UNIVERSIDADE GAMA FILHO
PROCET – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
Disciplina de Controle II
Prof. MC. Leonardo Gonsioroski da Silva
Controladores PID
 Controlador Proporcional
 Controlador PI
A Relação entre a saída e o sinal de
erro e(t) é dada pelo ganho Kp
Onde Kp é denominado
Sensibilidade proporcional
ou ganho
Onde:
Kp é o ganho Proporcional
Ti é o Tempo Integral.
(1/Ti - taxa de restabelecimento)
Controladores PID
 Controlador PD
Onde:
Kp é o ganho Proporcional
Td é o Tempo Derivativo.
 Controlador PID
Onde:
Kp é o ganho Proporcional
Ti é o Tempo Integral.
(1/Ti - taxa de restabelecimento)
Td é o Tempo Derivativo.
Controladores PID
Controladores PID
Mais da metade dos controladores industriais em uso atualmente empregam
esquemas de Controle PID.
A popularidade dos controladores PID pode ser atribuída parcialmente ao seu
desempenho robusto sobre uma grande faixa de condições operacionais e a sua
simplicidade operacional.
Para se implementar um Controlador PID, três parâmetros devem ser
determinados:
o Ganho Proporcional Kp
o Ganho Integral Ki
o Ganho Derivativo Kd
 O processo de selecionar os Parâmetros do Controlador que garantam uma dada
especificação de desempenho é conhecido como Sintonia do Controlador.
Controladores PID
 Seja o sistema:
Controladores PID
Características das Ações Proporcional, Integral e Derivativa
O controle proporcional atua na resposta transitória do sistema de forma a diminuir
o tempo de subida (tr), diminuindo adicionalmente o erro de regime permanente.
 O controlador integral elimina por completo o erro de regime permanente, mas
pode piorar a resposta transitória do sistema.
 A ação derivativa tem o efeito de aumentar a estabilidade do sistema, reduzindo o
sobre-sinal e o tempo de estabilidade, com isso melhorando a resposta transitória.
Note que o efeito final na variável saída do sistema, que é ocasionado pela conjunção destas ações de
controle, pode não seguir exatamente as especificações observadas na Tabela. Por esta razão, esta tabela
deverá ser empregada somente como um guia rápido de referência, ficando os ajustes finais do controlador
ao encargo do projetista.
Controladores PID
Sintonização de Controladores PID
Não
Método de
Tentativa
e
Ziegler-Nichols
Erro?
O Modelo do
Processo é
Disponível?
Sim
Não
Otimização
Numérica
O Modelo do
Processo é
Linear e
Invariante no t?
Sim
Bode
Root-Locus
Espaço de Estados
Controladores PID
Índices de Desempenho
 Um índice de desempenho pode ser calculado e usado para se medir o
desempenho de um sistema.
 Essa medida quantitativa do desempenho de um sistema é necessária para a
operação e otimização de sistemas de controle, segundo especificações prédeterminadas em projeto.
 Um sistema para ser considerado “o melhor” deve ser tal que minimize o índice de
desempenho, que será um valor positivo ou nulo.
 Existem alguns índices de desempenho a saber:
a.
b.
c.
d.
ISE – Integral do Quadrado do Erro
IAE – Integral do Valor Absoluto
ITAE – Integral do Tempo multiplicado pelo Erro Absoluto
ITSE – Integral do Erro Multiplicado pelo Quadrado do Erro
Controladores PID
Índices de Desempenho
Um índice de desempenho é uma medida quantitativa do desempenho de um
sistema e é escolhido de modo que seja colocada ênfase nas especificações
consideradas importantes do sistema
Controladores PID
Controladores PID
Estas curvas mostram a seletividade do Índice de Desempenho ITAE em
comparação com o ISE e ITSE.
 O valor mínimo da relação de amortecimento com base no índice ITAE é de 0,7,
que para um sistema de segunda ordem resulta em uma resposta rápida ao degrau
com um Máximo de sobre sinal de 4,6%.
Controladores PID
Os coeficientes que minimizarão o critério de desempenho ITAE para uma entrada
em degrau foram determinados para a função de transferência de malha fechada
genérica da seguinte forma:
 Esta função possui erro estacionário nulo para uma entrada em degrau.
 Os coeficientes ótimos para o critério ITAE são dados na seguinte tabela:
Controladores PID
Método da Otimização
 Para usar este método parte do pressuposto que os modelos matemáticos da
planta são conhecidos e portanto podemos analiticamente encontrar a função de
transferência do sistema.
 Esse método usa o índice de desempenho ITAE e os coeficientes ótimos resultantes
dele para uma entrada ao degrau ou em rampa (Ver Dorf pag.205).
 Os Parâmetros escolhidos são tais que minimizam o índice de desempenho ITAE.
 O procedimento de Projeto consiste nos 3 passos a seguir:
1.
2.
