MONOGRAFIA:
Por Que Lagrange “Provou” o Postulado das Paralelas?
1. INTRODUÇÃO.
Lagrange, em um dos últimos anos de sua vida, imaginou que ele havia resolvido o problema de provar o postulado das paralelas de Euclides. “Mas”, algo o chocou algo que ele não observara: ele resmungou: preciso pensar sobre isso um pouco mais e colocou o artigo em seu bolso.
Este episódio levanta as três questões:
Primeira, o que Lagrange, realmente, disse neste texto?
Segunda, uma vez que vimos referências de que ele “provou” o postulado das paralelas,
por que ele fez do jeito que fez?
Terceiro, por que Lagrange arriscou tentar provar o postulado das paralelas de Euclides a
partir dos outros, um problema que as pessoas têm, sem sucesso, tentado resolver por
2000 anos? Por que este problema particular em geometria foi tão importante para ele?
2. O CONTEÚDO DO TEXTO DE LAGRANGE DE 1806.
O manuscrito começa com afirmações de que a teoria das paralelas é fundamental para todas
as geometrias. Notadamente, isto inclui os fatos de que: a soma dos ângulos de um triângulo são
dois ângulos retos, e, os lados de triângulos semelhantes são proporcionais.
Para ver por que as pessoas precisavam provar o postulado das paralelas permita-nos lembrar os cinco postulados geométricos de Euclides. O primeiro é o que uma reta pode ser desenhada
a partir de qualquer ponto até outro ponto qualquer; o segundo: um segmento de reta pode ser
produzido com qualquer comprimento; o terceiro: um círculo pode ser desenhado com qualquer
ponto como centro e qualquer raio dado; o quarto: todos os ângulos retos são iguais: e o quinto, o
assim chamado postulado das paralelas, o qual é o único em questão. O postulado das paralelas de
Euclides não é a afirmação de que apenas uma reta paralela pode ser desenhada a uma dada reta
passando por um ponto fora. O postulado de Euclides afirma que, se uma reta cruza duas outras
retas e ao fazer a soma dos ângulos interiores no mesmo lado desta reta menor que dois ângulos
retos, então as duas retas, eventualmente se encontram neste lado.
Lagrange disse que os pressupostos da geometria deveriam ser demonstrados “apenas pelo
princípio da contradição.
Relembrando o que Lagrange disse neste manuscrito que os axiomas deveriam seguir o pri ncípio da contradição. Mas, acrescentou, além do princípio da contradição, “Existe um outro princípio igualmente evidente em si mesmo,” e este é o princípio da razão suficiente se Leibniz. Isto é:
nada é verdadeiro “a menos que haja uma razão suficiente para que seja assim e não de outra
maneira
Lagrange deduziu a unicidade das paralelas a partir do princípio da razão suficiente.
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3. POR QUE ELE ATACOU O PROBLEMA DESTA MANEIRA?
Por ele fez da maneira que fez?
Quero argumentar isto: os argumentos de Lagrange da razão suficiente foram moldados por
propriedades do espaço, espaço como acreditávamos ser nos séculos XVII e XVIII. Estas propri edades são profundamente euclidianas. Para os pensadores do século XVIII, o espaço era infinito,
era exatamente o mesmo em todas as direções.
Por que os filósofos concluíram que o espaço seria infinito, homogêneo, e o mesmo em todas
as direções? Efetivamente, por causa do princípio da razão suficiente.
Um físico moderno, John Barrow, disse que se as pessoas prestassem mais atenção nestes
espelhos, a geometria não-euclidiana poderia ter sido descoberta muito mais cedo, talvez não, pois
se estes artistas olharam os espelhos convexos como apresentando um problema especialmente
difícil ao retratar o espaço tridimensional euclidiano numa tela bidimensional euclidiana; por exe mplo, J. M. W. Turner incluiu tais desenhos em suas fortemente euclidianas em perspectiva.
