Matemática
Financeira
Matemática Financeira
- Valor do Dinheiro no Tempo
Matemática
Financeira
Matemática Financeira
Módulo A
Módulo A – Introdução a Matemática
Financeira
• Objetivo do Módulo:
• Ao final deste módulo o aluno deve ser capaz
de :
• Compreender a importância do valor do
dinheiro no tempo, da Matemática Financeira
na vida das pessoas e das empresas.
• Conceituar Taxa de Juros e Diagrama do Fluxo
de Caixa e critérios de capitalização dos juros
Módulo A – Introdução a Matemática
Financeira
• - Porque estudar o Valor do Dinheiro no
Tempo?
• - Importância de se fazer um
Planejamento Financeiro
• - Porque estudar Matemática Financeira?
• - Objetivos da Matemática Financeira
Módulo A – Introdução a Matemática
Financeira
• Preparação Prévia:
- Leitura prévia do Texto 1 ou de qualquer
capítulo de qualquer livro sobre o assunto
Módulo A – Introdução a Matemática
Financeira
• Organize sua vida financeira e descubra que possui mais
recursos do que pensa ter para investir.
• Faça um PLANEJAMENTO FINANCEIRO e responda:
-
Para onde vai o meu dinheiro?
Por que investir?
Mantenho minhas aplicações ou pago minhas dívidas?
Como selecionar meus objetivos?
Quais são as minhas opções de investimentos?
Exemplo:
• Se um amigo lhe pedisse $ 1.000,00 para lhe
pagar os mesmos $ 1.000,00 daqui a um ano, o
que você acharia ?
• Com certeza, por melhor que fosse seu amigo,
a proposta não seria vista com bons olhos!!!
• Alguns pontos vêm a mente:
– Será que ele vai me pagar?
– Será o poder de compra dos $ 1.000,00 daqui a um
ano será o mesmo?
– Se eu permanecesse com os $ 1.00,00, poderia
aplicá-los na poupança e ganhar rendimentos?
• Os pontos questionados remetem ao custo do
dinheiro.
• Ao transportar valores no tempo, existe um
custo que pode ser decomposto em:
– inflação
– risco de crédito
– taxa real de juros
• Nunca some valores em datas diferentes
• Objetivos da Matemática Financeira
- Transformar fluxos de caixa em outros equivalentes,
com aplicação das taxas de juros de cada período, para
se levar em consideração o valor do dinheiro no tempo.
- Analisar e comparar diversas alternativas de fluxos de
caixa para uma mesma operação.
• Fluxo de Caixa
- Entradas e saídas de caixa de uma operação financeira ao longo do
seu prazo de duração.
• As operações financeiras precisam ser representadas pelos seus
fluxos de caixa para poderem ser corretamente analisadas com os
conceitos de matemática financeira.
• As saídas de caixa correspondem aos pagamentos, têm sinais
negativos e são representadas por setas apontadas para baixo.
• As entradas de caixa correspondem aos recebimentos, têm sinais
positivos e são representadas por setas apontadas para cima.
Fluxo de Caixa - Convenções
(-)
$
(+)
$
(-)
$
0
1
2
(-)
$
3
(-)
$
(+)
$
…
TEMPO
n
Convenção de Final de Período
Valores que ocorrem ao longo dos períodos são representados nos
finais dos respectivos períodos.
Unidades de Tempo
Ano; Semestres; Trimestres; Meses e Dias
Valor do dinheiro no tempo
• DEFINIÇÕES DE JUROS
• - Remuneração do dinheiro aplicado.
• - Custo do dinheiro tomado emprestado.
• REGIMES DE JUROS
• - Juros simples (Linear, Progressão Aritmética)
• - Juros Compostos (Exponencial, Progressão Geométrica)
• TAXAS DE JUROS
• ___% a.d.
(diárias) ___% a.a. (anuais)
• ___% a.s.
(semestrais)
___% a.t. (trimestrais)
• ___% a.m. (mensais)
• Taxa ( i ) e Número de Períodos ( n )
devem estar sempre na
mesma base!!
Simbologia e Convenções Adotadas
Tabelas
HP
Excel
PV
FV
HP
Excel
PV
PMT
i
0
•
•
•
•
•
•
•
i
i
1
2
PMT
i
i
3
FV
…
i
n-1
i
n
0
i
1
i
2
i
3
i
…
i
n-1
n
Final de período -Type =0
Início de período - Type = 1
Série postecipada (END)
Série antecipada (BEGIN)
n
- Número de períodos de capitalização de juros;
i
- Taxa de juros em cada período, em %;
PV - Valor presente, capital inicial aplicado;
FV - Valor futuro, montante no final de n períodos;
PMT - Pagamentos periódicos de mesmo valor que ocorrem no
final (end) ou no início de cada período (begin)
Conceitos Gerais - Juros
• “Juro (J) é a diferença entre o que foi
emprestado no presente (PV) e o que é
cobrado no período de tempo futuro
(FV), quer seja ano, mês ou dia
J = FV – PV
J = PV . i
Conceitos Gerais - Juros
• A Taxa percentual – refere-se aos “centos” do capital,
ou seja, o valor dos juros para cada centésima parte do
capital.
• Ex: Um capital de $ 1.000, aplicado a 20% ao ano rende
juro, no final deste período de:
Juro = 1000 / 100 x 20 =
Juro = 10 x 20 = 200
200 = remuneração do capital investido.
Conceitos Gerais - Juros
• A Taxa unitária – refere-se a unidade de capital.
Reflete o rendimento de 0,20 (20% / 100) por cada
unidade de capital aplicada.
• Ex: Um capital de $ 1.000, aplicado a 20% ao ano rende
juro, no final deste período de:
Juro = 1000 x 20 / 100 =
Juro = 1000 x 0,20 = 200
200 = remuneração do capital investido.
Regimes de Juros
• JUROS SIMPLES
• Juros de cada período são sempre calculados sobre o capital inicial
aplicado (principal).
• Juros acumulados ao longo dos períodos não rendem apesar de ficarem
retidos pela instituição financeira.
• Crescimento do dinheiro, ao longo do tempo, é linear (ou em
progressão aritmética
• JUROS COMPOSTOS
• Juros de cada período são calculados sobre o saldo existente no início
do respectivo período.
• Juros acumulados ao longo dos períodos, quando retidos pela
instituição financeira, são capitalizados e passam a render juros.
• Crescimento do dinheiro, ao longo do tempo, é exponencial ou em
progressão geométrica).
Próximo Módulo: Trabalharemos – Juros
Simples
• Preparação Prévia:
- Leitura prévia do Cap. 1 – do item 1.8 até
item 1.11 da bibliografia básica - ou de
qualquer livro sobre o assunto – Juros
Simples
Matemática
Financeira
Matemática Financeira
Módulo B
Módulo B – Juros Simples
• Objetivo do Módulo:
• Ao final deste módulo o aluno deve ser capaz
de:
• Desenvolver e aplicar a fórmula de juros
simples, através de exercícios.
• Conceituar – Montante e Capital
• Compreender o significado de taxa
proporcional, juro exato e comercial.
Módulo B – Juros Simples
• Preparação Prévia:
- Leitura prévia do Cap. 1 – do item 1.8 até
item 1.11 da bibliografia básica - ou de
qualquer capítulo de qualquer livro sobre
o assunto – Juros Simples
Módulo B – Juros Simples
• As parcelas adicionais são dadas por um valor
proporcional ao capital inicial e ao tempo de aplicação
Jn = PV . i . n
FV = PV + Jn
• Combinando as equações
FV= PV . ( 1+ i . n )
• PV é o capital inicial;
• FV é o montante no final do
período n.
• Jn são os juros acumulados até o
final de n períodos de capitalização;
• n é o número de períodos
capitalizados;
• i é a taxa de juros empregada por
período de capitalização.
Exemplo - Juros Simples
• Qual o montante equivalente a R$ 1.000,00 capitalizados a 8% ao ano em
quatro anos?
• Extrai-se do enunciado diretamente que PV = 1.000, i = 8% ao ano e n
= 4 anos.
J = PV. i. n
De outra forma:
J = 1.000× 0,08× 4 = 320
FV = PV × (1+ i × n)
FV = PV + J
FV = 1.000 × (1+0,08× 4)
FV = 1.000 + 320 = 1.320
FV = 1.320,00
Taxa ( i ) e Número de Períodos ( n )
devem estar sempre na mesma base!!
