Vectores e Matrizes
Aplicações à Engenharia
Pedro Barahona
DI/FCT/UNL
Introdução aos Computadores e à Programação
2º Semestre 2007/2008
Tipo de Dados Primitivo: a Matriz
•
Ao contrário da generalidade das linguagens de
programação, o Octave / MATLAB assume a matriz
como o tipo básica de uma variável.
>> V = 5
>> V(1)
ans = 5
•
Por exemplo, ao se fazer a atribuição de um valor a uma
variável V, “simples”, o Octave está de facto a atribuir
esse valor a todos os elementos de uma matriz com uma
linha e uma coluna.
>> V(1,1)
ans = 5
•
Para obtermos a dimensão de uma variável X, quer seja
simples, vector ou matriz, podemos usar as funções prédefinidas rows(X) e columns(X). No caso de vectores,
linha ou coluna, o número de colunas e linhas é
retornado pela função lenght(V).
>> X = 5
26 Março 2008
>> columns(X)
ans = 1
>> M = [1 ; 2];
>> cols(M)
ans = 2
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2
Matrizes
•
De facto, as funções aplicáveis a uma variável “simples” são sempre distribuídas por
todos os elementos de uma matriz. Por exemplo, se a função logaritmo receber como
parâmetro um vector ou matriz, retorna uma estrutura idêntica como resultado.
>> V = [1,2, 4;8 16 32]
V =
1
2
4
8
16
32
>> X = log(V)/log(2)
X = 0
1
2
3
4
5
•
Naturalmente, esta atribuição pode ser feita elemento a elemento. Assim, sendo V a
anterior matriz, a instrução log(V)/log(2) é equivalente ao programa
for i = 1:rows(V)
for j = 1:columns(V)
X(i,j) = log(V(i,j))/log(2)
endfor
endfor
26 Março 2008
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3
União e Seleccção de Matrizes
•
O facto de a estrutura matriz ser uma primitiva da linguagem Octave permite que a
“formação” de matrizes seja feita não só a partir de elementos simples, como também
o seja a partir de vectores ou matrizes.
•
Assim, a partir de dois vectores 1*3, A = [1,2,3] e B = [4,5,6], pode constituir-se
% uma matriz de 2*3
>> C = [A;B]
C = 1
2
3
4
5
6
•
% um vector de 1*6
>> D = [A,B]
C = 1 2 3 4 5 6
Similarmente, a selecção de elementos de uma matriz não tem de ser feita elemento
a elemento, podendo ser seleccionadas submatrizes mais complexas . Por exemplo,
>> V = [1,2,3; 4 5 6; 7 8 9; 3 6 9]
V =
S
26 Março 2008
1
4
7
3
2
5
8
6
3
6
9
9
T
>> S = V(2:3, 1:2)
S = 4 5
7 8
>> T = V(:,2:3)
T = 2 3
5 6
8 9
6 9
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4
Selecção de Sub-Matrizes
•
De notar que esta selecção pode ser feita elemento a elemento, através de 2 ciclos
encadeados, havendo necessidade de proceder a uma conversão de índices. Para a
matriz anterior de 4*3, a instrução S = V(2:3, 1:2) é equivalente ao programa
for i = 1:rows(V)
for j = 1:columns(V)
if i >= 2 & i <= 3 & j >= 1 & j <= 2
s(i-1,j) = v(i,j)
endif
endfor
endfor
•
•
De notar a utilização de expresssões booleanas compostas, obtidas pela aplicação
de operadores booleanos (& - “e”, | - “ou” e ! – “não”) a relações de comparação
simples (==, >=, <=, >, <, !=).
1 2 3
V
De notar ainda a mudança de índices entre a matriz V e
4 5 6
a sua sub-matriz S: i(S) = i(V)+1; j(S) = j(V).
7 8 9
S
3 6 9
26 Março 2008
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5
Funções de Agregação sobre Vectores
•
Por vezes estamos interessados em conhecer propriedades do conjunto dos
elementos de um vector, tais como os seus máximo, mínimo ou soma.
•
Estes valores agregados podem ser calculados por funções que utilizam ciclos, em
que se vai alterando uma variável de acumulação. Por exemplo, para calcular o
máximo ou a média de um vector, podem utilizar-se as seguintes funções
function m = maximo(V);
m = -inf;
for j = 1:length(M)
m = max(m, V(j));
endfor
endfunction
function s = soma(V);
s = 0;
for j = 1:length(M)
s = s + V(j);
endfor
endfunction
•
Na realidade não é necessário definir estas funções, pois já existem predefinidas
as funções max(V), min(V), sum(V), prod(V), mean(X).