4. O ARGUMENTO CRUCIAL: A FÍSICA NEWTONIANA.
Voltemos agora à física e ao mais importante argumento de todos do século XVII para a
realidade do espaço euclidiano infinito: a mecânica newtoniana. Newton precisou do espaço absoluto como uma estrutura de referência, assim ele pôde argumentar que há uma diferença entre as
acelerações real e aparente.
Leibniz, ao contrário, não acreditava no espaço absoluto. Ele não só disse que as relações
espaciais foram apenas às relações entre corpos, ele usou o princípio da razão suficiente para mostrar isto. Se existisse espaço absoluto, teria de existir uma razão para explicar por que dois objetos
seriam relacionados de uma forma se o ocidente está em uma direção e o oriente em direção oposta, e relacionados de outra forma se o ocidente e o oriente estão reversos.
Todos eles (filósofos) aceitaram que “as propriedades euclidianas” do espaço são essenciais
à física.
O filósofo Immanuel Kant concordou que precisamos do espaço para fazer a física Newtoniana. Todavia, o espaço de Kant revelou-se também euclidiano. Kant argumentou que nós precisamos da intuição de espaço para provar os teoremas em geometria. A soma dos ângulos de um triângulo é igual a dois ângulos retos, um resultado cuja prova requer a veracidade do postulado das
paralelas.
Voltaire disse que a concordância universal foi um marcador da verdade. Ele mostrou também que “Não existe seitas na geometria” Ninguém diz: “Eu sou euclidiano, eu sou arquimediano.”
O que todos concordam: isto é o que é a verdade. “Há apenas uma moralidade,” disse Voltaire,
“como “há apenas uma geometria”.
5. O ARGUMENTO MATEMÁTICO E CIENTÍFICO DO SÉCULO XVIII.
Euclides definiu retas paralelas como retas no mesmo plano que nunca se encontram.
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Clairaut definiu retas paralelas como retas que igualmente distantes uma da outra em todos os pontos.
A grande Enciclopédia Francesa definiu retas paralelas como “retas que, prolongadas ao infinito, nunca se aproximam ou se distanciam uma da outra, ou que se encontram numa distância
infinita”
O euclidianismo, especialmente a teoria das paralelas e o princípio da razão suficiente, foi
essencial para a ciência da mecânica no século XVIII, não apenas para suas exposições, mas para
seu progresso.
Lambert foi um dos matemáticos que trabalhou no problema do postulado 5. Lambert reconheceu que ele não seria capaz de prová-lo, e considerou que poderia ter que mantê-lo, sempre,
como um postulado.
Lambert também observou que o postulado das paralelas é ligado com a lei da alavanca. Ele
pensou que, algum dia, poderíamos usar este resultado físico para provar o postulado das paralelas.
Lagrange mesmo não uniu, explicitamente, a lei da alavanca com o postulado das paralelas,
mas a Geometria da situação de equilíbrio que Lagrange descreveu, apesar de requerê-lo.
Fourier concluiu que a geometria resulta da estática e, portanto, a geometria é uma ciência
física. Mas repare que ainda é geometria euclidiana.
Lagrange procurou reduzir um vasto número de leis e princípios para um simples princípio
fundamental geral, preferivelmente um que seja independente da experiência. “A razão suficiente”
foi um tal princípio.
Lagrange, em sua Mecânica Analítica, usou o princípio da razão suficiente, a teoria das paralelas de Euclides, a infinitude do espaço e sua natureza euclidiana para discutir a composição de
forças.
Pierre-Simon Laplace, também, relacionou, a priori, argumentos, incluindo a razão suficiente
e a teoria das paralelas de Euclides, para argumentar que as leis físicas tinham de ser da maneira
que elas eram.
Estes homens não queriam fazer a mecânica, como disse: Newton já a fez. Eles queriam
mostrar, não apenas, que o mundo era deste modo, mas que isto, necessariamente tinha de ser.
Lagrange teria respondido “Certo! É justamente o que todos nós estamos fazendo.” Lagrange pensou estas duas coisas: A geometria é, necessariamente, verdadeira; e, a mecânica é a matemática. Ele precisava delas ambas.