Pagamento dos juros no final do prazo
Capital inicial aplicado:
Taxa de juros simples:
Juros de cada ano:
ANO
Saldo no
início
do ano
0
1
1.000,00
2
1.080,00
3
1.160,00
4
1.240,00
$1.000,00
8,00% a.a.
8% de $1.000,00 = $80,00
Juros
Saldo no final
Pagto do
do ano
do ano antes
ano
pagamento
1.000,00
80,00
1.080,00
0,00
80,00
1.160,00
0,00
80,00
1.240,00
0,00
80,00
1.320,00
1.320,00
Prazo: 4 anos
Saldo no final
do ano após
pagamento
1.000,00
1.080,00
1.160,00
1.240,00
0,00
Fluxo de Caixa
(+) $1.000,00
(+) $1.320,00
Anos
0
1
2
3
4
Capital inicial aplicado:
Taxa de juros simples:
Juros de cada ano:
$1.000,00
8,00% a.a.
8% de $1.000,00 = $80,00
Prazo: 4 anos
Saldo
1.400
1.300
1.200
Juros simples
cresc. linear
1.100
Anos
1.000
0
1
2
3
4
EXERCÍCIOS
•
1. Que montante receberá um investidor que tenha aplicado R$ 280,00 durante 15 meses, à taxa
de 3% ao mês?
•
•
SOLUÇÃO:
O problema pede o valor resgatado (montante) e não os juros. Para isso basta adicionar os juros ao capital
inicial. Assim, temos:
VP = R$ 280,00 .......capital inicial ou principal
n = 15 meses
i = 3% a.m. = 0,03 a.m.
•
Lembrando que VF = VP(1 + i n) vem:
VF = 280,00 (1 + 0,03*15) = 280,00 * 1,45 = 406,00, isto é,
VF = R$ 406,00
•
Solução deste problema também pode ser obtida do seguinte modo:
J = 280,00 * 0,03 * 15 = 126,00
como VF = VP + J = 280,00 + 126,00 = 406,00 ou seja
VF = R$ 406,00
•
Com a CALCULADORA FINANCEIRA HP 12C, temos:
f FIN
...limpa os dados dos registros financeiros
f2
...estabelece o número de casas decimais
280 CHS PV
...muda o valor atual para negativo e armazena em PV
3 ENTER 12 x i
...Devemos entrar com a taxa em percentual ao ano (3% x 12)
15 ENTER 30 x n
...Devemos entrar com o tempo em dias (15 x 30)
f INT
... Com este comando a calculadora apresentará, no visor, o valor dos juros: R$ 126,00
EXERCÍCIOS
•
1. Um investidor aplicou R$ 2.500,00 em Letras de Câmbio, por 60 dias, e, ao
resgatá-las, após esse prazo, recebeu a quantia de R$ 2.590,00.
–
–
•
a. Quanto recebeu de juros?
b. A que taxa esteve aplicado seu capital durante esse período?
2. Um industrial pediu um empréstimo de R$ 250.000,00 numa instituição
financeira, por certo tempo. No dia em que foi liberado o empréstimo, pagou,
antecipadamente, 22% de juros, conforme previa o contrato.
–
–
a. Quanto pagou de juros?
b. Se os juros foram retidos na data da liberação do empréstimo, qual foi a quantia
efetivamente liberada?
•
3. Um capital de R$ 80.000,00 ficou aplicado durante seis meses a 10% ao mês.
Calcule o montante no fim de cada mês nos regimes de capitalização simples.
•
4. Represente com um diagrama de fluxo de caixa as seguintes operações
financeiras:
–
–
–
a. Uma aplicação de R$ 50.000,00 pela qual o investidor recebe R$ 80.000,00 após dois
anos.
b. A compra de um objeto, cujo preço a vista é R$ 30.000,00, em 12 prestações mensais
de R$ 2.600,00, vencendo a primeira na data da compra.
c. Depósitos de R$ 5.000,00 na Caderneta de Poupança, no fim de cada mês durante um
ano, e retirada de R$ 61.677,81 dois meses após o último depósito.
EXERCÍCIOS
5.Qual o capital inicial para se ter um montante de R$ 148.000,00 daqui a 18
meses, a uma taxa de 48% ao ano, no regime de juro simples?
Resp: 86.047,00.
6. Uma pessoa consegue um empréstimo de R$ 86.400,00 e promete pagar ao
credor, após 10 meses, a quantia de R$ 116.640,00. Determine a taxa de juro
anual cobrada? Resp: 42% ao ano.
7. Por quanto tempo deve ser aplicado o capital de R$ 800.000,00, à taxa de juro
de 16% ao ano, para obtermos um montante de R$ 832.000,00?
Resp: 3 meses.
8.Uma loja vende toca-fitas por R$ 15,00 à vista. A prazo, vende por R$ 16,54 ,
sendo R$ 4,00 de entrada e o restante após 4 meses. Qual é a taxa de juro
mensal cobrada? Resp: 3,5% ao mês.
Taxas de Juros
-TAXAS PROPORCIONAIS
Duas taxas são proporcionais quando os seus valores formam uma
proporção direta com os tempos a elas referidos, reduzidos à
mesma unidade.
- Juro Exato Calendário do ano civil (365 dias)
- Juro Comercial que admite o mês com 30 dias e o ano com 360
dias
Sendo i a taxa de juro relativa a um período e ik a taxa
proporcional que queremos determinar, relativa à fração 1/k do
período, temos:
EXEMPLO: Calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano?
Lembrando que 1 ano = 12 meses, temos:
• i12 = 30/12 = 2,5 isto é 2,5% a . m.
•
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
•
1. Transformar 2 anos, 3 meses e 12 dias em:
a . Anos
b. meses
c. dias Resp:- 2,28 anos; 27,4 meses;
832 dias
•
2. Qual a taxa anual proporcional a 1,4% ao mês? Resp:- 16,8% a . a .
•
3. Calcular os juros de um investimento de R$ 2.500,00, à taxa de 3% ao mês, pelo
prazo de 1 ano, 4 meses e 10 dias. Resp:- R$ 1.225,00
•
4. Um investimento de R$ 2.800,00 rendeu em 1 ano, 5 meses e 3 dias a importância
de R$ 2.872,80. Calcular a taxa mensal dessa rentabilidade.
Resp:- 6% a . m.
•
5. Que quantia deve-se investir à taxa de 3% a . m., para que se tenha ao final de 1
ano, 4 meses e 6 dias uma renda de R$ 97.200,00? Resp:- R$ 200.000,00
•
6. Calcular os juros e o montante de uma aplicação de R$ 200.000,00 a 4,8% a . m.,
pelo prazo de 2 anos, 3 meses e 12 dias. Resp:- R$ 263.040,00 e R$ 463.040,00
•
7. Um investidor aplica 2/5 de seu capital a 3,5% a . m. e o restante a 24% ao
semestre. Decorridos 2 anos, 3 meses e 15 dias, recebe um total de R$ 313.500,00 de
juros. Calcular o seu capital. Resp:- R$ 300.000,00
Matemática
Financeira
Matemática Financeira
Módulo C
Módulo C – Juros Compostos
• Objetivo do Módulo:
• Ao final deste módulo o aluno deve ser capaz de:
• Desenvolver e aplicar a fórmula de juros
compostos, através de exercícios.
• Conceituar – Taxa Nominal e Efetiva
• Compreender o significado de taxas equivalentes.
Juros Compostos
• Juros são incorporados ao capital, e os juros para
o próximo período calculados sobre o novo
capital
• Método mais empregado por instituições
bancárias e financiadoras
FV = PV x (1+i)n
• n é o número de períodos
capitalizados;
• PV é o capital inicial;
• FV é o capital disponível ou exigível
no final do período n, ou montante;
• i é a taxa de juros empregada por
período de capitalização.
Exemplo:
Qual o montante equivalente a R$ 100,00 capitalizados
a 50% ao ano em cinco anos?
Período
(anos)
0
1
2
3
4
5
Saldo devedor
início período
0
100,00
150,00
225,00
337,50
506,25
Juros
período
0
50,00
75,00
112,50
168,75
253,12
Saldo devedor
fim período
100,00
150,00
225,00
337,50
506,25
759,37
Note que os juros em cada período equivalem a 50% do
saldo devedor no início do mesmo período
Aplicando a fórmula:
•Suponha que você coloque $1.000 (VP) numa aplicação rendendo
uma taxa de juros (i) de 10% a.a. A quantia que você terá daqui a
cinco anos, assumindo que você não sacou nada da conta antes
disso, é chamada valor futuro (VF).