3.
Selecionar ωn do sistema em malha fechada especificando o tempo de acomodação.
2. Determinar os 3 coeficientes usando a equação ótima apropriada e o valor de ωn
encontrado.
Usar um filtro que faça com que a função de transferência de malha fechada não
tenha zeros.
Controladores PID
Exemplo
 Considere um controlador de temperatura com um sistema de controle da
seguinte forma:
Onde
G( s ) 
1
( s  1 )2
Se Gc(s)=1, o erro estacionário é 50% e o tempo de acomodação (2%) é de 4
segundos. Para uma entrada em degrau.
Deseja-se obter um desempenho ITAE ótimo para um degrau unitário e um tempo
de acomodação menor que 0,5 s, usando um controlador PID.
Controladores PID
Método de Ziegler-Nichols
 Ziegler e Nichols sugeriram regras para a sintonia de controladores PID baseadas
na resposta experimental ao degrau.
 Essas regras são muito úteis quando os modelos matemáticos são desconhecidos.
 Os resultados de Kp, Ki e Kd, são bem próximos do ideal, mas caso apresentem
valores de sobre sinal elevados, o operador deve realizar uma sintonia fina até que
um resultado aceitável seja alcançado.
 A partir dos estudos de Ziegler e Nichols, surgiram outras várias regras de sintonias
para controladores PID que podem ser conseguidas com fabricantes desse tipo de
controlador.
 Existem 2 metodos de regras de sintonia de Ziegler-Nichols
Controladores PID
Método da Curva de Reação
 Esse método se aplica se a curva da resposta da planta a uma entrada em degrau tiver
o aspecto de uma letra S.
 Isso ocorrerá se a planta não possuir integradores nem pólos complexos dominantes.
Atraso de Transporte
Controladores PID
 Ziegler e Nichols sugeriram escolher valores de Kp, Ki e Kd de acordo com a fórmula
que aparece na tabela abaixo.
 Note que o controlador sintonizado por este método fornece:
O PID tem um pólo na origem e
zeros duplos em -1/L
Controladores PID
Método do Limiar de Oscilação
 Neste método faremos inicialmente as constantes Ki = ∞, e Kd = 0, trabalhando apenas
com a ação de controle proporcional.
 Experimentalmente vamos aumentar o valor de Kp até que a resposta do sistema
apresente uma oscilação sustentada pela primeira vez. A esse valor de Kp daremos a
notação de Kcr (ganho crítico).
 O período da senóide encontrada será o nosso Pcr (período crítico).
Controladores PID
 Ziegler e Nichols sugeriram escolher valores de Kp, Ki e Kd de acordo com a fórmula
que aparece na tabela abaixo.
 Note que o controlador sintonizado por este método fornece:
O PID tem um pólo na origem e
zeros duplos em -4/Pcr
Controladores PID
Ziegler-Nichols
Método do Limiar de Oscilação:
Método da Curva de Reação:
h(t)
PID em Manual
Pc
h(t)
K
t
t
Oscilação com Kp = Kc
L
T
KP
KI
KD
P
0.5 Kc
0
0
0
PI
0.45Kc
1.2/Pc
0
0.5L
PID
0.6Kc
2/Pc
0.125Pc
KP
KI
KD
P
T/L
0
0
PI
0.9 T/L
0.3/L
PID
1.2 T/L
0.5/L
Controladores PID
Exemplo
 Considere o sistema de controle mostrado na figura, no qual um PID é utilizado
para controlar o sistema
O PID tem a seguinte função de Transferência
Obtenha a curva de resposta ao degrau unitário e verifique se o sistema projetado
exibe aproximadamente 25% de máximo sobre-sinal. Se o Mp for maior que 40%, faça
uma sintonia fina e reduza para Mp = 25%.
Controladores PID
Solução
 Como a planta tem um integrador, vamos utilizar o segundo método de Zigler e
Nichols, o método do limiar de oscilação.
Portanto fazendo Ki = ∞, e Kd = 0, obtemos a seguinte função de trsnferência de malha
fechada.
A equação característica dessa função de transferência é:
Pela análise de Routh podemos saber o valor de Kcr.
Controladores PID
Portanto a equação característica para Kcr é:
Fazendo s=jw temos:
Donde tiramos que:
Portanto:
Pela regra de ziegler-Nichols, encontramos portanto os valores de Kp, Ki e Kd :
Controladores PID
Substituindo na função de transferência de um controlador PID temos:
Verificamos que o controlador PID tem um pólo na origem e um zero duplo em s = -1,4235
Controladores PID
Para encontrarmos a resposta ao degrau unitário, fechamos a malha e jogamos a função
de transferência de malha fechada no MATLAB.
Máximo de sobre sinal
em torno de 62%
Controladores PID
Fazendo ajustes finos podemos chegar a resposta desejada.
Máximo de sobre sinal
Menor que 25%