•
Estas e outras funções agregadas podem ser obtidas indirectamente, como é o
caso da média dos valores de um vector V: mean(X)= sum(V)/length(V).
26 Março 2008
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6
Soma de Vectores
•
Em geral, qualquer operação “” entre valores numéricos pode ser estendida a todos os
valores corespondentes de vectores e matrizes antecedendo o operador por um ponto,
i.e. através do operador “.”.
•
Desta forma a soma de dois vectores V1 e V2, que implementa a conhecida regra do
“paralelograma”, pode ser especificada através da operação
V = V1 .+ V2
•
Por ser a matriz um tipo de dados primitivo, e por estar definida a soma de matrizes, a
mesma operação pode ser, no caso da soma, ser especificada como
V = V1 + V2
que faz o “overload” do operador "+”.
V1
V
>> V1 = [5,4]
>> V2 = [7,-3]
>> V = V1 + V2
ans = [12 1]
V2
26 Março 2008
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7
Produto Interno de Vectores
•
Para além da soma de vectores, o produto interno de vectores é igualmente muito
utilizado em Engenharia, por exemplo, para determinação do ângulo entre dois
vectores e do módulo (valor absoluto, intensidade) de um vector.
•
Formalmente o produto interno entre dois vectores com o mesmo número de
elementos, A e B, (denotado por A  B) é a soma do produto de todos os elementos
correspondentes. Pode pois ser especificado pela função prod_int abaixo (que
pressupõe 2 vectores linha com o mesmo número de colunas)
function p = prod_int(V1, V2);
p = 0
for j = 1:columns(V1)
p = p + V1(j)* V2(j);
endfor
endfunction
•
Como será de esperar, este produto interno pode ser obtido directamente através da
composição das funções sum e o produto elemento a elemento, isto é
X = prod_int(V1,V2)
26 Março 2008
é equivalente a
X = sum( V1 .* V2)
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8
Médias Ponderadas
•
É muito vulgar pretender-se obter a média de um conjunto de valores, ponderada
pela sua “importância”. Por exemplo, a nota final é a média ponderada entre a nota
prática e a nota escrita (exame), sendo os pesos relativos, 25% e 75%,
respectivamente..
•
Como é sabido, a média de k valores, v1 .. vk, com pesos relativos p1 .. pk define-se
i n
i n
através da expressão
m  i 1 v(i ) * p(i ) / i 1 p(i )
•
Dados os vectores V e P, contendo respectivamente os valores e os pesos, a média
ponderada pode ser obtida através da função
function m = media_ponderada(V, P);
x = 0; s = 0;
for j = 1:columns(V)
x = x + V(j)* P(j); s = s + P(j)
endfor
m = x/s
endfunction
ou simplesmente através da expressão
26 Março 2008
m = sum(V .* P)/sum(P)
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9
Módulo e Ângulo entre Vectores
•
Para além da soma de vectores, o produto interno de vectores é igualmente muito
utilizado em Engenharia.
•
Por exemplo, o módulo de um vector A = [a1, a2, a3, ... , an], é definido como
|A| = (a12
+
a12+ ... an2)1/2
e portanto, a função vec_mod pode ser definida como
function p = mod_vec(V);
p = sqrt(prod_int(V,V))
endfunction
•
Para definir, na função ang_vec, o ângulo  entre dois vectores A e B, basta notar
que A  B = | A | | B | cos(), e portanto  = arccos(A  B / (| A | | B | )), donde
function a = ang_vec(V1,V2); % retorna ângulo em graus
M = prod_int(V1,V2))
cos = M /(mod_vec(V1) * mod_vec(V2))
a = acos(cos)*180/pi
endfunction
26 Março 2008
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Módulo e Ângulo entre Vectores
•
Exemplo: Um corpo é submetido a duas forças, F1 e F2.
– F1 = 2 ex -3 ey+ 4 ez
; F2 = 1 ex + 2 ey - 2 ez
Qual a intensidade (módulo) de cada uma das forças, qual o ângulo que essas forças
fazem entre si, e qual a força resultante, bem como a sua intensidade (Módulo).