Taxa ( i ) e
Número de
Períodos ( n )
devem estar
sempre na
mesma base!!
Seu valor futuro no final do ano 5 seria, então:
VF = VP x (1 + i)n =
VF = 1.000 x (1 + 0,10)5
VF = 1.000 x 1,61051 => Fator de capitalização
VF = 1.610,51
Fórmulas de Juros Compostos
VP =
VF = VP(1 + i )
n
VF
(1 + i )n
1
n
VF - =  VF  n
=
 1
i
1 
VP
 VP 
 VF 

log 
 VP 
n=
log(1 + i )
Funções Financeiras da HP 12C
[n]: abastece ou calcula o número de períodos
[i]: abastece ou calcula a taxa de juros
[PV]: abastece ou calcula
o Valor Presente
[PMT]: abastece ou calcula a Prestação
[FV]: abastece ou calcula o Valor Futuro
PROBLEMAS ENVOLVENDO n, i, PV, FV
Exercício 1
Determinar o valor acumulado no final de 24 meses, a uma taxa de
1% a.m., no regime de juros compostos, a partir de um
principal de $2.000,00.
Dados:
PV = $2.000,00
i = 1,0% a.m.
n = 24 meses
Juros Compostos:
n
i
PV
PMT
24
1,00 -2.000,00 0,00
VF = VP x (1 + i)n =
VF = 2.000 x (1 + 0,01)24
VF = 2.000 x 1,261973
VF = 2.539,47
FV
?
2.539,47
PROBLEMAS ENVOLVENDO n, i, PV, FV
Exercício 2
Determinar o principal necessário para produzir um montante de
$1.000,00 no final de 2 anos, a uma taxa de 1,25% a.m., no regime
de juros compostos.
Dados:
FV= $1.000,00
i = 1,25 % a.m.
n = 2 ANOS = 24 meses
Juros Compostos:
n
i
PV
24
1,25
?
PMT
FV
0,00 1.000,00
VP = VF / (1 + 0,0125)24
VP = 1.000 / 1,34735
VP = 742,20
-742,20
PROBLEMAS ENVOLVENDO n, i, PV, FV
Exercício 3
Qual a taxa de juros mensal que faz um principal de $1.000,00 se
transformar num montante de $ 1.150,00, no final de 10 meses,
no regime de juros compostos?
Dados :
PV = $1.000,00
FV= $1.150,00
n = 10 meses
Juros Compostos :
n
i
PV
10
?
1.000,00
VF = VP x (1 + i)n = VF = (1 + i)1/n
VP
1.150 = (1 + i)1/10 = 1,151/10 = ((1 + i)1/10)1/10
1.000
1,0140743 = 1 + i
I = 0,0140743 * 100 = 1,40743% a.m.
PMT
0,00
FV
-1.150,00
1,40743% a.m.
PROBLEMAS ENVOLVENDO n, i, PV, FV
Exercício 4
Em quantos anos um capital dobra, a uma taxa de 6% a.a., nos regimes
de juros compostos?
VF = VP x (1 + i)n = VF = (1 + i)1/n
VP
Dados:
log VF
PV = $100,00
n =.
VP
=
log (1 + 0,06)
FV = $200,00
i = 6,0% a.a.
n = 0,30103. = 11,89 anos
0,02531
Juros Compostos :
n
?
i
6,00
PV
PMT
FV
100,00 0,00 -200,00
11,896 anos
Taxas de Juros
Taxa efetiva
Unidade de tempo da taxa coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.
Ex:
3% ao mês (capitalizados mensalmente)
12% ao ano (capitalizados anualmente)
Taxas proporcionais - juros simples
No regime de juros simples, ao serem aplicadas a um mesmo principal, durante um mesmo
prazo, produzem um mesmo montante
Ex: 1% a.m. = 3 % a.t. = 6 % a.s. = 12 % a.a.
ia = 2 x is = 4 x it = 12 x im = 360 x id
Taxas equivalentes - juros compostos
No regime de juros compostos, ao serem aplicadas a um mesmo principal, durante um mesmo
prazo, produzem um mesmo montante.
2
4
12
( 1 + ia ) = ( 1 + is ) = ( 1 + it ) = ( 1 + im ) = ( 1 + id )
360
Taxas de Juros
-TAXAS EQUIVALENTES
• Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital,
durante o mesmo período, produzem o mesmo juro.
EXEMPLO: Calcular o juro produzido pelo capital de R$ 20.000,00 à taxa de 4%
ao mês, durante 6 meses à taxa de 12% ao trimestre, durante 2 trimestres
SOLUÇÃO
• No primeiro caso, temos J = 20.000,00 x 0,04 x 6 = 4.800,00
• No segundo caso, temos J = 20.000,00 x 0,12 x 2 = 4.800,00
• Como os juros são iguais, podemos dizer que:
4% a . m. e 12% a . t., são taxas equivalentes
Taxas de Juros
Taxa nominal ( in )
Unidade de tempo é anual e não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.
Ex: 12 % a.a. capitalizados mensalmente; 24% a.a. capitalizados trimestralmente.
A taxa nominal tem uma taxa efetiva implícita, que é obtida através de taxas proporcionais,
a juros simples, conforme indicado abaixo:
Período de capitalização taxa i n Taxa efetiva implícita
diário
id = in / 360
mensal
im = in / 12
trimestral
it = in / 4
semestral
is = in / 2
Outras denominações de taxas :
Taxa Real x Taxa Aparente (inflação)
Taxa Bruta x Taxa Líquida (impostos)
Problemas
Qual a taxa anual equivalente à taxa de 1,00% a.m.?
n
i
PV
PMT
FV
12
1,00
-100,00
0,00
112,68
12,682503% a.a.
Qual a taxa mensal equivalente à taxa de 10,00% a.a.?
n
i
PV
PMT
FV
12
0,80
-100,00
0,00
110,00
0,797414% a.m.
Qual a taxa diária equivalente à taxa de 1,50% a.m.?
n
i
PV
PMT
FV
30
0,05
-100,00
0,00
101,50
0,049641% a.d.
Problemas
Qual a taxa anual equivalente a uma taxa de 3,00% a.t.?
n
i
PV
PMT
FV
1ª solução: (PV / FV)
4
3,00
-100,00
0,00
112,55
12,550881% a.a.
n
4
i
3,00
PV
0,00
PMT
-3,00
FV
12,55
2ª solução: (PMT / FV)
12,550881% a.a.
Qual a taxa efetiva anual equivalente a uma taxa nominal de 9,00% a.a.,
capitalizados mensalmente?
Taxa Efetiva Implícita : 9 % / 12 = 0,75 % a.m.
n
12
i
0,75
PV
-100,00
PMT
0,00
FV
109,38
n
i
PV
PMT
FV
12
0,75
0,00
-0,75
9,38
1ª solução: ( PV / FV )
9,380690% a.a.
2ª solução: ( PMT / FV )
9,380690% a.a.
Problemas
Qual o montante acumulado no final de dois anos a partir de um
principal de $1.000,00, aplicado a uma taxa de 9% a.a. capitalizados
mensalmente?
Taxa efetiva implícita: 9% / 12 = 0,75 % a.m.
Taxa Anual Equivalente
n
12
i
0,75
PV
-100,00
PMT
0,00
FV
109,38
9,380690% a.a.
1ª solução: Tempo em meses e taxa mensal
n
24
i
0,75
PV
-1.000,00
PMT
0,00
FV
1.196,41
$1.196,41
2ª solução: Tempo em anos e taxa anual
n
i
PV
PMT
FV
2
9,38
9,380690
-1.000,00
0,00
1.196,41
$1.196,41
Problemas
Determinar as taxas efetivas mensais, a juros compostos, de uma
aplicação financeira realizada a 1,50% a.m., juros simples, com
prazos 15, 30 e 45 dias.
Juros Simples
Taxa diária das 3 operações = 1,50% / 30 = 0,05 % a.d.
Juros compostos:
n
i
PV
PMT
FV
Prazo de 15 dias
0,50
1,51
-100,00
0,00
100,75
1,505625% a.m.
15
0,05
-100,00
0,00
100,75
0,049826% a.d.
n
1,00
30
i
1,50
0,05
PV
-100,00
-100,00
PMT
0,00
0,00
FV
101,50
101,50
Prazo de 30 dias
1,500000% a.m.
