ME623
Planejamento e Pesquisa
Diagnóstico do Modelo
Análise de Resíduos

A decomposição da variabilidade das observações
na Análise de Variância é puramente algébrica

No entanto, para realizar os testes estatísticos de
igualdade das médias algumas suposições têm que
satisfeitas:
1. As observações são descritas pelo modelo:
2.

, ou seja, os erros são normais e
independentes, com média 0 e variância σ2 constante.
Na prática, nem sempre essas suposições são
válidas
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2
Análise de Resíduos

Não se deve confiar nos resultados da Análise de
Variância até que as suposições sejam validadas

Isso pode ser feito atráves da Análise de Resíduos

O resíduo para a j-ésima observação no i-ésimo
tratamento é definido como:
em que
é uma estimativa do observação
obtida da seguinte forma
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,
3
Análise de Resíduos

Os resíduos contém informação sobre a
variabilidade não explicada pelo modelo

Se as suposições são válidas, os resíduos não devem
apresentar nenhuma tendência. Eles devem ser:
1. aparentemente normais
2. independentes
3. variância constante, ou seja, a variabilidade dos
resíduos não deve mudar com os níveis do fator

Essas características são verificadas através dos
Gráficos dos Resíduos
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4
Gráficos dos Resíduos
Gráfico de Probabilidade Normal
1.
◦
◦
◦
resíduos versus os quantis teóricos de uma
variável normal
visualmente os pontos devem estar sob uma
linha reta
também útil para detectar outliers
Resíduos versus Ordem dos Dados
2.
◦
útil para detectar correlação entre os resíduos
◦
qualquer tendência indica não independência
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Gráficos dos Resíduos
Resíduos versus Valores Ajustados
3.
◦
se o modelo está correto, esse gráfico não deve
apresentar nenhuma tendência
◦
serve para detectar variância não constante
Resíduos versus Níveis do Fator
4.
◦
detectar se a variância é constante
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Exemplo da Fibra Sintética
%
Algodã
o
15
20
1
Resíduos
( yij)
2
3
5.2
−2.8 −2.8
(7)
(7) (15)
1.6 −3.4
−3.4
(12) (17) (12)
0.4
(18)
3.4
(25)
25
−3.6
(14)
30
−2.6
(19)
35
−3.8 −0.8
(7) (10)
eij
4
5
yˆij = yi·
1.2 −0.8
(11)
(9)
2.6
2.6
(18) (18)
0.4
1.4
(18) (19)
0.4 −2.6
(22) (19)
1.4
(19)
1.4
(23)
0.2
(11)
0.2
(11)
4.2
(15)
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9.8
15.4
17.6
21.6
10.8
7
Exemplo da Fibra Sintética
Usando a função lm do R:
> dados <- read.table(“DadosAlgodao.txt”, header=TRUE)
> fit <- lm(Obs ~ factor(Algodao), data=dados)
> anova(fit)
Analysis of Variance Table
Response: Obs
Df Sum Sq Mean Sq F value
factor(Algodao)
Residuals
4 475.76
118.94
20 161.20
8.06
Pr(>F)
14.757 9.128e-06 ***
--Signif. codes:
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
> plot(fit, col=“red”, pch=15)
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Resíduos
Resíduos Padronizados
Gráficos de Probabilidade Normal
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Resíduos Padronizados

Os resíduos padronizados são dados por:

Aproximadamente N(0, 1), então um resíduo
padronizado maior que 3 ou 4 é um potencial outlier

No Exemplo da Fibra
Sintética, o maior resíduo
padronizado é:

Então não temos indicação de outliers
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Gráfico dos Resíduos vs Ordem dos Dados
 Nenhuma
tendência
aparente nesse exemplo
 Então
não há suspeita de
violação da hipótese de
independência
 Isso
é sinal de que a
aleatorização foi feita de
forma correta
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Gráfico dos Resíduos vs Valores Ajustados
 Nenhuma
tendência
aparente nesse exemplo
 Se
o gráfico apresentar o
formato de um cone,
temos indicação de
variância não constante
 Nesse
caso, transformase os dados para
estabilizar a variância
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Gráfico dos Resíduos vs Níveis do Fator

Usado para checar a
hipótese de igualdade de
variância dentro dos
tratamentos

No nosso exemplo, parece
razoável assumir que as
variâncias são iguais

Podemos usar o teste de
Bartlett para testar
formalmente a igualdade
de variância
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Teste de Bartlett
Homogeneidade das Variâncias

Hipóteses

Estatística do Teste
onde
é a variância amostral do i-ésimo tratamento e
a variância agrupada (MSE) ME623A – Aula 5 – 21/08/2013
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Teste de Bartlett
Homogeneidade das Variâncias

Quando as a amostras referentes aos tratamentos são
normais e independentes, a distribuição amostral de
se aproxima de uma distribuição

O valor q é grande quando os
a zero quando são todos iguais

Portanto, rejeita-se H0 para

Alerta: O Teste de Bartlett é muito sensitivo à
normalidade. Então, não devemos utilizá-lo se a
suposição de normalidade não for validada
s diferem muito e igual
também grande, ou seja,
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Teste de Bartlett
Exemplo da Fibra Sintética

As variâncias para cada tratamento são:

Exercício: Encontrar a estatística do teste
a conclusão dado que
?
. Qual
No R
> bartlett.test(Obs ~ factor(Algodao), data=dados)
Bartlett test of homogeneity of variances
data: Obs by factor(Algodao)
Bartlett's K-squared = 0.9331, df = 4, p-value = 0.9198
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Exemplo: Controle da Ansiedade
 Pesquisadores
querem  Depois de tomar a meditestar um novo medicacação, os pacientes dão
mento no combate a
uma nota de 1 – 10 para
ansiedade
o nível de ansiedade
 Eles
irão testar três
dosagens (0mg, 50mg e
100mg)
 21
pacientes participaram do estudo e foram
divididos igualmente
entre os três grupos
 Pergunta: Existe
diferença entre as dosagens da
medicação no controle
da ansiedade?
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Exemplo: Controle da Ansiedade
Dosage
m
(mg)
0
50
100
Nível de Ansiedade
( yij)
1 2 3 4 5 6 7
9
7
4
8
6
3
7
6
2
8
7
3
8 9 8
8 7 6
4 3 2
Total
Média
57
47
21
y·· =125
8.14
6.71
3
y·· =5.95
yi·
yi·
Exercício
 Faça a Análise de Variância para esse exemplo e
responda a pergunta dos pesquisadores
 Faça a Análise dos Resíduos (use o R para
obter os gráficos)
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Para relembrar as fórmulas...
Tabela ANOVA com Um Fator
E as SS podem ser simplificadas como:
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