6. POR QUE ISTO IMPORTOU TANTO?
Por que provar, realmente, o postulado 5 importou tanto a Lagrange e aos seus contemporâneos?
Lagrange não foi apenas um matemático do século XVIII qualquer. Lagrange foi, matematicamente falando, um cartesiano e um leibniziano. Lagrange procurou reduzir todas as ideias de
limites infinitos e infinitesimais e taxas de trocas ou fluxões para “a análise algébrica de quantida-
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des finitas”. Na álgebra, Lagrange disse que mesmo a ideia de Newton de álgebra como a “aritmética universal” não foi suficientemente geral; a álgebra foi o estudo dos sistemas de operações. Na
mecânica, sua meta foi reduzir tudo para o princípio das velocidades virtuais – e depois de usar
“apenas operações algébricas sujeitas a um procedimento regular e uniforme”. Lagrange mesmo
compôs sua Mecânica Analítica sem um único diagrama, precisamente para que ele pudesse mostrar que ele havia reduzido a física à análise pura. A geometria, então, também deveria ser redutível a princípios evidentes em si, para ideias claras, distintas e gerais.
Finalmente, há causas sociais a serem consideradas. Primeira, a base social ajudará a responder esta questão: Por que Lagrange fez isto em 1806, ao contrário do que disse nos anos de
1760 quando lecionou matemática no colégio militar em Turim ou nos anos de 1770 e 1780 quando ele era um membro influente da Academia de Ciências de Berlim? Uma razão é que, por volta
de 1800, houve um ressurgimento do interesse na geometria sintética na França. Houve uma escola parisiense de geometria sintética incluindo Monge, Servois, Biot, Lacroix, Argánd, Lazare Carnot
e seus alunos, e Legendre. Razões práticas e ideológicas. A prática precisa estar relacionada à defesa de Monge da geometria descritiva, tão claramente e útil na arquitetura e no planejamento militar. Monge também contribuiu diretamente para despertar o interesse de Lagrange, escrevendo
duas cartas para ele no início dos anos 1790 solicitando sua assistência sobre problemas envolvendo a geometria da perspectiva.
Quanto à ideologia promovendo a geometria na França após a Revolução, como Joan Richards escreveu: o espaço teve um papel central a desempenhar na educação de uma população
racional. Lagrange mesmo articulou tais visões durante sua vida, escrevendo logo em 1775 que a
geometria sintética era, às vezes, melhor que a analítica por causa da “claridade luminosa que a
acompanha” e, que “as considerações geométricas davam força e claridade para a capacidade crítica”.
Nenhuma pessoa franca e inteligente pode duvidar da verdade das propriedades principais
das Retas Paralelas. A doutrina não envolve obscuridade nem confusão de pensamento e não deixa
na mente causa razoável para a dúvida.
Alguns pensadores britânicos continuaram a sustentar que o verdadeiro espaço tinha de ser
euclidiano. Havia um grande acordo em jogo na Grã-Bretanha: a doutrina da unicidade da verdade, o estabelecimento do programa educacional baseado no modelo euclidiano da razão e, as atitudes em relação à autoridade que este implicava.
7. CONCLUSÃO.
Embora a ilustre audiência de Lagrange em Paris possa ter compreendido que sua prova estivesse errada, sua visão de mundo fê-los incapazes de imaginar que o postulado das paralelas não
poderia ser provado, muito menos imaginar que o mundo mesmo poderia ser de outra maneira.
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Após a leitura do texto acima (breve resumo do artigo), resolvemos pesquisar um pouco
mais sobre o tão citado Princípio da razão suficiente, como segue abaixo.