0,049641% a.d.
n
1,50
45
i
1,49
0,05
PV
-100,00
-100,00
PMT
0,00
0,00
FV
102,25
102,25
Prazo de 45 dias
1,494431% a.a
0,049458% a.d.
Matemática
Financeira
Matemática Financeira
Módulo D
Módulo D – Desconto
• Objetivo do Módulo:
• Ao final deste módulo o aluno deve ser capaz de:
• Desenvolver e aplicar as fórmulas de desconto
Comercial - “por fora” e desconto Racional “por dentro”
• Definir Valor Nominal e Valor Atual.
DESCONTO
• Se uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa data futura, é
normal que entregue ao credor um título de crédito, que é o
comprovante dessa dívida. Todo título de crédito tem uma data de
vencimento; porém, o devedor pode resgatá-lo antecipadamente,
obtendo com isso um abatimento denominado desconto.
• O desconto é uma das mais comuns aplicações da regra de juro.
• Os títulos de crédito mais utilizados em operações financeiras são a
nota promissória, a duplicata e a letra de câmbio.
• A nota promissória é um comprovante da aplicação de um
capital com vencimento predeterminado. É um título muito
usado entre pessoas físicas ou entre pessoa física e
instituição financeira.
• A duplicata é um título emitido por uma pessoa jurídica
contra seu cliente (pessoa física ou jurídica), para o qual
ela vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a
serem pagos no futuro, segundo um contrato.
• A letra de câmbio, assim como a nota promissória, é um
comprovante de uma aplicação de capital com vencimento
predeterminado; porém, é um título ao portador, emitido
exclusivamente por uma instituição financeira.
• As operações anteriormente citadas são denominadas operações
de desconto, e o ato de efetuá-las é chamado descontar um
título.
Além disso: dia do vencimento é o dia fixado no título para
pagamento (ou recebimento) da aplicação;
• valor nominal (VN ) (ou valor futuro ou valor de face ou valor
de resgate) é o valor indicado no título (importância a ser paga
no dia do vencimento);
• valor atual (VA) é o líquido pago (ou recebido) antes do
vencimento: VA = VN - desconto
• tempo ou prazo é o número de dias compreendido entre o dia
em que se negocia o título e o de seu vencimento, incluindo o
primeiro e não o último, ou então, incluindo o último e não o
primeiro.
DESCONTO (d) é a quantia a ser abatida do valor nominal, isto é,
a diferença entre o valor nominal e o valor atual :
d = VN - VA.
• O desconto pode ser feito considerando-se como capital o valor
nominal ou valor atual. No primeiro caso, é denominado
desconto comercial; no segundo, desconto racional.
• DESCONTO BANCÁRIO
• Chamamos de desconto comercial, bancário ou por fora o equivalente
ao juro simples produzido pelo valor nominal do título no período de
tempo correspondente e à taxa fixada.
• Sejam d o valor de desconto comercial, VN o valor nominal do título, VA
o valor atual comercial, n o tempo que falta para o vencimento e i a
taxa de desconto, então:
d = VN . i . n
• O valor atual bancário é dado por:
VA = VN (1 – i . n)
EXERCÍCIOS
1. Um título de R$ 60.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês.
Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine:
a . o valor do desconto comercial
b . o valor atual comercial
• Solução
dados : VN = 60.000,00 i = 2,1% a.m. n = 45 dias
• a. d = VN . i . n = 60.000 x 0,021 x 1,5 (um mês e meio) =
d = R$ 1.890,00
• b. VA = VN – d
VA = 60.000 – 1.890 = R$ 58.110,00
VA = R$ 58.110,00
• DESCONTO RACIONAL
• Chamamos de desconto racional ou por dentro o equivalente ao juro
produzido pelo valor atual do título numa taxa fixada e durante o tempo
correspondente.
• VA = . VN .
(1 + i . n)
Onde d (desconto racional) é igual :
• d = VN - VA
• EXERCÍCIOS
• 1. Um título de R$ 60.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês.
Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine:
• a . o valor atual racional
• b . o valor do desconto racional
• SOLUÇÃO
• VN = R$ 60.000,00 i = 2,1% a .m. = 0,021 a . m. n = 45 dias = 1,5 meses
• a. VA = .
60.000
.
( 1 + 0,021 . 1,5)
VA = 58.167,72
• b. d = VN – VA
d = 60.000 – 58.167,72
d = 1.832,28
Matemática
Financeira
Matemática Financeira
Módulo E
Módulo E – Fluxo de Caixa – Série de
Pagamentos - PMT
• Objetivo do Módulo:
• Ao final deste módulo o aluno deve ser capaz de:
- Desenvolver e entender a importância da Matemática
Financeira nos fluxos de caixa, permitindo o correto
entendimento e uso de seus resultados.
- Equivalência de dois ou mais capitais.
Fluxo de Caixa
Representa uma série de pagamentos ou de recebimentos
que se estima ocorrer em determinado intervalo de
tempo.
- Podem ser verificados das mais variadas formas e tipos em
termos de períodos de ocorrência:
1. Quanto ao número de prestações:
Finitas: quando ocorrem durante um período pré-determinado de
tempo
2. Quanto à periodicidade dos pagamentos:
Periódicas: quando os pagamentos ocorrem a intervalos constantes
Não periódicas: quando os pagamentos ou recebimentos acontecem
em intervalos irregulares de tempo
Fluxo de Caixa
3. Quanto ao valor das prestações:
Uniformes: quando as prestações ou anuidades são iguais.
Não uniformes: quando os pagamentos ou recebimentos apresentam
valores distintos.
Não Uniformes: quando os pagamentos ou recebimentos apresentam
valores distintos.
4. Quanto ao prazo de pagamentos:
Postecipadas: quando as anuidades iniciam após o final do primeiro
período
Antecipadas: quando o primeiro pagamento ocorre na entrada, no
início da série
Fluxo de Caixa
5. Quanto ao primeiro pagamento:
Diferidas: ou com carência, quando houver um prazo maior que um
período entre a data do recebimento do financiamento e a data de
pagamento da primeira prestação.
Não Diferidas: quando não existir prazo superior a um período entre
o início da operação e o primeiro pagamento ou recebimento
Equivalência Financeira e
Fluxos de Caixa
A Equivalência Financeira esta presente nas tomadas de
decisões financeiras, pois seus resultados define os
melhores planos de empréstimos; financiamentos mais
atraentes; em propostas de refinanciamento e
reescalonamento de dívidas; etc.
Definição: dois ou mais fluxos de caixa são equivalentes
quando produzem idênticos valores presentes (PV) num
mesmo momento, convencionando-se determinada taxa
de juros.
Fórmula para séries uniformes
n
PMT = PV i ( 1 + i )
n
( 1 + i ) -1
Onde:
PMT = Pagamento periódico igual
n = número de pagamentos
PV = Valor Presente
i = taxa de juros
Fórmula para séries uniformes
n
FV = PMT [ ( 1 + i ) - 1 ]
i
Onde:
PMT = Pagamento periódico igual
n = número de pagamentos
FV = Valor Futuro
i = taxa de juros
Fórmula para séries uniformes
i(1 + i )
m
(
)
×
+
PMT = PV
1
i
n
(1 + i) - 1
n
Onde:
PMT = Pagamento periódico igual
m = carência em número de períodos
n = número de pagamentos
PV = Valor Presente
i = taxa de juros
EXERCÍCIOS
- Verificar se os fluxos de caixa dos planos A, B, C e D são equivalentes a 6% a.a.
Anos Plano A
0 100.000,00
1
2
3
4
5
6
Soma 100.000,00
Plano B
20.336,26
20.336,26
20.336,26
20.336,26
20.336,26
20.336,26
122.017,58
Plano C
Plano D
28.859,15
28.859,15
28.859,15
28.859,15
141.851,91
115.436,60 141.851,91
Equivalência a 6 % a.a.
PV do Plano A : $100.000,00
PV do Plano B : $100.000,00
PV do Plano C : $100.000,00
PV do Plano D : $100.000,00
Resp. : Os quatro fluxos de caixa são equivalentes a 6 % a.a.
pois os seus valores presentes à essa taxa são iguais
EXERCÍCIOS
- Calcular o valor de Z para que os fluxos de caixa sejam equivalentes a 10 % a.a.
