Medidas de Dispersão
Aula 8
Introdução

As medidas de tendência central não são
suficientes para caracterizar totalmente uma
sequência numérica.

Exemplo:
– X: 10, 1, 18, 20, 35, 3, 7, 15, 11, 10.
– Y: 12, 13, 13, 14, 12, 14, 12, 14, 13, 13.
– Z: 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13.

Nos 3 casos, média igual a 13, porém são séries
completamente distintas.
Medidas de Dispersão

As principais medidas de dispersão
absolutas são:
– Amplitude Total,
– Desvio médio simples,
– Variância,
– Desvio Padrão.

Focaremos na variância e desvio padrão.
Desvio médio simples

O conceito estatístico de desvio
corresponde ao conceito matemático de
distância.

O desvio médio simples (DMS) é definido
como sendo uma média aritmética dos
desvios de cada elemento da série para a
média da série.
Desvio médio simples

1º Caso - Dados Brutos:
X

DMS 
i
X
n

Exemplo: Calcule o DMS para a sequência
– X: 2, 8, 5, 6
– Média = 5,25
– DMS = 1,75
Variância e Desvio Padrão

No caso do DMS necessita-se do módulo para que a
diferença entre o valor de x e a média possam ser
consideradas distância.

Outra forma de se conseguir tornar essa diferença
sempre positiva ou nulas é considerar o quadrado destas
diferenças.

Se substituimos X i  X por X i  X

Desvio Padrão é a raiz da variância


2
temos a variância.
Variância e Desvio Padrão

1º Caso – Dados Brutos:
– Se a sequência representa uma população, a variância
é igual:
2

2

x  x

x  
i
n
– Se a sequência representa uma amostra, a vriância é
igual:
2
s
2

x  x

x  
i
n 1
Variância e Desvio Padrão

Exemplo:
– Calcule a variância e o desvio padrão para a
sequência – X: 4, 5, 8, 5.
– Média = 5,5
– Variância = 2,25
– Desvio Padrão = 1,5 unidades.
Variância e Desvio Padrão
2º Caso – Variável Discreta:
 Como existe repetição na série, precisamos
ponderar a série:

– No caso de População, a variância é:

2

X

x  

2
i
 X  fi
f
i
– No caso de amostra, a variância é:

X X  f

x  
 f 1
2
s
2
i
i
i
Variância e Desvio Padrão

Exemplo:
– Calcule a variância para a série abaixo:
Xi fi
2 3
3 5
4 8
5 4
– Média = 3,65
– Variância = 0,9275
– Desvio Padrão = 0,988
Variância e Desvio Padrão

3º caso: Variável Contínua
– Neste caso, como desconhecemos o valor de “x”
existentes dentro do intervalo, utilizaremos o ponto
médio de cada intervalo.
Variância
no caso de População

2

X

x  

2
i
 X  fi
f
i

X X  f

x  
 f 1
2
Variância
no caso de Amostra
s
2
i
i
i
Variância e Desvio Padrão

Exemplo:
– Dado a seguinte variável contínua
Classe Intervalo de classe
fi
1
0
4
1
2
4
8
3
3
8
12
5
4
12
16
1
– Calcule a variância e o desvio padrão, no caso de
desta variável representar uma população e no caso
de representar uma amostra
– Variância= 10,24 e desvio padrão=3,2
– Variância= 11,38 e desvio padrão=3,373
Interpretação do desvio padrão

No cálculo da variância, quando elevamos o quadrado da
diferença entre a média e o valor de x, a unidade de
medida também fica elevada ao quadrado:
– Se a medida é em metros : variância é em metros ao
quadrado
– Se a medida é em litros: a variância é em litros ao
quadro

Assim, o valor da variância não pode ser comparado com
os dados da série: Variância não tem interpretação.
Interpretação do desvio padrão


O desvio padrão supre essa questão de interpretação: tem sempre a
mesma unidade de medida da série.
Quando uma curva de frequência representativa da série é
perfeitamente simétrica (distribuição normal), podemos tirar algumas
conclusões:
Este espaço contem
aproximadamente 68%
dos valores da série
Aproximadamente 95%
     
Aproximadamente 99%
Interpretação do desvio padrão

Exemplo: se uma série tem média = 100 e
desvio padrão = 5
68%
95%
99%
85 90 95
100
105 110 110