O princípio de razão suficiente ou razão determinante: enuncia que nada é sem que
haja uma razão para que seja ou sem que haja uma razão que explique que seja. É um princípio
que foi formulado várias vezes na história da filosofia. No entanto, é tradicional atribuir a Leibniz a
formulação madura de tal princípio. O referido filósofo apresentou-o repetidas vezes nas suas obras, considerando sempre o princípio de razão suficiente como um princípio fundamental. Na MONADOLOGIA assinala que o princípio de razão suficiente é - juntamente com o de contradição - um
dos dois grandes princípios em que se fundamentam os nossos raciocínios. Em virtude do mesmo,
consideramos que nenhum fato pode ser verdadeiro ou existente e nenhuma enunciação verdadeira sem que haja uma razão suficiente para que seja assim e não de outro modo. Em outro texto,
escreve que “outro princípio, apenas menos geral que o princípio de contradição, aplica-se à natureza da liberdade. Trata-se do princípio de que nada acontece sem a possibilidade de que uma
mente omnisciente possa dar alguma razão do motivo por que acontece em vez de não acontecer.
Além disso, parece-me que este princípio tem para as coisas contingentes o mesmo uso que para
as
coisas
necessárias”.
O uso do princípio no mencionado filósofo não oferece muitas dificuldades. Eis aqui três argumentos fundamentados no princípio: 1) há algo em vez de nada, porque há uma razão suficiente: a
superioridade do ser sobre o não ser. “2) Não há vácuo na natureza, porque então haveria que explicar porque razão algumas partes estão ocupadas e outras não, e a razão disso não pode encontrar-se no próprio vácuo. 3) não pode reduzir-se a matéria à extensão, porque não haveria razão
que explicasse porque motivo parte da matéria está no lugar x em vez de no lugar y. Mas se o uso
não oferece grande dificuldade, a interpretação geral do princípio oferece a Bertrand Russell indica
que sob a expressão “princípio de razão suficiente” latejam, em rigor, dois princípios. Um é de caráter geral e aplica-se a todos os mundos possíveis. O outro é especial e aplica-se apenas ao mundo atual. Ambos os princípios se referem a mundos existentes, possíveis ou atuais, mas enquanto
o primeiro é uma forma da lei de causalidade final, o segundo consiste na afirmação de que toda a
produção causal atual está determinada pelo desejo do bem. Por isso o primeiro princípio é metafisicamente necessário, ao passo que o último é contingente. O princípio leibniziano de razão suficiente ocupou lugar proeminente na filosofia de Wolff e sua escola. Tem-se posto em relevo que há
em Wolff uma confusão que reapareceu em muitos autores wolffi anos: a confusão da ordem lógica
com a ontológica, especialmente quando se tratou de derivar o princípio de razão suficiente do
princípio de não contradição. A esta confusão pode juntar-se outra: a que se manifesta ao conceber-se o princípio de razão suficiente como um princípio psicológico na medida em que se entende
por ele a impossibilidade de pensar um juízo sem razão suficiente. Em SOBRE A QUÁDRUPLA RAIZ
DO PRINCÍPIO DE RAZÃO SUFICIENTE (1811) Schopenhauer distingue entre o princípio da razão
suficiente no acontecer, o do conhecer, o do ser e o do obrar. Com isto se adverte de novo a mul-
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tivocidade do princípio e em particular a mais fundamental excisão do mesmo consoante se refira
ao ser real ou ao ser ideal. No primeiro caso, a razão suficiente tem um caráter marcadamente ontológico; no segundo, intervém, além disso, o aspecto lógico, mesmo quando este afeta apenas a
parte mais superficial e externa do princípio que pode considerar-se totalmente como ontológico e,
no que se refere à esfera do conhecer, como gnoseológico. Heidegger indicou que o princípio aflora
as questões centrais da metafísica. No seu aspecto metafísico, o problema da razão suficiente é
consequência do mais amplo problema do fundamento. Heidegger referiu-o à liberdade de fundamentar. Observou que o princípio de razão suficiente tem uma forma negativa (no “nada é sem
razão”) e uma afirmativa (no “todo o ser tem a sua razão”) e assinalou que a forma negativa é
mais reveladora que a afirmativa. O princípio de razão suficiente ou “princípio de razão” trata do
fundo, que se encontra sempre “por baixo” daquilo de que se trata; portanto, o princípio em questão é um princípio que não fica agarrado às coisas, das quais se afirma algo, mas ao fundamento
das coisas.
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