Ano
Fluxo A Fluxo B
0
1
1.000,00
2
1.000,00
Z
3
1.000,00
4
1.000,00
SOMA
4.000,00
Z
FLUXO A: Valor Futuro no final do 4º ano
n
i
PV
PMT
FV
4
10,00
0,00
-1.000,00 4.641,00
FLUXO B: Valor Futuro no final do 4º ano para Z=$1,00
n
i
PV
PMT
FV
2
10,00
-1,00
0,00
1,21
Z = $4.641,00 / 1,21 =
= $3.835,54
EXERCÍCIOS
-
Um banco oferece financiamentos com prazo de 12 meses e deseja que os seus
planos de pagamentos sejam equivalentes a uma taxa efetiva de 1,4 % a.m.. Calcular
os valores das prestações dos seguintes planos, para um principal de $10.000,00.
Plano A:
12 prestações mensais iguais (série postecipada);
Plano B:
4 prestações trimestrais, iguais e sucessivas.
Plano A: Prestações mensais
n
i
PV
PMT
FV
Prestação Mensal
12 1,40 -10.000,00 911,10
0,00
$911,099
Plano B: Prestações trimestrais
1ª Solução: Usando a taxa trimestral equivalente
n
i
PV
PMT
FV
3 1,40
-100,00
0,00
104,26
4,2591% a.t.
n
i
4
4,26
PV
PMT
-10.000,00 2.771,74
FV
0,00
= $2.771,74
EXERCÍCIOS
-
Um banco oferece financiamentos com prazo de 12 meses e deseja que os seus
planos de pagamentos sejam equivalentes a uma taxa efetiva de 1,4 % a.m. Calcular
os valores das prestações dos seguintes planos, para um principal de $10.000,00.
Plano A:
12 prestações mensais iguais (série postecipada);
Plano B:
4 prestações trimestrais, iguais e sucessivas.
2ª Solução: Desconto de parcelas trimestrais unitárias
n
i
PV
PMT
FV
Plano B : Prestações Trimestrais
3
1,40
0,95915
0,00
-1,00
6
1,40
0,91997
0,00
-1,00
=(10.000,00 / 3,60784 =
9
1,40
0,88239
0,00
-1,00
= $2.771,74
12 1,40
0,84634
0,00
-1,00
Soma 3,60784
3ª Solução: Usando a prestação trimestral equivalente
n
i
PV
PMT
FV
3
1,40
0,00
-911,099 2.771,74
= $2.771,74
EXERCÍCIOS
- Um empresário deseja vender um imóvel por $120.000,00 a vista, mas aceita
financiar 50% em 12 meses, com uma taxa de 1,5 % a.m. . Determinar as
prestações dos planos abaixo indicados, para um principal de $60.000,00 .
Plano A: Doze prestações mensais iguais (série postecipada).
Plano B: Doze prestações mensais de $4.000,00 e mais duas
parcelas iguais no final de cada semestre.
Plano C: Duas prestações semestrais de $10.000,00 e mais doze
prestações mensais iguais.
n
i
PV
PMT
FV
Plano A : 12 mensais de :
12
1,50
-60.000,00 5.500,80
0,00
$5.500,80
Plano B:
- Parcela da prestação mensal a ser transferida para o
final de cada semestre: = $5.500,80 - $4.000,00 =$1500,80
- Parcela Semestral Equivalente
n
i
PV
PMT
FV
12 X $4.000,00 (mensais)
6
1,50
0,00
1.500,80
-9.349,31
2 X $9.349,31 (semestrais)
EXERCÍCIOS
- Um empresário deseja vender um imóvel por $120.000,00 a vista,ma aceita
financiar 50% em 12 meses, com uma taxa de 1,5 % a.m.. Determinar as
prestações dos planos abaixo indicados, para um principal de $60.000,00.
Plano C:
Duas prestações semestrais de $10.000,00 e mais doze
prestações mensais iguais.
n
i
PV
PMT
FV
PLANO C
6
1,50
9.145,42
0,00
-10.000,00
12 1,50
8.363,87
0,00
-10.000,00 PV das Parcelas Semestrais
Soma 17.509,30
- Valor Presente das Prestações Mensais
= $60.000,00 - $17.509,30 =
$42.490,70
- Valor das Prestações Mensais
n
i
PV
PMT
FV
2 X $10.000,00 (semestrais)
12 1,50 -42.490,70 3.895,55
0,00
12 X $3.895,55 (mensais)
EXERCÍCIOS
- Um financiamento com principal de $50.000,00 deve ser liquidado com 10 prestações
mensais dede $3.000,00 e mais duas intermediárias. Determinar o valor das
intermediárias para que a taxa efetiva de juros seja de 1,5 % ao mês.
PV = $50.000,00
X=?
X =?
PMT = $3.000,00
0
n
10
1
2
3
i
PV
PMT
1,50 27.666,55 -3.000,00
4
5
FV
0,00
6
7
8
9 Mês 10
- PV das 10 prestações mensais
- PV das intermediárias = $50.000,00 - $27666,55 = $22.333,45
n
i
PV
PMT
FV
- PV das 2 intermediárias para X= $1,00
7 1,50 0,9010268
0,00
-1,00 X= $22.333,45 / 1,8573438 =
3 1,50 0,9563170
0,00
-1,00
= $12.024,40
Soma 1,8573438
EXERCÍCIOS
- Determinar o valor da prestação mensal do fluxo de caixa indicado a seguir,
para uma taxa efetiva de 1,2% ao mês.
PV = $10.000,00
$3.000,00
$3.000,00
X=?
X =?
Mês
0
n
6
12
PV
n
11
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
i
PV
PMT
FV
- PV das parcelas semestrais
1,20 2.792,79
0,00
-3.000,00
1,20 2.599,89
0,00
-3.000,00
Soma 5.392,68
das parcelas mensais: = $10.000,00 - $5.392,68 = $4.607,32
i
PV
PMT
FV
- PV de 10 parcelas para X = $1,00
1,20 10,24751
-1,00
0,00
X = $4.607,32 / 9,31658 =
1,20 -0,93093
0,00
1,00
= $ 494,53
Soma 9,31658
FLUXOS DE CAIXA MÚLTIPLOS
Até agora temos considerado problemas que envolvem
apenas um único fluxo de caixa, também chamado de
pagamentos simples, isto é, restringimos a nossa atenção
ao valor futuro de uma única quantia no presente ou o
valor presente de um único fluxo de caixa futuro.
Obviamente, isso limita bastante. Afinal de contas, a
maioria dos investimentos do mundo real envolve muitos
fluxos de caixa ao longo do tempo.
Quando existirem muitos pagamentos, você ouvirá as
pessoas de negócios se referirem a uma série de fluxos de
caixa.
FLUXOS DE CAIXA MÚLTIPLOS
Imagine que você espera comprar um computador em 2 anos depositando
hoje numa aplicação que paga 8% a.a. de juros, o valor de $1.200, e
outros $ 1.400 daqui a 1 ano. Quanto você deverá gastar no
computador nesses dois anos?
Essas figuras de linha do tempo são muito úteis para resolver problemas
complexos. Toda vez que você encontrar dificuldades com um
problema, desenhe a linha do tempo, que geralmente lhe ajudará a
entender o que está passando.
EXERCÍCIOS
1. Suponhamos que a compra do computador possa ser adiada por mais 1 ano e que você
consiga fazer um terceiro depósito de $ 1.000 no final do segundo ano. Quanto estará
disponível para gastar de agora a 3 anos? Resp: $ 4.224,61
2. Você acha que será capaz de depositar $ 4.000 ao final de cada um dos três próximos
anos em uma aplicação bancária que rende 8% de juros. Atualmente, você possui $
7.000 nessa aplicação. Quanto você terá em três anos? E em quatro? Resp: $ 21.803,58
e $23.547,87
3. Considere um investimento de $ 2.000 ao final de cada ano durante os próximos cinco
anos. O saldo atual é zero e a taxa é de 10% a.a. Calcule o valor futuro deste
investimento, desenhando a linha do tempo.
4. Se você aplicar $ 100 daqui a um ano, $ 200 daqui a dois anos e $ 300 daqui a três anos,
quanto você terá em três anos? Quanto deste montante é representado por juros?
Quanto você terá em cinco anos se não realizar nenhuma aplicação adicional? Suponha
uma taxa de juros igual a 7% durante o período. Resp: $ 628,49; $ 28,49; $ 719,56
5. Monte todos estes exercícios anteriores numa planilha Excel e resolva-os por meio dela.
Matemática
Financeira
Matemática Financeira
Módulo F
Coeficiente de Financiamentos
É muito comum quando compramos à prestação, ou fazemos qualquer tipo de
financiamento, surgir um fator financeiro constante que, ao multiplicar-se
pelo valor presente do financiamento, apura as prestações.