F1 = [2 -3 4] , F2 = [1, 2, -2]
>> M1 = mod_vec(F1,F1), M2 = mod_vec(F2)
M1 = 5.3852
M2 = 3.0000
>> F
F =
= F1 + F2,
3
-1
M = mod_vec(F)
2
% vector [3 -1 2]
M = 3.7417
>> alfa = ang_vec(F1,F2)
% em graus
alfa = 137.97
26 Março 2008
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Filtros
•
Tipicamente, as expressões booleanas são usadas para decidir condições de entrada
e saída de execuções condicionais e/ou iterativas.
•
Na realidade, as expressões booleanas são avaliadas no conjunto {FALSE, TRUE}
que no Octave coincide com o conjunto {0,1} de valores numéricos, o que permite
trocar execuções condicionais por “filtros”.
•
Exemplo: Dado um valor numérico x, atribuir a y esse valor, caso seja maior que 5,
ou 0, no caso contrário.
Este problema pode ser resolvido através de (pelo menos) 2 maneiras distintas.
Execução
Condicional
26 Março 2008
if x > 5
y = x
else
y = 0
endif;
Filtro
y = x * (x > 5)
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Filtros em Vectores
•
A filtragem de elementos pode ser feita naturalmente para todos os elementos de um
vector, utilizando a extensão do operador de filtragem (geralmente a multiplicação, “*”)
pelo correspondenete para todos os elementos do vector (i.e. “.*).
•
Exemplo: Determinar a soma de todos os elementos de um vector que sejam pares
mas não múltiplos de 6.
1.
Começamos por definir as funções booleanas par e múltiplo de 6.
function p = div_2(x)
p = (rem(x,2) == 0)
endfunction;
2.
Function p = div_6(x)
p = (rem(x,6) == 0)
endfunction;
Podemos agora utilizá-las em expressões/filtros booleanos
function s = sum_esp(X)
p = sum(X .* (div_2(X) & !div_6(X))
endfunction;
26 Março 2008
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13
Matrizes
•
As operações descritas para vectores são na generalidade extensíveis a matrizes,
com várias linhas e colunas. Por exemplo,
–
a matriz A pode ser “dobrada” através da operação A*2
–
duas matrizes A e B com o mesmo número de linhas e colunas podem ser
somadas quer através da operação A+B quer através de A.+B.
•
Existem no entanto algumas diferenças nas operações de agregação (max, min, sum,
e prod) que não retornam os valores agregados de todos os elementos da matriz, mas
os agregados, coluna a coluna.
•
Assim para se obter os valores agregados de toda a matriz deverá repetir-se a
operação desejada, primeiro para agregação das colunas e depois para agregação da
linha resultante.
A = [ 1 2 3; 8 5 2];
>> sum(A)
ans = 9 7 5
>> sum(sum(A))
ans = 21
26 Março 2008
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Multiplicação de Matrizes
•
Sendo a matriz o tipo de dados primitivo, o Octave implementa, como operação
primitiva a multiplicação de matrizes. Dadas duas matrizes A e B, com dimensões m*k
e k*n, o resultado é uma matriz C de dimensões m*n com elementos
c(i, j )  l 1 a(i, l ) * b(l , j )
l k
•
Naturalmente, esta operação poderia ser igualmente obtida pela função mult_mat
function C = mult_mat(A,B)
for i = 1: rows(A)
for j = 1: columns(B)
C(i,j) = 0;
for h = 1: columns(A)
C(i,j) = C(i,j)+ A(i,h)*B(h,j);
endfor
endfor
endfor
endfunction
26 Março 2008
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Multiplicação de Matrizes
•
Exemplo:
>> A = [ 1 2 3 4 ; 7 5 3 1 ; 0 2 4 6]
A = 1 2 3 4
7 5 3 1
0 2 4 6
>> B = [ 1 2; 3 4; 5 6 ; 7 8]
B = 1 2
3 4
5 6
7 8
>> C =
C = 50
44
68
A*B
60
60
80
% 50 = 1*1 + 2*3 +3*5 + 4*7
>> D = (C == mult_mat(A,B))
D = 1 1
1 1
1 1
26 Março 2008
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Transposição de Matrizes
•
Em engenharia, a multiplicação de matrizes tem várias aplicações práticas. Para além
da resolução de sistemas de equações, pode ser ainda utilizada na implementação
dos produtos interno e externo de vectores (e ainda para rotação de vectores).
