UFBA – Universidade Federal da Bahia
ENG309 – Fenômenos de Transporte III
Prof. Dr. Marcelo José Pirani
Departamento de Engenharia Mecânica
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO DE CALOR
2.2. Equação da Difusão de Calor
2.2.1. Coordenadas Cartesianas
  T   T   T
 T (2.13)
 
 
 
 
 
  q   cp
x x  y  y  z  z 
t
Reescrever a equação da difusão de calor considerando:
-
Condutividade térmica constante;
Regime estacionário;
Ausência de geração de calor;
Condutividade térmica constante, regime estacionário, sem
geração de calor;
- Condutividade térmica constante, regime estacionário sem
geração de calor, unidimensional.
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO DE CALOR
2.2.1. Coordenadas Cartesianas
Para condutividade térmica constante:
q  cp  T


 
2
2
2

 t
x
y
z
2 T
2 T
2 T
(2.14)
ou ainda
2 T
2 T
2 T
q 1  T


 
2
2
2
  t
x
y
z
onde


 cp
é a difusividade térmica
(2.15)
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO DE CALOR
2.2.1. Coordenadas Cartesianas
Para regime estacionário
  T   T   T
 
 
 
 
 
  q  0
x x  y  y  z  z 
(2.16)
Sem geração de calor:
  T   T   T
T
 
 
 
 
 
   cp
x x  y  y  z  z 
t
(2.17)
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO DE CALOR
2.2.1. Coordenadas Cartesianas
Para condutividade térmica constante, regime estacionário,
sem geração de calor:
2 T
 x2

2 T
 y2

2 T
 z2
0
(2.18)
Para condutividade térmica constante, regime estacionário
sem geração de calor, unidimensional:
d 2T
dx2
0
(2.19)
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO DE CALOR
2.2.2. Coordenadas Cilíndricas
1   T 1   T   T
T

(2.20)
  r
 
 
 
 
  q   cp
2
r r 
r  r     z  z 
t
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO DE CALOR
2.2.2. Coordenadas Cilíndricas
 T
1 T
T



q  T   i
j
k
r 
z 
 r
(2.21)
onde
T
qr   
,
r
 T
q  
,
r 
T
qz   
z
(2.22)
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO DE CALOR
2.2.3. Coordenadas Esféricas
1   2 T
1
  T
1
 
T
T
  r
 
 
 
  se n
  q   cp
 r  r 2se n2       r 2se n   
 
t
r2  r 
(2.23)
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO DE CALOR
2.2.3. Coordenadas Esféricas
 T
1 T
1 T



q  T   i
j
k
r 
r se n   
 r
(2.24)
onde
T
qr   
,
r
 T
q  
,
r 
 T
q  
r se n  
(2.25)
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO DE CALOR
2.3. Condições Iniciais e de Contorno
● Condição Inicial
Especifica a distribuição de temperatura na origem do
tempo (t = 0)
● Condições de Contorno
Especificam as condições térmicas nas fronteiras do
sistema. São três tipos:
- Temperatura conhecida
- Fluxo de calor conhecido
- Convecção na superfície
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO DE CALOR
2.3. Condições Iniciais e de Contorno
● Temperatura conhecida (Condição de contorno de Dirichlet ou
de 1ª espécie)
T(x, t) x0  T(0, t)  T1
T(x, t) xL  T(L, t)  T2
●
● T(L,t)  T2
0
L
x
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO DE CALOR
2.3. Condições Iniciais e de Contorno
● Fluxo de calor conhecido (Condição de contorno de Newmann
ou de 2ª espécie)
T

 q0
 x x 0
T

 qL
 x x L
T

 q0
 x x0
T

 qL
 x x L
- Para superfície isolada
termicamente, tem-se:
T

 qs  0
x s
0
L
x
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO DE CALOR
2.3. Condições Iniciais e de Contorno
● Convecção na superfície (Condição de contorno de 3ª espécie)
T

 h1 (T1  T(0, t))
 x x0
T

 h 2 (T(L, t)  T2 )
 x x L
Escoam.
Fluido
T1, h 1
h1 (T1  T(0,t))
Convecção
Escoam.
Fluido
T2 , h2
T

 x x 0
Condução
T

 x x L
Condução
h2 (T(L,t)  T2 )
Convecção
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.1. Parede plana, sem geração de calor, em regime
estacionário, com  constante.
d 2T
dx
2
0
●
● T2
Condições de contorno
para x  0  T  T1
para x  L  T  T2
0
L
x
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.1. Parede plana, sem geração de calor, em regime
estacionário, com  constante.
Integrando a 1a vez

d  dT 

 dx 
dx  dx 

0dx

dT
dx  C1 dx  0
dx

dT
 C1  0
dx
Integrando a 2a vez


T  C1 x  C2  0
T  C1 x  C2
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.1. Parede plana, sem geração de calor, em regime
estacionário, com  constante.
Aplicando as condições de contorno
para x  0  T  T1
para x  L  T  T2
para x  0  T1  C1 .0  C2  C2   T1
para x  L  T2  C1 .L  T1
Logo
T2  T1  x

T
T
L
1
T1  T2
 C1 
L
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.1. Parede plana, sem geração de calor, em regime
estacionário, com  constante.
Aplicando a distribuição de temperatura encontrada na
Lei de Fourier, resulta:

dT
d   T2  T1  x
q x   A
  A
 T1 

dx
dx 
L

T2  T1 

dT
qx   A
  A
dx
L
ou
qx
T1  T2 

 A
L
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Exercício:
Seja considerada a parede de um ambiente condicionado
com 0,20m de espessura. Admitindo-se que as
temperaturas nas superfícies externa e interna são
respectivamente 36oC e 20oC determine:
(a) A equação da distribuição de temperatura
(b) O fluxo de calor através da parede
(c) A temperatura no centro da parede.
Considerar k=0,72W/mK