Financiamento x Coeficiente Financeiro = Prestações
O coeficiente financeiro nada mais é do que o inverso do fator de valor
presente.
– Ele é muito utilizado no CDC – Crédito Direto ao Consumidor, no
Arrendamento Mercantil (Leasing), financiamento de veículos e de
eletrodomésticos.
• Se quisermos encontrar o coeficiente de financiamento na HP-12C,
fazemos assim:
1 CHS PV
Taxa i
Nn
Coeficiente de Financiamentos
EXEMPLO
Admita que uma instituição financeira divulgue que seu coeficiente financeiro
a ser liquidado em 6 prestações mensais, iguais e sucessivas, atinge
0,189346 (seis casas decimais, geralmente).
a. Qual o valor das prestações de um financiamento de $ 16.000?
b. Qual a taxa de juros?
Solução
Financiamento x Coeficiente Financeiro = Prestações
a. PMT = 16.000 x 0,189346 = 3.029,54
b. .... 3,77% a.m.
16000 CHS PV
3029,54 PMT
6n
Encontrar i
Coeficiente de Financiamentos
EXERCÍCIOS
1. Construir o coeficiente de financiamento de um contrato envolvendo
15 prestações mensais, iguais e sucessivas, a uma taxa de juros de
3,5% a.m.
Resp: 0,086825
2. Uma empresa está avaliando o custo de determinado financiamento.
Para tanto, identificou as seguintes condições em dois bancos:
a. Coeficiente = 0,119153, pagamento = 10 prestações mensais, iguais e
sucessivas
b. Coeficiente = 0,307932, pagamento = 4 prestações, trimestrais, iguais
e sucessivas.
Determinar a proposta que apresenta o menor custo mensal.
Coeficiente de Financiamentos
Perpetuidades
Esta série ou anuidade se chama assim porque os fluxos de caixa são
perpétuos.
Por esta razão, obviamente, não podemos avaliá-las descontando todos
os fluxos de caixa e nem tão pouco aplicando a fórmula diretamente.
Felizmente, a avaliação é extremamente simples, e isto pode ser visto
com um pouquinho de matemática.
No caso de uma perpetuidade, temos:
Coeficiente de Financiamentos
Perpetuidades – Exemplo:
Suponha que a Fellini Co. queira emitir ações preferenciais a um preço de $100 por ação.
Uma emissão, já realizada, muito semelhante de ações preferenciais obteve um preço de
$40 por ação, mediante uma oferta de dividendos trimestrais de $ 1.
Qual é o dividendo que a Fellini deveria oferecer, se suas ações preferenciais
fossem emitidas?
Solução
A emissão que já ocorreu possui um valor presente de $ 40 e um fluxo de caixa
trimestral de $ 1 para sempre. Como é uma perpetuidade:
VP = PGTO
i
i= 1.
40
i = 0,025 * 100 = 2,5% a.t.
.
Para ser competitiva, a nova emissão da Fellini também deverá oferecer um rendimento
trimestral de 2,5%; portanto, para que o valor presente seja $ 100, os dividendos
precisam ser iguais a $ 2,5 por trimestre.
• Atividade
Resolver Estudo de Caso – material do programa deste módulo
Sistemas de Financiamento
Sistema de Amortização Americano
Sistema de Amortização Francês ou
Tabela Price (TP)
Sistema de Amortização Constante
(SAC)
Sistemas de Financiamento
Nem sempre as empresas possuem capital próprio
para investir em um dado projeto Oportunidades
não esperarão que a empresa poupe o suficiente
para investir.
Como consequência, as empresas terão de lançar
mão de empréstimos.
Debate sobre o texto Sistemas de Amortização
SISTEMA AMERICANO
Por esse sistema, o devedor paga os juros periodicamente; o
valor emprestado é pago no final do prazo estipulado para o
empréstimo.
Chamando de VP o valor emprestado à taxa i, os juros pagos
em cada período são iguais e calculados como:
Juros = VP . i
Terminado o prazo, o devedor, no último pagamento, além
dos juros, paga o capital emprestado (VP).
SISTEMA AMERICANO
•EXEMPLO
•Considere, ainda, o mesmo empréstimo de R$ 100.000,00 feito à taxa de
10% a.m., pelo prazo de quatro meses. Qual será o desembolso mensal de
devedor se o empréstimo for feito pelo Sistema Americano com juros pagos
mensalmente?
n
Pagamento
0
Juros
Amortização
Saldo Devedor
10.000
-
100.000
1
10.000
10.000
-
100.000
2
10.000
10.000
-
100.000
3
10.000
10.000
-
100.000
4
110.000
-
-
-
Nos três primeiros meses o desembolso foi de R$ 10.000,00,
correspondentes aos pagamentos dos juros. No quarto mês, seu desembolso
foi de R$110.000,00, sendo R$10.000,00 correspondentes aos juros e R$
100.000,00 para saldar a dívida.
SISTEMA AMERICANO
•EXEMPLO
• Considere, ainda, o mesmo empréstimo de R$ 100.000,00 feito à taxa de
10% a.m., pelo prazo de quatro meses. Qual será o desembolso mensal de
devedor se o empréstimo for feito pelo Sistema Americano com juros pagos
mensalmente?
n
Pagamento
0
Juros
Amortização
Saldo Devedor
10.000
-
100.000
1
10.000
10.000
-
100.000
2
10.000
10.000
-
100.000
3
10.000
10.000
-
100.000
4
110.000
-
-
-
Nos três primeiros meses o desembolso foi de R$ 10.000,00,
correspondentes aos pagamentos dos juros. No quarto mês, seu desembolso
foi de R$110.000,00, sendo R$10.000,00 correspondentes aos juros e R$
100.000,00 para saldar a dívida.
Tabela Price
SISTEMA PRICE, FRANCÊS OU DE PRESTAÇÕES CONSTANTES
Por esse sistema, o devedor paga o empréstimo em prestações iguais
imediatas, incluindo, em cada uma, uma amortização parcial do
empréstimo e os juros sobre o saldo devedor.
O número de prestações varia em cada contrato. Suponha-se o
empréstimo VP, feito à taxa i para ser pago em n prestações, pelo
sistema PRICE
- Método mais empregado no Brasil
- Pagamento em Parcelas Constantes
- Cálculo da Parcela:
- Expressão da Série Anual Uniforme
PMT = PV (( i  (1+i)n ) / ((1+i)n – 1))
Tabela Price
•EXEMPLO
• Considerando, ainda, o mesmo empréstimo de R$ 100.0000,00, feito à
taxa de 10% a.m., por quatro meses, agora devendo ser pago no Sistema
PRICE, determinar o pagamento mensal e fazer um demonstrativo do
estado da dívida nesses quatro meses.
n
Pagamento
0
Juros
Amortização
Saldo Devedor
-
-
100.000,00
1
31.547,08
10.000,00
21.547,08
78.452,91
2
31.547,08
7.845,29
23.701,79
54.751,13
3
31.547,08
5.475,11
26.071,97
28.679,16
4
31.547,08
2.867,92
28.679,16
-
Pode-se observar que os juros são cada vez menores, uma vez que
são calculados sobre o saldo devedor que é cada vez menor.
Consequentemente, as amortizações são cada vez maiores para
que, somadas aos juros, totalizem prestações iguais.
Sistema de Amortização Constante - SAC
Pelo fato de a amortização ser constante, a série de
pagamentos não é uniforme!
O seguinte procedimento é tomado:
Calculam-se inicialmente as amortizações:
Amort = PV / n
Calcula-se o saldo devedor em todos os anos
SD = PV - Amort
Calcula-se os juros, sobre o saldo devedor:
Juros = PV . i
Sistema de Amortização Constante - SAC
Considerando, mais uma vez, o mesmo empréstimo de
R$100.0000,00, feito à taxa de 10% a.m., por quatro meses, agora
devendo ser pago no sistema SAC, fazer um demonstrativo do
estado da dívida nesses quatro meses.
n
Pagamento
0
Juros
Amortização
Saldo Devedor
-
-
100.000,00
1
35.000,00
10.000,00
25.000,00
75.000,00
2
32.500,00
7.500,00
25.000,00
50.000,00
3
30.000,00
5.000,00
25.000,00
25.000,00
4
27.500,00
2.500,0
25.000,00
-
Pode-se observar que os juros são cada vez menores, uma vez que
são calculados sobre o saldo devedor que é cada vez menor.
