ÁLGEBRA - AULA 2 - Equações ÁLGEBRA β AULA 2 Equações Prof. Robson Ricardo de Araujo 1 ÁLGEBRA - AULA 2 - Equações DEFINIÇÕES Expressão matemática é uma combinação de números, operadores e incógnitas ou variáveis, além de símbolos gráficos, agrupados de forma significativa para permitir a verificação de valores, formas, meios ou fins. Equação é uma afirmação que estabelece uma igualdade entre duas expressões matemáticas. Resolver uma equação é encontrar valores numéricos que, ao serem substituídos nas incógnitas da equação, tornam verdadeira a sentença matemática. Os valores numéricos que tornam a equação válida são chamados raízes ou zeros da equação. Prof. Robson Ricardo de Araujo 2 ÁLGEBRA - AULA 2 - Equações EXEMPLOS 2π₯ + 3 = 0 Equação do 1º grau π₯ 2 + 3π₯ + 1 = 0 Equação do 2º grau π₯ 5 + 3π₯ + 7 = π₯ 3 + 2π₯ 2 Equação do 5º grau ππ π₯ π + ππβ1 π₯ πβ1 + β― + π1 π₯ + π0 Equação polinomial do nº grau Prof. Robson Ricardo de Araujo 3 ÁLGEBRA - AULA 2 - Equações EXEMPLOS 3π₯ = 81 Equação exponencial π₯+3 =2 Equação modular log10 3π₯ + 1 = 2 Equação logarítmica π ππ π₯ = π Equação trigonométrica Prof. Robson Ricardo de Araujo 4 ÁLGEBRA - AULA 2 - Equações EXEMPLOS 3π₯ + 2π¦ = 2 Equação linear com duas variáveis π₯2 + 1 = 3 Equação irracional 2π₯ π¦ 3 7 = 0 β1 π§ π€ Equação matricial Prof. Robson Ricardo de Araujo 5 ÁLGEBRA - AULA 2 - Equações IMPORTANTE Se a e b são números reais, π. π = 0 π = 0 ππ’ π = 0 EXEMPLO Analise π₯ + 3 2π₯ + 1 π₯ β 5 = 0. Prof. Robson Ricardo de Araujo 6 ÁLGEBRA - AULA 2 - Equações OBSERVAÇÕES 1) Depois de determinar as raízes de uma equação, você deve apresentá-la na forma de conjunto: o chamado conjunto solução, denotado por S. 2) Equações equivalentes são aquelas que possuem o mesmo conjunto solução. Prof. Robson Ricardo de Araujo 7 ÁLGEBRA - AULA 2 - Equações EQUAÇÃO DO 1º GRAU Equações do 1º grau são equações do tipo ππ₯ + π = 0 πππ π β 0 Os valores a e b são chamados coeficientes da equação. Toda equação da forma acima admite uma única solução da forma π β π Exemplos... Prof. Robson Ricardo de Araujo 8 ÁLGEBRA - AULA 2 - Equações LINGUAGEM USUAL x LINGUAGEM MATEMÁTICA Expressão matemática de algumas expressões em língua portuguesa: Em Português Em Matematiquês (dado) um número π₯ A sexta parte desse número π₯ 6 O dobro desse número 2π₯ A metade desse número βmaisβ sua terça parte π₯ π₯ + 2 3 Prof. Robson Ricardo de Araujo 9 ÁLGEBRA - AULA 2 - Equações LINGUAGEM USUAL x LINGUAGEM MATEMÁTICA Expressão matemática de algumas expressões em língua portuguesa: Em Português Em Matematiquês Esse número acrescido de 5 unidades π₯+5 Esse número acrescido de 20% 20 π₯+ π₯ 100 O quadrado desse número acrescido de seu dobro mais uma unidade π₯ 2 + 2π₯ + 1 Prof. Robson Ricardo de Araujo 10 ÁLGEBRA - AULA 2 - Equações EXERCÍCIO RESOLVIDO Uma torneira A enche um tanque em 3 horas; uma torneira B enche esse mesmo tanque em 4 horas; e uma ralo esvazia esse tanque em 6 horas. O tanque inicialmente está vazio. As duas torneiras são abertas, e o ralo, destampado. Quanto tempo demorará para que esse tanque fique cheio? Prof. Robson Ricardo de Araujo 11 ÁLGEBRA - AULA 2 - Equações SISTEMA DE EQUAÇÕES DE 1º GRAU COM DUAS INCÓGNITAS (Método da substituição) Se você tiver duas equações lineares com duas incógnitas, pode-se achar uma solução