•
Para o produto interno, interessa definir inicialmente a operação de transposição de
matrizes, que informalmente corresponde a trocar as linhas pelas colunas. Pode ser
especificada formalmente através da função transp(A) definida abaixo.
•
Em Octave esta operação é primitiva, e é denotada pelo operador ‘, posfixo, ou seja
A’
é equivalente a
function B = transp(A)
for i = 1: rows(A)
for j = 1: columns(A)
B(j,i) = A(i,j);
endfor
endfor
endfunction
26 Março 2008
transp(A)
A = 1 2 3 4
5 6 7 8
A’= 1
2
3
4
5
6
7
8
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17
Produto Interno
•
Para se obter o produto interno de dois vectores linha V1 e V2 com k elementos, basta
notar que este produto pode ser obtido através da multiplicação da “matriz” V1 (1*k)
com a “matriz transposta” de V2 (k*1).
>> A = [ 1 3 5]
A = 1 3 5
>> P = [ 5 2 1]
P = 5 2 1
>> C = A * P’
C = 16
•
Igualmente a média dos valores de um vector V, ponderada pelos pesos de outro
vector P, pode ser obtida através da operação
V * P’/sum(P)
>> Mp = A * P’/sum(P)
Mp = 2
26 Março 2008
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Produto Externo de 2 Vectores
•
Um outro produto de vectores (definido em espaços 3D) usado em Engenharia é o
produto externo de dois vectores V1 e V2, V1  V2, definido como o vector V, com
módulo igual ao produto dos módulos dos vectores V1 e V2 pelo seno do ângulo
formado entre eles, com direcção perpendicular a ambos os vectores e com sentido
definido pela regra do “saca-rolhas”.
1.8226
1.8226 = abs(1*2*sin(120*pi/180))
2
120º
1
•
Em particular este produto é usado para determinar a força exercida por uma carga
eléctrica sujeita a uma força magnética, tal como acontece nos tubos de raios
catódicos (CRT) usados nos “antigos” monitores de televisão.
•
Para obtermos este produto é conveniente a utilização de matrizes, da forma
seguinte..
26 Março 2008
Vectores e Matrizes - Aplicações à Engenharia
19
Produto Externo de 2 Vectores
•
Denotando por x, y e z os vectores unitários dos repectivos eixos, e de acordo com
a definição, temos
z
– x  x = y  y = z  z = 0 (pois x faz um ângulo de 0º com x
– x  y = z ; x  z = - y; y  z = x (regra do saca-rolhas) ;
– y  x = - z ; z  x = y ; z  y = - x (regra do saca-rolhas)
x
y
•
Sendo o produto externo distributivo em relação à soma, dados dois vectores
A = ax x + ay y + az z e B = bx x + by y + bz z o seu produto externo é dado por
•
A  B = (ax x + ay y + az z )  ( bx x + by y + bz z) =
(ay bz - az by) x + (az bx - ax bz) y + (ax by - ay bx) z
que pode ser obtido pela multiplicação do vector A pela matriz M abaixo indicada
[ax ay az] 
26 Março 2008
0 -bz
by
bz
0
-bx
-by
bx
0
= [aybz-azby
azbx- axbz
azbx-axbz]
M
Vectores e Matrizes - Aplicações à Engenharia
20
Produto Externo de 2 Vectores
•
O produto externo de dois vectores pode pois ser definido através da função
function P = prod_ext(A,B)
M = zeros(3,3);
M(1,2) = -B(3); M(1,3) = B(2);
M(2,1) = B(3); M(2,3) = -B(1);
M(3,1) = -B(2); M(3,2) = B(1);
P = A * M;
endfunction
•
0 -bz
bz
-by
by
0 -bx
bx
0
Por ser muito utilizado, o produto externo (cross-product em inglês) é
disponibilizado em Octave pela função primitiva cross. Assim,
>> A = [ 1 -3
5]; B = [ -1 0 4];
>> C = cross(A,B)
C = -12 -9 -3
>> D = prod_ext(B,A)
D = 12 9 3
26 Março 2008
%
A  B = - B  A
Vectores e Matrizes - Aplicações à Engenharia
21
Matrizes e Sistemas de Equações
•
Uma outra aplicação muito importante de matrizes em engenharia (e não só) é na
resolução de sistemas de equações lineares. Um sistema de n equações lineares a
n incógnitas, pode ser representado na forma matricial por
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2
AX=B
.....