Consequentemente, as amortizações sendo iguais, que somadas
aos juros, totalizem prestações decrescentes.
Carência
Acordo entre tomador de empréstimo e financiador, habilitando que,
durante um certo período de tempo, apenas os juros sejam cobrados,
sem pagamento de amortização.
Quando se atinge o fim da carência, o empréstimo é quitado através de
algum método pré-determinado dois tipos de carência são abordados:
Caso 1 - Durante o prazo de carência, apenas os juros sobre o principal
são devidos
Caso 2 - Durante o prazo de carência, não há pagamento nenhum; nem
de juros sobre o saldo devedor, nem de amortização do principal.
Dessa forma, os juros são somados ao saldo devedor, resultando um
saldo devedor maior.
Carência
Financiamento de 60% do valor total de um investimento, no valor de
R$ 10 milhões, prazo total de 10 anos, com 2 anos de carência, a
juros de 10% ao ano.
Fazer a projeção do financiamento utilizando-se o método Francês
(Tabela Price) para os casos 1 e 2, anteriormente citados.
Nos dois primeiros anos, há apenas pagamento de juros do principal,
de R$ 10.000.000,00 . (10%) = R$ 1.000.000,00
Tabela Price (em $000)
(A)
Parcela
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Totais
(B)
Pgto.
(C)
Juros
(D)
Amort
(E)
Acum
(F)
Saldo
R$ 1.000,00
R$ 1.000,00
R$ 0,00
R$ 0,00
R$ 10.000,00
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$ 1.000,00
R$ 1.000,00
R$ 912,56
R$ 816,37
R$ 710,56
R$ 594,17
R$ 466,15
R$ 325,32
R$ 170,40
R$ 0,00
R$ 874,44
R$ 961,88
R$ 1.058,07
R$ 1.163,88
R$ 1.280,27
R$ 1.408,29
R$ 1.549,12
R$ 1.704,04
R$ 0,00
R$ 874,44
R$ 1.836,32
R$ 2.894,40
R$ 4.058,28
R$ 5.338,54
R$ 6.746,84
R$ 8.295,96
R$ 10.000,00
R$ 10.000,00
R$ 9.125,56
R$ 8.163,68
R$ 7.105,60
R$ 5.941,72
R$ 4.661,46
R$ 3.253,16
R$ 1.704,04
R$ 0,00
1.000,00
1.874,44
1.874,44
1.874,44
1.874,44
1.874,44
1.874,44
1.874,44
1.874,44
R$ 16.995,52
R$ 6.995,52
R$ 10.000,00
Como há ausência de pagamentos de juros nos dois primeiros anos,
estes são incorporados ao principal.
Utilizando-se a fórmula (10) encontra-se Saldo (F) = 12,1 milhões
A partir daí, a resolução é exatamente igual à anterior, obtendo-se a
tabela:
Tabela Price
(A)
Parcela
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Totais
(B)
Pgto
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$ 0,00
R$ 0,00
2.268,07
2.268,07
2.268,07
2.268,07
2.268,07
2.268,07
2.268,07
2.268,07
R$ 18.144,58
(C)
Juros
R$ 0,00
R$ 0,00
R$ 1.210,00
R$ 1.104,19
R$ 987,80
R$ 859,78
R$ 718,95
R$ 564,04
R$ 393,63
R$ 206,19
R$ 6.044,58
(Em $000)
(D)
Amort
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$
R$ 0,00
R$ 0,00
1.058,07
1.163,88
1.280,27
1.408,29
1.549,12
1.704,04
1.874,44
2.061,88
R$ 12.100,00
(E)
Acum
R$ 0,00
R$ 0,00
R$ 1.058,07
R$ 2.221,95
R$ 3.502,22
R$ 4.910,51
R$ 6.459,64
R$ 8.163,68
R$ 10.038,12
R$ 12.100,00
(F)
Saldo
R$ 11.000,00
R$ 12.100,00
R$ 11.041,93
R$ 9.878,05
R$ 8.597,78
R$ 7.189,49
R$ 5.640,36
R$ 3.936,32
R$ 2.061,88
R$ 0,00
Exercícios
Principal : $ 1.000,00
PlaNO
A
B
C
D
Forma de
Pagamento
No Final
Juros Anuais
"PRICE"
S.A.C.
Taxa de Juros : 8% a.a.
Total
Pago
($)
1.360,49
1.320,00
1.207,68
1.200,00
Receitas de
Reaplicações
(8 % a.a.)
0,00
40,49
152,81
160,49
Prazo : 4 Anos
Montante
Acumulado
Final do 4º Ano
1.360,49
1.360,49
1.360,49
1.360,49
Matemática
Financeira
Matemática Financeira
Módulo G
Valor presente, Equivalência e Taxa
Interna de Retorno
• Objetivos:
– Discutir os principais aspectos relacionados
às séries não uniformes
– Avaliação de séries com base em:
• VPL
• TIR
Valor presente Líquido (VPL), e
Taxa Interna de Retorno (TIR)
• Basicamente, toda operação financeira é representada em
termos de fluxos de caixa, ou seja, em fluxos futuros
esperados de recebimentos e pagamentos de caixa . A
avaliação desses fluxos consiste, em essência, na
comparação dos valores presentes, calculados segundo o
regime de juros compostos a partir de uma dada taxa de
juros, das saídas e entradas de caixa .Como consideração
ao conceito do valor do dinheiro no tempo, raciocínio
básico
da
matemática
financeira,
coloca-se
como
fundamental avaliar como adequados os métodos que
considerem o fluxo de caixa descontado e que são, a
saber, a Taxa Interna de Retorno (TIR) e Valor Presente
Líquido (VPL) .
Valor presente Líquido (VPL)
• O método do Valor Presente Líquido (VPL) para
análise dos fluxos de caixa é obtido pela
diferença entre o valor presente dos benefícios
(ou pagamentos) previstos de caixa, e o valor
presente do fluxo de caixa inicial (valor do
investimento,
do
empréstimo
ou
do
financiamento) .
• Podemos inferir que o critério de decisão do
método do VPL é : “ toda vez que o VPL for
igual ou superior a zero, o investimento pode
ser aceito ; no caso contrário, deverá ser
rejeitado” .
Taxa Interna de Retorno (TIR)
• A Taxa Interna de Retorno (TIR) é a taxa de juros
(desconto) que iguala, em determinado momento do
tempo, o valor presente das entradas (recebimentos)
com o das saídas (pagamentos) previstas de caixa .
• Geralmente, adota-se a data de início da operação
(data zero) como a data focal de comparação dos
fluxos de caixa .
• Esta data representa a saída de caixa ou valor do
investimento, ou empréstimo ou
financiamento . O
demais fluxos serão os de retorno ou recebimentos
devidos .
Taxa Interna de Retorno - (IRR)
É a taxa de desconto ( i ) que anula o valor presente líquido (NPV) do fluxo de
caixa e corresponde a uma das raízes de um polinômio de grau n.
FLUXO DE CAIXA
CF0 CF1 CF2
CFn
VALOR
…
PERÍODO
0
1
2
…
n
NPV ( i ) = CF0 + CF1 / (1+ i ) + CF2 / ( 1+ i )2 + … + CFn / ( 1 + i )n
Para x = 1 / ( 1 + i ) obtém-se:
2
n
NPV ( IRR ) = CF0 + CF1 . x + CF2 . x + … + CFn . x = 0
O número de raízes reais positivas de um polinômio de grau n é, no
máximo, igual ao número de inversões de sinal dos seus coeficientes
(regra de sinal de Descartes).
Exercícios 1 e 2
-
Considerar o fluxo de caixa a seguir e determinar:
valor presente líquido (NPV) para 8%, 10% e 12% a.a.;
taxa interna de retorno (IRR).
Fluxo de Caixa
Mês
$
0
-100,00
1
0,00
2
121,00
(-) $100,00
(+) $121,00
NPV = (+) 3,74
(+) $103,74
Anos
0
1
2
- PV para 8% a.a.
n
2
i
8,00
PV
103,74
PMT
FV NPV (8%) = (-)$100,00 + $103,74 =
0,00 -121,00
= (+) $3,74
Exercícios 1 e 2
- PV para 12% a.a.
n
2
i
12,00
PV
96,46
PMT
0,00
FV
-121,00
NPV (12%) = (-)$100,00 + $96,46 =
= (-) $3,54
PMT
0,00
FV
NPV (10%) = (-)$100,00 + $100,00 =
-121,00
= $,0,00
PMT
0,00
FV
TAXA INTERNA DE RETORNO
121,00 10,00% a.a.