para o sistema isolando uma das variáveis em uma das equações e substituindo na outra equação. Exemplo: resolva 2π₯ + 3π¦ = 10 π₯ β 2π¦ = 7 Prof. Robson Ricardo de Araujo 12 ÁLGEBRA - AULA 2 - Equações EXERCÍCIO RESOLVIDO Há três anos, a idade de Pedro era o triplo da idade de Maria. No próximo ano, Pedro terá o dobro da idade de Maria. Qual a idade de Pedro e de Maria hoje? Prof. Robson Ricardo de Araujo 13 ÁLGEBRA - AULA 2 - Equações Prof. Robson Ricardo de Araujo 14 ÁLGEBRA - AULA 2 - Equações Prof. Robson Ricardo de Araujo 15 ÁLGEBRA - AULA 2 - Equações EQUAÇÃO DO 2º GRAU Equações do 2º grau são equações do tipo ππ₯ 2 + ππ₯ + π = 0 πππ π β 0 Os valores a, b e c são chamados coeficientes da equação. Prof. Robson Ricardo de Araujo 16 ÁLGEBRA - AULA 2 - Equações EXEMPLOS Verifique se a equação dada é ou não uma equação do 2º grau: 3π₯ 2 Prof. Robson Ricardo de Araujo 1 + 2π₯ + = 0 2 SIM 3π₯ + 4 = 0 NÃO 4π₯ 2 + 5π₯ = 0 SIM π‘2 + 3 = 0 SIM π₯ 3 + π₯ 2 + 2π₯ + 5 = 0 NÃO π2 = 0 SIM 17 ÁLGEBRA - AULA 2 - Equações OBSERVAÇÃO Uma equação do 2º grau pode ou não ter solução. Tendo solução, existe apenas uma ou, no máximo, duas soluções. FÓRMULA DE BHASKARA ππ₯ 2 + ππ₯ + π = 0 πππ π β 0 As soluções da equação acima são dadas por βπ ± Ξ π₯= 2π onde Ξ = π 2 β 4ππ Prof. Robson Ricardo de Araujo 18 ÁLGEBRA - AULA 2 - Equações EXEMPLOS (1) 3π₯ 2 β 7π₯ + 2 = 0 (2) 4π₯ 2 + 4π₯ + 1 = 0 (3) 2π₯ 2 β 5π₯ + 6 = 0 Prof. Robson Ricardo de Araujo 19 ÁLGEBRA - AULA 2 - Equações DISCUSSÃO SOBRE AS RAÍZES Ξ>0 Ξ=0 Ξ<0 Prof. Robson Ricardo de Araujo 2 π πππ’çõππ πππππ 1 π πππ’çãπ ππππ πãπ π‘ππ π πππ’çãπ ππππ 20 ÁLGEBRA - AULA 2 - Equações EXEMPLOS (1) Determine πΌ tal que πΌπ₯ 2 + πΌπ₯ + 1 = 0 admita uma única raiz real. (2) Determine π real tal que π₯ 2 β 3π₯ + π = 0 não admita raízes reais. MAIS EXEMPLOS: resolva as equações incompletas: (1) π₯ 2 β 10π₯ = 0 (2) π₯ 2 β 36 = 0 Prof. Robson Ricardo de Araujo 21 ÁLGEBRA - AULA 2 - Equações SOMA E PRODUTO DE RAÍZES Sejam π₯1 e π₯2 raízes de uma equação do 2º grau ππ₯ 2 + ππ₯ + π = 0 πππ π β 0 Então π π₯1 + π₯2 = β π Prof. Robson Ricardo de Araujo π π₯1 . π₯2 = π 22 ÁLGEBRA - AULA 2 - Equações EXERCÍCIOS PROPOSTOS (1) A soma S e o produto P das raízes de 2π₯ 2 β 3π₯ β 2 = 0 são... (2) Sabendo que as raízes de 2π₯ 2 + ππ₯ + π = 0 são 3 e -5, determine b e c. (3) (a) Determine m tal que as raízes de π₯ 2 β π + 3 π₯ + π = 0 são números simétricos. (b) No caso acima, determine π e πΌ. Prof. Robson Ricardo de Araujo 23 ÁLGEBRA - AULA 2 - Equações OBSERVAÇÃO Sejam π₯1 e π₯2 raízes de uma equação do 2º grau ππ₯ 2 + ππ₯ + π = 0 πππ π β 0 -S= π =P π 2 π₯ + π₯+ =0 π π π₯ 2 β ππ₯ + π = 0 em que S e P são a soma e o produto de π₯1 e π₯2 , respectivamente. Prof. Robson Ricardo de Araujo 24 ÁLGEBRA - AULA 2 - Equações TENTE FAZER Construa uma equação de 2º grau que tenha 3 e 5 como raízes. EXTRA Demonstre a fórmula de Bhaskara. EXERCÍCIO Demonstre que βMulher é igual problemaβ Prof. Robson Ricardo de Araujo 25 ÁLGEBRA - AULA 2 - Equações A Matemática não é algo mágico e ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo de conhecimento naturalmente desenvolvido por pessoas durante um período de 5000 anos. Frank Swetz Robson Ricardo de Araujo [email protected] Prof. Robson Ricardo de Araujo 26
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