Distribuição de probabilidade

Uma variável pode tomar qualquer valor dentro de
um conjunto de valores com uma determinada
probabilidade

Uma distribuição de probabilidades mostra a
probabilidade de todos os valores possíveis de uma
variável
Distribuição normal
- Completamente descrita por
dois parâmetros (, )
- Em forma de sino
- Simétrica para a média
(média = mediana)
Se o desvio padrão
diminui a curva
compacta-se mais
a volta da média
Teorema do limite central
Amostra 1 – X1
Amostra 2 – X2
Amostra 3 – X3
.
.
.
Teorema do limite central
 – média da população
 – desvio padrão da população
X – média da amostra
s – desvio padrão da amostra
(EP)
 -1.96 EP
 +1.96 EP
Distribuição das médias de amostras feitas numa população
Teorema do limite central
Qualquer que seja a distribuição de uma
variável se se fizerem várias amostras com o
mesmo tamanho, a distribuição das médias
destas amostras tende para uma distribuição
normal com média igual á média da
população e com desvio padrão igual ao da
população a dividir pela raiz quadrada do
tamanho das amostras.
Intervalo de confiança - média
 – média da população
 – desvio padrão da população
X – média da amostra
s – desvio da padrão amostra
Intervalo de confiança - média
E se não soubermos o desvio padrão da população ()?
Se o tamanho da amostra (n) é pequeno?
Nestes casos a distribuição das médias amostrais segue uma distribuição t e o
raciocínio que fizemos antes aplica-se novamente mas desta vez com a
distribuição t:
IC 95% para a média:  ± t0,05 EP
Exemplo
Queremos estimar a média de idades das mulheres no dia
do nascimento do seu primeiro filho. Em uma amostra de
49 mulheres:
X = 27 anos
s = 5 anos
 = ? (queremos)
=?
Como  = ? usamos a distribuição t para calcular o
intervalo de confiança a 95%
(27 - t0,05 5/49 , 27 - t0,05 5/49 ) = (25.5 ; 28.5)
Intervalo de confiança - proporção
Estamos interessados na proporção de indivíduos de uma população que têm
determinada característica.
Se tiramos uma amostra de tamanho n a proporção é estimada pelo nº de
indivíduos com a característica na amostra a dividir por n.
Se tirarmos repetidas amostras de tamanho n da população e fizermos a
distribuição das estimativas das proporções das amostras, essa distribuição
aproxima-se da distribuição normal cuja média é a verdadeira proporção na
população e o desvio padrão p (1-p)/n
Intervalo de confiança
Intervalo de confiança a 95% para uma proporção
p:
EP= p (1-p)/n
(p - 1.96 EP ; p + 1.96 EP)
Quando o tamanho da amostra é pequeno [np ou
n(1-p) <5] distribuição das estimativas das
proporções das amostras segue uma distribuição
Binomial, o restante raciocínio é semelhante.
Exemplo
De entre 64 mulheres grávidas incluídas num
estudo 27 (42%) estiveram mais de 6 meses a
tentar engravidar sem sucesso.
p=0.42
EP=0.42 (1-0.42)/64 = 0.06
IC 95% = (0.42 - 1.96 x 0.06 ; 0.42 - 1.96 x 0.06 )
Testes de Hipótese
Queremos saber se uma determinada moeda é equilibrada
Definimos a Hipótese de que a moeda é equilibrada.
Usámos uma amostra de 100 lançamentos
Suponhamos que o resultado dos lançamentos foi 48 coroas e 52 caras.
Será este resultado suficientemente forte para rejeitarmos a Hipótese Nula?
Ou seja, será que este resultado é compatível com a hipótese da moeda ser equilibrada?
A probabilidade de obter 48 ou menos coroas em 100 lançamentos, com uma moeda
equilibrada, é de aproximadamente 38%.
0.38 é demasiado elevado para rejeitar a hipótese, isto é, a probabilidade de obter 48 ou
menos coroas em 100 lançamentos com uma moeda equilibrada é alta (38%). Assim não
devemos rejeitar a Hipótese de que a moeda é equilibrada
Testes de Hipótese
Queremos saber se uma determinada moeda é equilibrada
Definimos a Hipótese de que a moeda é equilibrada.
Usámos uma amostra de 100 lançamentos
Suponhamos que o resultado dos lançamentos foi 30 coroas e 70 caras.
Será este resultado suficientemente forte para rejeitarmos a Hipótese Nula?
Ou seja, será que este resultado é compatível com a hipótese da moeda ser equilibrada?
A probabilidade de obter 30 ou menos coroas em 100 lançamentos, com uma moeda
equilibrada, é de aproximadamente 0.2%.
0.2% é demasiado baixo para rejeitar a hipótese, isto é, a probabilidade de obter 30 ou
menos coroas em 100 lançamentos com uma moeda equilibrada é baixa (0.2%). Assim
devemos rejeitar a Hipótese de que a moeda é equilibrada
Testes de Hipótese
Definimos a Hipótese
H0 = hipótese nula – sem efeito
H1 = hipótese alternativa
Obtemos a estatística do teste com os dados de uma amostra
Obtemos o valor de p – probabilidade de obter o resultado que
obtivemos ou mais extremo, sendo H0 verdadeira.
Definimos o nível se significancia – usualmente 0.05
Interpretamos o valor de p –
se p<0.05 temos evidência suficiente para rejeitar H0
se p>0.05 não temos evidência suficiente para rejeitar H0
Erros
H0 verdadeira
H0 falsa
Rejeitar H0
Aceitar H0
Erro Tipo I () Sem Erro
Erro Tipo II ()
Sem Erro
Poder do teste = 1-  = Probabilidade de rejeitar H0 quando ela é falsa