- PV para 10% a.a.
n
2
i
10,00
PV
100,00
- Taxa interna de retorno
n
2
i
10,00
PV
-100,00
25
Taxa
%a.a.
0%
8%
10%
12%
NPV
($)
21,00
3,74
0,00
(3,54)
NPV ($)
20
IRR (10,0 %)
15
10
5
0
-5 0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
i (% a.a.)
Exercícios 1 e 2
Fluxo de Caixa
Mês
$
0
-100,00
1
0,00
2
121,00
- PV para 12% a.a.
n
i
PV
2
12,00
96,46
- PV para 10% a.a.
n
i
PV
2
10,00
100,00
- Taxa interna de retorno
n
i
PV
2
10,00
-100,00
(-) 100,00
0
(+)$121,00
1
2
Anos
PMT
0,00
FV
NPV (12%) = (-)$100,00 + $96,46 =
-121,00
= (-) $3,54
PMT
0,00
FV
NPV (10%) = (-)$100,00 + $100,00 =
-121,00
= $,0,00
PMT
0,00
FV Taxa Interna de Retorno
121,00 10,00% a.a.
Exercícios 1 e 2
Fluxo de Caixa
Mês
$
0
1
2
-100,00
0,00
121,00
Taxa NPV
%a.a.
($)
0% 21,00
8%
3,74
10% 0,00
12% (3,54)
(+)$121,00
(-) 100,00
Anos
0
25
1
2
NPV ($)
20
IRR (10,0 %)
15
10
5
0
-5 0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
i (% a.a.)
Exercícios 3 e 4
Considerar os fluxos de caixa indicados a seguir:
MÊS
VALOR ($)
MÊS VALOR ($)
0
(1000,00)
0
(1000,00)
1
260,00
1
260,00
Investimento
2
260,00
2
260,00 Financiamento
3
260,00
3
260,00
4
260,00
4
260,00
Soma
40,00
Soma
40,00
- PV para 1% a.m. (Investimento)
n
i
PV
PMT
FV
NPV ( 1% ) = (-)$1.000,00 + $1.014,51=
4
1,00
1.014,51
-260,00
0,00
=(+) $14,51
- PV para 2% a.m. (Investimento)
n
i
PV
PMT
FV
NPV ( 2 % ) = (-)$1.000,00 + $990,01=
4
2,00
990,01
-260,00
0,00
=(-) $9,99
- Taxa Interna de Retorno
n
i
PV
PMT
FV
Taxa Interna de Retorno
4
1,59 -1.000,00
260,00
0,00
1,5875% a.m.
Investimento
Mês
Valor ($)
0
(1000,00)
1
260,00
2
260,00
3
260,00
4
260,00
Soma
40,00
Taxa
% a.m.
0%
1%
2%
NPV
Invest.
40,00
14,51
(9,99)
($)
Financ.
(40,00)
(14,51)
11,50
Financiamento
Mês
Valor ($)
0
1000,00
1
(260,00)
2
(260,00)
3
(260,00)
4
(260,00)
Soma
(40,00)
NPV ($)
50
INVESTIMENTO
IRR (1,5875%)
30
10
-100,0%
0,5%
1,0%
1,5%
2,5%
i ( % A.M. )
-30
-50
2,0%
FINANCIAMENTO
Ano
0
1
2
3
4
5
Soma
Fluxo de
Caixa
(11.500,00)
2.350,00
1.390,00
3.350,00
4.275,00
5.350,00
5.215,00
IRR
11,54%
(Excel)
Desconto das parcelas com 10% a.a.
n
i
PV
PMT
FV
0 10,00 -11.500,00
0,00 11.500,00
1 10,00 2.136,36
0,00 -2.350,00
2 10,00 1.148,76
0,00 -1.390,00
3 10,00 2.516,90
0,00 -3.350,00
4 10,00 2.919,88
0,00 -4.275,00
5 10,00 3.321,93
0,00 -5.350,00
Soma
543,84
NPV
543,84
(Excel)
Ano Fluxo de
Caixa
0
1
2
3
4
5
(11.500,00)
2.350,00
1.390,00
3.350,00
4.275,00
5.350,00
Soma 5.215,00
Taxa (% a.a.)
NPV
0%
5.215,00
4%
3.074,48
6%
2.150,83
8%
1.310,34
10%
543,84
12%
(156,65)
1000000% (11.499,77)
IRR
11,54%
6.000
NPV ($)
5.000
IRR = 11,54%
4.000
3.000
2.000
1.000
0
-1.000 0%
2%
4%
6%
8%
Taxa (% a.a.)
10% 12%
Valor Presente Líquido (NPV) Taxa
Interna de Retorno (IRR)
Ano
0
1
2
3
4
5
Soma
Fluxo de
Caixa
(11.500,00)
2.350,00
1.390,00
3.350,00
4.275,00
5.350,00
5215,00
IRR
11,54%
(Excel)
SOLUÇÃO COM A HP-12 C -TECLAS CFO, CFj
11500 CHS
2350
1390
3350
4275
f
g
g
g
g
g
REG
CF0
CFj
CFj
CFj
CFj
5350
g
CFj
0
10
12
i
i
i
f NPV
f NPV
f NPV
f IRR
11,54%
$5.215,00
$543,84
- $156,65
Valor Presente Líquido (NPV) Taxa
Interna de Retorno (IRR)
Ano
0
1
2
3
4
5
6
Soma
Fluxo de
Caixa
(40.000,00)
3.500,00
7.500,00
7.500,00
7.500,00
15.000,00
15.000,00
16.000,00
IRR
8,53%
(Excel)
Desconto das parcelas com 8% a.a.
n
i
PV
PMT
FV
0 8,00 -40.000,00
0,00
40.000,00
1 8,00 3.240,74
0,00
-3.500,00
2 8,00 6.430,04
0,00
-7.500,00
3 8,00 5.953,74
0,00
-7.500,00
4 8,00 5.512,72
0,00
-7.500,00
5 8,00 10.208,75
0,00
-15.000,00
6 8,00 9.452,54
0,00
-15.000,00
Soma
798,54
NPV
798,54
(Excel)
Valor Presente Líquido (NPV) Taxa
Interna de Retorno (IRR)
Ano
0
1
2
3
Fluxo de
Caixa
(40.000,00)
3.500,00
7.500,00
7.500,00
4
5
6
7.500,00
15.000,00
15.000,00
Soma 16.000,00
Taxa (% a.a.)
NPV
0%
16.000,00
20.000
4%
5%
6%
7%
8%
9%
15.000
1000000%
7.561,68
5.731,23
3.997,99
2.355,69
798,54
-678,84
-39.999,65
IRR
8,53%
NPV ( $ )
IRR = 8,53 % a.a.
10.000
5.000
0
0%
2%
4%
6%
-5.000
Taxa (% a.a.)
8%
Valor Presente Líquido (NPV) Taxa
Interna de Retorno (IRR)
Ano
0
1
2
3
4
5
6
Soma
Fluxo de
Caixa
(40.000,00)
3.500,00
7.500,00
7.500,00
7.500,00
15.000,00
15.000,00
16.000,00
IRR
8,53%
(Excel)
SOLUÇÃO COM HP12C - TECLAS CFO, CFj
40000 CHS
3500
7500
3
15000
2
f
CHS g
g
g
g
g
g
REG
CF0
CFj
CFj
Nj
CFj
Nj
0
8
9
e
Nj
i
i
i
f NPV
f NPV
f NPV
f IRR
8,53%
$16.000,00
$798,54
- $678,84
Valor Presente Líquido (NPV) Taxa Interna
de Retorno (IRR)
Datas
Dias
Mês
Valores
GRÁFICO DO NPV x TAXA DE DESCONTO
($)
1/mar
-
0
(20.600,00)
31/mar
30
1
7.000,00
30/abr
60
2
7.000,00
30/mai
90
3
7.000,00
Soma
400,00
Taxa de Desconto
NPV
% a.m.
% a.a.
XNPV
0%
0,00%
400,00
0,71082%
9,00%
104,95
0,93582%
12,00%
13,00
1,15535%
15,00%
-76,06
500
NPV ($)
400
IRR ( 12,432 %a.a. )
300
200
100
0
0,0%
-100
3,0%
6,0%
9,0%
12,0%
Taxa (% a. a.)
15,0%