an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = bn
em que A é uma matriz n*n, e X e B são vectores coluna com n elementos, isto é
... a1n
x1
b1
a22 ... a2n
x2
b2
a11 a12
a21
.....
an1
26 Março 2008
an2
... ann
*
...
xn
=
...
bn
Vectores e Matrizes - Aplicações à Engenharia
22
Matrizes e Sistemas de Equações
•
Um tal sistema ficará resolvido se se colocar na forma
1 x1 + 0 x2 + ... + 0 xn = s1
0 x1 + 1 x2 + ... + 0 xn = s2
M*A*X = M*B

.....
0 x1 + 0 x2 + ... + 1 xn = sn
I*X = S
o que pode ser obtido através da multiplicação de uma matriz M em ambos os lados
da equação. Como M * A = I, a matriz M é a matriz inversa da matriz A.
m11 m12 ... m1n
a11 a12 ... a1n
1
0
... 0
m21 m22 ... m2n
a21 a22 ... a2n
0
1
... 0
.....
mn1 mn2 ... mnn
•
*
.....
an1 an2 ... ann
=
.....
0
0
... 1
De notar que a multiplicação de matrizes não é comutativa, pelo que a multiplicação
de B por M “à esquerda”, M * B, é diferente da multiplicação “à direita”, B * M, ou seja
M*B ≠ B*M
26 Março 2008
Vectores e Matrizes - Aplicações à Engenharia
23
Matrizes e Sistemas de Equações
•
Existem várias formas de inverter uma matriz. Sendo a matriz um tipo de dados
primitivo no Octave a operação de inversão de uma matriz A pode ser invocada da
forma “standard”, A-1, ou alternativamente pela chamada da função pré-definida
inv(A), ou seja
A-1
•
== inv(A).

Assim, para obter as soluções de um sistema de equações A*X = B, basta notar que
se A*X = B então é A-1*A*X = A-1*B, ou seja I*X = A-1*B, e finalmente
X = A-1B.
•
Na álgebra “real”, a-1 * b = b/a, isto é a multiplicação pelo inverso corresponde a uma
divisão. A divisão é igualmente uma operação primitiva do Octave. No entanto como
as multiplicações “à direita” e “à esquerda” são diferentes, o Octave distingue a
divisão “à esquerda” da divisão “à direita”, sendo representadas como
A-1*B = A\B
26 Março 2008
e
B*A-1 = B/A
Vectores e Matrizes - Aplicações à Engenharia
24
Matrizes e Sistemas de Equações
•
Exemplo: Consideremos o sistema de 3 equações a 3 incógnitas
2
2 x1 + 4 x2 – x3 = 7
x1 - 2 x2 + x3 = 0
-3 x1 + 3 x2 – x3 = 2
•

1 -2
-3
x1
4 -1
1
4 -1
*
x2
7
=
x3
0
2
Para o resolver basta obter a matriz inversa A-1 e multiplicá-la à direita por B
>> A = [2 4 -1; 1 -2 1 ; -3 3 -1]
A = 2 4 -1
1 -2 1
-3 3 -1
>> M = A^-1
M = 0.20000
0.20000
0.20000
0.00000 -0.20000
0.50000 0.30000
2.00000 0.80000
>> B = [7 ; 0 ; 2] ;
>> X = M*[7;0;2]
X = 1
2
3
26 Março 2008
Vectores e Matrizes - Aplicações à Engenharia
25
Matrizes e Sistemas de Equações
2
2 x1 + 4 x2 – x3 = 7
x1 - 2 x2 + x3 = 0
-3 x1 + 3 x2 – x3 = 2
•

1 -2
-3
x1
4 -1
1
4 -1
*
x2
7
=
x3
0
2
Podemos ainda notar igualmente que
>> A = [2 4 -1; 1 -2 1 ; -3 3 -1]; B = [7 ; 0 ; 2];
>> M = A ^-1;
M = 1.00000
0.00000
0.00000
D = M * A
0.00000 0.00000
1.00000 0.00000
0.00000 1.00000
>> X = A\B
X = 1
2
3
>> A \ B - M*B
ans = 1.0e-16 *
4.44089
4.44089
4.44089
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% erros de arredondamento!
% (A \ B == M * B) = 0
0
0
Vectores e Matrizes - Aplicações à Engenharia
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