marginal
de reforçar a restrição.
Nas palavras do Prof. Paulo Matos, seria uma o resultado de
uma pequena “porrada” no preço, o que aumentaria em 6 vezes.
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Referências

A Langrange Multiplier. Disponível em <
http://www.youtube.com/watch?v=H4HN4ZrVm0w> Acesso em
18/mai/13.

ALBOUY, David; Constrained Optimization, Shadow Prices,
Inefficient Markets, and Government Projects. Disponível em
http://emlab.berkeley.edu/users/webfac/saez/e131_s04/shado
w.pdf Acesso em 18/mai/13.

MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael e GREEN, Jerry R.
Microeconomic Theory. Oxford University Press, 1995

Multiplicadores de Lagrange. Disponível em <
http://www.wikifinancas.samfaraday.com/index.php/Multiplicad
ores_de_Lagrange >. Acesso em 18/mai/13.

Preço Sombra. Disponível em
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Pre%C3%A7o_sombra >. Acesso em
18/mai/13.

VARIAN, Hal R. Microeconomia: Princípios básicos. Uma
abordagem moderna. Rio de Janeiro: Editora Campus, 1994.
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